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九年級數學上點撥與精練
第24章 圓 小結與復習
一.知識導航
二、熱門考點整合
本章熱門考點概括為：一個概念、三個定理、兩個性質、三個關系、兩個圓與三角形、三個公式、兩個技巧和兩種思想。
考點1 一個概念----圓的相關概念
1．圓的定義
　　(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.
　　(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.
易錯點撥：
　 ①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
　②圓是一條封閉曲線.
典例剖析
1．有下面4個命題：
①直徑相等的兩個圓是等圓；②長度相等的弧是等弧；③圓中最長的弦是通過圓心的弦； ④一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧不可能是等弧，其中真命題的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．下列說法中，不正確的是（ ）
A．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
B．圓的每一條直徑都是它的對稱軸
C．圓繞著它的圓心旋轉任意角度，都會與自身重合
D．圓的對稱軸有無數條，對稱中心只有一個
3．如圖，是的半徑，B為上一點（不與點O，A重合），過點B作的垂線交于點C．以為邊作矩形，連接．若，則的長為 ．
考點2 三個定理
定理1 垂徑定理
軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸.
垂徑定理及推論：
①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.
④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夾的弧相等.
易錯點撥：
在垂經定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）
4．如圖，在扇形中，點D在上，點C在上，．若，則的半徑為( )
A． B． C． D．
5．如圖，為半圓的直徑，為弦的中點，為的中點，連接．若，則的長為 ．
6．某一公路雙向隧道由一弧形拱與矩形組成，經測量得，．為了確定弧形拱的半徑長度，某勒測隊找到一根長的筆直桿子，直立桿子，調整桿子位置，使點落在上，點落在上，此時．
(1)①如圖是勒測隊繪制的平面示意圖，請你用直尺和圓規作出弧形拱所在圓的圓心（保留作圖痕跡）．
②圓心到直線的距離是______．（直接寫出答案）
(2)求出弧形拱所在圓的半徑．
定理2 圓心角、弦、弧間的關系定理
旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.
　　 在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等.
7．如圖，在半圓中，是半圓上的一個點，將沿弦折疊交直徑于點，點是的中點，連接，若的最小值為，則 ．
8．如圖，是的直徑，點，在上，于點，于點，．求證：．
9．如圖，已知是的直徑，點在上，且C是優弧的中點，過點C作于點D．
(1)求證：；
(2)連接，若，求的長．
定理3 圓周角定理
圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.
圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半.
推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等.
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.
易錯點撥：
圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
10．如圖所示，四邊形是半徑為r的的內接四邊形，是的直徑，，直線l與三條線段、、的延長線分別交于點E、F、G．且滿足．
(1)求證：直線直線；
(2)若．
①求證：；
②若半徑，求四邊形ABCD的周長．
11．如圖，四邊形是的內接四邊形，連接，E為延長線上一點，且平分．
(1)如圖①，若，求證：為等邊三角形；
(2)如圖②，若，求的半徑．
12．如圖，是半圓O的直徑，C，D是圓上的兩點，，且，與交于點E．
(1)求證：E為的中點．
(2)若，，求的長度．
考點3 兩個性質
性質1 圓內接四邊形性質
圓內接四邊形對角互補
13．已知中，．以為直徑的與的交點分別為D，E．
(1)如圖①，求的大小：
(2)如圖②，當時，求的大小．
14．如圖，中，，以為直徑的交于，交于．
(1)求證：；
(2)若，求和的度數．
性質2圓的切線的性質
①圓的切線垂直于過切點的半徑.
②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點.
③經過切點作切線的垂線經過圓心.
切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.
切線長定理：過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.
15．如圖，P為外一點，，是的切線，A，B為切點，點C在上，連接，，．
(1)求證：；
(2)連接，若，的半徑為5，，求的長．
16．在中，為直徑，為上一點．

(1)如圖①，過點作的切線，與的延長線相交于點，若，求的大小；
(2)如圖②，為上一點，且經過的中點，連接并延長，與的延長線相交于點，若，求的大小．
考點4 三個關系
關系1 點和圓的位置關系
點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外 d＞r②點P在圓上 d＝r③點P在圓內 d＜r
17．在直角坐標平面內，點A的坐標為，點B的坐標為，圓A的半徑為2．若點B在圓上，則a值為（　　）
A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2
18．如圖，已知是線段上的兩點，，以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使兩點重合成一點C，構成，設，若以點B為圓心，為半徑作，使點M和點N都在外，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
關系2 直線和圓的位置關系
設⊙O 半徑為R，點O到直線的距離為.
(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.
　(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.
　(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.
19．如圖，中，，，，D是上一點，E是上一點，，若以為直徑的圓交于M、N點，則的最大值為 ．
20．已知：內接于，過點A作直線．
(1)如圖1，為直徑，要使為的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩種情況）：
①___________；②_____________．
(2)如圖2，是非直徑的弦，，求證：是的切線．
關系3 正多邊形和圓的位置關系
把一個正多邊形的外接圓和內切圓的公共圓心，叫做正多邊形的中心. 外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距，正多邊形每一條邊所對的圓心角，叫做正多邊形的中心角，正n邊形的每個中心角都等于 .
