資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.3 正多邊形和圓
學習目標：
1 了解正多邊形和圓的有關概念.
2 理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系.
3 利用等分圓周的方法畫出任意正多邊形，會利用尺規作圖的方法畫特殊正多邊形.
老師告訴你
常見正多邊形的邊長與半徑的關系
正六邊形的邊長等于其外接圓半徑；2.正三角形的邊長等于其外接圓半徑的倍，3.正方形的邊長等于其外接圓半徑的倍。
求解與正多邊形有關的計算問題
關鍵是被半徑和邊心距分割成的直角三角形，將正多邊形的計算問題轉化成直角三角形問題
一、知識點撥
知識點1 圓內接正多邊形
頂點都在圓上的正多邊形叫做圓內接正多邊形，這個圓叫做正多邊形的外接圓。
任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓.它們是兩個同心圓。
【新知導學】
例1．下列關于正多邊形說法錯誤的是（ ）
A．正多邊形不一定是中心對稱圖形
B．中心對稱圖形一定是正多邊形
C．經過任何一個中心對稱圖形的對稱中心的直線都能將該中心對稱圖形分成兩個全等圖形．
D．關于中心對稱的兩個圖形是全等形
【對應導練】
1．下列說法正確的是（　　）
A．正多邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
B．正多邊形的外接圓圓心是這個正多邊形的中心
C．正n邊形的中心角與其每一個外角互補
D．正五邊形的邊長等于其外接圓的半徑
2．下列關于正多邊形的敘述，正確的是（ ）
A．正五邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
B．存在一個正多邊形，它的外角和為
C．任何正多邊形都有一個外接圓
D．不存在每個外角都是對應每個內角兩倍的正多邊形
3．我們學習了，多邊形中，如果各條邊都相等，各個內角都相等，這樣的多邊形叫做正多邊形觀察每個正多邊形中的變化情況，解答下列問題：

(1)將如表的表格補充完整：
正多邊形邊數 ______
的度數 ______ ______ ______ ______
(2)根據規律，是否存在一個正邊形，使其中的？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
知識點2 圓內接正多邊形有關概念
1.正多邊形有關概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
正n邊形的中心角的度數為，n邊形的內角和為 （n﹣2）·180°，
外角和是 360° ，正n 邊形的每個內角的度數為 或.
2.正多邊形的有關計算
(1)正n邊形的中心角：
(2)正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距r么關系
(3)邊長a，邊心距r的正n邊形的面積
注意：圓內接正多邊形的輔助線
(1)連半徑，得中心角；
(2)作邊心距，構造直角三角形.
【新知導學】
例2．如圖，在同一個圓中作出圓的內接正三角形 和正八邊形 ，若連接 ，則 的度數是 （ ）
A． B． C． D．
【對應導練】
1．正方形繞其中心旋轉一定的角度與原圖形重合，則這個角至少為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，正方形內接于，點E在上連接，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，是正五邊形的外接圓，點P是上的的一點，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
4．已知：圓內接正六邊形的邊長為2，則圓心到內接正六邊形各邊的距離為（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．正多邊形的中心角為，則正多邊形的邊數是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
知識點3 正多邊形的作圖
把一個圓n等分，依次連接各分點得到的多邊形就是圓的內接正n邊形。
【新知導學】
例3．如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內接正五邊形ABCDE的部分尺規作圖步驟如下：
①作出半徑OF的中點H．
②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．
③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．
已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝ ．（結果保留根號）
【對應導練】
1．如圖，已知，請用尺規作圖法求作的內接正方形．（保留作圖痕跡，不寫作法）
2．如圖，是中互相垂直的兩條直徑，以點A為圓心，為半徑畫弧，與交于E、F兩點．
(1)求證：是正六邊形的一邊；
(2)請在圖上繼續畫出這個正六邊形．
3．如圖，已知AC為的直徑．請用尺規作圖法，作出的內接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）
4．已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度直尺，按要求畫圖：
(1)在圖1中，畫出CD的中點G；
(2)在圖2中，點G為CD中點以G為頂點畫出一個菱形．
二、題型訓練
1.正多邊形的畫法在作圖中的應用
1．尺規作圖：
(1)請在圖①中以矩形的邊為邊作菱形，使得點E在上；
(2)請在圖②中以矩形的邊為直徑作，并在上確定點P，使得的面積與矩形的面積相等.
