資源簡介

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新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第3章 代數式
3.1 列代數式表示數量關系2
學習目標：
會根據實際問題列代數式，進一步規范代數式的書寫格式。
能理解簡單代數式的實際背景，培養符號感。
通過實際情境，培養把實際問題抽象為數學問題的能力。
老師告訴你
列代數式表示數量關系的要點：
弄清題意中的運算順序，正確使用括號，分出層次，逐步列出代數式。
注意：字母具有任意性，但要符號實際問題中的意義。
知識點撥
知識點1 用代數式表示數量關系
列式就是把實際問題中與數量有關的語句，用含有數、字母和運算符號的式子表示出來，也就是把文字語言轉化為符號語言
同一問題中，不同的量要用不同的字母表示；不同的問題中，不同的量可以使用相同的字母，但字母的含義不同.例如：某人騎自行車一段破路，上坡的速度為a千米/時，上坡的速度為b千米/時
【新知導學】
例1．買一個足球需要m元，買一個籃球需要n元，則買4個足球、7個籃球共需要（　　）元．
A. 4m+7n B. 28mn C. 7m+4n D. 11mn
【對應導練】
1．一個兩位數，十位上的數字是2，個位上的數字是x,這個兩位數是 _____．
2．如圖是一所住宅的建筑平面圖，這所住宅的建筑面積為_____米2．
3．用代數式表示：
（1）m的倒數的3倍與m的平方的差的50%；
（2）x的與y的差的；
（3）甲數a與乙數b的差除以甲、乙兩數的積．
知識點2 用代數式表示正比例關系
正比例關系：兩個相關聯的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，且這兩個量的比值一定，則稱這兩個量為成正比例的量，這兩個量的關系稱正比例關系。
【新知導學】
例2．如表中，如果m和n成正比例，空格里的數是 _____，如果m和n成反比例，空格里的數是 _____．
m 18 45
n 12
【對應導練】
1．圓柱的底面半徑一定，側面積和高成正比例關系． _____（判斷對錯）
2．在A×B=C中，當B一定時，A和C成 _____關系，當C一定時，A和B _____成關系．
3．正方形的面積和邊長成正比例關系． _____（判斷對錯）
4．已知y與x成正比例關系，且x=1時，y=6．
（1）寫出y與x之間的關系式；
（2）求當x=-2時，y的值．
知識點3 用代數式表示反比例關系
反比例關系：兩個相關聯的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，且這兩個量的乘積一定，則稱這兩個量為成反比例的量，這兩個量的關系稱反比例關系。
【新知導學】
例3．下列相關的量中，成反比例關系的是（　　）
A. 平行四邊形的面積一定，底和高
B. 圓的周長與面積
C. 正方形的周長與邊長
D. 圓錐的體積一定，圓錐的底面半徑與高
【對應導練】
1．下面各題中的兩個量成反比例的是（　　）
A. 小華的身高和他的體重
B. 訂閱《小學生報》的份數和總錢數
C. 一包糖，吃了的塊數和剩下的塊數
D. 一堆煤，每天燒煤量和燒煤的天數
2．如表，表格中如果m與n成反比例關系，則x=_____．
m 24 12
n 8 x
3．x和y是兩種相關聯的量（x、y均不為0），若3x=7y,則x和y成反比例． _____（判斷對錯）
4．圖中，哪些圖中的y與x構成反比例關系請指出．
知識點4 用代數式表示式子，圖形的規律
規律探求的核心是找出每個數對應的位次之間的關系
若數列是分數系列，按分子、分母分別找規律
若數列是正負交替排列則在答案前加上（-1）n+1 ,若數列是負正交替排列在答案前面加上（-1）n
【新知導學】
例4．已知一列數a1，a2，…，an（n為正整數）滿足，請通過計算推算an=_____（用含n的代數式表示），a2011=_____．
【對應導練】
1．已知S1=a+1（a不取0和-1），S2=，S3=，S4=，…按此規律，請用含a的代數式表示S2022=_____．
2．圖1中三條線段的長如圖所示，用n個圖1拼成圖2的總長度 _____．（用含n的代數式表示）
3．同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規律擺放：
（1）第5個圖形中有 _____顆黑色棋子；第8個圖形比第6個圖形多 _____顆黑色棋子；（填數字）
（2）第（n+2）個圖形比第n個圖形中多 _____（用含n的代數式表示）顆黑色棋子．
4．用同樣規格的黑、白兩種顏色的正方形瓷磚按如圖所示的方式鋪寬為1.5米的小路．
（1）鋪第5個圖形用黑色正方形瓷磚_____塊；
（2）按照此方式鋪下去，鋪第n個圖形用黑色正方形瓷磚_____塊；（用含n的代數式表示）
（3）若黑、白兩種顏色的瓷磚規格都為（長0.5米×寬0.5米），且黑色正方形瓷磚每塊價格25元，白色正方形瓷磚每塊價格30元，若按照此方式恰好鋪滿該小路某一段（該段小路的總面積為18.75平方米），求該段小路所需瓷磚的總費用．
二、題型訓練
1.用代數式表示數量關系
1．某產品的成本為A元，按成本加價四成作為定價銷售，因季節原因按定價的六折出售，降價后的售價為（　　）元．
A. （60%-40%）A B. 60%×40%A
C. （1+40%）60%A D. （1+40%）（1-60%）A
2．如果甲、乙兩地相距100千米，汽車每小時行駛v千米，那么從甲地到乙地需要_____小時（用含有v的代數式表示）．
3 .某工廠第一車間有x人，第二車間人數比第一車間人數的少20人，第三車間人數是第二車間人數的多10人．
（1）求第三車間有多少人？（用含x的代數式表示）
（2）求三個車間共有多少人？（用含x的代數式表示）
（3）如果從第二車間調出10人到第一車間，原第三車間人數比調動后的第一車間人數少多少人？
2.用代數式表示式子規律
4 .觀察下列等式：
第1個等式：a1==×（1-）；
