資源簡介

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新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第4章 整式的加減
4.1 整式 2
學習目標：
1.理解多項式、整式的概念.(類比思想)
2.會確定一個多項式的項數和次數.
重點：理解多項式、整式的概念；會確定一個多項式的項數和次數.
難點：準確確定多項式的次數和項，并且掌握單項式和多項式次數之間的聯系
老師告訴你
多項式是幾個單項式的和，單項式和多項式都是整式。
區分多項式的次數與單項式的次數，不能誤認為多項式的次數是各個單項式的次數之和。
知識點撥
知識點1 多項式的概念
幾個單項式的和叫做多項式。
其中每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項
【新知導學】
例1．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦.多項式的個數是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【對應導練】
1．下列式子中不是多項式的是( )
A. B. C. D.
2．對于式子:,下列說法正確的是( )
A.有5個單項式,1個多項式
B.有3個單項式,2個多項式
C.有4個單項式,2個多項式
D.有7個整式
3．下列式子：，，，4，，，，其中是多項式的有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
4．有下列式子：，，，，，.其中多項式有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
5．答案：A
解析：多項式有、，
單項式有
，，既不是單項式，也不是多項式，故選A
知識點2 多項式的項和次數
多項式的項：每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項．
（1）多項式的每一項包括它前面的符號．
（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：是一個三項式．
多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數．
（1）多項式的次數不是所有項的次數之和，而是多項式中次數最高的單項式的次數．
（2）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應寫出．
【新知導學】
例2．a是多項式的次數，b是這個多項式的常數項，c是的系數，求的值.
【對應導練】
1．已知多項式4x2m+2-5x2y2-31x5y.
(1)求多項式中各項的系數和次數.
(2)若該多項式是八次三項式，求m的值.
2．已知多項式中，含字母的項的系數為a，多項式的次數為b，常數項為c，則___________.
3．在多項式中,次數最高項的系數是________.
4．單項式的系數是____________ ，多項式的次數是___________.
5．若單項式的系數是m，多項式的次數是n，則 .
知識點3 整式
1. 定義：單項式與多項式統稱為整式；
2. 單項式、多項式和整式的聯系
（1）多項式的依賴于其中各單項式的次數；
（2）各單項式的最高次數決定整個多項式的次數；
（3）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應全部寫出；
（4）所有單項式和多項式都是整式，如果一個式子既不是單項式是，也不是多項式，那么它一定不是整式。
【新知導學】
例3 .代數式x2+2，，，，5，，﹣x中，整式的個數是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【對應導練】
1．下列整式中哪些是單項式？哪些是多項式？是單項式的指出系數和次數，是多項式的指出項和次數：
，，，x，，，.
2．下列結論中正確的是( )
A.單項式的系數是,次數是4
B.單項式m的次數是1,沒有系數
C.多項式是二次多項式
D.在,,,,0中,整式有4個
3．下列說法錯誤的是( )
A.整式包括單項式和多項式 B.單項式的系數是
C.多項式的次數是四次 D.2與x都是單項式
4 .觀察下列各式：，，，，．回答下列問題：
(1)單項式分別為：______________________________；
(2)多項式分別為：_________________________________；
(3)整式有___________個；
(4)的系數為__________；
(5)次數最高的多項式為__________________．
題型訓練
1.多項式，整式概念
1．把下列式子分別填入下表的適當位置:
整式 單項式
多項式
非整式
2．下列整式中哪些是單項式？哪些是多項式？是單項式的指出系數和次數，是多項式的指出項和次數：
，，，x，，，.
3．把下列各式填在相應的大括號里：
，，.
單項式：{___________}；
多項式：{___________}；
整式：{___________}.
.
4．指出下列各式中，哪些是單項式，哪些是多項式，哪些是整式.
.
.
多項式的項，次數
5．回答下列問題：
（1）已知多項式是六次四項式，單項式的次數與多項式的次數相同，求m，a的值；
（2）已知多項式不含和項，試寫出這個多項式，再求當時多項式的值.
6．已知多項式是六次四項式，單項式的次數與這個多項式的次數相同，求的值.
.
7．對于多項式，分別回答下列問題：
(1)是幾項式；
(2)寫出它的各項；
(3)寫出它的最高次項；
(4)寫出最高次項的次數；
(5)寫出多項式的次數；
(6)寫出常數項.
