資源簡介

2024學(xué)年第一學(xué)期期中檢測
九年級數(shù)學(xué)試卷
（考試時間；100分鐘 滿分150分）
考生注意；請將所有答案寫在答題卡上，寫在試卷上不計分
一、選擇題；（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
1．在Rt△ABC中，，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，下列等式立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知P是線段AB的黃金分割點，且，那么下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．．
3．在△ABC中，點D、E分別在邊BA、CA的延長線上，下列四個選項中，能判定DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．長度為1的向量叫做單位向量；
B．如果，且，那么的方向與的方向相同；
C．如果是一個單位向量，是非零向量，；
D．如果，，其中是非零向量，那么
5．已知一次函數(shù)和二次函數(shù)部分自變量和對應(yīng)的函數(shù)值如表；
x … －1 0 2 4 5 …
… 0 1 3 5 6 …
… 0 －1 0 5 9 …
當(dāng)時，自變量x的取值范圍是（ ）
A．－1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜－1或x＞5 D．x＜－1或x＞4
6．如圖，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，聯(lián)結(jié)PM、PN、MN．以下是甲、乙兩位同學(xué)得到的研究結(jié)果
（甲）當(dāng)M為AC中點時，△ABC為等邊三角形；
（乙）△PMN為等邊三角形．
對于甲、乙兩位同學(xué)的結(jié)論，下列判斷正確的是（ ）
A．甲正確乙錯誤 B．甲錯誤乙正確 C．甲、乙皆正確 D．甲、乙皆錯誤
二、填空題；（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．已知線段a＝12cm，b＝6cm，如果b是a、c的比例中項，那么線段c等于______cm．
8．如果兩個相似三角形的周長比為1：2，那么它們的對應(yīng)中線的比為______
9．在銳角△ABC中，銳角A的正切值是，如果將這個三角形三邊的長都擴大為原來的2倍，那么銳角A的余弦值是______
10．如圖，AD∥BE∥FC，它們依次交直線、于點A、B、C和點D、E、F．如果AB＝2，AC＝5，那么的值是______
11．已知一個斜坡的坡比為，則坡角的度數(shù)為______
12．如果拋物線在對稱軸的左側(cè)，y的值隨x的增大而增大，那么a的取值范圍是______
13．如圖，點D、E、F分別在△ABC邊AB、AC、BC上，AD＝AB，AE＝AC，BF＝BC．若△ABC的面積是，那么△DEF的面積是______．
14．如果拋物線向右平移一個單位后，頂點落在拋物線上，那么a的值等于______
15．如圖，△ABC中，點D、點E分別是AB、AC的中點，BE與CD交于點O．若∠ACO＝∠EBC，那么CD：BC的值是______
16．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點都在小正方形頂點的位置上，我們稱這樣的四邊形叫做“格點四邊形”．聯(lián)結(jié)AC、BD相交于點O，那么△AOB的面積等于______
17．梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝45°，BC＝12，AC、BD相交于點O，，過點D作DE∥AB，交AC于點E．若△DOE是直角三角形，那么AD＝______
18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．把△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°）點A、C的對應(yīng)點分別是A'、C'，射線CC'與AA'交于點E，若BA'∥CC'，則C'E＝______
三、解答題；（本大題共7題，滿分78分）
19．（本題滿分10分）
計算：
20．（本題滿分10分）
如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是CD的中點，且EC＝AB，AC與BE交于點F．