2．已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．
（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：
（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．
2.正多邊形和圓的關系在證明中的應用
3．如圖，正方形內接于是的中點，連接．求證：；
4．如圖，正方形內接于，M為弧中點，連接．
(1)求證：；
(2)連接，求的度數．
3.正多邊形的性質在計算中的應用
5．在圓內接正六邊形中，，分別交于點H，G．

(1)如圖①，求證：點H，G三等分．
(2)如圖②，操作并證明．
①尺規作圖：過點O作的垂線，垂足為K，以點O為圓心，的長為半徑作圓；（在圖②中完成作圖，保留作圖痕跡，不需要寫作法）
②求證：是①所作圓的切線．
6．如圖，是的直徑，，是的弦，，延長到，連接，．
(1)求證：是的切線；
(2)以為邊的圓內接正多邊形的周長等于________．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，正八邊形內接于，連接，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．一個正多邊形的中心角為，這個正多邊形的邊數是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
3．有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如圖，是正六邊形的中心．在平面直角坐標系中，若點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為（）
A． B． C． D．
5．如圖，、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數為（　　）
A． B． C． D．
6．如圖，為直徑，作的內接正六邊形，甲、乙兩人的作法分別如下：
甲：1．作的中垂線，交圓于兩點；2．作的中垂線，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；
乙：1．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；2．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；
對于甲、乙兩人的作法，可判斷（ ）
A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對
C．兩人都不對 D．兩人都對
7．如圖，正五邊形內接于，連結，則（　　）
A． B． C． D．
8．如圖，正方形、等邊三角形內接于同一個圓，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，點O是正五邊形的中心，連接，則的度數為 ．
.
10．已知一個正多邊形的中心角為30度，邊長為x厘米（x＞0），周長為y厘米，那么y關于x的函數解析式為 ．
11．如圖，以正六邊形ABCDEF的中心為坐標原點建立平面直角坐標系，頂點C、F在x軸上，頂點A的坐標為（1，），則頂點D的坐標為 ．
12．如圖，正五邊形內接于，、交于點，則的度數為 ．
13．如圖，正方形內接于圓，，點P在圓上且滿足，，則點A到的距離為 ．
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（8分）如圖，正三角形ABC內接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半徑．
15．（8分）如圖1，等邊內接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點D．
（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數量關系：___．
（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：
①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．
②請在圖2中作出⊙O的內接正六邊形ADBECF的一條不經過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．

16．（8分）如圖，正方形的外接圓為，點P在劣弧上（不與點C重合）．

(1)求的度數；
(2)若的半徑為8，求正方形的邊長．
18．（8分）如圖，正方形內接于，連接，點F是的中點，過點D作的切線與的延長線相交于點G．
(1)試判斷與的位置關系，并說明理由．
(2)求的度數．
19．（8分）閱讀與思考
下面是博學小組研究性學習報告的部分內容，請認真閱讀，并完成相應任務．
關于“等邊半正多邊形”的研究報告博學小組研究對象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念—性質—判定”的路徑，由一般到特殊進行研究．研究方法：觀察（測量、實驗）—猜想—推理證明研究內容：【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數為偶數），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形．如圖①，我們學習過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形……【特例研究】根據等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：概念理解：如圖②，如果六邊形是等邊半正六邊形，那么，，，且．性質探索：根據定義，探索等邊半正六邊形的性質，得到如下結論：內角：等邊半正六邊形相鄰兩個內角的和為 ▲ °．對角線：……
任務：
(1)直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內容：_______．
(2)如圖③，六邊形是等邊半正六邊形．連接對角線，猜想與的數量關系，并說明理由；
(3)如圖④，已知是正三角形，是它的外接圓．請在圖4中作一個等邊半正六邊形（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.3 正多邊形和圓
學習目標：
1 了解正多邊形和圓的有關概念.
