資源簡介

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九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
第24章 階段性方法訓練 圓中常見計算題的計算技巧
老師告訴你
與圓有關的計算題主要涉及圓與其他幾何圖形的結合，利用圓周角定理求角度，利用垂徑定理構造直角三角形，已知弦長、弦心距、半徑三個量中的任意兩個量時，可求出第三個量；利用弧長、扇形面積公式計算弧長、扇形面積等，其中涉及面積的計算，常采用“作差法、等積法、平移法、割補法”等，涉及實際問題，常采用建模思想來進行計算。
類型一 角度的計算
1．學習了《圓》之后，我們發現作輔助圓，利用圓的基本性質可以解決一些求角度的問題．
【用數學的眼光觀察】
（1）將下列解題過程補充完整．
例：如圖①，在中，，，D是外一點，且，求的度數．
解：如圖①，以點A為圓心，的長為半徑作．
因為，，
所以C，D兩點都在上．
因為，
所以__________°．
【用數學的思維思考】
（2）如圖②，在四邊形中，，，求的度數．
【用數學的語言表達】
（3）如圖③，已知線段和直線l，在直線l上求作一點P，使，用直尺和圓規在直線l上作出所有符合條件的點P．（不寫作法，保留作圖痕跡）
2．在學習了《圓》以后，我們發現作輔助圓，利用圓的基本性質可以幫助我們解決一些求角度的問題．
例：如圖①，在中，，，點D是外一點，且．求的度數．
（將下列解題過程補充完整）
圖①
（1）解：以點A為圓心，長為半徑作
，，
C，D兩點都在上
，，
______（______）
【初步應用】
（2）如圖②，在四邊形中，，，求的度數．
圖②
【方法遷移】
（3）如圖③，已知線段和直線l，在直線l上求作一點P，使，用直尺和圓規在l上作出所有符合條件的點P．（不寫作法，保留作圖痕跡）
圖③
3．已知是的直徑，點C，D是上方半圓上的兩點，連接．
(1)如圖①，若點C是的中點，，求和的大小；
(2)如圖②，若點D是半圓的中點，且，過點C作的切線，與的延長線交于點E，，求的長．
類型二 弧長的計算
4．如圖，在中，以點為圓心，長為半徑作，分別交，于點，，的延長線交于點，連接，，已知是的切線．

(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長（結果保留）．
5．如圖，是的內接三角形，為直徑，，平分，交于點，交于點，連接．
(1)求證：；
(2)若，求弧的長．
6．如圖，在中，是邊上一點，以為圓心，為半徑的圓與相交于點，點在上，連接，且．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長．
類型三 面積的計算
技巧1.利用作差法求面積
7．如圖，中，，以為直徑的半圓O交斜邊于點D，以點C為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E，則陰影部分面積為 （結果保留）．

8．如圖，是的弦，是外一點，，交于點，交于點，且．
(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；
(2)若，，求圖中陰影部分的面積．
技巧2.利用等積法求面積
9．如圖，直徑為3厘米的半圓繞點A逆時針旋轉，使到達的位置，求圖中陰影部分的周長和面積．

10．如圖，在中，，平分交于點，點是斜邊上一點，以為直徑的經過點，交于點，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求圖中陰影部分的面積．（結果保留）
11．如圖，是的直徑，點在上，且，過點作，垂足為．
(1)填空：______度；
(2)求的長；
(3)若的延長線交于點，求弦和圍成的圖形（陰影部分）的面積．
技巧3.利用平移法求面積
12．如圖，CD為大半圓的直徑，小半圓的圓心O1在線段CD上，大半圓O的弦AB與小半圓O1交于E、F，AB=6cm，EF=2cm，且AB∥CD．則陰影部分的面積為 cm2（結果保留準確數）
13．如圖1，直線與直線相交于點，在直線上取兩點，且，在直線上取兩點．且，以為直徑作小半圓，以為直徑作大半圓．連接，直線交大半圓于點．

(1)求證：；
(2)求陰影部分的面積；
(3)如圖2，若切小半圓于點，連接，求證：也是小半圓的切線．
技巧4.利用割補法求面積
14．如圖，中，，，，與相切于點D．

(1)求圖中陰影部分的面積；
(2)設上有一動點P，連接，．當的長最大時，求的長．
15．如圖，平分，與相切于點A，延長交于點C，過點O作，垂足為B．
(1)求證：是的切線；
(2)若的半徑為2，，求的長．
(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積．
類型四 實際應用中的計算
應用1.利用垂徑定理解決水位問題
16．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（見圖1，一種水利灌溉工具）的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓．已知圓心O在水面上方，且被水面截得弦長為8米，半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦所在直線的距離是多少？
