資源簡介

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九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.4 弧長和扇形的面積
學習目標：
1 理解弧長和扇形面積公式， 會計算弧長、扇形面積.
2 靈活運用弧長及扇形面積公式解決實際問題.
老師告訴你
求陰影部分面積的主要思想是轉化思想，基本思路是將不規則圖形轉化成規則圖形，常用方法有：直接用公式法、和差法、割補法、等積法和平移法。
一、知識點撥
知識點1、 扇形的弧長相關的計算
扇形的弧長l=；
注意：用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的.。
【新知導學】
例1．已知正六邊形的外接圓圓心為，半徑．
(1)求正六邊形的邊長；
(2)求的長度．
【對應導練】
1．如圖，內接于的半徑為是上的一動點，P是弦的中點，則點Q從點B運動到點C時，點P所經過的路徑長為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在中，，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，則弧的長為 ．
3．如圖，是的直徑，點為上一點，且，，則的長為 ．
知識點2 .扇形面積相關的計算
（1）扇形的定義：圓的一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.
如圖，黃色部分是一個扇形，記作扇形OAB.
（2）扇形的面積S==．扇形的面積與圓心角、半徑有關.
【新知導學】
例2．如圖是的方格紙，將格點繞點按順時針方向旋轉．
(1)請畫出經旋轉后的．
(2)求線段在旋轉過程中掃過的面積．
【對應導練】
1．如圖，在中，，，以為直徑作半圓，交于點D，交于點E，則扇形的面積為 ．
2．半徑為的圓中，圓心角為的扇形面積為 ．
3．一個扇形的圓心角為，面積為，則此扇形的弧長為 ．
4．如圖，在中，是直徑，弦，垂足為點，連接，．
(1)求證：．
(2)若，，求弓形的面積．
知識點3、.弓形的面積公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
總結：求扇形弧長與面積的方法與數學思想思維導圖
【新知導學】
例3．如圖，在中，，，以為直徑作半圓，交于點，交于點求；
(1)求弧的長；
(2)求陰影部分的面積．
【對應導練】
1．如圖，在四邊形中，先以點A為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點C，再以點C為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點A．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
2．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式是：弧田面積．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現已知弦米，半徑等于5米的弧田，按上述公式計算出弧田的面積為 平方米．

3．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，A，B，C三個點均在格點上，連接，并作，過點B．則圖中陰影部分的面積為 ．（結果保留）
二、題型訓練
1.弧長公式的應用
1．若扇形的圓心角為，半徑為4，則扇形的弧長為 ．
2．若圓錐的母線長為，側面是一個圓心角為的扇形，則這個圓錐底面圓半徑是 ．
3．如圖，中，，是的外接圓，的延長交邊于點D．

(1)試利用無刻度的直尺畫出的平分線，并說明理由；
(2)若，的半徑為2，求劣弧的長．
扇形面積公式的應用
割補法求不規則圖形面積
4 .求陰影部分面積．（單位：厘米）
整體思想求分散圖形面積
5．如圖，直徑為3厘米的半圓繞點A逆時針旋轉，使到達的位置，求圖中陰影部分的周長和面積．

6．（1）課本再現：如圖，，是的兩條切線，切點分別為，．則圖中的與，與有什么關系？請說明理由，
（2）知識應用：如圖，、、分別與相切于點、、，且，連接、，延長交于點，交于點，過點作交于．
①求證：是的切線；
②當，時，求的半徑及圖中陰影部分的面積．
替換法求不規則圖形面積
7．如圖，已知與相切于點A，點B為上一點，，過點B作于點C，交于點D，連接．已知，則圖中陰影部分的面積是 ．
8．如圖，在邊長為3的等邊三角形中，以為直徑構造半圓，則圖中陰影部分的面積為 ．
9．如圖，在中，E為邊中點．以C為圓心，為半徑畫弧，恰好經過點A．以C為圓心，為半徑畫弧，與相切于點F．若，則陰影部分的面積為 ．（結果保留π）
作差法求不規則圖形面積