第2個等式：a2==×（-）；
第3個等式：a3==×（-）；
第4個等式：a4==×（-）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規律列出第5個等式：a5=_____；
（2）用含有n的代數式表示第n個等式：an=_____=_____（n為正整數）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
5．觀察下列等式：
12×231=132×21；
13×341=143×31；
23×352=253×32；
34×473=374×43；
62×286=682×26；
…
以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同的規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”．
（1）根據上述各式反映的規律填空，使式子成為“數字對稱等式”：
54×_____=_____×45．
（2）設這類等式左邊兩位數的十位數字為a,個位數字為b,且2≤a+b≤9．
①等式左邊的兩位數與三位數的積能否被2023整除？請說明理由；
②請用含a,b的代數式表示“數字對稱等式”并證明．
3.用代數式表示圖形規律
6．如圖，下面是用火柴棍擺的正方形，請你仔細觀察第n個圖形中共有_____根（用n的代數式表示）火柴棍．
7．觀察下列圖形中點的個數．
（1）圖2中點的個數是 _____；
（2）若按其規律再畫下去，如果圖形中有36個點，那它是第 _____個圖形；
（3）若按其規律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數為 _____（用含n的代數式表示）．
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．某產品的成本為A元，按成本加價四成作為定價銷售，因季節原因按定價的六折出售，降價后的售價為（　　）元．
A. （60%-40%）A B. 60%×40%A
C. （1+40%）60%A D. （1+40%）（1-60%）A
2．甲數是乙數的4倍少3，則下列說法正確的是（　　）
①設乙數為x,甲數為4x-3
②設甲數為x,乙數為x+3
③設甲數為x,乙數為（x+3）
④設甲數為x,乙數為（x-3）
A. ①③ B. ①② C. ②④ D. ①④
3．用代數式6x2表示下列數量關系不恰當的是（　　）
A. 6個邊長為xcm的正方形面積之和為6x2cm2
B. 底面半徑為xcm、高為6cm的圓柱的體積為6x2cm3
C. 棱長為xcm的正方體的表面積為6x2cm2
D. 定價為600元的商品連續兩次打x折后的售價為6x2元
4．日歷中同一豎列相鄰三個數的和不可能是（　　）
A. 35 B. 39 C. 51 D. 60
5．下列用語言敘述式子：-4表示的數量關系，表述不正確的是（　　）
A. 比x的倒數小4的數 B. 比x的倒數大4的數
C. x的倒數與4的差 D. 1除以x的商與4的差
6．下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規律組成，其中第①個圖形一共有2個五角星，第②個圖形一共有8個五角星，第③個圖形一共有18個五角星，……，則第⑤個圖形中五角星的個數為（　　）
A. 32 B. 40 C. 50 D. 68
7．如圖是一組有規律的圖案，它們由邊長相等的等邊三角形組成，第1個圖案有4個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形，…，照此規律，擺成第6個圖案需要的三角形個數是（　　）
A. 19個 B. 22個 C. 25個 D. 26個
8．已知汽車油箱內有油50L，每行駛100km耗油10L，那么汽車行駛過程中油箱內剩余的油量Q（L）與行駛路程s（km）之間的關系式是（　　）
A. Q=50- B. Q=50+
C. Q=50- D. Q=50+
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．用漫灌方式給綠地澆水，a天用水10噸，改用噴灌方式后，10噸水可以比原來多用5天，那么噴灌比漫灌平均每天節約用水 _____噸．
10．結合生活經驗對代數式3a+2b作出解釋：_____．
11．某網店進行促銷，將原價a元的商品以（0.8a-20）元出售，該網店對該商品促銷的方法是 _____．
12．觀察“田”字中各數之間的關系：
則c的值為_____．
13．如圖，用灰、白兩種顏色的正三角形瓷磚鋪設地面，則第 _____個圖案中有55塊白色瓷磚．
三、解答題(共6題，共48分，每小題8分)
14．某校團委組織了有獎征文活動，并設立了一、二、三等獎，根據設獎情況買了50件獎品，其二等獎獎品的件數比一等獎獎品的件數的2倍少10，各種獎品的單價如下表所示：
一等獎獎品 二等獎獎品 三等獎獎品
單價/元 12 10 5
數量/件 x _____ _____
如果計劃一等獎獎品買x件，買50件獎品的總價是y元．
（1）先填表，再用含x的代數式表示y并化簡；
（2）若一等獎獎品買10件，則共花費多少？
15．指出下列各代數式的意義：
（1）a2+2；
（2）a（b+1）-1．
16．將下列代數式用文字語言表示：
（1）（a+b）2；
（2）a2+b2．
你能說出這兩個式子有什么不同嗎？
17．2020年12月17日，惠州市下發通知，2021年1月1日起，調整惠城區出租車收費標準，調整后的新收費標準如下表所示，根據此最新收費標準，解決下列相關問題：
行駛路程 收費標準（新）
不超出2km的部分 起步價：8元
超出2km的部分 2.6元/km
（1）若行駛路程為5km,則應付打車費用為 _____元；
（2）若行駛路程為x km（x＞6），則打車費用為 _____元（用含x的代數式表示）；
（3）2021年1月22日，某校一同學放學回家，已知打車費用為34元，則他家離學校多遠？