17．如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬，為16米，拱高為4米．
(1)求橋拱的半徑；
(2)若大雨過后，洪水泛濫到河面寬度為12米時，求水面漲高了多少？
應用2.利用圓周角定理解決航行中的視角問題
18 ．以下虛線框中為一個合作學習小組在一次數學研討中的過程記錄，請閱讀后完成虛線框下方的問題1~4．
試題分析
（Ⅰ）如圖1，在中，，，D是外一點，且．求的度數．
小朋：我發現試題中有三個等腰三角形，設，易知，又因為AD，得，即可算出的度數．
小麗：我發現．則點B、C、D到點A的距離相等，所以點B、C、D在以點A為圓心，線段AB長為半徑的圖上……
猜想證明
（Ⅱ）如圖1，在中，，，點D、A在BC同側．
猜想：若______°，則點D在以點A為圓心，線段AB長為半徑的圓上．
對于這個猜想的證明，小華有自己的想法：
以點A為圓心，AB長為半徑出圓．根據點與圓的位置關系，可以知道點D可能在內，或點D在上，或點D在外．故，只要證明點D不在內，也不在外，就可以確定點D一定在上．
（Ⅲ）進一步猜想：
如圖2，在中，，，點D、A在BC同側．若______°，則點D在以點A為圓心，線段AB長為半徑的圓上．
（Ⅳ）對（Ⅲ）中的猜想進行證明．
(1)完成（Ⅰ）中的求解過程：
(2)補全猜想證明中的兩個猜想：（Ⅱ）______；（Ⅲ）______；
(3)證明上面（Ⅲ）中的猜想：
(4)如圖3為某大型舞臺實景投影側面示意圖，，點A處為投影機，投影角，折線B—O—C為影像接收區．若影像接收區最大時（即最大），投射效果最好，請直接寫出影像接收區最大時OB的長______．
圖3
19．【問題提出】
（1）如圖①，在中，為邊的中點，畫出關于點中心對稱的圖形（點的對應點記為）．若，求四邊形周長的最大值．
【問題解決】
（2）如圖②，某景區有一段筆直的湖域，有一處噴泉（點）在這個湖域中，景區在現有資金條件下，準備修建一條長150米的直通道，在通道的盡頭處安裝一個張角為的高清攝像頭以觀察游客的活動，要求噴泉恰好在攝像頭觀察到湖域的邊界點，的正中間，求攝像頭能觀察區域的最大面積．
應用3.利用直線與圓的位置關系解決范圍問題
20 ．綜合與實踐
【問題發現】船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁．如圖表示燈塔，暗礁分布在經過兩點的一個圓形區域內，優弧上任一點都是有觸礁危險的臨界點，就是“危險角”．當船位于安全區域時，它與兩個燈塔的夾角與“危險角”有怎樣的大小關系？
【解決問題】（1）數學小組用已學知識判斷與“危險角”的大小關系，步驟如下：如圖2，與相交于點，連接，由同弧或等弧所對的圓周角相等，可知，
是的外角，
______（填“>”，“=”或“”），
______（填“>”，“=”或“”）；
【問題探究】
（2）如圖3，已知線段與直線，在直線上取一點，過、兩點，作使其與直線相切，切點為，不妨在直線上另外任取一點，連接、，請你比較與的大小，并說明理由；
【問題拓展】
（3）如圖4，某球員在球場底線點處接到球后，沿射線方向帶球跑動，，球門寬為8米，米，若該球員在射線上的點處射門角度最大，即最大，試求出此時的長度．
21．【問題提出】
當你進入博物館的展覽廳時，你知道站在何處觀賞最理想？
【數學眼光】
如圖①，設墻壁上的展品最高處點A距離地面a米，最低處點B距離地面b米，觀賞者的眼睛點C距離地面m米，當過A，B，C三點的圓與過點C的水平線相切于點C時，視角最大，站在此處觀賞最理想．
【數學思維】
小明同學想這是為什么呢？如圖②，他在過點C的水平線上任取異于點C的點，連接交于點D，連接，．
（1）按照小明的思路完成證明過程；
【問題解決】
（2）如圖③，若墻壁上的展品最高處的點A距地面3米，最低處的點B距地面米，最大視角為，求此時觀賞者站在距墻壁多遠的地方最理想，并求出觀賞者的眼睛點C與地面的距離？
（3）如圖③，設墻壁上的展品最高處的點A距地面a米，最低處的點B距地面b米，觀賞者的眼睛點C距地面m米，直接寫出最佳觀賞距離的長．（用含a，b，m的代數式表示）
應用4.利用弧長公式解決滑輪問題
22．如圖，一個半徑為的定滑輪帶動重物上升了，假設繩索與滑輪之間沒有滑動，則滑輪上某一點P旋轉了多少度？（結果精確到）
應用5.利用圓錐的側面展開圖解決材料最省問題
23．圖1中的冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，將扇形圍成圓錐時，恰好重合．已知這種加工材料的頂角，圓錐底面圓的直徑為．
(1)求圖2中圓錐的母線的長．
(2)求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結果保留）
24．小林同學不僅是數學愛好者，還喜歡運用數學知識對日常生活中的事物進行分析，下面是他對如何制作圓錐形漏斗的分析．小林要用一塊矩形鐵皮加工出一個底面半徑為，高為的錐形漏斗，要求只能有一條接縫（接縫忽略不計）．
(1)求這個錐形漏斗的側面展開圖的圓心角的度數．
(2)如圖，有兩種設計方案，請你計算一下，哪種方案所用的矩形鐵皮面積較少？（參考數據：）