21．正六邊形是所有邊相等、所有內角相等的六邊形．在正六邊形的邊上取三點，若三點構成的三角形為等邊三角形，則稱該組成的圖形為“優美圖形”，等邊三角形的邊長為“優美邊長”．如圖，“優美圖形”中正六邊形的邊長為3，則“優美邊長”的取值范圍為 ．
22．如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數為
考點5 兩個圓與三角形
三角形的外接圓
（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個．
23．如圖，已知是的外心，分別是、的中點，連接、交于點，若，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
24．如圖，直角坐標系中，經過A，B，C三點的圓，圓心為M，則點M的坐標為（　　）
A． B． C． D．
三角形的內切圓
（1）與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內切圓
（2）內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內心.
25．已知中，，點I是它的內心，則 ．
26．已知如圖，的內心為，連接并延長交的外接圓于點．
(1)求證：；
(2)直接寫出點D是連接圖中哪三個點構成的三角形的外心．
考點6 三個公式
公式1 弧長公式
扇形的弧長l=；
注意：用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的.。
27．如圖，邊長為2的菱形繞點A旋轉，當B、C兩點恰好落在扇形的弧上時，弧的長度等于（ ）
A． B． C． D．
28．半圓O與平面直角坐標系交于點，點C在上運動（不與A，B重合），連接，與的平分線交于點D，則C從A點運動到B點的過程中，點D的運動路徑長為 ．
公式2 扇形面積公式
（1）扇形的定義：圓的一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.
如圖，黃色部分是一個扇形，記作扇形OAB.
（2）扇形的面積S==．扇形的面積與圓心角、半徑有關.
29．如圖，在邊長為2的正方形中，先以點為圓心，的長為半徑畫弧，再以邊的中點為圓心，長的一半為半徑畫弧，則兩弧之間的陰影部分面積是 （結果保留）．
30．如圖，以銳角的三條邊為直徑作圓．如果三角形外的陰影部分總面積為450，而三角形內部的深色陰影部分面積為90，則的面積為 ．
公式3 圓錐的側面積和全面積公式
（1）圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．
（2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，
圓錐的側面積為S圓錐側=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
注意：在求不規則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規則圖形，再利用規則圖形的公式求解．
31．在一塊大鐵皮上裁剪如圖所示圓錐形的煙囪帽，它的底面直徑為80cm，母線為50cm．，求裁剪的面積．
32．已知一個圓錐沿軸剖開是一個等腰三角形．若這個三角形的底為，腰為．
(1)求圓錐側面展開圖的扇形弧長．
(2)求圓錐的全面積．
考點7 兩個技巧
技巧1 作同弧所對的圓周角（特別地：直徑所對的圓周角是直角）
33．如圖，是的直徑，點為上一點，為弧的中點，過作于點，交于點，交弦于點，連接，．
(1)求證：．
(2)若，，求的半徑．
34 ．如圖，的直徑為10，弦為6，D是的中點，弦和交于點F，且．
(1)求證：；
(2)求證：
(3)求的長．
技巧2 作半徑（特別地：垂直于弦的半徑；過切點的半徑）
35．如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點．
(1)求證：．
(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．
36．如圖，為的直徑，交于點C，D為上一點，延長交于點E，延長至F，使，連接．
(1)求證：為的切線；
(2)若且，求的半徑．
37．在中，為直徑，為上一點．

(1)如圖①，過點作的切線，與的延長線相交于點，若，求的大小；
(2)如圖②，為上一點，且經過的中點，連接并延長，與的延長線相交于點，若，求的大小．
考點8 兩種思想
思想1 分類討論思想
38．在⊙O中直徑為4，弦AB＝2，點C是圓上不同于A、B的點，那么∠ACB度數為 ．
39．已知的半徑為13，弦平行于，，求和之間的距離．
思想2 方程思想
40 .如圖是一根裝有水的圓柱形排水管道截面圖，已知水面的寬為米，水面與管道上端的最大距離為0.2米，則水面距管道底部的最大深度為（ ）
A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米
41．如圖，一個圓形瓶蓋和一個直角三角形紙板，點O在斜邊上．與分別交于點B和D，與切于點E，于點F．
(1)求證：；
(2)若，求的半徑長．
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓 小結與復習
一.知識導航
二、熱門考點整合
本章熱門考點概括為：一個概念、三個定理、兩個性質、三個關系、兩個圓與三角形、三個公式、兩個技巧和兩種思想。
考點1 一個概念----圓的相關概念
1．圓的定義
　　(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.
　　(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.
易錯點撥：
　 ①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
　②圓是一條封閉曲線.
