資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
新人教版七年級數(shù)學(xué)上名師點撥與訓(xùn)練
第4章 整式的加減 小結(jié)與復(fù)習(xí)
一、知識梳理
二、知識點解析
（一）整式的相關(guān)概念
1 .單項式的概念
單項式：數(shù)或字母的積
注：①分母中有字母，那就是字母的商，不是單項式
②“或” 單獨的一個數(shù)字或單獨一個字母也稱為單項式
例：5x；100；x；10ab等
系數(shù)：單項式中的數(shù)字叫做單項式的系數(shù)
單項式的次數(shù)：一個單項式中所有字母的指數(shù)的和
2 .多項式的有關(guān)概念
多項式：幾個單項式的和 注：和，即減單項式，實際是加該單項式的負數(shù)
項：每個單項式叫做多項式的項，有幾項，就叫做幾項式
常數(shù)項：不含字母的項
多項式的次數(shù)：所有項中，次數(shù)最高的項的次數(shù)就是多項式的次數(shù)（最高次數(shù)是n次，就叫做n次式
3 .整式的概念
整式：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。
提示：①多項式是由多個單項式構(gòu)成的；
②單項式和多項式的區(qū)別在于是否含有加減運算；
③分母中含有字母的式子不是整式（因不是單項式或多項式）
（二）整式的加減運算
1.同類項的概念
同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項（即僅系數(shù)不同或系數(shù)也相同的項
2.合并同類項
同類項合并的計算方法：系數(shù)對應(yīng)向加減，字母及指數(shù)不變。
3.去括號法則
（1）括號前是“+”，去括號后，括號內(nèi)的符號不變
（2）括號前是“-”，去括號后，括號內(nèi)的符號全部要變號。
（3）括號前有系數(shù)的，去括號后，括號內(nèi)所有因素都要乘此系數(shù)
4.整式的加減
整式的加減運算實際就是合并同類項的過程，具體步驟為：
①將同類項找出，并置與一起；
②合并同類項。
三、題型訓(xùn)練與方法點撥
題型1. 單項式的系數(shù)、次數(shù)及系數(shù)次數(shù)形成的規(guī)律題
例1．觀察下列關(guān)于的單項式：，，，，
(1)直接寫出第個單項式：___________；
(2)第個單項式的系數(shù)和次數(shù)分別是多少？
(3)系數(shù)的絕對值為的單項式的次數(shù)是多少？
針對訓(xùn)練1
1．單項式的系數(shù)是 ，次數(shù)是 ．
2．【觀察與發(fā)現(xiàn)】
，，，，，，，
(1)直接寫出：第7個單項式是 ；第8個單項式是 ；
(2)第大于0的整數(shù)）個單項式是什么？并指出它的系數(shù)和次數(shù)．
3．已知是關(guān)于x，y的七次單項式，求的值．
題型2. 多項式的項、次數(shù)、升（降）冪排列
例2-1．如果是關(guān)于x、y的三次二項式，則 ．
例2-2．已知關(guān)于x、y的整式中不含三次項，求a、b的值，并將整式按y的升冪排列．
針對訓(xùn)練2
1．多項式中次數(shù)最高的項是 ．
2．若多項式是四次三項式，則 ．
3．整式按x的降冪排列為 ．
4．把多項式按字母y升冪排列后，第三項是 ．
題型3. 整式的概念、數(shù)字、圖形規(guī)律
例3-1．下列代數(shù)式中，整式共有（ ）
①；②；③；④．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
例3-2．下圖是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長相同的小正方形組成，其中一部分小正方形被涂黑，依此規(guī)律，第2023個圖案中被涂黑的小正方形個數(shù)為（ ）
A．10100 B．10097 C．8080 D．8093
針對訓(xùn)練3
1．下列敘述正確的是（ ）
A．是整式 B．是二次四項式
C．的各項系數(shù)都是 D．的常數(shù)項是
2．下列說法中錯誤的是（ ）
A．單項式是整式 B．是三次三項式
C．多項式的常數(shù)項是 D．多項式的常數(shù)項是
3．觀察下列兩行數(shù)：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…．
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…．
（1）第2行數(shù)中第n個數(shù)是 ；（用含n的代數(shù)式表示）
（2）探索以上兩行數(shù)發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1，第2個相同的數(shù)是7，…，則第m個相同的數(shù)是 （用含m的代數(shù)式表示）．
4．如圖是一組有規(guī)律的圖案，第個圖案山個▲組成，第個圖案山個▲組成，第個圖案由個▲組成，第個圖案由個▲組成，第個圖案由 個▲組成，…第個圖案由 個▲組成．
題型4. 同類項及合并同類項
例4-1．下列各組單項式中，不是同類項的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
例4-2．如果單項式與的和是單項式，那么的值為（ ）
A．22024 B．0 C．1 D．
針對訓(xùn)練4
1．若單項式 與 的差仍是單項式，則m的值為 ．
2．若單項式與的和是單項式，則 ．
3．已知單項式與單項式是同類項，c是多項式的次數(shù)．
(1) ， ， ；
(2)若關(guān)于x的二次三項式的值是3，求代數(shù)式的值．
4．合并同類項：