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
第24章 階段性方法訓練 圓中常見計算題的計算技巧
老師告訴你
與圓有關的計算題主要涉及圓與其他幾何圖形的結合，利用圓周角定理求角度，利用垂徑定理構造直角三角形，已知弦長、弦心距、半徑三個量中的任意兩個量時，可求出第三個量；利用弧長、扇形面積公式計算弧長、扇形面積等，其中涉及面積的計算，常采用“作差法、等積法、平移法、割補法”等，涉及實際問題，常采用建模思想來進行計算。
類型一 角度的計算
1．學習了《圓》之后，我們發現作輔助圓，利用圓的基本性質可以解決一些求角度的問題．
【用數學的眼光觀察】
（1）將下列解題過程補充完整．
例：如圖①，在中，，，D是外一點，且，求的度數．
解：如圖①，以點A為圓心，的長為半徑作．
因為，，
所以C，D兩點都在上．
因為，
所以__________°．
【用數學的思維思考】
（2）如圖②，在四邊形中，，，求的度數．
【用數學的語言表達】
（3）如圖③，已知線段和直線l，在直線l上求作一點P，使，用直尺和圓規在直線l上作出所有符合條件的點P．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】（1）45；（2）；（3）見解析
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質和圓周角定理解答即可；
（2）利用對角互補的四邊形內接于圓的性質，再根據圓周角定理進行求解即可；
（3）根據尺規作圖畫圖即可．
【詳解】解：（1）解：如圖①，以點A為圓心，的長為半徑作．
因為，，
所以C，D兩點都在上．
因為，
所以．
（2）
四點在以為直徑的圓上，以為直徑作出，
，
；
（3）①作出線段的垂直平分線，
②以為圓心，以為半徑畫弧交于點，連接，得等邊三角形
③以為圓心，為半徑畫，于直線交于兩點，
則這兩點為所有符合條件的點．
【點睛】本題主要考查了圓的相關性質，圓周角定理及其推論，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質，尺規作圖，熟練掌握圓周角定理和基本作圖的方法是解題的關鍵．
2．在學習了《圓》以后，我們發現作輔助圓，利用圓的基本性質可以幫助我們解決一些求角度的問題．
例：如圖①，在中，，，點D是外一點，且．求的度數．
（將下列解題過程補充完整）
圖①
（1）解：以點A為圓心，長為半徑作
，，
C，D兩點都在上
，，
______（______）
【初步應用】
（2）如圖②，在四邊形中，，，求的度數．
圖②
【方法遷移】
（3）如圖③，已知線段和直線l，在直線l上求作一點P，使，用直尺和圓規在l上作出所有符合條件的點P．（不寫作法，保留作圖痕跡）
圖③
【答案】，一條弧所對的圓周角是圓心角的一半；；見解析
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質和圓周角定理解答即可；
（2）利用對角互補的四邊形內接于圓的性質，再根據圓周角定理進行求解即可；
（3）根據尺規作圖畫圖即可．
【詳解】解：（1）以點A為圓心，長為半徑作
，，
C，D兩點都在上
，，
______（___一條弧所對的圓周角是圓心角的一半___）；
（2）
四點在以為直徑的圓上，以為直徑作出，
，
；
（3）①作出線段的垂直平分線，
②以為圓心，以為半徑畫弧交于點，連接，得等邊三角形
③以為圓心，為半徑畫，于直線交于兩點，
則這兩點為所有符合條件的點．
【點睛】本題主要考查了圓的相關性質，圓周角定理及其推論，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質，尺規作圖，熟練掌握圓周角定理和基本作圖的方法是解題的關鍵．
3．已知是的直徑，點C，D是上方半圓上的兩點，連接．
(1)如圖①，若點C是的中點，，求和的大小；
(2)如圖②，若點D是半圓的中點，且，過點C作的切線，與的延長線交于點E，，求的長．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出的度數，根據等弧所對的角等得到，根據直徑所對的角為直角求出，即可求出結果；
（2）連接，得到，根據等邊三角形性質，再求出，再利用勾股定理即可求出；
本題主要考查切線的性質，圓周角定理，弧，弦，等邊三角形等知識．
【詳解】（1）解：連接．
，
．
∵點C是的中點，
．
．
∵AB是的直徑，
．
．
．
（2）解：連接．
∵點D是半圓的中點，
．
．
，
．
，
．
，，
．
是等邊三角形．
．
．
∵切于點C，
．即．
．
．
．
．
．
在中，．
類型二 弧長的計算
4．如圖，在中，以點為圓心，長為半徑作，分別交，于點，，的延長線交于點，連接，，已知是的切線．

(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長（結果保留）．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了平行四邊形的性質、圓周角定理和弧長公式．
（1）連接，如圖，根據切線的性質得到，再證明，于是可判斷，所以，然后根據切線的判定方法得到結論；
