資源簡介

榆樹市2024—2025學年度第一學期期中考試九年級數學試題
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．使有意義的x的取值范圍是（ ）
A．x＞－1 B．x≥－1 C．x≠－1 D．x≤－1
2．下列線段中，能成比例的是（ ）
A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm
3．如圖，已知直線，，分別交直線于點A，B，C，交直線于點D，E，F，且．若AB＝4，AC＝6，DF＝9，則EF的長為（ ）
A．3 B．6 C．4 D．5
4．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法判斷
6．若關于x的一元二次方程的兩實數根互為相反數，則k的值（ ）
A．±2 B．2 C．－2 D．不能確定
7．某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由168元降為108元，已知兩次降價的百分率相同，設每次降價的百分率為x，根據題意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
8．如圖，在矩形ABCD中，將△ADC繞點D逆時針旋轉90°得到△FDE，B、F、E三點恰好在同一直線上，AC與BE相交于點G，連接DG．以下結論正確的是（ ）
①AC⊥BE；
②△BCG∽△GAD；
③點F是線段CD的黃金分割點；
④．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
二、填空題（每小題3分，共18分）
9．寫出一個最簡二次根式______．
10．若關于x的一元二次方程的一個根為－1，則另一個根為______．
11．如圖，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是3，則四邊形DBCE的面積是______．
（第11題）
12．已知點G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝2，則AG的長為______．
13．如圖所示，某市世紀廣場有一塊長方形綠地長18m，寬15m，在綠地中開辟三條道路后，剩余綠地的面積為，則圖中x的值為______．
（第13題）
14．如圖，一次函數的圖象與x軸交于點B，與y軸交于點A，過線段AB的中點P（4，3）作一條直線與△AOB邊交于點Q，使得所截新三角形與△AOB相似，則點Q坐標是______．
（第14題）
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
15．（5分）計算：．
16．（6分）解方程：．
17．（6分）如圖，網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點，以格點為頂點，分別按下列要求畫三角形．
（1）在圖②中，請在網格中畫一個與圖①△ABC相似的△DEF；
（2）在圖③中，以O為位似中心，畫一個，使它與△ABC的位似比為2：1．
18．（7分）如圖，CA⊥AD，ED⊥AD，點B是線段AD上的一點，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
（1）證明：△ABC∽△DEB．
（2）求線段BD的長．
19．（7分）已知關于x的一元二次方程．
（1）求m的值；
（2）用配方法解這個方程．
20．（8分）《海島算經》是中國最早的一部測量數學專著，也是中國古代高度發達的地圖學的數學基礎．某班數學興趣小組利用《海島算經》中的方法進行如下測量：如圖，要測量一棟建筑物的高度AH，立兩根高3米的標桿BC和DE，并且建筑AH、標桿BC和DE在同一豎直平面內，兩桿之間的距離BD＝19米，D，B，H成一線，從B處退5米到F，從F點觀測A點，A，C，F三點成一線；從D處退6米到G，從G點觀測A點，A，E，G三點也成一線．請你幫助小組同學，計算該建筑物的高度AH的長．
21．（8分）觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：
例1：；
例2：，，；
利用以上結論解答以下問題：
（1）______；______；
（2）請你用含n（n為正整數）的關系式表示上述各式子的變形規律（無需證明）；
（3）利用上面結論，求的值．
22．（9分）專賣店在銷售中發現，一款童裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了迎接“五一”國際勞動節，商店決定采取適當的降價措施，以擴大銷售量，增加利潤，經市場調查發現，如果每件童裝降價1元，那么平均可多售出2件．
（1）設每件童裝降價x元時，每天可銷售______件，每件盈利______元；（用x的代數式表示）