8．下列說法正確的是( )
A.的項是，x，5
B.與都是多項式
C.多項式的次數是3
D.一個多項式的次數是5，則這個多項式中只有一項的次數是5
課堂達標
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．下列說法正確的是( )
A.單項式的系數為-2 B.多項式的次數為3
C.單項式的次數為7 D.是整式
2．下列說法正確的是( )
A.是整式
B.單項式的系數是2，次數是10
C.多項式的常數項是，二次項系數是
D.多項式的次數是13
3．下列說法中，錯誤的是( )
A.單項式與多項式統稱為整式 B. 多項式的次數為2
C.是二次二項式 D. 單項式的系數是1
4．下列說法中正確的是( )
A.單項式的次數和系數都是0
B.-2016是整式
C.的系數是
D.多項式是五次三項式
5．下列說法正確的有( )個.
①單項式x的系數和次數都是0；
②的次數是11；
③多項式是由1，，三項組成；
④在，，，0中整式有2個；
⑤的系數是.
A.1 B.2 C.3 D.4
6．下列說法錯誤的是( )
A.代數式，，都是整式 B.單項式的系數是，次數是2
C.多項式的項是， D.多項式是二次三項式
7．下列說法中，正確的是( )
A.不是整式 B.的系數是-3，次數是3
C.3是單項式 D.多項式是五次二項式
8．下列說法中，正確的是( )
A.m不是整式 B.的系數是3，次數是3
C.3是單項式 D.多項式是五次二項式
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．多項式中次數最高項的次數和系數分別為和.
10．在多項式中，次數最高的項的系數是__________.
11．多項式的次數最高項的系數是_______，常數項是________.
12．已知多項式-m3n2-2中,含字母的項的系數為a,多項式的次數為b,常數項為c,則a+b+c=__________
13．如果一個整式具備以下三個條件：①它是一個關于字母x的二次三項式；②各項系數的和等于10；③它的二次項系數和常數項都比-2小1.請寫出滿足這些條件的一個整式：__________.
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（12分）用整式表示下列問題,并指出單項式的系數和次數,以及多項式的項和次數.
（1）.連續三個奇數,中間一個是,寫出第一個與第三個奇數;
（2）.寫出底面半徑為,高為的圓錐的體積;
（3）.某市出租車收費標準:起步價元,千米后每千米加價元.寫出某人乘坐出租車千米()的費用;
（4）.某商場實行折優惠銷售,寫出售價為元的商品的原價.
15．（6分）若關于x，y的多項式與多項式的次數相同，且次數最高的項的系數也相同，求m，n的值.
16．（6分）a是多項式的次數，b是這個多項式的常數項，c是的系數，求的值.
.
17．（8分）已知多項式與單項式的次數相同,求整式的值.
18．（7分）已知關于x、y的多項式的次數為4，這個多項式有三個項，其中三次項系數為.分別求出m、n、的值.
19．（9分）把下列各式分別填在相應的大括號里：4，，，，，，，.
單項式：{ …}；
多項式：{ …}；
整式：{ …}.
新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第4章 整式的加減
4.1 整式 2
1.理解多項式、整式的概念.(類比思想)
2.會確定一個多項式的項數和次數.
重點：理解多項式、整式的概念；會確定一個多項式的項數和次數.
難點：準確確定多項式的次數和項，并且掌握單項式和多項式次數之間的聯系
老師告訴你
多項式是幾個單項式的和，單項式和多項式都是整式。
區分多項式的次數與單項式的次數，不能誤認為多項式的次數是各個單項式的次數之和。
知識點撥
知識點1 多項式的概念
幾個單項式的和叫做多項式。
其中每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項
【新知導學】
例1．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦.多項式的個數是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
答案：B
解析：多項式有：、共2個
故選：B.
點撥：幾個單項式的和叫做多項式，理解多項式的概念是解題關鍵。
【對應導練】
1．下列式子中不是多項式的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：根據多項式的定義可知不是多項式,故選C.
點撥：幾個單項式的和叫做多項式，理解多項式的概念是解題關鍵。
2．對于式子:,下列說法正確的是( )
A.有5個單項式,1個多項式
B.有3個單項式,2個多項式
C.有4個單項式,2個多項式
D.有7個整式
答案：C
解析：有4個單項式:;2個多項式:.故選 C.
點撥：多項式是數字與字母的積，或單獨的數字或字母，幾個單項式的和叫做多項式，理解單項式、多項式的概念是解題關鍵。
3．下列式子：，，，4，，，，其中是多項式的有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
答案：A
解析：根據多項式的定義，可知，是多項式，共有2個.故選A.