18．A，B兩倉庫分別有大米20噸和30噸，C，D兩超市分別需要大米15噸和35噸．已知從A，B兩倉庫到C，D兩超市的運價如表：
到C超市 到D超市
A倉庫 每噸150元 每噸120元
B倉庫 每噸100元 每噸90元
設從A倉庫運往C超市的大米是x噸．
（1）請分別求出從A，B兩倉庫運往C，D兩超市大米的運輸重量．（用含x的代數式表示）
（2）若x=8，請分別求出從A，B兩倉庫運往C，D兩超市大米的運輸費用．
19．某花卉生產基地舉行花卉展覽，如圖所示是用這兩種花卉擺成的圖案，白色圓點為盆景，灰色圓點為盆花．圖1中盆景數量為2，盆花數量為2；圖2中盆景數量為4，盆花數量為6；圖3中盆景數量為6，盆花數量為12……
按照以上規律，解決下列問題：
（1）圖6中盆景數量為 _____，盆花數量為 _____；
（2）已知該生產基地展出以上兩種花卉在某種圖案中的數量之和為130盆，分別求出該圖案中盆景和盆花的數量；
（3）若有n（n為偶數，且n≥2）盆盆景需要展出（只擺一種圖案），照此組合圖案，需要盆花的數量為 _____．（用含n的代數式表示）
新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第3章 代數式
3.1 列代數式表示數量關系2
學習目標：
會根據實際問題列代數式，進一步規范代數式的書寫格式。
能理解簡單代數式的實際背景，培養符號感。
通過實際情境，培養把實際問題抽象為數學問題的能力。
老師告訴你
列代數式表示數量關系的要點：
弄清題意中的運算順序，正確使用括號，分出層次，逐步列出代數式。
注意：字母具有任意性，但要符號實際問題中的意義。
知識點撥
知識點1 用代數式表示數量關系
列式就是把實際問題中與數量有關的語句，用含有數、字母和運算符號的式子表示出來，也就是把文字語言轉化為符號語言
同一問題中，不同的量要用不同的字母表示；不同的問題中，不同的量可以使用相同的字母，但字母的含義不同.例如：某人騎自行車一段破路，上坡的速度為a千米/時，上坡的速度為b千米/時
【新知導學】
例1．買一個足球需要m元，買一個籃球需要n元，則買4個足球、7個籃球共需要（　　）元．
A. 4m+7n B. 28mn C. 7m+4n D. 11mn
【答案】A
【解析】根據題意可知4個足球需4m元，7個籃球需7n元，故共需（4m+7n）元．
解：∵一個足球需要m元，買一個籃球需要n元．
∴買4個足球、7個籃球共需要（4m+7n）元．
故選：A．
【對應導練】
1．一個兩位數，十位上的數字是2，個位上的數字是x,這個兩位數是 _____．
【答案】20+x
【解析】兩位數字的表示方法：十位數字×10+個位數字．
解：2×10+x=20+x.
2．如圖是一所住宅的建筑平面圖，這所住宅的建筑面積為_____米2．
【答案】（x2+2x+18）
【解析】由圖可知，這所住宅的建筑面積=三個長方形的面積+一個正方形的面積．
解：由圖可知，這所住宅的建筑面積為x2+2x+12+6=x2+2x+18（米2）．
3．用代數式表示：
（1）m的倒數的3倍與m的平方的差的50%；
（2）x的與y的差的；
（3）甲數a與乙數b的差除以甲、乙兩數的積．
【解析】根據文字表示代數式的時候，一要注意運算順序；二要注意代數式的正確書寫．
解：（1）50%（-m2）；
（2）（x-y）；
（3）．
知識點2 用代數式表示正比例關系
正比例關系：兩個相關聯的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，且這兩個量的比值一定，則稱這兩個量為成正比例的量，這兩個量的關系稱正比例關系。
【新知導學】
例2．如表中，如果m和n成正比例，空格里的數是 _____，如果m和n成反比例，空格里的數是 _____．
m 18 45
n 12
【答案】(1)30;(2);
【解析】根據比值一定成正比例關系，乘積一定成反比例關系解答即可．
解：設空格里的數為x,
如果m和n成正比例，則18：12=45：x,
解得x=30，
如果m和n成反比例，則18×12=45x,
解得x=，
故答案為：30，．
【對應導練】
1．圓柱的底面半徑一定，側面積和高成正比例關系． _____（判斷對錯）
【答案】對
【解析】根據圓柱的側面積=底面周長×高=2πr h,即可根據正比例函數的定義判斷側面積和高成正比例關系．
解：∵圓柱的側面積=底面周長×高=2πr h,
∴圓柱的側面積=2πr h,
∴圓柱的底面半徑一定，側面積和高成正比例關系，
故答案為：對．
2．在A×B=C中，當B一定時，A和C成 _____關系，當C一定時，A和B _____成關系．
【答案】(1)正比例;(2)反比例;
【解析】根據正比例函數和反比例函數的定義即可得到結論．
解：在A×B=C中，當B一定時，A和C成正比例關系，當C一定時，A和B反比例成關系，
故答案為：正比例，反比例．
3．正方形的面積和邊長成正比例關系． _____（判斷對錯）
【答案】×
【解析】正方形的周長和邊長成正比例關系，面積和邊長沒有比例關系，可得出答案．
解：正方形的面積和邊長不成正比例關系，原題說法錯誤，
故答案為：×．
4．已知y與x成正比例關系，且x=1時，y=6．
（1）寫出y與x之間的關系式；
（2）求當x=-2時，y的值．
【解析】（1）根據y與x成正比例關系設出關系式，再把當x=1時，y=6代入關系式即可求出k的值，進而求出y與x之間的關系式．
（2）根據（1）中所求關系式，將x=-2代入其中，求得y值；
解：（1）設y=kx（k≠0）．
將x=1，y=6代入得：6=k,
所以，y=6x；
（2）由（1）知，y=6x,
∴當x=-2時，y=6×（-2）=-12，即y=-12．
知識點3 用代數式表示反比例關系
反比例關系：兩個相關聯的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，且這兩個量的乘積一定，則稱這兩個量為成反比例的量，這兩個量的關系稱反比例關系。
【新知導學】
例3．下列相關的量中，成反比例關系的是（　　）
