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專題三 構(gòu)造等腰三角形
【知識點(diǎn)】
實(shí)際解題中的一個常用技巧是構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，常用的構(gòu)造方法有：
(1) “角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形：(2) “角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形：(3)用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；(4) 用“三角形中角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形.
【典例精講】
題型1 作平行線構(gòu)造等腰三角形
【例1】如圖,在△ABC中, ∠ABC=∠ACB, D為AB 上一點(diǎn), E為AC 延長線上一點(diǎn), 且 BD=CE,連DE交BC于F. 求證: DF=EF.
【分析】要證DF=EF，考慮證DF和EF所在三角形全等，但只具備一個角的條件，另有一邊相等，一角互補(bǔ)，則可作平行構(gòu)等腰，將互補(bǔ)角轉(zhuǎn)化為相等角，從而得到AAS的全等條件.
舉一反三。
1. 如圖, 在 中， P , Q兩點(diǎn)分別在BC, CA上, 并且AP, BQ分別是 的角平分線. 求證：
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題型2 中線倍長構(gòu)造等腰三角形
【例2】如圖, AD為△ABC的中線, E為AB上一點(diǎn), AD, CE交于點(diǎn)F, 且AB=CF, 過點(diǎn)E作AF的垂線交AC于點(diǎn)P, 求證: AP=PF.
【分析】因EP⊥AF, 故可將證AP=PF轉(zhuǎn)化為去證AE=EF即可. 故倍長中線AD到點(diǎn)G, 使DG=AD, 連接CG, 證△GCD≌△ABD, 得CG=AB=CF, 再通過角度轉(zhuǎn)化可得AE=EF.
舉一反三。
2. 如圖, AB∥CD,BD與AC交于點(diǎn)E, DO平分∠CDE. 若點(diǎn)O為AC的中點(diǎn), 試探究線段CD, AB,BD間的數(shù)量關(guān)系.
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題型3 利用∠α=2∠β構(gòu)造等腰三角形
【例3】如圖,△ABC中, ∠BAC=2∠C, BD為△ABC的角平分線, BC=6, AB=3.5, 求AD的長.
【分析】構(gòu)造對稱型全等, 在BC上截取BE=BA, 可證∠BED=∠A=2∠C, 得EC=ED=AD, 故求AD的長就轉(zhuǎn)化為求CE的長.
舉一反三。
3. 如圖, E為△ABC內(nèi)部一點(diǎn), AE的延長線交 BC于點(diǎn)D, 連接BE, CE, ∠BED=∠BAC=2∠DEC,AC=AB. 探究BE, AE的數(shù)量關(guān)系, 并說明理由.
題型4 截長補(bǔ)短構(gòu)造等腰三角形
【例4】如圖, 中， CD 平分 交AB于點(diǎn)D, E為BC上一點(diǎn), BE 求證：
【分析】先利用角平分線CD構(gòu)造對稱型全等，再通過計(jì)算角度證
舉一反三。
4. 如圖, 中， 于點(diǎn)D, 試探究 BC, BD, AD之間的關(guān)系.
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題型5 方程思想解決幾何問題
【例5】如圖, 已知在△ABC中, ∠C=90°, AC=BC=4, 點(diǎn)M 是邊AC上一動點(diǎn)(與點(diǎn)A, C不重合), 點(diǎn)N在邊 CB的延長線上, 且AM=BN, 連接MN交邊AB于點(diǎn)P.
(1) 求證: MP=NP;
(2) 若設(shè)AM-x, BP-y, 求y與x之間的關(guān)系式;
(3) 當(dāng)△BPN是等腰三角形時, 求AM的長.
【分析】(1) 過點(diǎn)M作MD∥BC交AB于點(diǎn)D, 求出 DM=BN, 證△MDP≌△NBP即可;(2) 求出AB, 根據(jù)△MDP≌△NBP推出DP=BP, 推出方程 即可: (3) 求出BP=BN, 所得方程的解即可.
舉一反三。
5. 如圖, 在△ABC中, AB=20cm, AC=12cm, 點(diǎn)P從點(diǎn) B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動, 點(diǎn)Q從點(diǎn)A 同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另 一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，當(dāng)△APQ是等腰三角形時，求運(yùn)動的時間.
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