點撥：幾個單項式的和叫做多項式，理解多項式的概念是解題關鍵。
4．有下列式子：，，，，，.其中多項式有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
5．答案：A
解析：多項式有、，
單項式有
，，既不是單項式，也不是多項式，故選A
點撥：幾個單項式的和叫做多項式，理解多項式的概念是解題關鍵。
知識點2 多項式的項和次數
多項式的項：每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項．
（1）多項式的每一項包括它前面的符號．
（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：是一個三項式．
多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數．
（1）多項式的次數不是所有項的次數之和，而是多項式中次數最高的單項式的次數．
（2）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應寫出．
【新知導學】
例2．a是多項式的次數，b是這個多項式的常數項，c是的系數，求的值.
答案：48
解析：因為a是多項式的次數，b是這個多項式的常數項，
所以，.
因為c是的系數，
所以.
所以.
點撥：多項式的項：每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項．
多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數．
【對應導練】
1．已知多項式4x2m+2-5x2y2-31x5y.
(1)求多項式中各項的系數和次數.
(2)若該多項式是八次三項式，求m的值.
答案：(1)的系數是4，次數是2m+2；的系數是，次數是4；的系數是，次數是6.
(2)由(1)得，解得.
點撥：多項式的項：每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項．
多項式的各項系數是各項前面的數字因數。
多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數．
2．已知多項式中，含字母的項的系數為a，多項式的次數為b，常數項為c，則___________.
答案：-2
解析：多項式中，含字母的項的系數為a，多項式的次數為b，常數項為c，，，，.
點撥：多項式的各項系數是各項前面的數字因數。
多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數．
不含字母的項叫做常數項．
3．在多項式中,次數最高項的系數是________.
答案：
解析：∵在多項式中,次數最高的項是,其系數為,
∴多項式最高次項的系數為.
點撥：多項式的各項系數是各項前面的數字因數。
4．單項式的系數是____________ ，多項式的次數是___________.
答案：；6
點撥：多項式的各項系數是各項前面的數字因數。
多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數．
5．若單項式的系數是m，多項式的次數是n，則 .
答案：
解析：因為單項式的系數是，多項式的次數是5，所以，則，
知識點3 整式
1. 定義：單項式與多項式統稱為整式；
2. 單項式、多項式和整式的聯系
（1）多項式的依賴于其中各單項式的次數；
（2）各單項式的最高次數決定整個多項式的次數；
（3）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應全部寫出；
（4）所有單項式和多項式都是整式，如果一個式子既不是單項式是，也不是多項式，那么它一定不是整式。
【新知導學】
例3 .代數式x2+2，，，，5，，﹣x中，整式的個數是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】根據整式的定義（整式包括單項式和多項式，只含有數與字母的積的式子叫做單項式．單獨的一個數或一個字母也是單項式．由幾個單項式的和組成的代數式）即可得．
【解析】解：整式有x2+2，，5，，﹣x，共5個．
故選：C．
【點評】本題考查了整式，熟記整式的定義是解題關鍵．
【對應導練】
1．下列整式中哪些是單項式？哪些是多項式？是單項式的指出系數和次數，是多項式的指出項和次數：
，，，x，，，.
答案：見解析
解析：通過列表作答如下：
單項式 x
系數 1 32
次數 3 6 1 3
多項式
項 ，， ，，，， ，
次數 2 4 1
2．下列結論中正確的是( )
A.單項式的系數是,次數是4
B.單項式m的次數是1,沒有系數
C.多項式是二次多項式
D.在,,,,0中,整式有4個
答案：D
解析:A.單項式的系數是,次數是3,故A不符合題意.
B.單項式m的次數是1,系數為1,故B不符合題意.
C.多項式是三次多項式,故C不符合題意.
D.在,,,,0中,整式有4個,故D符合題意.
故選:D.
3．下列說法錯誤的是( )
A.整式包括單項式和多項式 B.單項式的系數是
C.多項式的次數是四次 D.2與x都是單項式
答案：C
解析：A、整式包括單項式和多項式，故本選項不符合；
B、單項式的系數是，故本選項不符合；
C、多項式的次數是五次，故本選項符合；
D、2與x都是單項式，故本選項不符合；
故選C.
4 .觀察下列各式：，，，，．回答下列問題：
(1)單項式分別為：______________________________；
(2)多項式分別為：_________________________________；
(3)整式有___________個；
(4)的系數為__________；
(5)次數最高的多項式為__________________．
【答案】(1)，
(2)，
(3)4
(4)
(5)
【分析】根據單項式的定義即可得出（1），根據多項式的定義即可得出（2），根據整式的定義即可得出（3），根據間項式的系數的定義即可得出（4），根據多項式的次數的定義即可得出（5）．
【詳解】（1）解：單項式有，；
故答案為：，；
（2）多項式有，；
故答案為：，；
（3）整式有，，，共4個；
故答案為：4；
（4）的系數為；
故答案為：；
（5）次數最高的多項式為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了單項式，整式和多項式的定義，多項式的項和次數等知識點，能熟記單項式和多項式的定義是解此題的關鍵，注意：表示數與數或數與字母的積，叫單項式，單獨一個數或字母也是單項式，兩個或兩個以上單項式的和，叫多項式，單項式和多項式統稱整式，多項式中次數最高的項的次數，叫這個多項式的次數．
題型訓練
1.多項式，整式概念
1．把下列式子分別填入下表的適當位置:
整式 單項式
多項式
非整式
答案：
整式 單項式
多項式
非整式
2．下列整式中哪些是單項式？哪些是多項式？是單項式的指出系數和次數，是多項式的指出項和次數：
，，，x，，，.