典例剖析
1．有下面4個命題：
①直徑相等的兩個圓是等圓；②長度相等的弧是等弧；③圓中最長的弦是通過圓心的弦； ④一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧不可能是等弧，其中真命題的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了命題與定理及圓的認識的知識，解題的關鍵是了解等圓、等弧、弦的定義，難度不大，屬于基礎題．利用等圓、等弧、弦的定義分別判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：①直徑相等的兩個圓是等圓，正確，是真命題；
②長度相等的弧是等弧，錯誤，是假命題；
③圓中最長的弦是通過圓心的弦，正確，是真命題；
④一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧不一定是等弧，錯誤，是假命題，
真命題有兩個．
故選：B．
2．下列說法中，不正確的是（ ）
A．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
B．圓的每一條直徑都是它的對稱軸
C．圓繞著它的圓心旋轉任意角度，都會與自身重合
D．圓的對稱軸有無數條，對稱中心只有一個
【答案】B
【分析】本題主要考查圓的對稱性，掌握圓的軸對稱和旋轉不變性是解題的關鍵．
【詳解】解：A. 圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，說法正確；
B. 圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，原說法錯誤；
C. 圓繞著它的圓心旋轉任意角度，都會與自身重合，說法正確；
D. 圓的對稱軸有無數條，對稱中心只有一個，說法正確；
故選：B．
3．如圖，是的半徑，B為上一點（不與點O，A重合），過點B作的垂線交于點C．以為邊作矩形，連接．若，則的長為 ．
【答案】4
【分析】本題考查勾股定理、矩形的性質、圓的基本概念等知識．根據題意利用矩形的性質得出是解此題的關鍵．
如圖，連接．由矩形的性質得到，勾股定理得到，即可得到的長．
【詳解】解：如圖，連接．
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故答案為：4．
考點2 三個定理
定理1 垂徑定理
軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸.
垂徑定理及推論：
①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.
④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夾的弧相等.
易錯點撥：
在垂經定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）
4．如圖，在扇形中，點D在上，點C在上，．若，則的半徑為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點作與，連接交與點，連接，利用勾股定理求出，再證明點是的中點，利用中位線定理和直角三角形的中線的性質分別求出和，從而得到，最后用勾股定理求即可．
【詳解】解：過點作與，連接交與點，連接，
∵，，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的中點，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
即的半徑為，
故選：C．
【點睛】本題考查垂徑定理，垂直平分線的性質，直角三角形中線的性質，中位線的性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質等知識，綜合性較大，利用垂徑定理構造輔助線和證明點是的中點是解題的關鍵．
5．如圖，為半圓的直徑，為弦的中點，為的中點，連接．若，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了垂徑定理的推論，矩形的性質與判定，勾股定理，連接與交于點M，則四邊形是矩形．設，則，在中，根據勾股定理建立方程，解方程得出，進而得出，，在中，勾股定理，即可求解．
【詳解】解：連接與交于點M，
∵是直徑，
∴，，
∵分別為的中點，
∴，
∴
∵為的中點，為半徑，
∴
∴四邊形是矩形．
設，則，
在中，
解得：（舍去），
，
∴在中，．
故答案為：．
6．某一公路雙向隧道由一弧形拱與矩形組成，經測量得，．為了確定弧形拱的半徑長度，某勒測隊找到一根長的筆直桿子，直立桿子，調整桿子位置，使點落在上，點落在上，此時．
(1)①如圖是勒測隊繪制的平面示意圖，請你用直尺和圓規作出弧形拱所在圓的圓心（保留作圖痕跡）．
②圓心到直線的距離是______．（直接寫出答案）
(2)求出弧形拱所在圓的半徑．
【答案】(1)①作圖見解析；②；
(2)弧形拱所在圓的半徑為．
【分析】（1）①畫出兩條線段的垂直平分線，交點即為圓心；
②過點作交的延長線于點，交的延長線于點，連接，，
證明四邊形，是矩形，即可求解；
（2）過點作交的延長線于點，交的延長線于點，連接，，設，則，，在中，，即，在中，，即，從而得到，求解即可得出答案．
【詳解】（1）解：在弧形拱上任取一點，連接，分別作、的垂直平分線，兩直線的交點即為圓心，如圖：
②如圖，過點作交的延長線于點，交的延長線于點，連接，，則，
由①可知，垂直平分，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
又∵，，，
∴四邊形，是矩形，
∴，，
∴，
∴圓心到直線的距離是，
故答案為：；
（2）解：如圖：
設，則，，
在中，，即，
在中，，即，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，
∴，
∴弧形拱所在圓的半徑為．
【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質等知識，解題的關鍵是找出弓形所在的圓心，畫出半徑，構造直角三角形，借助勾股定理解題．
定理2 圓心角、弦、弧間的關系定理
旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.
　　 在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等.