A. 平行四邊形的面積一定，底和高
B. 圓的周長與面積
C. 正方形的周長與邊長
D. 圓錐的體積一定，圓錐的底面半徑與高
【答案】A
【解析】判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例．
解：A．因為平行四邊形的面積等于底乘高，所以平行四邊形的面積一定，底和高成反比例，故符合題意；
B．因為圓的周長÷半徑=2π（一定），所以圓的周長與圓的面積不成比例，故不符合題意；
C．正方形的周長等于邊長×4，故正方形的周長與邊長成正比例關系，故不符合題意；
D．因為圓錐的體積等于圓錐的底面積與高的積的，所以圓錐的底面半徑的平方與高成反比例，故不符合題意．
故選：A．
【對應導練】
1．下面各題中的兩個量成反比例的是（　　）
A. 小華的身高和他的體重
B. 訂閱《小學生報》的份數和總錢數
C. 一包糖，吃了的塊數和剩下的塊數
D. 一堆煤，每天燒煤量和燒煤的天數
【答案】D
【解析】判斷兩個相關聯的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘積一定，則成反比例．
解：A．一個人的身高和他的體重不成比例，故本選項錯誤，不符合題意；
B．總錢數÷份數=單價（一定），商一定，所以訂《小學生報》的份數和總錢數成正比例，故本選項錯誤，不符合題意；
C．一包糖，吃了的塊數和剩下的塊數，不成反比例，故本選項錯誤，不符合題意；天完成的件數成反比例．
D．一堆煤，每天燒煤量和燒煤的天數成反比例關系，故本選項正確，符合題意．
故選：D．
2．如表，表格中如果m與n成反比例關系，則x=_____．
m 24 12
n 8 x
【答案】16
【解析】根據反比例函數的定義可知24×8=12x,進一步計算即可．
解：∵表格中如果m與n成反比例關系，
∴24×8=12x,
解得x=16，
故答案為：16．
3．x和y是兩種相關聯的量（x、y均不為0），若3x=7y,則x和y成反比例． _____（判斷對錯）
【答案】×
【解析】根據反比例函數的定義解答即可．
解：∵3x=7y,
∴x=．
∴x與y不是反比例關系．
故答案為：×．
4．圖中，哪些圖中的y與x構成反比例關系請指出．
【解析】根據反比例函數的定義，可得答案．
解：圖中函數關系式分別是
（1）y=vx（v表示速度）是正比例函數；
（2）y=（s表示路程）是反比例函數；
（3）y=（m為物體的質量，l為物體到支點的距離）是反比例函數；
（4）y=kx（k為底面直徑一定時單位高度水的質量）是正比例函數；
（5）y=（V表示水的體積）是反比例函數；
（6）y=（V表示水的體積）是反比例函數．
圖（2）、圖（3）、圖（5）中的y與x符合反比例函數關系．
知識點4 用代數式表示式子，圖形的規律
規律探求的核心是找出每個數對應的位次之間的關系
若數列是分數系列，按分子、分母分別找規律
若數列是正負交替排列則在答案前加上（-1）n+1 ,若數列是負正交替排列在答案前面加上（-1）n
【新知導學】
例4．已知一列數a1，a2，…，an（n為正整數）滿足，請通過計算推算an=_____（用含n的代數式表示），a2011=_____．
【答案】(1);(2);
【解析】代入計算后可得所得結果中的分子均為2，分母為n+1，代入計算可得．
解：由題意得a1=，
a2=；
a3=…，
∴an=（用含n的代數式表示），a2011=．
故答案為；．
【對應導練】
1．已知S1=a+1（a不取0和-1），S2=，S3=，S4=，…按此規律，請用含a的代數式表示S2022=_____．
【答案】
【解析】先分別計算出S2，S3，S4的值，然后通過數字找規律，進行計算即可解答．
解：∵S1=a+1（a不取0和-1），
∴S2===-，
S3===，
S4===a+1，
..．
∴每3個數一循環，
∴2022÷3=674，
∴S2022=，
故答案為：．
2．圖1中三條線段的長如圖所示，用n個圖1拼成圖2的總長度 _____．（用含n的代數式表示）
【答案】5n+2
【解析】觀察得出規律：每增加1個圖1，長度增加5，從而得出答案．
解：用1個圖1的長度為：1+5+1=5×1+2，
用2個圖1拼成的圖形的長度為：1+5+1+5=5×2+2，
用3個圖1拼成的圖形的長度為：1+5+1+5+5=5×3+2，
……
用n個圖1拼成的圖形的長度為：=5n+2，
故答案為：5n+2．
3．同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規律擺放：
（1）第5個圖形中有 _____顆黑色棋子；第8個圖形比第6個圖形多 _____顆黑色棋子；（填數字）
（2）第（n+2）個圖形比第n個圖形中多 _____（用含n的代數式表示）顆黑色棋子．
【答案】(1)19;(2)17;(3)（2n+5）;
【解析】（1）按規律數黑色棋子的個數，找到規律，代入求解即可；
（2）根據（1）中的規律，列整式求解即可．
解：（1）第1個圖形中有1顆黑色棋子；
第2個圖形中有1+2+1顆黑色棋子；
第3個圖形中有1+2+3+2顆黑色棋子；
第4個圖形中有1+2+3+4+3顆黑色棋子；
則第5個圖形中有1+2+3+4+5+4=19顆黑色棋子；
故答案為：19；
第6個圖形中有1+2+3+4+5+6+5=26顆黑色棋子；
第8個圖形中有1+2+3+4+5+6+7+8+7=43顆黑色棋子；
所以第8個圖形比第6個圖形多43-26=17顆黑色棋子；
故答案為：17．
（2）由（1）得，第n個圖形中有黑色棋子[1+2+ +n+（n-1）]顆，
第（n+2）個圖形中有黑色棋子[1+2+ +n+（n+1）+（n+2）+（n+1）]顆，
[1+2+ +n+（n+1）+（n+2）+（n+1）]-[1+2+ +n+（n-1）]
=（n+1）+（n+2）+（n+1）-（n-1）
=2n+5，
所以第（n+2）個圖形比第n個圖形中多（2n+5）顆黑色棋子．
故答案為：（2n+5）．
4．用同樣規格的黑、白兩種顏色的正方形瓷磚按如圖所示的方式鋪寬為1.5米的小路．