(1)．
(2)．
題型5. 去括號與添括號
例5-1．下列去括號正確的是（　　）
A． B．
C． D．
例5-2．下列添括號正確的是（　　）
A． B．
C． D．
針對訓(xùn)練5
1．下列去括號中正確的（　　）
A． B．
C． D．
2．按要求把多項式添上括號．
(1)把后三項括到前面帶有“-”號的括號里；
(2)把四次項括到前面帶有“+”號的括號里，把二次項括到前面帶有“-”號的括號里．
3．去括號：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
題型6. 整式的加減
例6．化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
針對訓(xùn)練6
1．化簡：
(1)
(2)
2．已知關(guān)于x的多項式A，B，其中，（m，n為有理數(shù)）．
(1)化簡；
(2)若的結(jié)果不含x項和項，求的值．
3．已知兩個整式A和B，，．
(1)請化簡；
(2)若，，則的值為多少？
4．有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．
(1)a 0， 0， 0， 0；
(2)化簡．
5．小亮準(zhǔn)備完成題目“化簡：”時，發(fā)現(xiàn)系數(shù)“▲”印刷不清楚．
(1)小亮猜“▲”是3，請你化簡：．
(2)小亮的老師說：“你猜錯了，我看到這道題標(biāo)準(zhǔn)答案的化簡結(jié)果是一個固定的數(shù)．”那么原題中的“▲”是幾？
題型7 整式的化簡求值
例7．已知，．
(1)求；
(2)若，求的值．
針對訓(xùn)練7
1．若關(guān)于的多項式化簡后不含項，則
2．先化簡后求值：，其中．
3．下面是小樂同學(xué)進行整式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
解：
…第一步
…第二步
．…第三步
任務(wù)1：填空：
①以上化簡步驟中，第一步依據(jù)的運算律是______；
②以上化簡步驟中，第______步開始出現(xiàn)錯誤，具體錯誤是______；
任務(wù)2：請直接寫出該整式正確的化簡結(jié)果，并計算當(dāng)，時該整式的值．
4．先化簡，再求值：，其中．
5．已知多項式，．
(1)求的值；
(2)若的值與的取值無關(guān)，求的值．
題型8. 整式的加減的應(yīng)用
例8．如圖，長為，寬為的大長方形被分割為小塊，除陰影，外，其余6塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短一邊長為．
(1)由圖可知，每個小長方形較長的一邊長是 （用含的式子表示），陰影部分的較短的邊長是 （用含、的式子表示）
(2)當(dāng)時，求圖中兩塊陰影，的周長和．
針對訓(xùn)練8
1．如圖是一塊長方形花園，內(nèi)部修有兩個涼亭及過道，其余部分種植花圃（陰影部分）．
(1)用整式表示花圃的面積；
(2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需費用．
2．某超市在春節(jié)期間對顧客實行優(yōu)惠，規(guī)定如下：
一次性購物 優(yōu)惠辦法
低于200元 不予優(yōu)惠
低于元但不低于200元 九折優(yōu)惠
元或超過元 其中不超過元部分給予九折優(yōu)惠，超過元部分給予八折優(yōu)惠
(1)若王老師一次性購物400元，則他實際付款______元；若一次性購物元，則他實際付款______元．
(2)若顧客在該超市一次性購物x元，當(dāng)x小于元但不小于200時，他實際付款______元；當(dāng)x大于或等于時，他實際付款______（用含x的式子表示）
(3)如果王老師兩次購物的貨款合計元，第一次購物的貨款為a元（），用含a的代數(shù)式表示王老師兩次購物實際付款的錢數(shù)．
3．按照“雙減”政策，豐富課后托管服務(wù)內(nèi)容，學(xué)校準(zhǔn)備訂購一批籃球和跳繩，經(jīng)過市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)籃球每個定價120元，跳繩每條定價20元．某體育用品商店提供A、B兩種優(yōu)惠方案：
A方案：買一個籃球送一條跳繩；
B方案：籃球和跳繩都按定價的付款．
已知要購買籃球50個，跳繩x條（）．
(1)若按A方案購買，一共需付款 元；（用含x的代數(shù)式表示），若按B方案購買，一共需付款 元；（用含x的代數(shù)式表示）
(2)當(dāng)時，請通過計算說明此時用哪種方案購買較為合算？
(3)當(dāng)時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？請寫出你的購買方案，并計算需付款多少元？
4．為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控手段達到節(jié)水的目的，該市自來水收費標(biāo)準(zhǔn)（按月結(jié)算）如表所示：
每月用水量 單價
不超出的部分 2元
超出不超出的部分 4元
超出的部分 8元
例如：若某戶居民1月份用水，則應(yīng)收水費：（元）．
(1)若該戶居民2月份用水，則應(yīng)收水費 　　元．
(2)若該戶居民3月份用水（其中），則應(yīng)收水費多少元？（用含a的整式表示，并化簡）
(3)若該戶居民4月份用水，4、5兩個月共用水，且5月份用水超過4月份，請用含x的整式表示4、5兩個月共交的水費多少元？
新人教版七年級數(shù)學(xué)上名師點撥與訓(xùn)練
第4章 整式的加減 小結(jié)與復(fù)習(xí)
一、知識梳理
二、知識點解析