7．如圖，在半圓中，是半圓上的一個點，將沿弦折疊交直徑于點，點是的中點，連接，若的最小值為，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了圓的相關知識點的應用，圖形折疊及三角形三邊關系的性質是解題關鍵．連接，，由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當、、共線時最小，設的弧度為，求出的弧度為，再設半徑為r，列方程求解即可．
【詳解】解：補全弧所在的圓及圓心，連接，，，
由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當共線時最小，即，
設的弧度為，
的弧度為：，
，
的弧度為：，
由折疊得，的弧度為，
的弧度為：，
點為弧中點，
的弧度為：，
的弧度為：，
即所對圓心角，
設半圓的半徑為，則由對折可得：，
∵，
，
，
解得：，（不符合題意，舍去）
，
故答案為：．
8．如圖，是的直徑，點，在上，于點，于點，．求證：．
【答案】證明見解析．
【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的關系，全等三角形的判定與性質，連接，，證明，可得，再根據弧、弦、圓心角的關系即可求證，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】證明：如圖，連接，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
9．如圖，已知是的直徑，點在上，且C是優弧的中點，過點C作于點D．
(1)求證：；
(2)連接，若，求的長．
【答案】(1)見解析；
(2)4
【分析】本題主要考查了弦、弧、圓心角的關系、垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，靈活運用相關性質定理成為解題的關鍵．
（1）如圖：連接，延長交于點H．由弦、弧、圓心角的關系可得，進而得到直線垂直平分，則、，再證可得，即可證明結論；
（2）根據三角形中位線的性質可得，設，則，然后根據勾股定理列方程求得R，最后根據線段的和差即可解答．
【詳解】（1）解：如圖：連接，延長交于點H．
是優弧的中點，
，
，
，
直線垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
，
.
（2）解：由（1）知，
∴，
．
設，則，
，
（舍去），
．
定理3 圓周角定理
圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.
圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半.
推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等.
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.
易錯點撥：
圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
10．如圖所示，四邊形是半徑為r的的內接四邊形，是的直徑，，直線l與三條線段、、的延長線分別交于點E、F、G．且滿足．
(1)求證：直線直線；
(2)若．
①求證：；
②若半徑，求四邊形ABCD的周長．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②
【分析】（1）在中，根據同弧所對的圓周角相等可得，結合已知在中根據三角形內角和定理可求得；
（2）①根據圓內接四邊形的性質和鄰補角可得，由直徑所對的圓周角是直角和（1）可得，結合已知即可證得；
②在中由，可得，結合題意易證，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入計算即可求得周長．
【詳解】（1）證明：在中，
，
，即，
在中，
，
，
即直線直線；
（2）解：①四邊形是半徑為r的的內接四邊形，
，
，
，
是的直徑，
，
由（1）可知，
，
在與中，
，
，
②在中，，
，
是的直徑，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
由①可知，
，
，
四邊形的周長為：
．
【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等、三角形內角和定理、垂直的定義、圓內接四邊形的性質、鄰補角互補、直徑所對的圓周角是直角、全等三角形的判定和性質、勾股定理解直角三角形以及周長的計算；解題的關鍵是靈活運用以上知識，綜合求解．
11．如圖，四邊形是的內接四邊形，連接，E為延長線上一點，且平分．
(1)如圖①，若，求證：為等邊三角形；
(2)如圖②，若，求的半徑．
【答案】(1)證明見解析
(2)的半徑為
【分析】本題考查了角平分線的定義、圓內接四邊形的性質、同弧所對圓周角相等、等腰三角形的判定與性質、勾股定理、垂直平分線的性質，解本題的關鍵在正確作出輔助線和熟練掌握相關的性質定理．
（1）利用圓的內接四邊形的性質，圓的性質，角的平分線的意義，證明即可．
（2）過點作于點，連接，根據（1）中，得出，根據等腰三角形三線合一的性質，得出，再根據勾股定理和垂直平分線的性質，得出的長和垂直平分，進而得出圓心在的垂直平分線上，再設的半徑為r，再根據勾股定理，列出方程，解出即可得出的半徑．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形．
（2）解：如圖，過點作于點，連接，
由（1）知：
∴，
∵，
∴，
∴，垂直平分，
∵，
∴圓心在的垂直平分線上，
∴，
設的半徑為r，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴的半徑為．
12．如圖，是半圓O的直徑，C，D是圓上的兩點，，且，與交于點E．
(1)求證：E為的中點．
(2)若，，求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查圓周角定理，平行線的性質，勾股定理，垂徑定理等知識點，熟練掌握運用這些知識點是解題關鍵．
（1）根據直徑的性質可得，根據平行線的性質可證，根據垂徑定理即可得證；
（2）設圓O的半徑為，在中用勾股定理建立方程，求解即可．
【詳解】（1）證明：∵是半圓O的直徑，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即為的中點；
（2）解：設圓O的半徑為，
則，，．
在中，，
∴，
解得 ，
∴．
考點3 兩個性質
性質1 圓內接四邊形性質
圓內接四邊形對角互補
13．已知中，．以為直徑的與的交點分別為D，E．
(1)如圖①，求的大小：
(2)如圖②，當時，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，“弧，弦，圓周角”之間的關系，直徑所對的圓周角是直角．
（1）根據圓內接四邊形對角互補得出，進而得出答案；
（2）連接，根據“弧，弦，圓周角”的關系得出，再根據“直徑所對的圓周角是直角”得出，最后根據直角三角形的兩個銳角互余得出答案．
【詳解】（1）解：∵四邊形是圓內接四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：連接，
∵，
∴．
∵是的直徑，
∴．
在中，．
14．如圖，中，，以為直徑的交于，交于．
(1)求證：；
(2)若，求和的度數．
【答案】(1)見解析
(2)，
【分析】本題考查了圓內接四邊形對角互補，直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形性質以及三角形內角和定理等知識．
（1）連接，先由圓周角定理得，則，再由等腰三角形的性質得即可得出結論；
（2）先求出，根據三角形內角和定理求出，等腰三角形的性質得，再由三角形外角的性質求出，再根據四邊形是的內接四邊形，結合，即可得出的度數．
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：
是的直徑，
，
，
，
．
（2）解：是的直徑，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∵四邊形是的內接四邊形
∴
又∵
∴．
【點睛】本題考查了圓內接四邊形對角互補，直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形性質以及三角形內角和定理和外角的性質等知識．
性質2圓的切線的性質
①圓的切線垂直于過切點的半徑.