（1）鋪第5個圖形用黑色正方形瓷磚_____塊；
（2）按照此方式鋪下去，鋪第n個圖形用黑色正方形瓷磚_____塊；（用含n的代數式表示）
（3）若黑、白兩種顏色的瓷磚規格都為（長0.5米×寬0.5米），且黑色正方形瓷磚每塊價格25元，白色正方形瓷磚每塊價格30元，若按照此方式恰好鋪滿該小路某一段（該段小路的總面積為18.75平方米），求該段小路所需瓷磚的總費用．
【答案】(1)21;(2)（4n+1）;
【解析】（1）根據圖形的變化規律即可求解；
（2）根據（1）中所得結果即可得到第n個圖形的結果；
（3）先根據圖形的變化規律用含n的代數式表示白色瓷磚的塊數，再根據題意列方程求出n的值進而求出總費用．
解：（1）鋪第1個圖形用黑色正方形瓷磚4+1=5塊；
鋪第2個圖形用黑色正方形瓷磚4×2+1=9塊；
鋪第3個圖形用黑色正方形瓷磚4×3+1=13塊；
鋪第4個圖形用黑色正方形瓷磚4×4+1=17塊；
鋪第5個圖形用黑色正方形瓷磚4×5+1=21塊；
故答案為21．
（2）根據（1）的規律，得
鋪第n個圖形用黑色正方形瓷磚（4n+1）塊；
故答案為（4n+1）．
（3）根據題意，得
鋪第n個圖形用白色正方形瓷磚為2（n+1）．
∴[（4n+1）+2（n+1）]×0.5×0.5=18.75，
解得n=12．
該段小路所需瓷磚的總費用為：
25（4n+1）+30×2（n+1）
=160n+85，
當n=12時，160n+85=2005．
答：該段小路所需瓷磚的總費用為2005元．
二、題型訓練
1.用代數式表示數量關系
1．某產品的成本為A元，按成本加價四成作為定價銷售，因季節原因按定價的六折出售，降價后的售價為（　　）元．
A. （60%-40%）A B. 60%×40%A
C. （1+40%）60%A D. （1+40%）（1-60%）A
【答案】C
【解析】根據題意列出代數式即可，加價四成即為（1+40%）A，六折即為原價的60%．
解：成本為A元，按成本加價四成作為定價銷售即，定價為：（1+40%）A，
而降價后的售價按定價的六折，故降價后的售價為：（1+40%）60%A，
故A、B、D錯誤，
故選：C．
2．如果甲、乙兩地相距100千米，汽車每小時行駛v千米，那么從甲地到乙地需要_____小時（用含有v的代數式表示）．
【答案】
【解析】根據時間=路程÷速度即可求解．
解：由題意可得，從甲地到乙地需要小時．
故答案為：．
3 .某工廠第一車間有x人，第二車間人數比第一車間人數的少20人，第三車間人數是第二車間人數的多10人．
（1）求第三車間有多少人？（用含x的代數式表示）
（2）求三個車間共有多少人？（用含x的代數式表示）
（3）如果從第二車間調出10人到第一車間，原第三車間人數比調動后的第一車間人數少多少人？
【解析】（1）先表示出第二車間的人數，再表示出第三車間的人數即可；
（2）把表示三個車間的人數的代數式相加即可得到答案；
（3）先表示出調動后第一車間的人數，再用調動后第一車間的人數減去第三車間的人數即可．
解：（1）∵第二車間的人數比第一車間人數的少20人，即人，
而第三車間人數是第二車間人數的多10人，
∴第三車間的人數為：人；
（2）三個車間共有：人；
（3）（x+10）-（x-15）=25（人），
答：原第三車間人數比調動后的第一車間人數少25人．
2.用代數式表示式子規律
4 .觀察下列等式：
第1個等式：a1==×（1-）；
第2個等式：a2==×（-）；
第3個等式：a3==×（-）；
第4個等式：a4==×（-）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規律列出第5個等式：a5=_____；
（2）用含有n的代數式表示第n個等式：an=_____=_____（n為正整數）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
【答案】(1)=;(2);(3);
【解析】（1）（2）觀察知，找第一個等號后面的式子規律是關鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續奇數的乘積，它們與式子序號之間的關系為 序號的2倍減1和序號的2倍加1．
（3）運用變化規律計算．
解：根據觀察知答案分別為：
（1）； ；
（2）； ；
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100
=×（1-）+×（-）+×（-）+×（-）+…+×
=（1-+-+-+-+…+-）
=（1-）
=×
=．
5．觀察下列等式：
12×231=132×21；
13×341=143×31；
23×352=253×32；
34×473=374×43；
62×286=682×26；
…
以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同的規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”．
（1）根據上述各式反映的規律填空，使式子成為“數字對稱等式”：
54×_____=_____×45．
（2）設這類等式左邊兩位數的十位數字為a,個位數字為b,且2≤a+b≤9．
①等式左邊的兩位數與三位數的積能否被2023整除？請說明理由；
②請用含a,b的代數式表示“數字對稱等式”并證明．
【答案】(1)495;(2)594;
【解析】（1）觀察規律，左邊，兩位數所乘的數是這個兩位數的個位數字變為百位數字，十位數字變為個位數字，兩個數字的和放在十位；右邊，三位數與左邊的三位數字百位與個位數字交換，兩位數與左邊的兩位數十位與個位數字交換然后相乘，根據此規律進行填空即可；
（2）按照（1）中對稱等式的方法寫出，然后利用多項式的乘法進行證明即可．
解：（1）∵5+4=9，
∴左邊的三位數是495，右邊的三位數是594，
∴54×495=594×45，
故答案為：495，594；
（2）①∵左邊兩位數的十位數字為a,個位數字為b,
∴左邊的兩位數是10a+b,三位數是100b+10（a+b）+a,