（2）由得到，再根據平行四邊形的性質得到，，，接著證明，則利用得到，然后求出的度數后用弧長公式計算．
【詳解】（1）證明：連接，如圖，
是的切線，
，
四邊形為平行四邊形，
∴，
，，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
是的切線；
（2）解：，
，
四邊形為平行四邊形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∴的長度．
5．如圖，是的內接三角形，為直徑，，平分，交于點，交于點，連接．
(1)求證：；
(2)若，求弧的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，弧長的計算；
（1）根據角平分線的定義和圓周角定理即可得到，結合三角形內角和可得結論；
（2）連接，根據平角定義得到，根據圓周角定理得到，求得，得到，根據弧長公式即可得到結論．
【詳解】（1）證明：平分，
，
，
，又，
在和中，
，，
；
（2）解：連接，
，
，
為直徑，
，
，
，
，
∴的長=．
6．如圖，在中，是邊上一點，以為圓心，為半徑的圓與相交于點，點在上，連接，且．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先由等邊對等角得到，，再由三角形內角和定理得到，，則由平角的定義可得，據此可證明是的切線；
（2）先證明為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，得到，則，證明四邊形為矩形，得到，則，據此根據弧長公式求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接,
，
，
，
，
，
∴，
，
，
又是的半徑，
是的切線：
（2）解：如圖，連接．
為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，
，
四邊形為矩形，
，
，
的長為．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，等邊對等角，等腰直角三角形的性質與判定，勾股定理，矩形的性質與判定，求弧長，正確作出輔助線是解題的關鍵。
類型三 面積的計算
技巧1.利用作差法求面積
7．如圖，中，，以為直徑的半圓O交斜邊于點D，以點C為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E，則陰影部分面積為 （結果保留）．

【答案】/
【分析】連接，，運用勾股定理分別算出，再結合計算即可．本題考查扇形的面積、圓周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會用分割法取陰影部分面積．
【詳解】解：如圖，連接，．

在中，，，
，
∴，則，
∵是直徑，
∴，
，
∵O是的中點，
∴是的中線，
∴，
，
故答案為．
8．如圖，是的弦，是外一點，，交于點，交于點，且．
(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；
(2)若，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)與相切，理由見解析
(2)
【分析】（1）根據等邊對等角得，根據垂直的定義得，即，則與相切；
（2）根據三角形的內角和定理得到，推出是等邊三角形，得到，求得，根據勾股定理得到，根據三角形和扇形的面積公式即可得到結論．
【詳解】（1）解：與相切，
理由：連接，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即：，
，
又是半徑，
與相切；
（2）解：，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
圖中陰影部分的面積．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，切線的判定，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，扇形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
技巧2.利用等積法求面積
9．如圖，直徑為3厘米的半圓繞點A逆時針旋轉，使到達的位置，求圖中陰影部分的周長和面積．

【答案】（厘米）；（平方厘米）
【分析】本題主要考查了圓與旋轉．熟練掌握旋轉性質，弧長公式，扇形面積公式，是解決問題的關鍵．
觀察圖形可知，這個陰影部分的周長等于直徑3厘米圓的周長與半徑3厘米，圓心角60度的弧長之和，據此根據圓的周長及弧長公式計算即可解答；根據陰影部分的面積以為直徑的半圓的面積扇形的面積以為直徑的半圓的面積扇形的面積，即求陰影部分的面積就等于求扇形的面積．
【詳解】解：陰影部分的周長是2個半圓的弧加以為半徑的圓弧，
∴（厘米）；
陰影部分面積是以為半徑的扇形面積，
∴（平方厘米）．
10．如圖，在中，，平分交于點，點是斜邊上一點，以為直徑的經過點，交于點，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求圖中陰影部分的面積．（結果保留）