10．如圖，在平面直角坐標系中，以為圓心的與y軸相切于原點O，過點的直線與相切于點B ．
(1)求的長；
(2)求、與所圍成的陰影部分面積（不取近似值）；
11 .如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉60°，點O，B的對應點分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是（　?。?br/>A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，點在半徑為3的上，，則的長為（ ）
A．3 B． C． D．
2．已知圓上一段弧長為，它所對的圓心角為，則該圓的半徑為（　?。?br/>A． B． C． D．
3．一個滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的直徑是，當重物上升時，滑輪的一條半徑繞軸心按逆時針方向旋轉的角度約為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在中，，把繞點A順時針旋轉后，得到，則點B走過的路徑長為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，正五邊形的邊長為5，以頂點為圓心，的長為半徑畫圓，則圓與正五邊形重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，將繞點旋轉得到，已知，則線段掃過的圖形面積為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，已知內接于，為直徑，的平分線交于點D，連接，若，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
8．如圖, 在等腰直角三角形中，，分別以點B，點 C為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交于點D，E，F，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br/>A． B． C． D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為旋轉中心，將順時針旋轉得到其中與點A對應，點與點B對應．如果A（﹣3，0），B（﹣1，2），那么點B經過的路徑的長度為 ．（結果保留π）
10．如圖，在中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，以點為圓心，長為半徑畫圓弧，交邊于點，若，則圖中陰影部分圖形的面積和為 （結果保留）．
11．如圖，在中，，，分別以的邊為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是 ．
12．如圖，將半徑的半圓繞點B按順時針方向旋轉，此時點A到了點，則圖中涂色部分的面積為 ．
13．如圖，在長方形中，，以點D為圓心，長為半徑畫弧，交線段延長線于點E，點F為邊上一點，若，連接，則圖中陰影部分的面積為 （結果保留π）．
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．如圖，點在的直徑的延長線上，點在上，連接、．
(1)給出下列信息：①；②；③與相切．
請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，第三個作為結論，組成一個正確的命題并作出證明．你選擇的條件是_______________，結論是________________（填寫序號，只需寫出你認為正確的一種情形）．
(2)在（1）的條件下，若，求圖中陰影部分的面積．
15．
(1)求半圓形的面積（結果保留）
(2)求圖形的周長（結果保留）
16．如圖，在中，是直徑，點C是圓上一點，在的延長線上取一點D，連接，使．

(1)求證：直線是的切線；
(2)若，，求的長（結果保留）．
17．如圖，是的弦，切于點， 垂足為，是的半徑，且，
(1)求證：平分；
(2)若點是弦所對的優弧上一點，且，求圖中陰影部分面積（計算結果保留）．
18．如圖，四邊形是正方形，以邊為直徑作，點在邊上，連結交于點，連結并延長交于點．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．（結果保留）
19．如圖，是的直徑，點在上且平分弧，于點，分別交，于，．
(1)求證：；
(2)若為的中點，且半徑，求陰影部分面積．
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.4 弧長和扇形的面積（解析版）
學習目標：
1 理解弧長和扇形面積公式， 會計算弧長、扇形面積.
2 靈活運用弧長及扇形面積公式解決實際問題.