2 理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系.
3 利用等分圓周的方法畫出任意正多邊形，會利用尺規作圖的方法畫特殊正多邊形.
老師告訴你
常見正多邊形的邊長與半徑的關系
正六邊形的邊長等于其外接圓半徑；2.正三角形的邊長等于其外接圓半徑的倍，3.正方形的邊長等于其外接圓半徑的倍。
求解與正多邊形有關的計算問題
關鍵是被半徑和邊心距分割成的直角三角形，將正多邊形的計算問題轉化成直角三角形問題
一、知識點撥
知識點1 圓內接正多邊形
頂點都在圓上的正多邊形叫做圓內接正多邊形，這個圓叫做正多邊形的外接圓。
任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓.它們是兩個同心圓。
【新知導學】
例1．下列關于正多邊形說法錯誤的是（ ）
A．正多邊形不一定是中心對稱圖形
B．中心對稱圖形一定是正多邊形
C．經過任何一個中心對稱圖形的對稱中心的直線都能將該中心對稱圖形分成兩個全等圖形．
D．關于中心對稱的兩個圖形是全等形
【答案】B
【分析】本題主要考查了正多邊形．熟練掌握正多邊形定義和性質，中心對稱和中心對稱圖形的定義和性質，是解題的關鍵．每條邊都相等，每個角都相等的多邊形叫做正多邊形；在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與另一個圖形重合，那么這個兩個圖形叫做成中心對稱；
根據正多邊形的定義和性質，中心對稱的定義和性質，中心對稱圖形的定義和性質，對各個選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】A．正多邊形不一定是中心對稱圖形．
正確，正奇邊形繞著中心點旋轉后，不能與原來的圖形重合，
∴正多邊形不一定是中心對稱圖形，
故本選項正確；
B．中心對稱圖形一定是正多邊形．
錯誤，平行四邊形是中心對稱圖形，不是正多邊形，
∴中心對稱圖形不一定是正多邊形，
故本選項錯誤；
C．經過任何一個中心對稱圖形的對稱中心的直線都能將該中心對稱圖形分成兩個全等圖形．
正確，經過任何一個中心對稱圖形的對稱中心的直線，將該中心對稱圖形分成的兩個圖形，繞對稱中心轉后，互相重合，
故本選項正確；
D．關于中心對稱的兩個圖形是全等形．
正確，成中心對稱的兩個圖形，繞著對稱中心旋轉后互相重合，
故本選項正確．
故選：B．
【對應導練】
1．下列說法正確的是（　　）
A．正多邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
B．正多邊形的外接圓圓心是這個正多邊形的中心
C．正n邊形的中心角與其每一個外角互補
D．正五邊形的邊長等于其外接圓的半徑
【答案】B
【分析】本題主要考查了正多邊形和圓，軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，解題的關鍵是熟練掌握正多邊形的性質，根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，逐項進行判斷即可．
【詳解】解：A．邊數為偶數的正多邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，邊數為奇數的正多邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A錯誤；
B．正多邊形的外接圓圓心是這個正多邊形的中心，故B正確；
C．正n邊形的中心角與其每一個外角都相等，都等于，故C錯誤；
D．正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑，故D錯誤．
故選：B．
2．下列關于正多邊形的敘述，正確的是（ ）
A．正五邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
B．存在一個正多邊形，它的外角和為
C．任何正多邊形都有一個外接圓
D．不存在每個外角都是對應每個內角兩倍的正多邊形
【答案】C
【分析】本題考查正多邊形和圓，軸對稱和中心對稱圖形，根據正多邊形和圓的性質，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、正五邊形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，原說法錯誤，不符合題意；
B、任意一個正多邊形，它的外角和為，原說法錯誤，不符合題意；
C、任何正多邊形都有一個外接圓，正確，符合題意；
D、正三角形的每個外角都是對應每個內角的兩倍，原說法錯誤，不符合題意；
故選C．
3．我們學習了，多邊形中，如果各條邊都相等，各個內角都相等，這樣的多邊形叫做正多邊形觀察每個正多邊形中的變化情況，解答下列問題：

(1)將如表的表格補充完整：
正多邊形邊數 ______
的度數 ______ ______ ______ ______
(2)根據規律，是否存在一個正邊形，使其中的？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，，，
(2)不存在一個正邊形，使其中的，理由見解析
【分析】（1）根據正多邊形的內角，內角和以及三角形內角和定理進行計算即可；