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，可得，根據角平分線的性質可得，結合即可求證；
（2）連接，在中根據含角的直角三角形的性質可得的值，可求出的半徑，直徑，是等邊三角形，圖形結合，根據不規則圖形面積，扇形面積的計算方法即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
，
，
平分，
，
，
，
，
半徑于點，
是的切線；
（2）解：連接，
，
，
，
，
是的直徑，
，
平分，
，
在中，，
，
，
平分，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
．
【點睛】本題主要考查了切線的證明方法，平行線的判定和性質，含角的直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，扇形面積的計算，掌握以上知識的綜合，圖形結合分析是解題的關鍵．
11．如圖，是的直徑，點在上，且，過點作，垂足為．
(1)填空：______度；
(2)求的長；
(3)若的延長線交于點，求弦和圍成的圖形（陰影部分）的面積．
【答案】(1)30
(2)
(3)
【分析】（1）根據圓周角定理求得，；即可求出；
（2）由求出，判斷出是的中位線，就可得出的長；
（3）連接，將陰影部分的面積轉化為扇形的面積．
本題考查了扇形的面積計算、含角的直角三角形的計算及圓周角定理及垂徑定理的知識，綜合考查的知識點比較多，難點在第二問，注意將不規則圖形轉化為規則圖形．
【詳解】（1），，
，
是的直徑，
，
，
故答案為：30；
（2），，，
，
，
∴
又點是中點，
是的中位線，
．
（3）連接，
，
，
，，
，
，
，
故陰影部分的面積扇形的面積，
．
即可得陰影部分的面積為．
技巧3.利用平移法求面積
12．如圖，CD為大半圓的直徑，小半圓的圓心O1在線段CD上，大半圓O的弦AB與小半圓O1交于E、F，AB=6cm，EF=2cm，且AB∥CD．則陰影部分的面積為 cm2（結果保留準確數）
【答案】4π
【詳解】分析：將兩個圓變為同心圓．做OM⊥AB于M，連接OB、OF，構造直角三角形，利用所構造的兩個三角形有公共邊OM，可找到兩個半圓的半徑平方差與已知條件之間的關系：OB2-OF2=OM2+32-（OM2+12〕=8，陰影部分的面積是兩個半圓的面積差．代入數據求解即可．
詳解：如圖將兩個圓變為同心圓．
做OM⊥AB于M，連接OB、OF，
則MF=EF=1，BM=AB=3，
S陰影=πOB2-πOF2，
=π（OB2-OF2），
=π[OM2+32-（OM2+12）]，
=4π（cm2）．
點睛：本題要把不規則的圖形通過幾何變換轉化為規則圖形的面積求解．如通過觀察可知陰影部分的面積正好等于兩個半圓的面積差，根據條件可求出兩個半圓的半徑的平方差，整體代入即可求得陰影部分的面積．
13．如圖1，直線與直線相交于點，在直線上取兩點，且，在直線上取兩點．且，以為直徑作小半圓，以為直徑作大半圓．連接，直線交大半圓于點．

(1)求證：；
(2)求陰影部分的面積；
(3)如圖2，若切小半圓于點，連接，求證：也是小半圓的切線．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】（1）證明，即可得到，從而即可得證；
（2）由可得陰影部分的面積，代入數據進行計算即可得到答案；
（3）由切線的性質可得，設交小半圓于，連接，由直角三角形的性質可得，從而推出是等邊三角形，得到，，再由等腰三角形的性質及三角形外角的定義及性質可得，過點作于點，由角平分線的性質可得，由此即可得證．
【詳解】（1）證明：，
，
，
；
（2）解：，
陰影部分的面積；
（3）解：切小半圓于A，
，
如圖，設交小半圓于，連接，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
過點作于點，
，
，
也是小半圓的切線．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質、扇形面積的計算、切線的判定與性質、直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形外角的定義與性質等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．
技巧4.利用割補法求面積
14．如圖，中，，，，與相切于點D．

(1)求圖中陰影部分的面積；
(2)設上有一動點P，連接，．當的長最大時，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了切線的性質，勾股定理的逆定理，扇形的面積公式等知識，解題的關鍵是：
（1）連接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切線的性質得出，利用等面積法求出，然后利用求解即可；
（2）延長交于P，連接，則最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解∶連接，