右邊的兩位數是10b+a,三位數是100a+10（a+b）+b,
2023÷[（10a+b）（100b+10（a+b）+a）]
=2023÷[（10a+b）（110b+11a）]
=2023÷（1100ab+110a2+110b2+11ab）
=2023÷（1100ab+110a2+110b2+11ab）
=2023÷[11（101ab+10a2+10b2）]
∴等式左邊的兩位數與三位數的積不能被2023整除；
②一般規律的式子為：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
證明：左邊=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，
=（10a+b）（100b+10a+10b+a），
=（10a+b）（110b+11a），
=11（10a+b）（10b+a），
右邊=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
=（100a+10a+10b+b）（10b+a），
=（110a+11b）（10b+a），
=11（10a+b）（10b+a），
左邊=右邊，
所以“數字對稱等式”一般規律的式子為：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．
3.用代數式表示圖形規律
6．如圖，下面是用火柴棍擺的正方形，請你仔細觀察第n個圖形中共有_____根（用n的代數式表示）火柴棍．
【答案】（3n+1）
【解析】通過觀察圖形可知，第一個圖形是由四根火柴擺成，以后加三根就可加一個正方形，以此類推，得出結論．
解：從圖中可知n每增加1，就要多用3根火柴棍，
n=1，所用火柴棍3+1=4根，
n=2，所用火柴棍2×3+1=7根，
n=3，所用火柴棍3×3+1=10根，
n=4，所用火柴棍4×3+1=13根
…
第n個圖形中就該有火柴棍3n+1．故答案為：（3n+1）．
7．觀察下列圖形中點的個數．
（1）圖2中點的個數是 _____；
（2）若按其規律再畫下去，如果圖形中有36個點，那它是第 _____個圖形；
（3）若按其規律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數為 _____（用含n的代數式表示）．
【答案】(1)9;(2)5;(3)（n+1）2;
【解析】（1）圖2中點的個數為1+3+5=9；
（2）由第1個圖形中點的個數為：1+3=4，第2個圖形中點的個數為：1+3+5=9，第3個圖形中點的個數為：1+3+5+7=16，…得出第n個圖形中點的個數為：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．進一步得出36=（5+1）2，也就是第5個圖形
（3）利用（2）中的規律得出答案即可．
解：（1）圖2中有9個點；
（2）∵第1個圖形中點的個數為：1+3=4，
第2個圖形中點的個數為：1+3+5=9，
第3個圖形中點的個數為：1+3+5+7=16，
…
∴第n個圖形中點的個數為：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．
36=（5+1）2，也就是第5個圖形；
（3）第n個圖形中點的個數為：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．
故答案為：9，5，（n+1）2．
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．某產品的成本為A元，按成本加價四成作為定價銷售，因季節原因按定價的六折出售，降價后的售價為（　　）元．
A. （60%-40%）A B. 60%×40%A
C. （1+40%）60%A D. （1+40%）（1-60%）A
【答案】C
【解析】根據題意列出代數式即可，加價四成即為（1+40%）A，六折即為原價的60%．
解：成本為A元，按成本加價四成作為定價銷售即，定價為：（1+40%）A，
而降價后的售價按定價的六折，故降價后的售價為：（1+40%）60%A，
故A、B、D錯誤，
故選：C．
2．甲數是乙數的4倍少3，則下列說法正確的是（　　）
①設乙數為x,甲數為4x-3
②設甲數為x,乙數為x+3
③設甲數為x,乙數為（x+3）
④設甲數為x,乙數為（x-3）
A. ①③ B. ①② C. ②④ D. ①④
【答案】A
【解析】理清數量關系并用代數式表示出即可．
解：甲數是乙數的4倍少3，
若設乙數為x,甲數為4x-3；若設甲數為x,則乙數的4倍是（x+3），所以乙數為（x+3），
∴①、③正確，
故B、C、D錯誤，
故選：A．
3．用代數式6x2表示下列數量關系不恰當的是（　　）
A. 6個邊長為xcm的正方形面積之和為6x2cm2
B. 底面半徑為xcm、高為6cm的圓柱的體積為6x2cm3
C. 棱長為xcm的正方體的表面積為6x2cm2
D. 定價為600元的商品連續兩次打x折后的售價為6x2元
【答案】B
4．日歷中同一豎列相鄰三個數的和不可能是（　　）
A. 35 B. 39 C. 51 D. 60
【答案】A
【解析】設三個數中最小的數為x,則另外兩數分別為（x+7），（x+14），將三個數相加可得出日歷中同一豎列相鄰三個數的和為3的倍數，再對照四個選項即可得出結論．
解：設三個數中最小的數為x,則另外兩數分別為（x+7），（x+14），
∴日歷中同一豎列相鄰三個數的和為x+（x+7）+（x+14）=3x+21=3（x+7），
∴日歷中同一豎列相鄰三個數的和為3的倍數．
又∵35÷3=11……2，
∴日歷中同一豎列相鄰三個數的和不可能為35．
故選：A．
5．下列用語言敘述式子：-4表示的數量關系，表述不正確的是（　　）
A. 比x的倒數小4的數 B. 比x的倒數大4的數
C. x的倒數與4的差 D. 1除以x的商與4的差
【答案】B
【解析】根據代數式的表示意義可以分別判斷各選列出的代數式