（2）根據（1）中的計算方法得出，代入計算即可．
【詳解】（1）解：正三角形中的度數是正三角形的內角度數，即，
正方形中的度數為，即，
正五邊形中的度數為，即，
正六邊形中的度數為，即，
正邊形中的度數為，即，
當時，即，
解得，
故答案為：，，，，；
（2）由（1）得，正邊形中，
當時，即，
解得不是整數，
所以不存在一個正邊形，使其中的．
【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形的性質，多邊形內角和的計算方法是正確解答的前提，得出是解決問題的關鍵．
知識點2 圓內接正多邊形有關概念
1.正多邊形有關概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
正n邊形的中心角的度數為，n邊形的內角和為 （n﹣2）·180°，
外角和是 360° ，正n 邊形的每個內角的度數為 或.
2.正多邊形的有關計算
(1)正n邊形的中心角：
(2)正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距r么關系
(3)邊長a，邊心距r的正n邊形的面積
注意：圓內接正多邊形的輔助線
(1)連半徑，得中心角；
(2)作邊心距，構造直角三角形.
【新知導學】
例2．如圖，在同一個圓中作出圓的內接正三角形 和正八邊形 ，若連接 ，則 的度數是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查正多邊形和圓，連接 ，，，，求出正三角形和正八邊形的中心角的度數，再利用圓周角定理，進行求解即可．
【詳解】如圖，連接 ，，，．
正三角形的中心角 ，
正八邊形的中心角 ，
，
，
．
【對應導練】
1．正方形繞其中心旋轉一定的角度與原圖形重合，則這個角至少為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查正方形的旋轉對稱問題，根據正方形的對角線把正方形分成四個全等的直角三角形與旋轉對稱圖形的性質解答．
【詳解】解：∵正方形的對角線把正方形分成四個全等的直角三角形，
∴頂點處的周角被分成四個相等的角，，
∴這個正方形繞著它的中心旋轉的整數倍后，就能與它自身重合，
因此這個角度至少是．
故選C．
2．如圖，正方形內接于，點E在上連接，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查正多邊形和圓，連接，易得：，進而得到，即可得出結果．
【詳解】解：連接，則：
∴，
∵正方形內接于，
∴，
∴，
∴；
故選C．
3．如圖，是正五邊形的外接圓，點P是上的的一點，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查圓內接多邊形性質，以及同弧所對圓周角等于圓心角的一半，根據圓內接多邊形性質求得，再根據圓周角定理得到，即可解題．
【詳解】解：是正五邊形的外接圓，
，
，
，
故選：B．
4．已知：圓內接正六邊形的邊長為2，則圓心到內接正六邊形各邊的距離為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】構建直角三角形，利用直角三角形的邊角關系即可求出．
此題主要考查了正多邊形和圓、利用勾股定理解三角形，正確掌握正六邊形的性質是解題關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，，作，

∵圓內接正六邊形邊長為2，
∴，，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴在中，
∴正六邊形的邊心距是．
故選：C．
5．正多邊形的中心角為，則正多邊形的邊數是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】本題考查正多邊形與圓，根據中心角的度數等于除以邊數，進行求解即可．
【詳解】解：∵正多邊形的中心角為，
∴這個多邊形的邊數是，
∴正多邊形的邊數是8．
故選：C．
知識點3 正多邊形的作圖
把一個圓n等分，依次連接各分點得到的多邊形就是圓的內接正n邊形。
【新知導學】
例3．如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內接正五邊形ABCDE的部分尺規作圖步驟如下：
①作出半徑OF的中點H．
②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．
③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．
已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝ ．（結果保留根號）
【答案】
【分析】連接AG，由作圖可知，OA＝2，H為OF中點，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．
【詳解】解：連接AG，由作圖可知，OA＝2，OH＝1，H為OF中點，
∴OH=，
在Rt△OAH中，由勾股定理
∴AH＝，
∵AH＝HG＝，
∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，
在Rt△AOG中，由勾股定理得，
∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．
故答案為：10﹣2．
【點睛】本題考查尺規作圓內接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧，掌握圓內接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧的方法是解題關鍵．
【對應導練】
1．如圖，已知，請用尺規作圖法求作的內接正方形．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】本題考查了作正方形，考查了圓的基本性質，正方形的判定；先在圓上確定一點，連接并延長交于點，再作的垂直平分線交于B、D，連接，則四邊形就是所求作的內接正方形．
【詳解】解：如圖，正方形為所作．
垂直平分，為的直徑，
為的直徑，
，
，，，
四邊形是矩形
,
四邊形是正方形，
又都在圓上，
四邊形是的內接正方形．
2．如圖，是中互相垂直的兩條直徑，以點A為圓心，為半徑畫弧，與交于E、F兩點．
(1)求證：是正六邊形的一邊；
(2)請在圖上繼續畫出這個正六邊形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了正多邊形和圓，熟悉正六邊形的性質、尺規作圖是解題的關鍵．
（1）連接，得到是等邊三角形，從而得到是正六邊形的一邊；
（2）用以的長為圓規兩腳間的距離，分別在圓上截得相等的弧長．
【詳解】（1）證明：連接，如圖．
∵，
∴是等邊三角形，
，
∴是正六邊形的一邊；
（2）解：如圖所示，
用圓規截去弧的弧長，然后以E點、點B為圓心，為半徑畫弧，與交于G、H兩點，順次將點A、E、G、B、H、F連接起來，就得到正六邊形．
3．如圖，已知AC為的直徑．請用尺規作圖法，作出的內接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）
【答案】見解析
【分析】作AC的垂直平分線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD就是所求作的內接正方形．
【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．
∵BD垂直平分AC，AC為的直徑，
∴BD為的直徑，
∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，
∴四邊形ABCD是的內接正方形．
【點睛】本題考查了作圖 復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓的基本性質，正方形的判定．
4．已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度直尺，按要求畫圖：
(1)在圖1中，畫出CD的中點G；
(2)在圖2中，點G為CD中點以G為頂點畫出一個菱形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）如圖1，分別連接AD、CF交于點H，分別延長線段BC、線段ED于點I，連接HI與線段CD交于點G，點G即為所求；
（2）如圖2，延長線段IH與線段AF交于點J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．
【詳解】（1）如圖1，分別連接AD、CF交于點H，分別延長線段BC、線段ED于點I，連接HI與線段CD交于點G，點G即為所求；
（2）如圖2，延長線段IH與線段AF交于點J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．
【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖的問題，掌握正六邊形的性質、中線的性質、菱形的性質是解題的關鍵．
二、題型訓練
1.正多邊形的畫法在作圖中的應用
1．尺規作圖：
(1)請在圖①中以矩形的邊為邊作菱形，使得點E在上；
(2)請在圖②中以矩形的邊為直徑作，并在上確定點P，使得的面積與矩形的面積相等.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）結合菱形的判定，以點D為圓心，的長為半徑畫弧，交為點E，再分別以點E、點A為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，連接、、即可；
（2）作線段的垂直平分線，交于點O，以點O為圓心，的長為半徑畫圓，即可得，以點O為圓心，的長為半徑畫弧，在的上方交于點E，再作，作直線，分別交于點、，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，菱形即為所求，
（2）解：如圖，點、即為所求，
【點睛】本題考查作圖 復雜作圖、菱形的判定、矩形的性質、垂直平分線的性質，理解題意、靈活運用相關知識是解題的關鍵．
2．已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．