老師告訴你
求陰影部分面積的主要思想是轉化思想，基本思路是將不規則圖形轉化成規則圖形，常用方法有：直接用公式法、和差法、割補法、等積法和平移法。
一、知識點撥
知識點1、 扇形的弧長相關的計算
扇形的弧長l=；
注意：用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的.。
【新知導學】
例1．已知正六邊形的外接圓圓心為，半徑．
(1)求正六邊形的邊長；
(2)求的長度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查正多邊形和圓，弧長的計算，關鍵是掌握弧長公式，正多邊形的性質．
（1）求出正六邊形的中心角，得到是等邊三角形，得到；
（2）求出的度數，由弧長公式即可求出的長．
【詳解】（1）解：連接，，，
∵正六邊形的外接圓圓心為，
∴，，
∴是等邊三角形，
，
即正六邊形的邊長；
（2）∵，
，
，
的長．
【對應導練】
1．如圖，內接于的半徑為是上的一動點，P是弦的中點，則點Q從點B運動到點C時，點P所經過的路徑長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查圓三角形的綜合運用，如圖所示，連接，由垂徑定理得，點P在以為直徑的圓上運動，設該圓與交于點，則圓心角，根據弧長的計算方法即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，
因為P是弦的中點
∴，
，
∴點P在以為直徑的圓上運動，設該圓與交于點，則圓心角，
∴點P所經過的路徑長為，
故選：B．
2．如圖，在中，，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，則弧的長為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，掌握弧長的計算公式是正確解答的關鍵，求出弧所對應的圓心角的度數以及弧所在扇形的半徑是解決問題的前提．連接，根據，可以得到的度數，再根據以及的度數即可得到的度數，最后根據弧長公式求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，則，
，，，
，，
，
△為等邊三角形，
，
的長為：．
故答案為：．
3．如圖，是的直徑，點為上一點，且，，則的長為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了弧長的計算和圓周角定理，熟練掌握弧長公式是解題的關鍵．連接，得到圓心角為，根據弧長公式求解，即可解題．
【詳解】解：連接，
，
，
，
故答案為：．
知識點2 .扇形面積相關的計算
（1）扇形的定義：圓的一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.
如圖，黃色部分是一個扇形，記作扇形OAB.
（2）扇形的面積S==．扇形的面積與圓心角、半徑有關.
【新知導學】
例2．如圖是的方格紙，將格點繞點按順時針方向旋轉．
(1)請畫出經旋轉后的．
(2)求線段在旋轉過程中掃過的面積．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）根據旋轉的性質作圖即可．
（2）利用勾股定理求出的長，再利用扇形的面積公式計算即可．
本題考查作圖旋轉變換、扇形面積的計算，熟練掌握旋轉的性質、扇形面積公式是解答本題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
（2）解：由勾股定理得，，
線段在旋轉過程中掃過的面積為．
【對應導練】
1．如圖，在中，，，以為直徑作半圓，交于點D，交于點E，則扇形的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了求扇形面積，連接，求出即可求解；
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵為直徑，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴扇形的面積，
故答案為：
2．半徑為的圓中，圓心角為的扇形面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了扇形的面積，根據扇形面積計算公式直接計算即可求解，掌握據扇形面積計算公式是解題的關鍵．
【詳解】解：扇形的面積，
故答案為 ：．
3．一個扇形的圓心角為，面積為，則此扇形的弧長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了弧長的計算和扇形面積的計算，根據扇形面積公式求得半徑，再根據弧長的公式求弧長即可．
【詳解】解：令扇形的半徑和弧長分別為和，
，
，
．
扇形的弧長為．
故答案為：．
4．如圖，在中，是直徑，弦，垂足為點，連接，．
(1)求證：．
(2)若，，求弓形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查垂徑定理，圓周角定理以及扇形面積的計算，掌握垂徑定理、圓周角定理以及扇形面積的計算方法是正確解答的關鍵．