②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點.
③經過切點作切線的垂線經過圓心.
切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.
切線長定理：過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.
15．如圖，P為外一點，，是的切線，A，B為切點，點C在上，連接，，．
(1)求證：；
(2)連接，若，的半徑為5，，求的長．
【答案】(1)見解析；
(2)10．
【分析】本題考查了矩形的判定與性質，切線的性質，勾股定理等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）過O作于H，得到，根據切線的性質得到，根據余角的性質得到，根據等腰三角形的性質即可得到結論；
（2）連接，延長交于E，根據切線的性質得到，，根據矩形的性質得到，，根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】（1）證明：過O作于H，如圖：
∴，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：連接，延長交于E，如圖：
∵，是的切線，
∴，，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
16．在中，為直徑，為上一點．

(1)如圖①，過點作的切線，與的延長線相交于點，若，求的大小；
(2)如圖②，為上一點，且經過的中點，連接并延長，與的延長線相交于點，若，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）連接，首先根據切線的性質得到，根據同圓中，等弧所對的圓周角是圓心角的一半得出，然后根據直角三角形兩銳角互余即可求解；
（2）根據垂徑定理可得，根據直角三角形兩銳角互余求得，根據同圓中，等弧所對的圓周角是圓心角的一半得出，根據三角形的外角的性質求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接，

∵與相切于點，
∴，即，
∵，
∴，
在中，，
∴．
（2）解：∵為的中點，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，直角三角形的性質，垂徑定理，三角形的外角性質等．解題的關鍵是能夠利用圓的切線垂直于經過切點的半徑得到直角三角形．
考點4 三個關系
關系1 點和圓的位置關系
點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外 d＞r②點P在圓上 d＝r③點P在圓內 d＜r
17．在直角坐標平面內，點A的坐標為，點B的坐標為，圓A的半徑為2．若點B在圓上，則a值為（　　）
A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2
【答案】B
【分析】本題考查了點與圓的位置關系，正確理解點與圓的位置關系是解題的關鍵．根據點A的坐標和圓A的半徑以及兩點之間的距離即可求出答案．
【詳解】，圓A的半徑為2，
，
，
解得或3．
故選：B．
18．如圖，已知是線段上的兩點，，以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使兩點重合成一點C，構成，設，若以點B為圓心，為半徑作，使點M和點N都在外，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形的三邊關系、點與圓的位置關系、不等式組，比較基礎．利用三角形的三邊關系、點到圓心的距離與半徑的關系分別列不等式，再求解即可．
【詳解】解：在中，
，
，
解得：；
∵以點為圓心，為半徑作圓，使點和點都在外，
且，
，
∴的取值范圍是，
故選：B．
關系2 直線和圓的位置關系
設⊙O 半徑為R，點O到直線的距離為.
(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.
　(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.
　(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.
19．如圖，中，，，，D是上一點，E是上一點，，若以為直徑的圓交于M、N點，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了直線與圓的位置關系、勾股定理以及軌跡等知識，如圖，作于H，于K，由題意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可．
【詳解】如圖，連接，作于H，于K，
，
，
，
，
，
欲求的最大值，只要求出的最小值即可，
，
點O的運動軌跡是以C為圓心，為半徑的圓，
在中，，，
，
，
，
當C、O、H共線，且與重合時，的值最小，
的最小值為，
的最小值為，
故答案為：．
20．已知：內接于，過點A作直線．
(1)如圖1，為直徑，要使為的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩種情況）：
①___________；②_____________．
(2)如圖2，是非直徑的弦，，求證：是的切線．
【答案】(1)①(或)(答案不唯一)
②；(答案不唯一)
(2)見解析
【分析】（1）①根據切線的判斷由或可判斷為的切線；②當，根據圓周角定理得，所以，即，于是也可判斷為的切線；
（2）作直徑，連接，由為直徑得，則，根據圓周角定理得，而，所以，根據切線的判定定理得到為的切線；
【詳解】（1）解：①當(或)可判斷為的切線；
②當，
∵為直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為的切線；
故答案為∶ ①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一)
（2）證明：如圖，作直徑，連接，
∵為直徑，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴為的切線；
【點睛】本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理．
關系3 正多邊形和圓的位置關系
把一個正多邊形的外接圓和內切圓的公共圓心，叫做正多邊形的中心. 外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距，正多邊形每一條邊所對的圓心角，叫做正多邊形的中心角，正n邊形的每個中心角都等于 .