（1）若，，請用，來表示、
（2）在原圖中直接在圖中作出在，方向上的分向量（不要求寫作法，但要寫出所作圖中表示結(jié)論的向量）．
21．（本題滿分10分，每小題5分）
如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BD＝CD，對角線AC、BD相交于點O，AD＝2，AB＝3．
（1）求AO:CO的值；
（2）求∠ACD的正切值．
22．（本題滿分10分）
如圖是某路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖，燈柱BC的高為11.2米，燈柱BC與燈桿AB的夾角為120°，路燈采用錐形燈罩，在地面上的照射區(qū)域DE的長為14.7米，從D、E兩處測得路燈A的仰角分別為α和45°，且，求燈桿AB的長度．
23．（本題滿分12分，每小題6分）
如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB上的中點，E是邊BC上的點，AE與CD交于點F，且．
（1）求證；AE⊥CD；
（2）聯(lián)結(jié)BF，如果點E是BC中點，求證；．
24．（本題滿分12分，每小題4分）
如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B左側(cè)），與y軸交于點C．聯(lián)結(jié)CB交對稱軸于點E，點D為拋物線的頂點．
（1）聯(lián)結(jié)AC、CD，若∠CED＝45°
①求拋物線解析式；
②線段BC上一點F，∠ACB＝∠FAB，聯(lián)結(jié)FD，求tan∠FDE．
（2）平移拋物線，使新拋物線頂點D'在射線CD上，新拋物線與y軸交于點C'．若C'D平分∠CDE，且CD'＝2CC'，求新拋物線解析．
25．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題4分）
△ABC中，BC＝12，D、E分別在AB、AC上，∠ACB＝∠ADE，聯(lián)結(jié)DC，作∠MEN＝∠DCB交DC于M，交BC于N，EN交DC于O．
（1）如圖1，AB＝AC，BD＝2AD，DC＝10．
①求∠DCB的正弦值；
②若DM：MO＝7：18，求DM
（2）如圖2，∠MEN＝∠ABC＝45°，EC＝DE，聯(lián)結(jié)MN，若四邊形MNCE為梯形，請直接寫出DM的長．
圖1 圖2
2024學(xué)年第一學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期中檢測 評分標(biāo)準(zhǔn)
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C
7．3 8． 9． 10．
11．30° 12．a(chǎn)＜－2 13．4 14．2
15． 16． 17．8 18．
19．原式＝
20．（1）
（2）作圖略
結(jié)論；每個方向上的分向量各1分
21．（1）過點D作DE⊥BC交BC于E，∵BD＝DC，DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，又∵∠ABC＝90°
∴∠ABC＝∠DEC，∴AB∥DE，又∵AB∥CD，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD＝BE
∵BD＝DC，DE⊥BC，∴BE＝EC＝BC；∴BC＝2AD，∵AD＝2，∴BC＝4，∵AD∥BC
∴AO：OC＝AD：BC，∴AD：BC＝
（2）過點D作DF⊥AC交AC于F，過點C作CG⊥AD交AD延長線于G
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，∴AC＝，又∵CG⊥BC；∴∠GCB＝90°，∴∠ABC＋∠GCB＝180°，∴CG∥AB，∵AG∥BC；∴四邊形ABCG是平行四邊形，∴CG＝AB＝3
又∵，∴
在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，，∴
∴，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，
22．過點A作AQ⊥EC交EC于點Q，過點B作BP⊥AQ交AQ于P
設(shè)DQ＝x米，在Rt△AQD中，∠AGD＝90°，，米