（1）根據垂徑定理，圓周角定理即可得出結論；
（2）根據垂徑定理，證明，推出，可得，再利用扇形面積公式計算即可．
【詳解】（1）證明：，是弦，是直徑，
，
；
（2）解：如圖，連接，，．
，是直徑，是弦，
，，
，，
，
，
在中，，，
，，
，
．
知識點3、.弓形的面積公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
總結：求扇形弧長與面積的方法與數學思想思維導圖
【新知導學】
例3．如圖，在中，，，以為直徑作半圓，交于點，交于點求；
(1)求弧的長；
(2)求陰影部分的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查扇形的面積、等腰三角形的性質、弧長的計算，掌握扇形的面積和弧長的計算公式及等腰三角形的性質、平行線的判定與性質是解題的關鍵．
（1）連接，利用等腰三角形的性質和平行線的判定與性質求出，再由弧長公式計算弧的長；
（2）利用扇形和三角形的面積公式，根據“陰影部分的面積扇形的面積的面積”計算即可．
【詳解】（1）解： 連接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的長，
弧的長是．
（2）解：
，
陰影部分的面積是．
【對應導練】
1．如圖，在四邊形中，先以點A為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點C，再以點C為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點A．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了扇形的面積、等邊三角形的判定與性質等知識，熟練掌握扇形的面積公式是解題關鍵．連接，過點作于點，先證出是等邊三角形，再根據圖中陰影部分的面積等于求解即可得．
【詳解】解：如圖，連接，過點作于點，

由題意可知，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
則圖中陰影部分的面積為
，
故選：A．
2．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式是：弧田面積．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現已知弦米，半徑等于5米的弧田，按上述公式計算出弧田的面積為 平方米．

【答案】10
【分析】由垂徑定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面積公式即可得出結果．
本題考查了勾股定理以及垂徑定理的應用，熟練掌握垂徑定理，勾股定理解直角三角形，新定義——弧田面積公式，是解答本題的關鍵．
【詳解】由題意得：于點D，
∵，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∴弧田面積，
∴弧田的面積為10平方米．
故答案為：10．
3．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，A，B，C三個點均在格點上，連接，并作，過點B．則圖中陰影部分的面積為 ．（結果保留）
【答案】
【分析】
本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的應用，圓周角定理的應用，弓形面積的計算，先證明，，再證明，再利用割補法求解陰影部分的面積即可．
【詳解】解： 如圖，連接，
由勾股定理可得：，，
∴，
∴，
∴為直徑，
∵，
∴，
∵，，
∴；
故答案為：．
二、題型訓練
1.弧長公式的應用
1．若扇形的圓心角為，半徑為4，則扇形的弧長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了扇形的弧長公式，熟記扇形的弧長公式是解題的關鍵．
【詳解】解：扇形的弧長．
故答案為：．
2．若圓錐的母線長為，側面是一個圓心角為的扇形，則這個圓錐底面圓半徑是 ．
【答案】
【分析】本題考查了扇形的弧長公式，關鍵是清楚圓錐的側面展開圖是扇形，扇形的弧長等于底面圓的周長．根據圓錐的側面展開圖是扇形，而此扇形的弧長等于底面圓的周長，由此即可求得底面圓的半徑．
【詳解】解：∵圓錐的母線為，
設底面圓半徑為r
∴
∴．
故答案為：．
3．如圖，中，，是的外接圓，的延長交邊于點D．

(1)試利用無刻度的直尺畫出的平分線，并說明理由；
(2)若，的半徑為2，求劣弧的長．
【答案】(1)畫圖見解析；理由見解析
(2)
【分析】（1）延長交于E，由，可得垂直平分，進而可得平分；
（2）設，則，，，由，可得，則，由，可得，由，可得，可求，則，由圓周角定理得，根據劣弧的長為，計算求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，為的平分線．理由如下：

延長交于E，
∵，