∵，，，
∴，
∴，
∵與相切于D，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解∶延長交于P，連接，此時最大，

由（1）知：，，
∴．
15．如圖，平分，與相切于點A，延長交于點C，過點O作，垂足為B．
(1)求證：是的切線；
(2)若的半徑為2，，求的長．
(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積．
【答案】(1)詳見解析
(2)
(3)
【分析】（1）由與相切于點A，可得出，由角平分線線的性質定理即可得出，即可得出是的切線．
（2）利用勾股定理得出，線段的和差得出，設，則，利用勾股定理解，即可求出x．
（3）根據求解即可．
【詳解】（1）證明：∵與相切于點A，
∴，
∵平分，，
∴，
∴是的切線；
（2）解：∵的半徑為2，
∴，
∵，，
∴，，
∵，都是的切線，
∴設，則，
∴在中
，即，
解得，
∴．
（3）在中，，，
∴，，
∴，
∴，
，，
∴
【點睛】本題主要考查了證明某直線是圓的切線，角平分線的性質定理，勾股定理以及求不規則圖形的面積等知識．
類型四 實際應用中的計算
應用1.利用垂徑定理解決水位問題
16．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（見圖1，一種水利灌溉工具）的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓．已知圓心O在水面上方，且被水面截得弦長為8米，半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦所在直線的距離是多少？
【答案】米
【分析】本題考查了垂徑定理的應用和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．
連接，交于點D，再由勾股定理得，然后計算即可求解．
【詳解】解：連接，交于點D，如圖，
即，
∵點C為運行軌道的最低點，，
∴，，
由勾股定理，得，
即，
∴，
故點C到弦所在直線的距離是米．
17．如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬，為16米，拱高為4米．
(1)求橋拱的半徑；
(2)若大雨過后，洪水泛濫到河面寬度為12米時，求水面漲高了多少？
【答案】(1)橋拱的半徑是10米；
(2)水面漲高了2米．
【分析】本題考查勾股定理，垂徑定理，關鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關于圓半徑的方程．
（1）設橋拱的半徑是米，由垂徑定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出；
（2）由垂徑定理求出的長，由勾股定理求出的長，即可求出的長．
【詳解】（1）解：如圖，半徑，，
設橋拱的半徑是米，
，
（米，
拱高為4米，
米，
，
，
，
橋拱的半徑是10米；
（2）解：，
（米，
（米，
（米，
（米，
水面漲高了2米．
應用2.利用圓周角定理解決航行中的視角問題
18 ．以下虛線框中為一個合作學習小組在一次數學研討中的過程記錄，請閱讀后完成虛線框下方的問題1~4．
試題分析
（Ⅰ）如圖1，在中，，，D是外一點，且．求的度數．
小朋：我發現試題中有三個等腰三角形，設，易知，又因為AD，得，即可算出的度數．
小麗：我發現．則點B、C、D到點A的距離相等，所以點B、C、D在以點A為圓心，線段AB長為半徑的圖上……
猜想證明
（Ⅱ）如圖1，在中，，，點D、A在BC同側．
猜想：若______°，則點D在以點A為圓心，線段AB長為半徑的圓上．
對于這個猜想的證明，小華有自己的想法：
以點A為圓心，AB長為半徑出圓．根據點與圓的位置關系，可以知道點D可能在內，或點D在上，或點D在外．故，只要證明點D不在內，也不在外，就可以確定點D一定在上．
（Ⅲ）進一步猜想：
如圖2，在中，，，點D、A在BC同側．若______°，則點D在以點A為圓心，線段AB長為半徑的圓上．
（Ⅳ）對（Ⅲ）中的猜想進行證明．
(1)完成（Ⅰ）中的求解過程：
(2)補全猜想證明中的兩個猜想：（Ⅱ）______；（Ⅲ）______；
(3)證明上面（Ⅲ）中的猜想：
(4)如圖3為某大型舞臺實景投影側面示意圖，，點A處為投影機，投影角，折線B—O—C為影像接收區．若影像接收區最大時（即最大），投射效果最好，請直接寫出影像接收區最大時OB的長______．
圖3
【答案】(1)見解析
(2)45°；
(3)見解析
(4)10
【分析】（1）根據等腰三角形的性質，三角形內角和定理以及圓周角定理證明即可；
（2）根據（1）的結論即可求解；
（3）根據題意分情況討論，根據三角形的外角的性質即可判斷的位置；
（4）過點作，過作，交于點，交于點，以為圓心為半徑，作，首先根據當時，影像接收區最大，根據（3）的結論可得在上，進而勾股定理解即可求解．
【詳解】（1）解：小朋：設，
，
，
，
，
，
，
，
，
小麗：如圖，
．則點B、C、D到點A的距離相等，所以點B、C、D在以點A為圓心，線段AB長為半徑的圖上,
，
；
（2）由（1）可得，