21．正六邊形是所有邊相等、所有內角相等的六邊形．在正六邊形的邊上取三點，若三點構成的三角形為等邊三角形，則稱該組成的圖形為“優美圖形”，等邊三角形的邊長為“優美邊長”．如圖，“優美圖形”中正六邊形的邊長為3，則“優美邊長”的取值范圍為 ．
【答案】（表示“優美邊長”）
【分析】本題主要考查了正多邊形與圓、等邊三角形的性質、勾股定理等知識點，確定“優美邊長”最值點的位置成為解題的關鍵．
根據題意確定“優美邊長”最值點的位置，然后分別畫出圖形，根據正六邊形的性質、勾股定理、直角三角形的性質求解即可解答．
【詳解】解：如圖：當等邊三角形是正六邊形內切圓的內接三角形時，等邊三角形的邊長為“優美邊長”有最小值，
由正六邊形的性質可得：，
∴．
如圖：當等邊三角形是正六邊形外接圓的內接三角形時，等邊三角形的邊長為“優美邊長”有最大值，
由正六邊形的性質可得：，
∴，
∴，
∴，
∴“優美邊長”的取值范圍為（表示“優美邊長”）．
故答案為：（表示“優美邊長”）．
22．如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數為
【答案】九/9
【分析】本題考查正多邊形與圓，圓周角，掌握圓周角定理是解決問題的關鍵，理解正多邊形的邊數與相應的圓心角之間的關系是解決問題的前提．
根據圓周角定理可得正多邊形的邊所對的圓心角，再根據正多邊形的一條邊所對的圓心角的度數與邊數之間的關系可得答案．
【詳解】解：如圖，設正多邊形的外接圓為，連接，，
，
，
而，
這個正多邊形為正九邊形，
故答案為：九．
考點5 兩個圓與三角形
三角形的外接圓
（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個．
23．如圖，已知是的外心，分別是、的中點，連接、交于點，若，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的外接圓和外心，三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性質和勾股定理的逆定理，三角形的面積，連接，，由題意得出，，可證得，根據三角形的面積公式可得出答案，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】連接，，如圖，
∵是的外心，、分別是、的中點，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
故選：．
24．如圖，直角坐標系中，經過A，B，C三點的圓，圓心為M，則點M的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了垂徑定理、坐標與圖形．
由網絡可得出線段和的垂直平分線的交點，這個交點即為圓心M，進而可得點M的坐標．
【詳解】解：如圖，作線段和的垂直平分線，它們的交點為圓心M，則點M坐標為，
故選：C
三角形的內切圓
（1）與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內切圓
（2）內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內心.
25．已知中，，點I是它的內心，則 ．
【答案】/125度
【分析】本題考查了三角形的內心的定義，熟知三角形的內心是三角形角平分線的交點是解題關鍵．先求出，根據內心的定義得到，即可求出，最后求出．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
∵I是內心，
∴、分別平分、，
∴，
∴，
∴ ，
故答案為：．
26．已知如圖，的內心為，連接并延長交的外接圓于點．
(1)求證：；
(2)直接寫出點D是連接圖中哪三個點構成的三角形的外心．
【答案】(1)見解析
(2)點D是連接圖中點構成的三角形的外心．
【分析】本題考查了三角形的內心和外心、圓周角定理、弧、弦、圓心角之間的關系等知識，熟練運用這些性質進行推理是本題的關鍵．
（1）連接，證明即可得到結論．
（2）連接，，證明則點在的垂直平分線上，由得到點在的垂直平分線上，即可得到結論．
【詳解】（1）證明：連接，如圖
∵的內心為，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）連接，，
∵，
∴，
∴
∴點在的垂直平分線上，
∵，
∴點在的垂直平分線上，
∴點D是的外心，
即點D是連接圖中點構成的三角形的外心．
考點6 三個公式
公式1 弧長公式
扇形的弧長l=；
注意：用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的.。
27．如圖，邊長為2的菱形繞點A旋轉，當B、C兩點恰好落在扇形的弧上時，弧的長度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了求弧長，菱形的性質，等邊三角形的性質與判定，先由菱形的性質得到，再證明，得到是等邊三角形，則，據此根據弧長公式求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵四邊形是邊長為2的菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴的長為，
故選C．
28．半圓O與平面直角坐標系交于點，點C在上運動（不與A，B重合），連接，與的平分線交于點D，則C從A點運動到B點的過程中，點D的運動路徑長為 ．
【答案】
【分析】作的外接圓，記為，連接，可求，則點在以點為圓心的上運動，那么C從A點運動到B點的過程中，點D的運動路徑長為以為圓心的的長度，由圓周角定理得：，與，，那么在中，由勾股定理求得，再由弧長公式即可求解．
【詳解】解：作的外接圓，記為，連接，
由題意得，為直徑，則，
∴，
∵與的平分線交于點D，
∴，
∴
∴
∴，
∴點在以點為圓心的上運動，
∴C從A點運動到B點的過程中，點D的運動路徑長為以為圓心的的長度，
由圓周角定理得：，
∵，，
∴在中，由勾股定理求得，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，求弧長，三角形的內角和定理和角平分線的定義，難度較大，熟練掌握知識點，識別“定弦定角”模型是解題的關鍵．
公式2 扇形面積公式
（1）扇形的定義：圓的一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.