∴垂直平分，
∴平分；
（2）解：設，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵
∴，
∴劣弧的長為
∴劣弧的長為．
【點睛】本題考查了外接圓，等腰三角形的判定與性質，作角平分線，垂直平分線的判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質，圓周角定理，弧長等知識．熟練掌握外接圓，等腰三角形的判定與性質，作角平分線，垂直平分線的判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質，圓周角定理，弧長是解題的關鍵．
扇形面積公式的應用
割補法求不規則圖形面積
4 .求陰影部分面積．（單位：厘米）
【答案】陰影部分的面積為平方厘米
【分析】本題主要考查不規則圖形面積的計算，根據圖示，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
∴,
（平方厘米），
答：陰影部分的面積為平方厘米．
整體思想求分散圖形面積
5．如圖，直徑為3厘米的半圓繞點A逆時針旋轉，使到達的位置，求圖中陰影部分的周長和面積．

【答案】（厘米）；（平方厘米）
【分析】本題主要考查了圓與旋轉．熟練掌握旋轉性質，弧長公式，扇形面積公式，是解決問題的關鍵．
觀察圖形可知，這個陰影部分的周長等于直徑3厘米圓的周長與半徑3厘米，圓心角60度的弧長之和，據此根據圓的周長及弧長公式計算即可解答；根據陰影部分的面積以為直徑的半圓的面積扇形的面積以為直徑的半圓的面積扇形的面積，即求陰影部分的面積就等于求扇形的面積．
【詳解】解：陰影部分的周長是2個半圓的弧加以為半徑的圓弧，
∴（厘米）；
陰影部分面積是以為半徑的扇形面積，
∴（平方厘米）．
6．（1）課本再現：如圖，，是的兩條切線，切點分別為，．則圖中的與，與有什么關系？請說明理由，
（2）知識應用：如圖，、、分別與相切于點、、，且，連接、，延長交于點，交于點，過點作交于．
①求證：是的切線；
②當，時，求的半徑及圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②半徑是，圖中陰影部分的面積是
【分析】本題考查圓的切線的證明、扇形的面積計算等，解題的關鍵在于熟練掌握圓的知識點，切線的證明與性質，圓中的相關面積計算等．
（1）連接和，根據切線的性質，可得，即可得出結論；
（2）①根據題意求證，即可得出，即可得出答案；②根據，求出的長，再用三角形面積減去扇形面積即可得出答案．
【詳解】（1）證明：如圖，連接和，
和是的兩條切線，
，．
又，．
，
，．
（2）①證明：、、分別與相切于點、、，
、分別平分、．
又．
．
．
又，
，
又經過半徑的外端點，
是的切線．
②解：連接，則，
，，
∴，
∴，
，
即⊙O的半徑為．
∴
綜上所述：的半徑是，圖中陰影部分的面積是．
替換法求不規則圖形面積
7．如圖，已知與相切于點A，點B為上一點，，過點B作于點C，交于點D，連接．已知，則圖中陰影部分的面積是 ．
【答案】
【分析】本題考查的是切線的性質、扇形面積的計算，熟記圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．連接，根據切線的性質得到，證明，得到，根據扇形面積公式計算，得到答案．
【詳解】解：連接，
∵與相切于點A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
由圓周角定理可得：
，
．
故答案為:
8．如圖，在邊長為3的等邊三角形中，以為直徑構造半圓，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】連接，，，根據等邊三角形的判定與性質求出、、是邊長相等的等邊三角形，再根據陰影部分的面積求解即可．此題考查了扇形的面積、等邊三角形的性質，熟記扇形的面積公式是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，，，
是等邊三角形的邊長為3，
，，
以為直徑構造半圓，
，
、是等邊三角形，
，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
陰影部分的面積，
故答案為：．
9．如圖，在中，E為邊中點．以C為圓心，為半徑畫弧，恰好經過點A．以C為圓心，為半徑畫弧，與相切于點F．若，則陰影部分的面積為 ．（結果保留π）
【答案】
【分析】根據切線的性質得到，得到，根據平行四邊形的性質得到，求得，根據等腰三角形的性質得到，，根據扇形、正方形、三角形的面積公式即可得到結論．
【詳解】解：與切于，
，
由題意可知：，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
為邊中點，
，，
，
，
，
，，
，
四邊形是正方形，
陰影部分的面積扇形的面積的面積正方形的面積扇形的面積，
故答案為：．
【點睛】本題考查了切線的性質，扇形面積的計算，平行四邊形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，正確地識別圖形是解題的關鍵．