（一）整式的相關(guān)概念
1 .單項式的概念
單項式：數(shù)或字母的積
注：①分母中有字母，那就是字母的商，不是單項式
②“或” 單獨的一個數(shù)字或單獨一個字母也稱為單項式
例：5x；100；x；10ab等
系數(shù)：單項式中的數(shù)字叫做單項式的系數(shù)
單項式的次數(shù)：一個單項式中所有字母的指數(shù)的和
2 .多項式的有關(guān)概念
多項式：幾個單項式的和 注：和，即減單項式，實際是加該單項式的負數(shù)
項：每個單項式叫做多項式的項，有幾項，就叫做幾項式
常數(shù)項：不含字母的項
多項式的次數(shù)：所有項中，次數(shù)最高的項的次數(shù)就是多項式的次數(shù)（最高次數(shù)是n次，就叫做n次式
3 .整式的概念
整式：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。
提示：①多項式是由多個單項式構(gòu)成的；
②單項式和多項式的區(qū)別在于是否含有加減運算；
③分母中含有字母的式子不是整式（因不是單項式或多項式）
（二）整式的加減運算
1.同類項的概念
同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項（即僅系數(shù)不同或系數(shù)也相同的項
2.合并同類項
同類項合并的計算方法：系數(shù)對應(yīng)向加減，字母及指數(shù)不變。
3.去括號法則
（1）括號前是“+”，去括號后，括號內(nèi)的符號不變
（2）括號前是“-”，去括號后，括號內(nèi)的符號全部要變號。
（3）括號前有系數(shù)的，去括號后，括號內(nèi)所有因素都要乘此系數(shù)
4.整式的加減
整式的加減運算實際就是合并同類項的過程，具體步驟為：
①將同類項找出，并置與一起；
②合并同類項。
三、題型訓(xùn)練與方法點撥
題型1. 單項式的系數(shù)、次數(shù)及系數(shù)次數(shù)形成的規(guī)律題
例1．觀察下列關(guān)于的單項式：，，，，
(1)直接寫出第個單項式：___________；
(2)第個單項式的系數(shù)和次數(shù)分別是多少？
(3)系數(shù)的絕對值為的單項式的次數(shù)是多少？
【答案】(1)
(2)系數(shù)是，次數(shù)是
(3)
【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的單項式，探索出單項式的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)所給的式子，直接寫出即可；
（2）通過觀察可得第個單項式為，當(dāng)時，即可求解；
（3）由題意可得，求出，再由（2）的規(guī)律求解即可．
【詳解】（1）解：第5個單項式為，
故答案為：；
（2）解：，，，，
第個單項式為，
第20個單項式為，
第20個單項式的系數(shù)是，次數(shù)是41；
（3）解：系數(shù)的絕對值為2025，
∴
，
次數(shù)為．
針對訓(xùn)練1
1．單項式的系數(shù)是 ，次數(shù)是 ．
【答案】 3
【分析】此題主要考查了單項式，直接利用單項式的次數(shù)與系數(shù)的概念分析得出即可，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：單項式的系數(shù)是，次數(shù)是3，
故答案為：，3．
2．【觀察與發(fā)現(xiàn)】
，，，，，，，
(1)直接寫出：第7個單項式是 ；第8個單項式是 ；
(2)第大于0的整數(shù)）個單項式是什么？并指出它的系數(shù)和次數(shù)．
【答案】(1)，
(2)第個單項式為：，它的系數(shù)為：，次數(shù)為：
【分析】本題是以單項式為背景的規(guī)律題目，確定單項式的系數(shù)規(guī)律、字母指數(shù)規(guī)律是解題關(guān)鍵．
（1）觀察單項式的系數(shù)、字母指數(shù)，即可求解；
（2）根據(jù)題意可得出通用規(guī)律，即可求解．
【詳解】（1）由題意可知：
單項式的系數(shù)依次為：1，，5，，9，，，，
x的指數(shù)都是2，的指數(shù)依次為：1，2，3，4，5，6，，，
故第7個單項式是：，
第8個單項式是：．
故答案為：，；
（2）由（1）可得出第個單項式為：，它的系數(shù)為：，次數(shù)為：．
3．已知是關(guān)于x，y的七次單項式，求的值．
【答案】5或29
【分析】此題主要考查了單項式，直接利用單項式的系數(shù)和次數(shù)得出關(guān)于m的方程，得出m的值代入計算即可得出答案．
【詳解】解：∵是關(guān)于，的七次單項式，
∴且，
解得：，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
∴的值是5或29．
題型2. 多項式的項、次數(shù)、升（降）冪排列
例2-1．如果是關(guān)于x、y的三次二項式，則 ．
【答案】5
【分析】本題考查了多項式，熟練掌握多項式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多項式的定義可得：，然后進行計算即可解答．
【詳解】解：∵是關(guān)于x、y的三次二項式，
∴，
解得：，
故答案為：5．
例2-2．已知關(guān)于x、y的整式中不含三次項，求a、b的值，并將整式按y的升冪排列．
【答案】，，
【分析】本題考查多項式的項的定義，升冪排列的定義，排列多項式各項時，要保持其原有的符號．根據(jù)多項式的定義，升冪排列的定義，解答即可．
【詳解】解：原式
，
∵原式不含三次項，
∴，，
∴，，
∴原式
針對訓(xùn)練2
1．多項式中次數(shù)最高的項是 ．