（2）每件童裝降價多少元時，平均每天盈利1200元；
（3）要想平均每天盈利2000元，可能嗎？請說明理由．
23．（10分）已知：如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．當P、Q兩點中有一點到達終點，則同時停止運動．
（1）如果P，Q分別從A，B同時出發，那么______秒后，PQ的長度等于cm？
（2）如果P，Q分別從A，B同時出發，那么幾秒后，△PBQ的面積等于？
（3）幾秒后△PBQ與△ABC相似？
24．（12分）華東師大版九年級上冊數學課本67頁有這樣一道練習題：
如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．找出圖中所有的相似三角形，并說明理由．
（1）動手實踐：張老師在上課時，發現這道題是個很好的素材，可以幫助同學們回憶基本尺規作圖：“過直線外一點作已知直線的垂線”，據此可以作AB邊上的高，于是發動同學們在練習本上進行作圖．現在請你利用尺規作圖作AB邊上的高（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）獨立思考：請寫圖中所有的相似三角形：______；
（3）習題反思：愛思考的小明利用探究出來的相似三角形，可以寫出下列三個結論：
①，②，③．
（Ⅰ）請你按照小明的思路，選擇①、②、③中的一個進行證明；
（Ⅱ）小亮研究“小明的發現”時，又驚喜地發現：竟然可以利用“它”來證明“勾股定理”，請你按照小亮的思路完成這個證明．
榆樹市2024—2025學年度第一學期期中質量監測九年級數學
參考答案
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．B；2．D；3．A；4．D；5．B；6．B；7．A；8．D．
二、填空題（每小題3分，共18分）
9．；10．2；11．9；12．；13．1m；
14．（0，3）或或（4，0）．
三、解答題：（本大題共10小題，共78分）
15．解：原式．（5分）
16．解：，，
∴，，
∴，．（6分）
17．解：（1）如圖②，△DFE為所作；（3分）
（2）如圖③，為所作．（6分）
18．（1）證明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，（1分）
∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，（2分）
∴∠C＝∠DBE，（3分）
∴△ABC∽△DEB；（4分）
（2）解：∵△ABC∽△DEB，∴，（5分）
∴，（6分）
∴BD＝3．（7分）
19．解：（1）根據一元二次方程的定義可得，（2分）
解得m＝1；（3分）
（2）當m＝1時，方程為，
兩邊同除以2得：，
配方，得：，
即：，
直接開平方，得：，
解得，．（7分）
20．解：由題意，得：AH⊥HG，CB⊥HG，∴BC∥HA，∴△AHF∽△CBF，（1分）
∴，（2分）
同理，△EDG∽△AHG，，（3分）
又∵BC＝DE＝3米，∴，（4分）
∵BF＝5米，BD＝19米，DG＝6米，∴HF＝HB＋BF＝HB＋5．
∴HG＝HB＋BD＋DG＝HB＋19＋6＝HB＋25．
，（6分）
解得：HB＝95，
，（7分）
解得：AH＝60．
答：該建筑物的高度AH為60米．（8分）
21．解：（1）；．（2分）
（2）由題可知：．（4分）
（3）利用第2小問結論得，
原式；
；
；
；
．（8分）
22．解：（1）（20＋2x）；（40－x）；（2分）
（2）根據題意，得：（20＋2x）（40－x）＝1200，解得：，，
∵要擴大銷售量，∴x＝20，（5分）
答：每件童裝降價20元，平均每天盈利1200元；
（3）不能，理由如下：
（20＋2x）（40－x）＝2000，整理，得：，
∵，∴此方程無實數根，
故不可能做到平均每天盈利2000元．（9分）
23．解：（1）3；（3分）
（2）設經過x秒以后，△PBQ面積為（0＜x≤3.5），
此時AP＝xcm，BP＝（5－x）cm，BQ＝2xcm，
由，得，整理得：，
解得：x＝1或x＝4（舍）；（6分）
答：1秒后△PBQ的面積等于；
（3）當△PBQ∽△ABC時，，∴，解得，；
當△QBP∽△ABC時，，∴，解得，，
綜上，s或s后△PBQ與△ABC相似．（10分）
24．（1）解：圖形如圖所示：（3分）
（2）△ADC∽△CDB；△ADC∽△ACB；△CDB∽△ACB；（6分）
（3）（Ⅰ）證明：∵△ACD∽△CBD，∴，
∴．（9分）
（Ⅱ）證明：∵，，
∴．
∴．（12分）
備注：1．采用本參考答案以外的解法，只要正確均按步驟給分．
2．以上答案如有問題請自行更正！

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