解：A選項表示的是-4；
B選項表示的是+4；
C選項表示的是-4；
D選項表示-4．
故選：B．
6．下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規律組成，其中第①個圖形一共有2個五角星，第②個圖形一共有8個五角星，第③個圖形一共有18個五角星，……，則第⑤個圖形中五角星的個數為（　　）
A. 32 B. 40 C. 50 D. 68
【答案】C
【解析】根據所給圖形，發現五角星個數的變化規律即可解決問題．
解：由題知，
第①個圖形中五角星的個數為：2=2×12；
第②個圖形中五角星的個數為：8=2×22；
第③個圖形中五角星的個數為：18=2×32；
…，
所以第n個圖形中五角星的個數為2n2．
當n=5時，
2n2=2×52=50（個）．
即第⑤個圖形中五角星的個數為50個．
故選：C．
7．如圖是一組有規律的圖案，它們由邊長相等的等邊三角形組成，第1個圖案有4個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形，…，照此規律，擺成第6個圖案需要的三角形個數是（　　）
A. 19個 B. 22個 C. 25個 D. 26個
【答案】A
【解析】根據圖形的變化發現規律，即可用含n的代數式表示．
解：第1個圖案有4個三角形，即4=3×1+1，
第2個圖案有7個三角形，即7=3×2+1，
第3個圖案有10個三角形，即10=3×3+1，
…，
按此規律擺下去，
第n個圖案有（3n+1）個三角形．
第6個圖案有（3×6+1）=19個三角形．
故選：A．
8．已知汽車油箱內有油50L，每行駛100km耗油10L，那么汽車行駛過程中油箱內剩余的油量Q（L）與行駛路程s（km）之間的關系式是（　　）
A. Q=50- B. Q=50+
C. Q=50- D. Q=50+
【答案】C
【解析】根據油箱內余油量=總油量-已用油量，用代數式表示已用油量即可．
解：Q=50-×10
=50-，
故選：C．
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．用漫灌方式給綠地澆水，a天用水10噸，改用噴灌方式后，10噸水可以比原來多用5天，那么噴灌比漫灌平均每天節約用水 _____噸．
【答案】
【解析】漫灌時平均每天的用水量為噸，噴灌平均每天用水量為噸，然后求它們的差即可．
解：噴灌比漫灌平均每天節約用水量為-=（噸）．
故答案為：．
10．結合生活經驗對代數式3a+2b作出解釋：_____．
【答案】小明去商店購買文具，已知每支圓珠筆a元，每支鉛筆b元，小明買了3支圓珠筆，2支鉛筆，共花了多少錢？（答案不唯一）
【解析】根據代數式表示的形式，3倍的a與2倍的b的和，由此可解．
解：小明去商店購買文具，已知每支圓珠筆a元，每支鉛筆b元，小明買了3支圓珠筆，2支鉛筆，共花了多少錢？
11．某網店進行促銷，將原價a元的商品以（0.8a-20）元出售，該網店對該商品促銷的方法是 _____．
【答案】打八折后再讓利20元
【解析】根據實際售價表達式進行求解．
解：∵當商品的原價a元時，（0.8a-20）元出售表示是打八折后再讓利20元，
∴該網店對該商品促銷的方法是打八折后再讓利20元，
故答案為：打八折后再讓利20元．
12．觀察“田”字中各數之間的關系：
則c的值為_____．
【答案】270或28+14
【解析】依次觀察每個“田”中相同位置的數字，即可找到數字變化規律，再觀察同一個“田”中各個位置的數字數量關系即可．
解：經過觀察每個“田”左上角數字依此是1，3，5，7等奇數，此位置數為15時，恰好是第8個奇數，即此“田”字為第8個．觀察每個“田”字左下角數據，可以發現，規律是2，22，23，24等，則第8數為28．觀察左下和右上角，每個“田”字的右上角數字依次比左下角大0，2，4，6等，到第8個圖多14．則c=28+14=270．
故答案為：270或28+14．
13．如圖，用灰、白兩種顏色的正三角形瓷磚鋪設地面，則第 _____個圖案中有55塊白色瓷磚．
【答案】9
【解析】根據圖形的變化尋找規律即可求解．
解：觀察圖形的變化可知：
第1個圖中白色瓷磚2=3塊；
第2個圖中白色瓷磚1+2+3=6塊；
第3個圖中白色瓷磚1+2+3+4=10塊；
…
發現規律，
第n個圖中白色瓷磚（1+2+3+...n+1）塊；
1+2+3+...n+1=55，
解得n=9．
故答案為：9．
三、解答題(共6題，共48分，每小題8分)
14．某校團委組織了有獎征文活動，并設立了一、二、三等獎，根據設獎情況買了50件獎品，其二等獎獎品的件數比一等獎獎品的件數的2倍少10，各種獎品的單價如下表所示：
一等獎獎品 二等獎獎品 三等獎獎品
單價/元 12 10 5
數量/件 x _____ _____
如果計劃一等獎獎品買x件，買50件獎品的總價是y元．
（1）先填表，再用含x的代數式表示y并化簡；
（2）若一等獎獎品買10件，則共花費多少？
【答案】(1)2x-10;(2)60-3x;
【解析】根據表內信息，一等獎x件，由題意，二等獎是（2x-10）件，三等獎是[50-x-（2x-10）]件，即（60-3x）件，根據二、三等獎件數填表即可．
（1）根據“單價×數量=總價”分別求出買一、二、三等獎的總價，買一、二、三等獎的總價之和就是買50件獎品的總錢數．
（2）根據“單價×數量=總價”，即可求出一等獎獎品買10件，共花費多少元．
解：（1）二等獎是：2x-10（件），
三等獎是：50-x-（2x-10）
=50-x-2x+10
=60-3x（件），
填表如下：
一等獎獎品 二等獎獎品 三等獎獎品
單價/元 12 10 5
數量/件 x 2x-10 60-3x
用含有x的代數式表示y是：
y=12x+（2x-10）×10+（60-3x）×5
=12x+20x-100+300-15x
=17x+200；
（2）當x=10時，y=17×10+200=370（元）．
答：若一等獎獎品買10件，共花費370元．
故答案為：2x-10；60-3x.