在中，，，點D、A在BC同側．
若45°，則點D在以點A為圓心，線段AB長為半徑的圓上．同理在中，，，點D、A在BC同側．若，則點D在以點A為圓心，線段AB長為半徑的圓上．
故答案為：（Ⅱ）45°；（Ⅲ）；
（3）證明：若點D在外，如圖1，
∵點E在上
∴
又∵，且
∴點D在外不成立
若點D在內，如圖2，
∵點E在上，
∴，
又∵，且，
∴點D在內不成立，
綜上所述：點D在上．
（4），當時成立，
設，
如圖，過點作，過作，交于點，交于點，以為圓心為半徑，作，
四邊形是矩形
四邊形是正方形，
設，
，，
由（3）可得在上，
，
根據題意可得，
中，，
，
解得或（不合題意，舍去），
故答案為：10．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質與判定，正方形的性質與判定，圓周角定理，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．
19．【問題提出】
（1）如圖①，在中，為邊的中點，畫出關于點中心對稱的圖形（點的對應點記為）．若，求四邊形周長的最大值．
【問題解決】
（2）如圖②，某景區有一段筆直的湖域，有一處噴泉（點）在這個湖域中，景區在現有資金條件下，準備修建一條長150米的直通道，在通道的盡頭處安裝一個張角為的高清攝像頭以觀察游客的活動，要求噴泉恰好在攝像頭觀察到湖域的邊界點，的正中間，求攝像頭能觀察區域的最大面積．
【答案】（1）；（2）平方米
【分析】（1）延長到點，使，連接，如圖所示，由等邊三角形的判定與性質得到，由圓周角定理及其推論，在中，結合含直角三角形性質及勾股定理得到，最后由中心對稱性質得到答案；
（2）延長到點，使米，連接，如圖所示，得到四邊形是平行四邊形，進而得到，分析當點A與點重合時，的面積最大，得到，再由三角形面積公式代值求解即可得到答案．
【詳解】解：（1）延長到點，使，連接，如圖所示：
，
，
為等邊三角形，
．
設三點共，連接并延長，交于點，連接，，
．
是的直徑，
．
在中，，，則，由勾股定理可得，
．
由中心對稱的性質得，
∴四邊形ABCD周長的最大值為；
（2）延長到點，使米，連接，如圖所示：
則四邊形是平行四邊形，
．
，
，
設三點共連接．
米，，
米．
連接，則，延長交于點，連接，當點A與點重合時，的面積最大，此時米，
的最大面積為平方米，
攝像頭能觀察區域的最大面積為平方米．
【點睛】本題考查四邊形綜合，涉及等邊三角形的判定與性質、圓周角定理及其推論、含的直角三角形性質、勾股定理、中心對稱性質、平行四邊形判定與性質、三角形的面積公式、動點最值問題等知識，熟練掌握相關幾何性質及動點最值問題的解法是解決問題的關鍵．
應用3.利用直線與圓的位置關系解決范圍問題
20 ．綜合與實踐
【問題發現】船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁．如圖表示燈塔，暗礁分布在經過兩點的一個圓形區域內，優弧上任一點都是有觸礁危險的臨界點，就是“危險角”．當船位于安全區域時，它與兩個燈塔的夾角與“危險角”有怎樣的大小關系？
【解決問題】（1）數學小組用已學知識判斷與“危險角”的大小關系，步驟如下：如圖2，與相交于點，連接，由同弧或等弧所對的圓周角相等，可知，
是的外角，
______（填“>”，“=”或“”），
______（填“>”，“=”或“”）；
【問題探究】
（2）如圖3，已知線段與直線，在直線上取一點，過、兩點，作使其與直線相切，切點為，不妨在直線上另外任取一點，連接、，請你比較與的大小，并說明理由；
【問題拓展】
（3）如圖4，某球員在球場底線點處接到球后，沿射線方向帶球跑動，，球門寬為8米，米，若該球員在射線上的點處射門角度最大，即最大，試求出此時的長度．
【答案】（1），；（2），理由見解析；（3）．
【分析】本題考查圓周角定理，三角形的外角，切線的性質：
（1）根據同弧或等弧所對的圓周角相等結合三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角，進行作答即可；
（2）設與交于點，連接，同（1）即可得出結論；
（3）由（2）可得，當經過的與相切時，最大，過點作交于點，延長交于點，先證明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，設的半徑，利用勾股定理進行求解即可．
【詳解】解：（1）如圖2，與相交于點，連接，由同弧或等弧所對的圓周角相等，可知，
是的外角，
，
；
故答案為：，．
（2），理由如下：
如圖所示，設與交于點，連接，由同弧所對的圓周角相等得出
，
是的外角，
．
（3）如圖所示，由（2）可得，當經過的與相切時，最大，
過點作交于點，延長交于點，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
設的半徑，
，
，
解得：，或（舍去），
．
21．【問題提出】
當你進入博物館的展覽廳時，你知道站在何處觀賞最理想？
【數學眼光】
如圖①，設墻壁上的展品最高處點A距離地面a米，最低處點B距離地面b米，觀賞者的眼睛點C距離地面m米，當過A，B，C三點的圓與過點C的水平線相切于點C時，視角最大，站在此處觀賞最理想．