【答案】
【分析】本題考查了單項式和多項式次數(shù)的概念，根據(jù)單項式和多項式次數(shù)的定義，求得每個項的次數(shù)，進而即可求解，解題的關(guān)鍵是掌握單項式和多項式次數(shù)的概念，單項式次數(shù)為所有字母的指數(shù)和，多項式的次數(shù)是次數(shù)最高項的單項式的次數(shù)．
【詳解】解：多項式每項的次數(shù)分別為，，，
∴次數(shù)最高的項為，
故答案為：．
2．若多項式是四次三項式，則 ．
【答案】
【分析】本題考查多項式的定義，根據(jù)多項式是四次三項式可知，，可得、的值，即可得解．掌握多項式的定義是解題的關(guān)鍵．也考查了求代數(shù)式的值．
【詳解】解：∵多項式是四次三項式，
∴，，
∴，，
∴．
故答案為：．
3．整式按x的降冪排列為 ．
【答案】
【分析】本題考查了多項式降冪排列的定義．按字母的指數(shù)從大到小排列即可．
【詳解】解：整式按x的降冪排列為，
故答案為：．
4．把多項式按字母y升冪排列后，第三項是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查多項式，，把中各項字母y的指數(shù)從小到大順序的排列，即可得解．
【詳解】解：多項式按字母y升冪排列后為 ，
故第三項是，
故答案為：．
題型3. 整式的概念、數(shù)字、圖形規(guī)律
例3-1．下列代數(shù)式中，整式共有（ ）
①；②；③；④．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查整式的概念，熟記整式的概念，區(qū)分整式和分式是解題的關(guān)鍵．單項式和多項式統(tǒng)稱為整式，整式和分式區(qū)別在于分母中是否有字母，逐一判斷即可．
【詳解】解：①是多項式，所以①也是整式；
②是多項式，所以②也是整式；
③是單項式，即③也是整式；
④中分母中有字母，是分式，所以④不是整式；
所以整式有3個．
故選C．
例3-2．下圖是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長相同的小正方形組成，其中一部分小正方形被涂黑，依此規(guī)律，第2023個圖案中被涂黑的小正方形個數(shù)為（ ）
A．10100 B．10097 C．8080 D．8093
【答案】D
【分析】本題是對圖形變化規(guī)律的探究．觀察不難發(fā)現(xiàn)，第一個圖案是大正方形內(nèi)涂有陰影的正方形有5個，第二個圖案是兩個這樣的打正方形，但需減去重合的一個涂有陰影的小正方形，依次觀察可以寫出第個圖案的涂有陰影的小正方形的個數(shù)，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：由圖可得，
第1個圖案涂有陰影的小正方形的個數(shù)為5，
第2個圖案涂有陰影的小正方形的個數(shù)為，
第3個圖案涂有陰影的小正方形的個數(shù)為，
，
第個圖案涂有陰影的小正方形的個數(shù)為，
當(dāng)時，，
即第2023個圖案中有8093個涂有陰影的小正方形，
故選：D．
針對訓(xùn)練3
1．下列敘述正確的是（ ）
A．是整式 B．是二次四項式
C．的各項系數(shù)都是 D．的常數(shù)項是
【答案】D
【分析】本題考查了單項式與多項式的基本概念，在單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)；在多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)；掌握單項式與多項式的基本概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)單項式與多項式的基本概念進行判斷即可．
【詳解】解：A、不是整式，原說法錯誤，不符合題意；
B、是三次四項式，原說法錯誤，不符合題意；
C、，各項系數(shù)分別為和，原說法錯誤，不符合題意；
D、的常數(shù)項是，
故選：D．
2．下列說法中錯誤的是（ ）
A．單項式是整式 B．是三次三項式
C．多項式的常數(shù)項是 D．多項式的常數(shù)項是
【答案】C
【分析】根據(jù)整式的基本概念，解答即可．
本題考查了整式的基本概念，正確理解單項式，多項式的基本概念是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A. 單項式是整式，正確，不符合題意；
B. 是三次三項式，正確，不符合題意；
C. 多項式的常數(shù)項是，錯誤，符合題意；
D. 多項式的常數(shù)項是，正確，不符合題意；
故選C．
3．觀察下列兩行數(shù)：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…．
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…．
（1）第2行數(shù)中第n個數(shù)是 ；（用含n的代數(shù)式表示）
（2）探索以上兩行數(shù)發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1，第2個相同的數(shù)是7，…，則第m個相同的數(shù)是 （用含m的代數(shù)式表示）．
【答案】
【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察探索出每行數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）后一個數(shù)比前一個數(shù)多3，由此可得第個數(shù)是；
（2）通過觀察發(fā)現(xiàn)，第個相同的數(shù)是，即可．