作差法求不規則圖形面積
10．如圖，在平面直角坐標系中，以為圓心的與y軸相切于原點O，過點的直線與相切于點B ．
(1)求的長；
(2)求、與所圍成的陰影部分面積（不取近似值）；
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了圓的切線的性質、直角三角形的性質，勾搭定理，等邊三角形的判定以及性質，扇形面積公式等知識綜合性強，能熟練運用相關性質是解題的關鍵．
（1）連接，由于A、P的坐標已知，因此求出、的長度，根據直線與相切于點B，與y軸相切于原點O，利用勾股定理定理可以求出的長度；
（2）連接，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得出，由等邊三角形的性質得出，最后根據即可求出陰影部分面積；
【詳解】（1）解：連接
∵點A、P的坐標分別為、，
∴，
∴．
∵直線與相切于點B，
∴，
∴
又∵與y軸相切于原點O，
∴，
∴；
（2）解：連接，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
；
11 .如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉60°，點O，B的對應點分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是（　?。?br/>A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣
【答案】C
【解析】連接OO′，BO′，根據旋轉的性質得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等邊三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等邊三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根據圖形的面積公式即可得到結論．
【解答】連接OO′，BO′，
∵將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等邊三角形，
∴∠AOO′=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等邊三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴圖中陰影部分的面積=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．
故選C．
【點評】本題考查了扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質，旋轉的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，點在半徑為3的上，，則的長為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查圓周角定理，弧長的計算．根據，先計算，再用弧長公式計算即可．
【詳解】解：
．
故選：C．
2．已知圓上一段弧長為，它所對的圓心角為，則該圓的半徑為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了弧長公式，設該圓的半徑為，根據弧長公式計算，即可求解．
【詳解】解：設該圓的半徑為，根據題意得：
，
解得：，
即該圓的半徑為．
故選：B
3．一個滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的直徑是，當重物上升時，滑輪的一條半徑繞軸心按逆時針方向旋轉的角度約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了弧長公式的計算，重物上升時，即弧長是，設旋轉的角度是，利用弧長公式計算即可得出答案，熟練掌握弧長公式是解此題的關鍵．
【詳解】解：滑輪的直徑是，
滑輪的半徑是，
設旋轉的角度是，
由題意得：，
解得：，
滑輪的一條半徑繞軸心按逆時針方向旋轉的角度約為，
故選：A．
4．如圖，在中，，把繞點A順時針旋轉后，得到，則點B走過的路徑長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了勾股定理，求弧長，旋轉的性質，先利用勾股定理得到，再由由旋轉的性質可得，據此利用弧長公式求解即可．
【詳解】解：在中，由勾股定理得，
由旋轉的性質可得，
∴點B走過的路徑長為，
故選：D．
5．如圖，正五邊形的邊長為5，以頂點為圓心，的長為半徑畫圓，則圓與正五邊形重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查正多邊形和圓，扇形面積的計算．根據正五邊形的內角和定理求出正五邊形的一個內角的度數，再根據扇形面積的計算方法進行計算即可．
【詳解】解：五邊形是正五邊形，