答案：見解析
解析：通過列表作答如下：
單項式 x
系數 1 32
次數 3 6 1 3
多項式
項 ，， ，，，， ，
次數 2 4 1
3．把下列各式填在相應的大括號里：
，，.
單項式：{___________}；
多項式：{___________}；
整式：{___________}.
答案：；；
解析：單項式：；
多項式：；
整式：.
4．指出下列各式中，哪些是單項式，哪些是多項式，哪些是整式.
.
答案：【解】單項式有.
多項式有.
整式有.
多項式的項，次數
5．回答下列問題：
（1）已知多項式是六次四項式，單項式的次數與多項式的次數相同，求m，a的值；
（2）已知多項式不含和項，試寫出這個多項式，再求當時多項式的值.
答案：解：（1）由題意得，，解得，；
（2）因為多項式不含和項，
所以，，
解得，，
即多項式為，
當時，原式.
6．已知多項式是六次四項式，單項式的次數與這個多項式的次數相同，求的值.
答案：【解】因為多項式是六次四項式，所以.
又因為單項式的次數與這個多項式的次數相同，
所以，則，解得.
所以.
7．對于多項式，分別回答下列問題：
(1)是幾項式；
(2)寫出它的各項；
(3)寫出它的最高次項；
(4)寫出最高次項的次數；
(5)寫出多項式的次數；
(6)寫出常數項.
答案：(1)四項式
(2)，，，
(3)
(4)5次
(5)5次
(6)-1.3
解析：(1)是四項式；
(2)的各項分別為，，，；
(3)的最高次項為；
(4)多項式的最高此項的次數為5次；
(5)多項式的次數為5次；
(6)多項式的常數項為-1.3.
8．下列說法正確的是( )
A.的項是，x，5
B.與都是多項式
C.多項式的次數是3
D.一個多項式的次數是5，則這個多項式中只有一項的次數是5
答案：B
解析：A：的項是，，5，故A錯誤；
B：與都是由幾個單項式的和組成，都是多項式，故B正確；
C：多項式的次數是2，故C錯誤；
D：若一個多項式的次數是5，則這個多項式中每一項的次數都可以是5，故D錯誤；
故選：B.
課堂達標
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1．下列說法正確的是( )
A.單項式的系數為-2 B.多項式的次數為3
C.單項式的次數為7 D.是整式
答案：B
解析：A單項式系數是-2п，錯誤
B中單項式次數3，正確
C中單項式次數是4，錯誤
D不是整式
故選B
2．下列說法正確的是( )
A.是整式
B.單項式的系數是2，次數是10
C.多項式的常數項是，二次項系數是
D.多項式的次數是13
答案：C
解析：A不是整式
B系數是28，次數是2
C常數項 ，二次項系數是
D多項式次數是4，故選C
3．下列說法中，錯誤的是( )
A.單項式與多項式統稱為整式 B. 多項式的次數為2
C.是二次二項式 D. 單項式的系數是1
答案：B
解析：A.、單項式與多項式統稱為整式，正確，不符合題意；
B、多項式的次數為1，錯誤，符合題意；
C、是二次二項式，正確，不符合題意；
D、單項式的系數是1，正確，不符合題意；
故選：B.
4．下列說法中正確的是( )
A.單項式的次數和系數都是0
B.-2016是整式
C.的系數是
D.多項式是五次三項式
答案：B
解析：A.單項式的次數和系數分別為：1和-1，故A錯誤；
B.整式包括單項式與多項式，故-2016是整式，故B正確；
C.系數為，故C錯誤；
D.多項式是五次三項式，故D錯誤.
故選B.
5．下列說法正確的有( )個.
①單項式x的系數和次數都是0；
②的次數是11；
③多項式是由1，，三項組成；
④在，，，0中整式有2個；
⑤的系數是.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A
解析：①單項式x的系數和次數都是1，原說法錯誤；
②的次數是4，原說法錯誤；
③多項式是由1，，三項組成，原說法正確；
④在，，，中整式有3個，原說法錯誤；
⑤的系數是，原說法錯誤.