【詳解】解：（1），4，7，10，13，16，19，22，25，，
第個數(shù)是，
故答案為：；
（2）第1個相同的數(shù)是，
第2個相同的數(shù)是，
第3個相同的數(shù)是，
第個相同的數(shù)是，
故答案為：．
4．如圖是一組有規(guī)律的圖案，第個圖案山個▲組成，第個圖案山個▲組成，第個圖案由個▲組成，第個圖案由個▲組成，第個圖案由 個▲組成，…第個圖案由 個▲組成．
【答案】
【分析】此題考查規(guī)律型：圖形的變化類，解題關(guān)鍵在于找到規(guī)律，仔細觀察圖形結(jié)合每個圖案的三角形的個數(shù)與圖形的序列數(shù)之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)圖形的變化規(guī)律利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求解即可．
【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)：
第個圖案由個▲組成；
第個圖案由個▲組成；
第個圖案由個▲組成；
第個圖案由個▲組成；
∴第個圖案由個▲組成；
……
∴第個圖案有個▲組成；
當(dāng)時，，
故答案為：，．
題型4. 同類項及合并同類項
例4-1．下列各組單項式中，不是同類項的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】C
【分析】本題主要考查了同類項．根據(jù)同類項的定義進行求解即可：如果兩個單項式所含的字母相同，相同字母的指數(shù)也相同，那么這兩個單項式就叫做同類項．
【詳解】解：A、與是同類項，本選項不符合題意；
B、與是同類項，本選項不符合題意；
C、與所含的字母相同，但是相同字母的指數(shù)不同，不是同類項，本選項符合題意；
D、與是同類項，本選項不符合題意；
故選：C．
例4-2．如果單項式與的和是單項式，那么的值為（ ）
A．22024 B．0 C．1 D．
【答案】C
【分析】本題考查同類項的定義．由題意推出與是同類項，再根據(jù)同類項的定義“所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同”列式計算即可求解．
【詳解】解：由題意得：與是同類項，
∴，，
∴，，
∴．
故選：C．
針對訓(xùn)練4
1．若單項式 與 的差仍是單項式，則m的值為 ．
【答案】3
【分析】本題考查了合并同類項和單項式，根據(jù)如果兩個單項式，他們所含的字母相同，并且相同字母的次數(shù)也分別相同，那么就稱這兩個單項式為同類項．得出，即可求解．
【詳解】解：∵單項式 與 的差仍是單項式，
∴， 解得，
故答案為：3．
2．若單項式與的和是單項式，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了同類項，根據(jù)同類項的定義即可求解，掌握同類項的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵單項式與的和是單項式，
∴單項式與是同類項，
∴，
∴，
故答案為：．
3．已知單項式與單項式是同類項，c是多項式的次數(shù)．
(1) ， ， ；
(2)若關(guān)于x的二次三項式的值是3，求代數(shù)式的值．
【答案】(1)1，3，2
(2)2022
【分析】此題考查同類項的定義，多項式的次數(shù)的定義，已知代數(shù)式的值求整式的值，根據(jù)同類項的定義，多項式的次數(shù)的定義列式計算是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)同類項的定義可得，根據(jù)多項式的次數(shù)的定義可得，即可求出a，b，c的值；
（2）先求出，再整體代入變形后的代數(shù)式即可．
【詳解】（1）解：單項式與單項式是同類項，
，
解得，
c是多項式的次數(shù)，
，
故答案為：；
（2）解：由（1）可得：，
，
，
代數(shù)式的值為．
4．合并同類項：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查合并同類項，熟練掌握合并同類項法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)合并同類項法則計算即可；
（2）根據(jù)合并同類項法則計算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
題型5. 去括號與添括號
例5-1．下列去括號正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了去括號，解題的關(guān)鍵是掌握去括號法則．根據(jù)去括號法則逐個判斷即可．
【詳解】解：，故A不正確，不符合題意，B正確，符合題意；
，故C不正確，不符合題意；
，故D不正確，不符合題意；
故選：B．
例5-2．下列添括號正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了添括號的知識，熟練掌握添括號法則是解題關(guān)鍵．添括號時，若括號前是“”，添括號后，括號里的各項都不改變符號；若括號前是“”，添括號后，括號里的各項都改變符號．根據(jù)添括號法則逐項分析判斷即可．
【詳解】解∶∵，
∴選項A、B、D運算錯誤，不符合題意，
選項C運算正確，符合題意．
故選：C．
針對訓(xùn)練5
1．下列去括號中正確的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)去括號法則分別對每一項進行分析，即可得出答案．本題考查去括號的方法：去括號時，運用乘法的分配律，先把括號前的數(shù)字與括號里各項相乘，再運用括號前是“”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“”，去括號后，括號里的各項都改變符號．