如圖，黃色部分是一個扇形，記作扇形OAB.
（2）扇形的面積S==．扇形的面積與圓心角、半徑有關.
29．如圖，在邊長為2的正方形中，先以點為圓心，的長為半徑畫弧，再以邊的中點為圓心，長的一半為半徑畫弧，則兩弧之間的陰影部分面積是 （結果保留）．
【答案】
【分析】該題主要考查了扇形面積計算，解題的關鍵是掌握扇形面積計算公式并能夠正確表示出陰影部分面積．
根據題意有， 然后根據扇形的面積公式：和圓的面積公式分別計算扇形和半圓的面積即可．
【詳解】解：根據題意得，，
，，
，
故答案為：．
30．如圖，以銳角的三條邊為直徑作圓．如果三角形外的陰影部分總面積為450，而三角形內部的深色陰影部分面積為90，則的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了扇形的面積的計算，圓的面積的計算，正確的識別圖形找出各圖形之間的關系是解題的關鍵． 設外的6個小弓形的面積和為
，觀察圖形得到外的3個半圓的面積和三角形外的陰影部分總面積外的3個半圓的面積和，得到的面積(另外3個半圓的面積和三角形內部的深色陰影部分面積)，于是得到答案
【詳解】解：設外的6個小弓形的面積和為，
外的3個半圓的面積和三角形外的陰影部分總面積外的3個半圓的面積和，
∴的面積(另外3個半圓的面積和三角形內部的深色陰影部分面積)
[另外3個半圓的面積和(外的3個半圓的面積和)]
；
故答案為∶．
公式3 圓錐的側面積和全面積公式
（1）圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．
（2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，
圓錐的側面積為S圓錐側=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
注意：在求不規則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規則圖形，再利用規則圖形的公式求解．
31．在一塊大鐵皮上裁剪如圖所示圓錐形的煙囪帽，它的底面直徑為80cm，母線為50cm．，求裁剪的面積．
【答案】2000π
【分析】利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用扇形的面積公式計算出圓錐的側面積即可．
【詳解】解：根據題意，圓錐的側面積為：×80π×50=2000π（cm2）．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
32．已知一個圓錐沿軸剖開是一個等腰三角形．若這個三角形的底為，腰為．
(1)求圓錐側面展開圖的扇形弧長．
(2)求圓錐的全面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意可知等腰三角形的底邊長即為圓錐底面圓的直徑，利用圓錐側面展開圖的扇形弧長等于底面圓的周長進行求解即可；
（2）根據圓錐的全面積等于圓錐的側面積加上底面圓的面積，進行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得：圓錐的底面圓的直徑為，
∴圓錐側面展開圖的扇形弧長為；
（2）由題意，得：底面圓的半徑為，母線長為，
∴圓錐的全面積．
【點睛】本題考查求圓錐的全面積和扇形的弧長．熟練掌握圓錐側面展開圖的扇形弧長等于底面圓的周長，以及圓錐的全面積等于圓錐的側面積加上底面圓的面積，是解題的關鍵．
考點7 兩個技巧
技巧1 作同弧所對的圓周角（特別地：直徑所對的圓周角是直角）
33．如圖，是的直徑，點為上一點，為弧的中點，過作于點，交于點，交弦于點，連接，．
(1)求證：．
(2)若，，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)5
【分析】（1）根據證明，可得結論；
（2）先根據垂徑定理可得，設的半徑為，利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）證明：是的中點，
，
為的直徑，，
，
，
，，
，
；
（2）解：如圖，連接交于點，
為的直徑，，
，
，
，
設的半徑為，則，
在中，由勾股定理得：，
，
，
的半徑為5．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理等知識，解答本題的關鍵是掌握垂徑定理的內容．
34 ．如圖，的直徑為10，弦為6，D是的中點，弦和交于點F，且．
(1)求證：；
(2)求證：
(3)求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據等腰三角形的性質得，再根據對頂角相等及同弧所對的圓周角相等得，即可證明；
（2）根據題意可得，則，再證明，即可證明；
（3）過B作于點H，連接，利用等弧所對的圓周角相等證明是等腰直角三角形，再根據勾股定理解答即可．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
∴；
（2）證明：是的中點，
∴，
，
，
，
即，
∴；
（3）解：過B作于點H，連接，
為的直徑，
，
由（2）可知，
∴，
，
在等腰直角三角形中， ，
在中，，
．
【點睛】本題主要考查了弧與弦，圓周角的關系，勾股定理，等腰三角形的性質和判定，正確作出輔助線是解題的關鍵．
技巧2 作半徑（特別地：垂直于弦的半徑；過切點的半徑）
35．如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點．
(1)求證：．
(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．
【答案】(1)證明見解析
(2)小圓的半徑r為
【分析】（1）過O作于點E，由垂徑定理可知E為和的中點，則可證得結論；