，
，
故選：B．
6．如圖，將繞點旋轉得到，已知，則線段掃過的圖形面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查扇形面積的計算；旋轉的性質．由于將繞點C旋轉得到，可見，陰影部分面積為扇形減扇形，分別計算兩扇形面積，再計算其差即可．
【詳解】解：如圖：
；
；
則．
故選：D．
7．如圖，已知內接于，為直徑，的平分線交于點D，連接，若，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接，求得，得到，因為，根據，于是得到問題的答案．
【詳解】解：連接，

∵是的直徑，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
【點睛】此題重點考查圓周角定理、扇形的面積公式、三角形的面積公式、根據轉化思想求圖形面積等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
8．如圖, 在等腰直角三角形中，，分別以點B，點 C為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交于點D，E，F，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了扇形面積的計算，熟練掌握扇形面積的計算及根據題意應用面積差求陰影部分的方法進行求解是解決本題的關鍵．
先根據等腰直角三角形的性質計算出的長，再計算出的面積，根據，兩個扇形的半徑相等，即可算出扇形的面積之和，再根據陰影部分的面積等于三角形的面積減去扇形的面積，計算即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴兩個扇形面積之和，
∴．
故選：D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為旋轉中心，將順時針旋轉得到其中與點A對應，點與點B對應．如果A（﹣3，0），B（﹣1，2），那么點B經過的路徑的長度為 ．（結果保留π）
【答案】
【分析】B點坐標為已知，利用勾股定理求出OB長度，再利用弧長公式求解即可．
【詳解】解： B（﹣1，2）
如圖，由題意B點以原點O旋轉中心旋轉了
點B經過的路徑的長度
故答案為：
【點睛】本題考查圖形的旋轉、勾股定理、弧長等知識點，需要熟練掌握弧長計算公式．
10．如圖，在中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，以點為圓心，長為半徑畫圓弧，交邊于點，若，則圖中陰影部分圖形的面積和為 （結果保留）．
【答案】
【分析】根據題意和圖形可知陰影部分的面積．本題考查扇形面積的計算、含角的直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
【詳解】解：在，，，，
，，
陰影部分的面積，
故答案為：．
11．如圖，在中，，，分別以的邊為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是 ．
【答案】
【分析】本題考查了弓形面積計算，陰影面積計算，勾股定理，設大陰影的面積為，小陰影的面積為，大弓形的面積為，小弓形的面積為，的面積為，得到；正確分割表示陰影的面積是解題的關鍵．
【詳解】設大陰影的面積為，小陰影的面積為，大弓形的面積為，小弓形的面積為，的面積為，
根據題意，得，，
∴，
∵，
∴
，
∵中，，，
∴，
．
故答案為：24．
12．如圖，將半徑的半圓繞點B按順時針方向旋轉，此時點A到了點，則圖中涂色部分的面積為 ．
【答案】/
【分析】本題考查求陰影部分面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關鍵．利用，進行求解即可．
【詳解】解∶ ∵半徑的半圓繞點B按順時針方向旋轉，
∴，，
∴
，
故答案為： ．
13．如圖，在長方形中，，以點D為圓心，長為半徑畫弧，交線段延長線于點E，點F為邊上一點，若，連接，則圖中陰影部分的面積為 （結果保留π）．
【答案】
【分析】本題考查了扇形的面積的計算及長方形的性質，明確是解答本題的關鍵．
用長方形的面積加上扇形的面積減去三角形的面積即可求得陰影部分的面積．
【詳解】解：在長方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．如圖，點在的直徑的延長線上，點在上，連接、．
(1)給出下列信息：①；②；③與相切．
請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，第三個作為結論，組成一個正確的命題并作出證明．你選擇的條件是_______________，結論是________________（填寫序號，只需寫出你認為正確的一種情形）．
(2)在（1）的條件下，若，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)①②，③，證明過程見詳解
(2)