【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；
B、，故本選項不符合題意；
C、，故本選項符合題意；
D、，故本選項不符合題意；
故選：C．
2．按要求把多項式添上括號．
(1)把后三項括到前面帶有“-”號的括號里；
(2)把四次項括到前面帶有“+”號的括號里，把二次項括到前面帶有“-”號的括號里．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題考查的是去括號與添括號，熟知添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號，如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號是解題的關(guān)鍵．根據(jù)添括號的法則進行解答即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：．
3．去括號：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】本題考查去括號法則，要注意括號前是負號，去括號時要各項改號．利用去括號法則即可求出答案．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
題型6. 整式的加減
例6．化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了整式的加減，熟練掌握整式的加減是解題的關(guān)鍵．
（1）先去括號，然后合并同類項即可；
（2）先去括號，然后合并同類項即可；
（3）先去括號，然后合并同類項即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
針對訓(xùn)練6
1．化簡：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了整式的加減計算：熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
（1）先去括號，然后合并同類項即可得到答案；
（2）先去括號，然后合并同類項即可得到答案．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．已知關(guān)于x的多項式A，B，其中，（m，n為有理數(shù)）．
(1)化簡；
(2)若的結(jié)果不含x項和項，求的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根據(jù)整式的減法運算法則求解即可．
（2）令x項和項的系數(shù)為零列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：由（1）可知
∵的結(jié)果不含x項和項，
∴
∴
∴
【點睛】本題考查整式的加減運算以及不含某項的問題，數(shù)量掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
3．已知兩個整式A和B，，．
(1)請化簡；
(2)若，，則的值為多少？
【答案】(1)
(2)17
【分析】本題考查的是整式的加減運算中的化簡求值；熟記去括號，合并同類項的法則是解本題的關(guān)鍵．
（1）先去括號，再合并同類項，即可得到答案；
（2）把，代入化簡后的代數(shù)式進行計算即可．
【詳解】（1）∵，
∴
；
（2）∵，，
∴．
4．有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．
(1)a 0， 0， 0， 0；
(2)化簡．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查利用數(shù)軸判斷式子的符號，化簡絕對值：
（1）根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，判斷即可；
（2）根據(jù)式子的符號和絕對值的意義，化簡絕對值即可．
【詳解】（1）解：由圖可知：，
∴，，，，
∴，
故答案為：；
（2）由數(shù)軸可知：，
∴原式．
5．小亮準(zhǔn)備完成題目“化簡：”時，發(fā)現(xiàn)系數(shù)“▲”印刷不清楚．
(1)小亮猜“▲”是3，請你化簡：．
(2)小亮的老師說：“你猜錯了，我看到這道題標(biāo)準(zhǔn)答案的化簡結(jié)果是一個固定的數(shù)．”那么原題中的“▲”是幾？
【答案】(1)．
(2)5．
【分析】本題主要考查了整式加減的不含與無關(guān)型問題，理解整式的特征是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)整式減法的運算直接計算即可；
（2）根據(jù)結(jié)果是常數(shù)進行化簡整理即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）
；
（2）
∵化簡結(jié)果是一個固定的數(shù)
∴，解得：
題型7 整式的化簡求值
例7．已知，．
(1)求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，非負數(shù)的性質(zhì)：
（1）先去括號，然后合并同類項化簡即可；
（2）先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)（1）所求代值計算即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