【數學思維】
小明同學想這是為什么呢？如圖②，他在過點C的水平線上任取異于點C的點，連接交于點D，連接，．
（1）按照小明的思路完成證明過程；
【問題解決】
（2）如圖③，若墻壁上的展品最高處的點A距地面3米，最低處的點B距地面米，最大視角為，求此時觀賞者站在距墻壁多遠的地方最理想，并求出觀賞者的眼睛點C與地面的距離？
（3）如圖③，設墻壁上的展品最高處的點A距地面a米，最低處的點B距地面b米，觀賞者的眼睛點C距地面m米，直接寫出最佳觀賞距離的長．（用含a，b，m的代數式表示）
【答案】（1）見解析
（2）觀賞者站在距離墻壁米處最理想，觀賞者的眼睛點C距地面的距離為1.2米
（3）
【分析】（1）由圓周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此視角最大，站在此處觀賞最理想；
（2）連接，，，，作于點，利用圓周角定理得到，證明為等邊三角形，推出米，結合等邊三角形性質得到米，再證明四邊形為矩形，利用矩形的性質求解，即可解題；
（3）根據等腰三角形性質結合題意得到，由（2）同理可知，四邊形為矩形，結合矩形性質得到，再結合勾股定理求解，即可解題．
【詳解】解：（1），
，
，
，
視角最大，站在此處觀賞最理想．
（2）連接，，，，作于點，
由題知，米，，
，
，
為等邊三角形，
米，
，
米，
，
四邊形為矩形，
米，
米，
距地面的距離為（米)，
即點C距地面的距離為1.2米．
（3）展品最高處的點A距地面a米，最低處的點B距地面b米，觀賞者的眼睛點C距地面m米，
米，
，，
米，
米，
由（2）同理可知，四邊形為矩形，
米，
．
【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形外角定理，切線的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，等邊三角形性質和判定，等腰三角形性質等知識點，解題的關鍵是熟練綜合運用相關性質和定理．
應用4.利用弧長公式解決滑輪問題
22．如圖，一個半徑為的定滑輪帶動重物上升了，假設繩索與滑輪之間沒有滑動，則滑輪上某一點P旋轉了多少度？（結果精確到）
【答案】旋轉了約
【分析】根據弧長公式：（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為R），即可得滑輪上某一點P旋轉的度數．
【詳解】解：∵半徑為5cm，重物上升了10cm，
根據，
解得n≈115°．
答：滑輪上某一點P旋轉了約．
【點睛】本題考查了弧長的計算，解決本題的關鍵是掌握弧長公式．
應用5.利用圓錐的側面展開圖解決材料最省問題
23．圖1中的冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，將扇形圍成圓錐時，恰好重合．已知這種加工材料的頂角，圓錐底面圓的直徑為．
(1)求圖2中圓錐的母線的長．
(2)求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結果保留）
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了等腰直角三角形的性質．
（1）由于圓錐的側面展開圖為扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用弧長公式得到，從而求出，再由即可求解；
（2）先根據等腰直角三角形的性質得到，再利用扇形的面積公式，利用進行計算．
【詳解】（1）解：根據題意得，
，
∴；
（2）解：，，，
而，
，
．
24．小林同學不僅是數學愛好者，還喜歡運用數學知識對日常生活中的事物進行分析，下面是他對如何制作圓錐形漏斗的分析．小林要用一塊矩形鐵皮加工出一個底面半徑為，高為的錐形漏斗，要求只能有一條接縫（接縫忽略不計）．
(1)求這個錐形漏斗的側面展開圖的圓心角的度數．
(2)如圖，有兩種設計方案，請你計算一下，哪種方案所用的矩形鐵皮面積較少？（參考數據：）
【答案】(1)
(2)方案二
【分析】（1）根據題意利用勾股定理求出圓錐母線長，再利用圓錐的底面周長與扇形的弧長之間的關系，即可得到本題答案；
（2）過點作，利用矩形性質及（1）中結論可知，再利用含角的直角三角形三邊關系求得，繼而求出方案一所需的矩形鐵皮的面積，同法可得方案二所需的矩形鐵皮的面積，再比較大小即可得到本題答案．
【詳解】（1）解：設這個錐形漏斗的側面展開圖的圓心角為，
∵底面半徑為，高為的錐形漏斗，
∴圓錐的母線長為：，
∴，解得：，
即這個錐形漏斗的側面展開圖的圓心角為；
（2）解：如圖，過點作，
四邊形是矩形，由（1）知，
．
由（1）可得；，
在中，
，
，
，
，
方案一所需的矩形鐵皮的面積；
如圖，，
，
在中，
，
，
，
方案二所需的矩形鐵皮的面積，
，
方案二所用的矩形鐵皮面積較少．
【點睛】本題考查含角的直角三角形三邊關系，矩形性質，弧長公式，勾股定理，圓錐的底面周長與扇形的弧長之間的關系，掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．
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