【分析】（1）證明是的切線，根據，，可證明，由此即可求證；
（2）如圖所示（見詳解），作于，在中，可求出，在中，可求出，，，根據，即可求解．
【詳解】（1）解：選擇①②可證明③或選擇①③可證明②或選擇②③可證明①，
以選擇①②可證明③為例證明，
證明：如圖所示，連接，
，
，
，
，即，點在上，
∴與相切．
故答案為：①②，③．
（2）解：如圖所示，作于，
在中，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
．
【點睛】本題主要考查圓的基礎知識，切線的證明，不規則圖形的面積，掌握圓的切線的證明方法，觀察圖形的組成部分，幾何圖形的面積計算方法是解題的關鍵．
15．
(1)求半圓形的面積（結果保留）
(2)求圖形的周長（結果保留）
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）根據圓的面積公式，計算其一半的面積即可；
（2）根據圓的周長公式，計算其一半或是整圓的周長即可．
【詳解】（1）解：圖1，直徑為，圖2，小圓的直徑是，大圓半徑為，
∴圖1中，半圓的面積為，
（2）解：圖1，直徑為，圖2，小圓的直徑是，大圓半徑為，
∴圖1中，半圓的周長為，圖2中，周長為．
【點睛】本題主要考查圖形的變換，根據圖形的周長，面積公式計算圖形的周長，面積，掌握圖形的面積計算公式，結合圖形的形狀是解題的關鍵．
16．如圖，在中，是直徑，點C是圓上一點，在的延長線上取一點D，連接，使．

(1)求證：直線是的切線；
(2)若，，求的長（結果保留）．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，得到，圓周角定理得到，得到，進而得到，即可；
（2）根據，得到，進而得到，進而得到，根據含30度角的直角三角形的性質，得到，求出半徑的長，根據弧長公式進行求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，則：，

∴，
∵是直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵是的半徑，
∴直線是的切線；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的長為．
【點睛】本題考查切線的判定和性質，圓周角定理，弧長公式，等邊對等角，含30度角的直角三角形．熟練掌握相關知識點，靈活運用，是解題的關鍵．
17．如圖，是的弦，切于點， 垂足為，是的半徑，且，
(1)求證：平分；
(2)若點是弦所對的優弧上一點，且，求圖中陰影部分面積（計算結果保留）．
【答案】(1)見解析；
(2)．
【分析】（1）連結,由切線的性質得出,證出，由平行線的性質和等腰三角形的性質得出，即可證明．
（2）由圓周角定理得出,由扇形面積公式和三角形面積公式即可得出結果．
【詳解】（1）證明：連結，如圖所示，
切與點，
，
，
，
，
，
平分．
（2）如圖，過作與點
點是弦所對的優弧上一點，且，
,
，
，
，
，
，
陰影部分面積等于扇形的面積與三角形的差，即為：．
【點睛】本題考查了切線的性質、等腰三角形的性質、平行線的性質、圓周角定理、扇形面積公式等知識；熟練掌握切線的性質和圓周角定理是解決問題的關鍵．
18．如圖，四邊形是正方形，以邊為直徑作，點在邊上，連結交于點，連結并延長交于點．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．（結果保留）
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了直徑所對的圓周角是直角、全等三角形的判定與性質、弧長的求解等知識點，熟記相關幾何結論是解題關鍵．
（1）證即可；
（2）根據題意求出即可求解；
【詳解】（1）證明：由題意得：，
∴
∴
∴
∴
（2）解：連接，如圖所示：
∵，
∴
∵
∴
∴
∴的長為：
19．如圖，是的直徑，點在上且平分弧，于點，分別交，于，．
(1)求證：；
(2)若為的中點，且半徑，求陰影部分面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，直角三角形的性質，勾股定理，圓的有關計算，扇形的面積，等邊三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握圓的有關性質是解題的關鍵．
（1）利用直徑所對的圓周角為直角可得，根據可得，推出；結合點在上且平分弧可得，即可求證；
（2）連接，，過點作于點，利用垂直平分線的性質，圓的有關性質和等邊三角形的判定與性質得到為等邊三角形，利用圓周角定理，含角的直角三角形的性質，勾股定理求得，再利用陰影部分面積解答即可．
【詳解】（1）證明：為的直徑，
，
．
，
，
．
點在上且平分弧，
，
，
，
；
（2）解：連接，，如圖，
，為的中點，
為的垂直平分線，
，
，
，
即為等邊三角形，
．
，
，
．
．
過點作于點，則，
．
陰影部分面積
．
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