針對訓(xùn)練7
1．若關(guān)于的多項式化簡后不含項，則
【答案】4
【分析】本題主要考查整式的混合運算，根據(jù)題意，先去括號，再合并同類項，根據(jù)不含項，則該項的系數(shù)為零，由此即可求解．
【詳解】解：
由題意知，，
解得，，
故答案為：．
2．先化簡后求值：，其中．
【答案】
【分析】本題主要考查整式的加減混合運算，先去括號，再合并同類項，代入求值即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)時，原式．
3．下面是小樂同學(xué)進行整式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
解：
…第一步
…第二步
．…第三步
任務(wù)1：填空：
①以上化簡步驟中，第一步依據(jù)的運算律是______；
②以上化簡步驟中，第______步開始出現(xiàn)錯誤，具體錯誤是______；
任務(wù)2：請直接寫出該整式正確的化簡結(jié)果，并計算當(dāng)，時該整式的值．
【答案】任務(wù)1：①乘法分配律
②二；去括號時，括號前面是“－”號，括號內(nèi)的第二項沒有變號．
任務(wù)2：，13
【分析】本題考查了整式的加減運算，熟練掌握去括號以及合并同類項法則是解題的關(guān)鍵，任務(wù)1：①觀察第一步變形的過程，確定出依據(jù)即可；②找出出錯的步驟，分析其原因即可；任務(wù)2：原式去括號再合并同類項得到最簡的結(jié)果，再把m和n的值代入計算即可．
【詳解】任務(wù)1：①第一步依據(jù)的運算律是乘法分配律．
②以上化簡步驟中，第二步開始出現(xiàn)錯誤，
具體錯誤是去括號時，括號前面是“－”號，括號內(nèi)的第二項沒有變號．
任務(wù)2：
．
當(dāng)，時，原式．
4．先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】此題主要考查了整式的加減運算和非負數(shù)性質(zhì)，去括號是解題關(guān)鍵．
直接去括號利用整式的加減運算法則化簡整式，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求得m，n的值，然后把m，n的值代入即可得出答案．
【詳解】解：
=
=
=
=，
∵，
∴，即
解得：，
故原式
=
．
5．已知多項式，．
(1)求的值；
(2)若的值與的取值無關(guān)，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題主要考查了整式加減運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式加減運算法則，準(zhǔn)確計算．
（1）將，代入，按照整式加減運算法則計算即可；
（2）根據(jù)的值與的取值無關(guān)時，y的系數(shù)為0，列出關(guān)于x的方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，
又∵的值與的取值無關(guān)，
∴，
解得：．
題型8. 整式的加減的應(yīng)用
例8．如圖，長為，寬為的大長方形被分割為小塊，除陰影，外，其余6塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短一邊長為．
(1)由圖可知，每個小長方形較長的一邊長是 （用含的式子表示），陰影部分的較短的邊長是 （用含、的式子表示）
(2)當(dāng)時，求圖中兩塊陰影，的周長和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題考查了列代數(shù)式，求代數(shù)式的值，整式加減的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出代數(shù)式．
（1）從圖可知，每個小長方形較長一邊長大長方形的長小長方形寬的倍；陰影部分的較短的邊長大長方形的寬每個小長方形較長一邊長；
（2）從圖可知，分別列出陰影，的長和寬，再求出兩塊陰影、的周長和并化簡，再代入計算即可求解．
【詳解】（1）解：每個小長方形較長一邊長是，
則陰影部分的較短的邊長是，
故答案為：；；
（2）解：根據(jù)題意，得陰影的長為，寬為，
陰影的寬為，長為，
則陰影，的周長和為：
，
當(dāng)時，原式．
針對訓(xùn)練8
1．如圖是一塊長方形花園，內(nèi)部修有兩個涼亭及過道，其余部分種植花圃（陰影部分）．
(1)用整式表示花圃的面積；
(2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需費用．
【答案】(1)米2
(2)17600元
【分析】此題考查了代數(shù)式求值，整式的加減，以及列代數(shù)式，根據(jù)題意列出關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)大矩形面積減去兩個小矩形面積表示出花圃面積即可；
（2）把a的值代入計算即可求出．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：
；
答：花圃的面積是米2．
（2）解：當(dāng)時，花圃面積為米2，
修建花圃所需費用：（元）．
答：修建花圃所需費用是17600元．
2．某超市在春節(jié)期間對顧客實行優(yōu)惠，規(guī)定如下：
一次性購物 優(yōu)惠辦法
低于200元 不予優(yōu)惠
低于元但不低于200元 九折優(yōu)惠
元或超過元 其中不超過元部分給予九折優(yōu)惠，超過元部分給予八折優(yōu)惠
(1)若王老師一次性購物400元，則他實際付款______元；若一次性購物元，則他實際付款______元．
