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第3講 線段的垂直平分線
專題一 線段垂直平分線的性質
【知識點】
1. 線段的垂直平分線
線段中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，到線段兩端點距離相等的點在線段的中垂線上.
方法技巧：出現線段垂直平分線時，往往在線段垂直平分線上利用已知點(或構造點) 與線段兩端連線，得到相等線段構成等腰三角形.
2. 中垂線圖
如圖所示, C是△ABP的邊AB上一點, ①AP=BP, ②AC=BC, ③PC⊥AB.
①②③中任意兩個結論都可以推出第三個結論.
題型1 應用中垂線的性質求線段的長或角的度數
【例1】如圖,△ABC中, ∠B=22.5°, ∠C=60°, AB的垂直平分線交 BC 于點 D. 交 AB于點 F, 于點E, 求EC的長.
【分析】連接AD, 利用DF 垂直平分線AB, 得到AD=BD.
因為AE⊥BC, 得到Rt△ADE和Rt△ACE. 利用勾股定理可求EC的長.
舉一反三。
1. 如圖, 在 中， 點 D是BC的中點,. 交AC于點 E, 的角平分線BF交DE于點P, 連接PC.
(1) 若 求 的度數；
(2) 若 請寫出m，n滿足的關系式.
題型2 應用中垂線的性質證明線段相等或角相等
【例2】如圖，已知線段AB垂直平分線段CD于點O，點 F在AB的垂直平分線上， 于點 E,
(1) 求證:
(2) AF交CD于點M, FD交AB 于點 N, 求證: .
【分析】(1) 45°角一般是構造等腰直角三角形來解決，本題證明. 為等腰直角三角形即可；
(2) 用截長補短法證明.
舉一反三。
2. 如圖, 在 中. 點O為AB的中點, M, N分別在直線AC, BC上, 且
(1) 如圖1, 若 M在AC上, N在BC上, 求證:
(2)如圖2, 若點M在AC上, 點N在BC的延長線上, 試探究: CN, MN, AM之間的數量關系.
題型3 證明直線是某條線段的垂直平分線
【例3】如圖, 在 中， D 為 BC的中點, 于點E, BF∥AC交CE的延長線于點 F.
求證: AB垂直平分DF.
【分析】證明AB 垂直平分 DF 的關鍵是證明. 由于 ，故需證明 進而可以證明
舉一反三。
3. 如圖, 在 中， 點O為BC的中點，點D為 外一點， 過點O作AD的垂線交DC于點 N，交BD的延長線于點 M.
求證：AD為MN的垂直平分線.

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