在Rt△AQB中，∠AQB＝90°，，∴BQ＝AQ＝6x米，∵DE＝DQ＋QE，∴x＋6x＝14.7米；∴x＝2.1米，∴AQ＝12.6米，∵AQ⊥CE，BC⊥CE，∴∠BCE＝∠AQE＝90°，∴BC⊥AQ
∵BP⊥AQ，CE⊥AQ，；∴∠APB＝∠AQC＝90°，∴BP∥CE，∴四邊形BCQP是平行四邊形
∴PQ＝BC＝11.2米，∠CBP＝∠BPA＝90°，∴AP＝AQ－PQ＝12.6－11.2＝1.4米，在Rt△BPA中，∠BPA＝90°，∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝120°－90°＝30°，∴，∴AB＝2AP＝2.8米
答：燈桿AB的長度的是2.8米．
23．證明；（1）∵，∴，又∵∠ACB＝∠ECA＝90°，∴
∴∠ABC＝∠EAC，∵點D是AB的中點，∠ACB＝90°；∴CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠CAD
∵∠CAD＋∠ABC=90°，∴∠ACD＋∠EAC=90°，∴∠AFC＝90°，∴AE⊥CD，（2）∵AE⊥CD，
∴∠EFC＝90°，∴∠ACE＝∠EFC，又∵∠AEC＝∠CEF，∴，∴
∵點E是BC的中點，∴CE＝BE，∴，∵∠BEF＝∠AEB，∴
∴，∴，∵CD＝AB，∴AB＝2CD，∴
24．解：①對于拋物線，令x＝0，則y＝3
∴C的坐標(biāo)為（0，3），∵∠CED＝∠BEF，∠CED＝45°，∴∠BEF＝45°
在Rt△BCO中，∠BOC＝90°，∴，∴，∴BO＝3
∴B的坐標(biāo)為（3，0）
將B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中；，解得：m＝2，所以拋物線的解析式為
②∵拋物線的解析式為，可得A（－1，0），B（3，0），D（1，4），∴AB＝4，BC＝
∵∠AFB＝∠CAB，∠FBA＝∠ABC，∴，∴，∴FB＝
設(shè)F（x，－x＋3），則FB＝，∴，解得：x＝
∴點F的坐標(biāo)為，過點F作DE的垂線，垂足為H，則H的坐標(biāo)為，所以FH＝．DH＝
在Rt△FHD，∠FHD＝90°，∴，
（2）如圖所示
∵C'D平分∠CDE，∴∠CDC'＝∠EDC'，∵CC'∥DE，∴∠CC'D＝∠C'DE，∴∠C'DC＝∠CC'D
∴C'C＝CD，∵CD＝2CC'，∴CD'＝2CD，∴D是CD'的中點，∵原拋物線的解析式為
∴點C的坐標(biāo)為（0，3），點D的坐標(biāo)為，∴點D'的坐標(biāo)為．
∴CD＝，∴新拋物線的解析式為，∴點C的坐標(biāo)為
∴CC'＝，∵CC'＝CD，∴，解得；m＝（舍去負(fù)值）
所以新拋物線的解析式為
25．解（1）①分別過點D、E作BC的垂線，垂足為H、P
∴∠DHP＝∠DHB＝90°，∠EPH＝∠EPC＝90°，∴∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADE
∴，∴∠AED＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED
∴AD＝AE，∵DB＝AB－AD，EC＝AC－AE，∴BD＝CE，∴，∴DE∥BC
∴∠HDE＝∠DHB＝90°，在四邊形DEHP中，∠DHP＝∠EPH＝∠HDE＝90°
∴四邊形DEHP為矩形；∴DE＝HP，DH＝EP，∴DE∥BC，∴
∵BD＝2AD，∴，∴，∵BC＝12，∴DE＝4；∴HP＝4
在Rt△BHD與Rt△CPE中；∵BD＝CE，DH＝EP，所以（H.L）
∴BH＝CP，∵BH＋HP＋CP＝BC，∴CP＋4＋CP＝12，∴CP＝4，∴CH＝CP＋PH＝4＋4＝8
在Rt△DHC中，∵∠DHC＝90°，∴，∵CH＝8，CD＝10，∴DH＝6
在Rt△DHC中，∵∠DHC＝90°，∴
②過點O作DE的垂線，垂足為點F
∴∠DFO＝∠EFO＝90°，設(shè)DM＝7k，OM＝18k，∴DO＝DM＋OM＝25k，∵DE∥BC，∴∠DCB＝∠CDE，∵∠MEN＝∠DCB，∴∠MEO＝∠EDO，又∵∠EOM＝∠DOE，∴，∴，∴，∴OE＝，∵∠ODF＝∠DCB，sin∠DCB＝，∴sin∠ODF＝，
在Rt△ODF中，∠OFD＝90°，∴sin∠ODF＝，∴OF＝OD·sin∠ODF＝15k，
在Rt△ODF中，∠OFD＝90°，∴，∴
∵EF＝DE－DF，∴DF＝4－20k，在Rt△OEF中，∠OFE＝90°，∴
∴，解得：，當(dāng)時，OD＝25k＝20＞10，舍去
∴，∴DM＝7k＝
（2）DM＝或

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