(2)若顧客在該超市一次性購物x元，當(dāng)x小于元但不小于200時，他實際付款______元；當(dāng)x大于或等于時，他實際付款______（用含x的式子表示）
(3)如果王老師兩次購物的貨款合計元，第一次購物的貨款為a元（），用含a的代數(shù)式表示王老師兩次購物實際付款的錢數(shù)．
【答案】(1)；
(2)；元
(3)元
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，列代數(shù)式，整式加減．理解題意，根據(jù)題意正確的列代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)和，計算求解即可；
（2）由題意知，當(dāng)x小于元但不小于元時，他實際付款元，當(dāng)x大于或等于元時，他實際付款元，計算求解即可；
（3）由題意知，第二次購物的貨款為元，，則第一次購物的實際貨款為元，第二次購物的實際貨款為元，然后求和并計算即可．
【詳解】（1）解：由題意知，（元），
元，
故答案為：；
（2）解：由題意知，當(dāng)x小于元但不小于元時，他實際付款元，
當(dāng)x大于或等于元時，他實際付款元
故答案為：，；
（3）解：第一次購物的貨款為a元，第二次購物的貨款為元，，
∴第一次購物的實際貨款為元，第二次購物的實際貨款為元，
∴，
∴兩次購物王老師實際付款元．
3．按照“雙減”政策，豐富課后托管服務(wù)內(nèi)容，學(xué)校準(zhǔn)備訂購一批籃球和跳繩，經(jīng)過市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)籃球每個定價120元，跳繩每條定價20元．某體育用品商店提供A、B兩種優(yōu)惠方案：
A方案：買一個籃球送一條跳繩；
B方案：籃球和跳繩都按定價的付款．
已知要購買籃球50個，跳繩x條（）．
(1)若按A方案購買，一共需付款 元；（用含x的代數(shù)式表示），若按B方案購買，一共需付款 元；（用含x的代數(shù)式表示）
(2)當(dāng)時，請通過計算說明此時用哪種方案購買較為合算？
(3)當(dāng)時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？請寫出你的購買方案，并計算需付款多少元？
【答案】(1)
(2)購買150根跳繩時，A種方案所需要的錢數(shù)為8000元，B種方案所需要的錢數(shù)為8100元
(3)按A方案買50個籃球，剩下的100條跳繩按B方案購買，付款7800元
【分析】本題考查列代數(shù)式，代數(shù)式求值，根據(jù)題意，正確的列出代數(shù)式，是解題的關(guān)鍵：
（1）由題意按A方案購買可列式：，在按B方案購買可列式：；
（2）把代入（1）中的結(jié)果計算AB兩種方案所需要的錢數(shù)即可；
（3）先算全按同一種方案進行購買，計算出兩種方案所需付款金額，再根據(jù)A方案是買一個籃球送跳繩，B方案是籃球和跳繩都按定價的付款，考慮可以按A方案買50個籃球，剩下的50條跳繩按B方案購買，計算出所需付款金額，進行比較即可．
【詳解】（1）解：A方案購買可列式：元；
按B方案購買可列式：元；
故答案為：；
（2）由（1）可知，
當(dāng)，A種方案所需要的錢數(shù)為（元），
當(dāng)，B種方案所需要的錢數(shù)為（元），
答：購買150根跳繩時，A種方案所需要的錢數(shù)為8000元，B種方案所需要的錢數(shù)為8100元．
（3）按A方案購買50個籃球配送50個跳繩，按B方案購買150個跳繩合計需付款：
（元）；
∵，
∴省錢的購買方案是：
按A方案買50個籃球，剩下的100條跳繩按B方案購買，付款7800元．
4．為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控手段達到節(jié)水的目的，該市自來水收費標(biāo)準(zhǔn)（按月結(jié)算）如表所示：
每月用水量 單價
不超出的部分 2元
超出不超出的部分 4元
超出的部分 8元
例如：若某戶居民1月份用水，則應(yīng)收水費：（元）．
(1)若該戶居民2月份用水，則應(yīng)收水費 　　元．
(2)若該戶居民3月份用水（其中），則應(yīng)收水費多少元？（用含a的整式表示，并化簡）
(3)若該戶居民4月份用水，4、5兩個月共用水，且5月份用水超過4月份，請用含x的整式表示4、5兩個月共交的水費多少元？
【答案】(1)48
(2)元
(3)元或元或36元
【分析】本題主要考查代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系的運用，整式的加減運算的應(yīng)用；
（1）根據(jù)材料提示的計算方法即可求解；
（2）根據(jù)不超過的部分的水費+超出不超出部分的水費，列式求解即可；
（3）根據(jù)題意，分類討論，結(jié)合（1），（2）的計算方法即可求解．
【詳解】（1）解：應(yīng)收水費（元），
故答案為：48；
（2）解：應(yīng)收水費＝不超過的部分的水費+超出不超出部分的水費，
∴應(yīng)收水費為元，
∴應(yīng)收水費為元；
（3）解：因為5月份用水量超過了4月份，
∴4月份用水量少于，
①當(dāng)4月份用水量少于時，則5月份用水量超過，
∴4，5兩個月共交水費元；
②當(dāng)4月份用水量大于或等于但不超過時，則5月份用水量不少于但不超過，
∴4、5兩個月共交水費元；
③當(dāng)4月份用水量超過但少于時，則5月份用水量超過但少于，
∴4，5兩個月共交水費（元）．
故答案為：元或元或36元．
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