說法正確的有1個.
故選：A.
6．下列說法錯誤的是( )
A.代數式，，都是整式 B.單項式的系數是，次數是2
C.多項式的項是， D.多項式是二次三項式
答案：D
解析：A.是多項式，是單項式，是單項式，都是整式，故A選項正確，不符合題意；
B.單項式的系數是，次數是2，故B選項正確，不符合題意；
C.多項式的項是，，故C選項正確，不符合題意；
D.多項式是三次三項式，故D選項錯誤，符合題意.
故選：D
7．下列說法中，正確的是( )
A.不是整式 B.的系數是-3，次數是3
C.3是單項式 D.多項式是五次二項式
答案：C
解析：A、是整式，故此選項錯誤；
B、的系數是，次數是3，故此選項錯誤；
C、3是單項式，故此選項正確；
D、多項式是三次二項式，故此選項錯誤，
故選：C.
8．下列說法中，正確的是( )
A.m不是整式 B.的系數是3，次數是3
C.3是單項式 D.多項式是五次二項式
答案：C
解析：A、m是整式；
B、的系數是-3，次數是3；
C、3是單項式，正確；
D、多項式是三次二項式；
故選：C.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．多項式中次數最高項的次數和系數分別為和.
答案：4；-3
解析： 多項式中最高項是-3xy3的次數是4系數是-3。
故答案：4；-3
10．在多項式中，次數最高的項的系數是__________.
答案：
解析：多項式中次數最高項是-пxy3,系數是
故答案：
11．多項式的次數最高項的系數是_______，常數項是________.
答案：，
解析：多項式的次數最高項的系數是，常數項是，
故答案為：，.
12．已知多項式-m3n2-2中,含字母的項的系數為a,多項式的次數為b,常數項為c,則a+b+c=__________
答案：2
解析：
∵多項式-m3n2-2中,含字母的項的系數為a,多項式的次數為b,常數項為c,
∴a=-1,b=5,c=-2,
∴a+b+c=-1+5-2=2,
故答案為:2
分析:
首先利用多項式的系數、次數及常數項確定a、b、c的值,然后求和即可;
13．如果一個整式具備以下三個條件：①它是一個關于字母x的二次三項式；②各項系數的和等于10；③它的二次項系數和常數項都比-2小1.請寫出滿足這些條件的一個整式：__________.
答案：
解析：滿足這些條件的整式為.
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（12分）用整式表示下列問題,并指出單項式的系數和次數,以及多項式的項和次數.
（1）.連續三個奇數,中間一個是,寫出第一個與第三個奇數;
（2）.寫出底面半徑為,高為的圓錐的體積;
（3）.某市出租車收費標準:起步價元,千米后每千米加價元.寫出某人乘坐出租車千米()的費用;
（4）.某商場實行折優惠銷售,寫出售價為元的商品的原價.
答案：（1）.三個連續奇數,中間一個為,則較小者比小,所以為,它的項是和,次數是.較大者比大,所以為,它的項是和,次數是.
（2）.圓錐的體積為,它的系數是,次數是.
（3）.由題意知,付費為,它的項是和,次數是.
（4）.原價為,它的系數是,次數是.
15．（6分）若關于x，y的多項式與多項式的次數相同，且次數最高的項的系數也相同，求m，n的值.
答案：，
解析：易知多項式中次數最高的項一定是，
對于多項式，
若，則次數最高的項為，
因為，所以多項式中次數最高的項為，
所以，，
所以，.
16．（6分）a是多項式的次數，b是這個多項式的常數項，c是的系數，求的值.
答案：48
解析：因為a是多項式的次數，b是這個多項式的常數項，
所以，.
因為c是的系數，
所以.
所以.
17．（8分）已知多項式與單項式的次數相同,求整式的值.
答案：因為單項式的次數是,所以多項式的次數是.
又因為多項式的項的次數為,項的次數為,項的次數為,
所以項的次數為,
所以,解得.
所以.
即整式的值為.
解析：由單項式的次數為,可在多項式中得到關于的方程,解方程即可求出,進而求得的值.
18．（7分）已知關于x、y的多項式的次數為4，這個多項式有三個項，其中三次項系數為.分別求出m、n、的值.
答案：，，
解析：由題意可知：，，，
，.
19．（9分）把下列各式分別填在相應的大括號里：4，，，，，，，.
單項式：{ …}；
多項式：{ …}；
整式：{ …}.
答案：單項式：{4，，…}.
多項式：{，，，，…}.
整式：{4，，，，，，…}.
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