（2）連接，由條件可求得的長，則可求得和的長，在中，利用勾股定理可求得的長，在中可求得的長；
【詳解】（1）證明：過O作于點E，如圖1，
由垂徑定理可得
∴
∴
（2）解：連接，如圖2，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圓的半徑r為．
【點睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．
36．如圖，為的直徑，交于點C，D為上一點，延長交于點E，延長至F，使，連接．
(1)求證：為的切線；
(2)若且，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)3
【分析】本題考查了切線的判定定理、等邊對等角、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）連接，根據等邊對等角結合對等角相等即可推出結論；
（2）設的半徑，則，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵是半徑，
∴為的切線；
（2）解：設的半徑，則，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得，或（舍去），
∴的半徑為3．
37．在中，為直徑，為上一點．

(1)如圖①，過點作的切線，與的延長線相交于點，若，求的大小；
(2)如圖②，為上一點，且經過的中點，連接并延長，與的延長線相交于點，若，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）連接，首先根據切線的性質得到，根據同圓中，等弧所對的圓周角是圓心角的一半得出，然后根據直角三角形兩銳角互余即可求解；
（2）根據垂徑定理可得，根據直角三角形兩銳角互余求得，根據同圓中，等弧所對的圓周角是圓心角的一半得出，根據三角形的外角的性質求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接，

∵與相切于點，
∴，即，
∵，
∴，
在中，，
∴．
（2）解：∵為的中點，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，直角三角形的性質，垂徑定理，三角形的外角性質等．解題的關鍵是能夠利用圓的切線垂直于經過切點的半徑得到直角三角形．
考點8 兩種思想
思想1 分類討論思想
38．在⊙O中直徑為4，弦AB＝2，點C是圓上不同于A、B的點，那么∠ACB度數為 ．
【答案】60°或120°．
【分析】連接OA、OB，過O作AB的垂線，通過解直角三角形，易求得圓心角∠AOB的度數，然后根據C在優弧AB和劣弧AB上兩種情況分類求解．
【詳解】解：如圖：過O作OD⊥AB于D，連接OA、OB．
Rt△OAD中，OA=2，AD=，
∴∠AOD=60°，∠AOB=120°，
∴∠AEB=∠AOB=60°．
∵四邊形AEBF內接于⊙O，
∴∠AFB=180°-∠AEB=120°．
①當點C在優弧AB上時，∠ACB=∠AEB=60°；
②當點C在劣弧AB上時，∠ACB=∠AFB=120°；
故∠ACB的度數為60°或120°．
故答案為：60°或120°．
39．已知的半徑為13，弦平行于，，求和之間的距離．
【答案】和之間的距離為7或17
【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，分當的圓心O位于、之間時，當的圓心O不在兩平行弦、之間時，兩種情況分別利用勾股定理和垂徑定理求出點O到和的距離，據此可得答案．
【詳解】解：如圖，當的圓心O位于、之間時，作于點E，并延長，交于F點．分別連接、．
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴和之間的距離為17；
如圖所示，當的圓心O不在兩平行弦、之間（即弦、在圓心O的同側）時，
同理可得：，
∴，
∴和之間的距離為7；
綜上所述，和之間的距離為7或17．
思想2 方程思想
40 .如圖是一根裝有水的圓柱形排水管道截面圖，已知水面的寬為米，水面與管道上端的最大距離為0.2米，則水面距管道底部的最大深度為（ ）
A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米
【答案】D
【分析】本題考查了圓的性質、垂徑定理、勾股定理等知識點．根據垂徑定理、勾股定理求出圓的半徑，進一步計算即可得．
【詳解】解：如圖，設圓心為點O，過點O作于點C，延長交圓O于點D和，連接，
由圓的性質可知，米，米，水面距管道底部的最大深度為的長，
設圓的半徑為，
由垂徑定理得：，，
在中，，即，
解得，
即水面距管道底部的最大深度為米，
故選：D．
41．如圖，一個圓形瓶蓋和一個直角三角形紙板，點O在斜邊上．與分別交于點B和D，與切于點E，于點F．
(1)求證：；
(2)若，求的半徑長．
【答案】(1)見解析
(2)9
【分析】本題主要考查切線的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質以及勾股定理等知識：
（1）連接，得，由是的切線得，得，得出，根據角平分線性質定理可得結論；
（2）根據證明，可得，設的半徑為，在中由勾股定理列方程可求出的值
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，
∵與切于點E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
設的半徑為，則
∴
在中，，即，．
解得，
∴的半徑長為9．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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