（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：
（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．
【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析．
【分析】（1）直接利用正多邊形的性質得出頂點P的位置；
（2）利用正五邊形的性質，得出對角線交點，進而得出其中心P點位置．
【詳解】解：（1）如圖所示：點P為所求；
（2）如圖所示：點O為所求；
【點睛】此題主要考查了復雜作圖以及等腰三角形的性質和正多邊形的性質，正確應用正五邊形的性質是解題關鍵．
2.正多邊形和圓的關系在證明中的應用
3．如圖，正方形內接于是的中點，連接．求證：；
【答案】證明見詳解
【分析】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質，證明，即可得出．
【詳解】證明：四邊形是正方形，
，
．
是的中點，
，
，
．
4．如圖，正方形內接于，M為弧中點，連接．
(1)求證：；
(2)連接，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了正多邊形的性質、圓心角、弧、弦的關系定理，掌握正方形的性質、圓心角、弧、弦的關系定理是解題的關鍵．
（1）根據正方形的性質得到，根據圓心角、弧、弦的關系得到，得到，即可得到結論；
（2）連接，根據正方形的性質求出和，計算即可．
【詳解】（1）∵四邊形是正方形，
∴，
∴．
∵M為的中點，
∴，
∴，
∴；
（2）連接．
∵四邊形是正方形，
∴．
∵M為弧的中點，
∴，
∴．
3.正多邊形的性質在計算中的應用
5．在圓內接正六邊形中，，分別交于點H，G．

(1)如圖①，求證：點H，G三等分．
(2)如圖②，操作并證明．
①尺規作圖：過點O作的垂線，垂足為K，以點O為圓心，的長為半徑作圓；（在圖②中完成作圖，保留作圖痕跡，不需要寫作法）
②求證：是①所作圓的切線．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②見解析
【分析】（1）由正多邊形的性質證明，可得，再證明是等邊三角形，從而可得結論；
（2）①按照題干的要求作線段的垂直平分線，再作圓即可；②過點O作，垂足為P，連接， 證明．結合，，．從而可得結論；
【詳解】（1）證明：在圓內接正六邊形中，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴是等邊三角形，
∴．
∴點H，G三等分．
（2）①解：如圖，即為所求作．

②證明：如圖，過點O作，垂足為P，連接，則．
由（1）知，，
∴．
∵，，
∴．
∴是①所作圓的切線．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，圓的內接多邊形的性質，切線的判定，作線段的垂直平分線，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．
6．如圖，是的直徑，，是的弦，，延長到，連接，．
(1)求證：是的切線；
(2)以為邊的圓內接正多邊形的周長等于________．
【答案】(1)見解析
(2)18
【分析】本題考查切線的判定，圓內接正六邊形的性質，掌握切線的判定方法是正確解答的前提．
（1）根據等腰三角形性質以及三角形內角和定理計算出即可；
（2）得出以為邊的圓內接正多邊形是圓內接正六邊形，再求出的長即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
，
，
，
，
，
即，
又是半徑，
是的切線；
（2）解：，
以為邊的圓內接正多邊形是圓內接正六邊形，
，
以為邊的圓內接正六邊形的周長為．
故答案為：18．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，正八邊形內接于，連接，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查正多邊形的性質．根據題意，由正八邊形內接于知，．
【詳解】解：正八邊形內接于
．
故選：C．
2．一個正多邊形的中心角為，這個正多邊形的邊數是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本題考查的是正多邊形的中心角的有關計算；熟記正多邊形的中心角與邊數的關系是解題的關鍵．
根據正多邊形的邊數周角中心角，計算即可得解．
【詳解】解：這個多邊形的邊數是，
故答案為：C．
3．有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】根據正多邊形的中心角和為360°計算即可．
【詳解】解：，
故選：D．
【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角的和是360°是解題的關鍵．
4．如圖，是正六邊形的中心．在平面直角坐標系中，若點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了正六邊形的性質，熟練掌握正六邊形的有關性質是解題的關鍵．根據點的坐標求出的長，再根據正六邊形的性質求出，進而求出的坐標即可．