15．指出下列各代數式的意義：
（1）a2+2；
（2）a（b+1）-1．
【解析】（1）先 描述a的平方，再描述與2的和；
（2）先描述a與b加1的和的積，再描述與1的差．
解：（1）a2+2表示a的平方與2的和；
（2）a（b+1）-1表示a與b加1的和的積減去1的差．
16．將下列代數式用文字語言表示：
（1）（a+b）2；
（2）a2+b2．
你能說出這兩個式子有什么不同嗎？
【解析】（1）根據代數式的運算順序描述其意義即可；
（2）根據代數式的運算順序描述其意義即可．
解：（1）（a+b）2表示a與b的和的平方；
（2）a2+b2表示a、b的平方和．
第一個式子先算和，再算乘方，第二個式子先算乘方，再算和．
17．2020年12月17日，惠州市下發通知，2021年1月1日起，調整惠城區出租車收費標準，調整后的新收費標準如下表所示，根據此最新收費標準，解決下列相關問題：
行駛路程 收費標準（新）
不超出2km的部分 起步價：8元
超出2km的部分 2.6元/km
（1）若行駛路程為5km,則應付打車費用為 _____元；
（2）若行駛路程為x km（x＞6），則打車費用為 _____元（用含x的代數式表示）；
（3）2021年1月22日，某校一同學放學回家，已知打車費用為34元，則他家離學校多遠？
【答案】(1)15.8;(2)（2.6x+2.8）;
【解析】（1）根據打車費=起步價+2.6×（路程-2），即可求出結論；
（2）根據打車費=起步價+2.6×（路程-2），即可用含x的代數式表示出結論；
（3）設他家離學校x千米，結合（2）即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．
解：（1）8+2.6×（5-2）=15.8（元）．
故答案為：15.8；
（2）打車費用為8+2.6（x-2）=（2.6x+2.8）（元）．
故答案為：（2.6x+2.8）；
（3）設他家離學校x千米，
依題意，得：2.6x+2.8=34，
解得：x=12．
答：他家離學校12千米．
18．A，B兩倉庫分別有大米20噸和30噸，C，D兩超市分別需要大米15噸和35噸．已知從A，B兩倉庫到C，D兩超市的運價如表：
到C超市 到D超市
A倉庫 每噸150元 每噸120元
B倉庫 每噸100元 每噸90元
設從A倉庫運往C超市的大米是x噸．
（1）請分別求出從A，B兩倉庫運往C，D兩超市大米的運輸重量．（用含x的代數式表示）
（2）若x=8，請分別求出從A，B兩倉庫運往C，D兩超市大米的運輸費用．
【解析】（1）A倉庫原有的20噸去掉運到C超市的大米，就是運到D超市的大米；B倉庫運到C超市的大米噸數就是C超市需要的大米減去從A倉庫運到C超市的大米，最后即可求得B倉庫運到D超市的大米噸數；
（2）將x=8代入從A，B兩倉庫運往C，D兩超市大米的運輸重量，再乘每噸的運費即可．
解：（1）從A倉庫運往C超市大米的運輸重量為x噸，
從A倉庫運往D超市大米的運輸重量為（20-x）噸，
從B倉庫運往C超市大米的運輸重量為（15-x）噸，
從B倉庫運往D超市大米的運輸重量為（15+x）噸．
（2）從A倉庫運往C超市大米的運輸費用為150x=15×8=1200（元），
從A倉庫運往D超市大米的運輸費用為120（20-x）=120×（20-8）=1440（元），
從B倉庫運往C超市大米的運輸費用為100（15-x）=100×（15-8）=700（元），
從B倉庫運往D超市大米的運輸費用為90（15+x）=90×（15+8）=2070（元）．
19．某花卉生產基地舉行花卉展覽，如圖所示是用這兩種花卉擺成的圖案，白色圓點為盆景，灰色圓點為盆花．圖1中盆景數量為2，盆花數量為2；圖2中盆景數量為4，盆花數量為6；圖3中盆景數量為6，盆花數量為12……
按照以上規律，解決下列問題：
（1）圖6中盆景數量為 _____，盆花數量為 _____；
（2）已知該生產基地展出以上兩種花卉在某種圖案中的數量之和為130盆，分別求出該圖案中盆景和盆花的數量；
（3）若有n（n為偶數，且n≥2）盆盆景需要展出（只擺一種圖案），照此組合圖案，需要盆花的數量為 _____．（用含n的代數式表示）
【答案】(1)12;(2)42;(3);
【解析】（1）根據題意可得第n個圖盆景有：2n,盆花有n（n+1），從而可求解；
（2）根據（1）中的規律進行求解即可；
（3）根據（1）中的分析進行求解即可．
解：（1）∵圖1中盆景數量為2=2×1，盆花數量為2=1×2；
圖2中盆景數量為4=2×2，盆花數量為6=2×3；
圖3中盆景數量為6=2×3，盆花數量為12=3×4，
…
∴圖n中盆景有：2n,盆花有n（n+1），
當n=6時，2×6=12，6×（6+1）=42，
故答案為：12，42；
（2）由題意得：2n+n（n+1）=130，
解得：n=10，n=-13（不合題意），
故盆景有：2×10=20（盆），10×（10+1）=110（盆）；
（3）由（1）得：當有n盆盆景時，則屬于第個圖，
需要盆花為：．
故答案為：．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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