【詳解】解：如圖，連接、，
∵點的坐標為，
∴，
∴，
∴，
故選:．
5．如圖，、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，連接，，根據圓周角定理得到，即可得到結論，熟練掌握圓周角定理的應用及正確理解正多邊形與圓的關系是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，，
∵、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，
∴點、、、在以點為圓心，為半徑的同一個圓上，
∵，
∴，
∴這個正多邊形的邊數，
故選：．
6．如圖，為直徑，作的內接正六邊形，甲、乙兩人的作法分別如下：
甲：1．作的中垂線，交圓于兩點；2．作的中垂線，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；
乙：1．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；2．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；
對于甲、乙兩人的作法，可判斷（ ）
A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對
C．兩人都不對 D．兩人都對
【答案】D
【分析】甲的做法可根據對角線垂直平分可得到菱形，從而可得到多個等邊三角形和各邊和各角相等，乙的做法根據等邊三角的內角是60°，求出其他等邊三角形，從而得出各邊和各角相等
【詳解】甲：
∵BF是中垂線
∴四邊形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等邊三角形，
同理可得△OAB, △OAF也是等邊三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等邊三角形
∴內接六邊形各邊相等，各角相等都是120°
∴圓內接六邊形ABCDEF是正六邊形
乙：
∵AB=AO=BO=AF=OF
∴△OAB, △OAF都是等邊三角形，
同理可得△OCD, △OED也是等邊三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等邊三角形
∴內接六邊形各邊相等，各角相等都是120°
∴圓內接六邊形ABCDEF是正六邊形
故選D
【點睛】本題關鍵是想辦法求出多個等邊三角形，從而得到六條邊，六個角也相等
7．如圖，正五邊形內接于，連結，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查正多邊形內接于圓的知識．根據周角等于，正五邊形內接于，因此，是該圓的五等分角，即可求得該角度數．
【詳解】解：∵該五邊形是正五邊形
∴．
故答案為：A．
8．如圖，正方形、等邊三角形內接于同一個圓，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了正多邊形與圓，正方形及等邊三角形的性質、圓周角定理和弧的度數，根據圓周角定理求出所對的圓心角的度數是解決本題的關鍵．
由，，已知圖形是以正方形的對角線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，求得，則所對的圓心角為，所以的度數為．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，是等邊三角形，
∴，，
∵已知圖形是以正方形的對角線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，
∴，
∵是所對的圓周角，
∴所對的圓心角等于，
∴的度數為，
故選B．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，點O是正五邊形的中心，連接，則的度數為 ．
【答案】18
【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正五邊形的性質，等腰三角形的性質以及三角形內角和定理是解題的關鍵．連接，根據正五邊形的性質，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理進行計算即可．
【詳解】解：如圖，連接，
∵點O是正五邊形的中心，
∴，
在中，，，
∴．
故答案為：18．
.
10．已知一個正多邊形的中心角為30度，邊長為x厘米（x＞0），周長為y厘米，那么y關于x的函數解析式為 ．
【答案】y＝12x
【分析】由正多邊形的中心角的度數，根據圓心角定理求出正多邊形的邊數，即可得出結果．
【詳解】解：∵正多邊形的中心角為30度，
∴正多邊形為正十二邊形，
設邊長為x厘米（x＞0），周長為y厘米，則y關于x的函數解析式為：y＝12x；
故答案為y＝12x．
【點睛】本題考查了正多邊形和圓、圓心角定理、函數關系式等知識，熟練掌握由正多邊形的中心角求正多邊形的邊數是關鍵．
11．如圖，以正六邊形ABCDEF的中心為坐標原點建立平面直角坐標系，頂點C、F在x軸上，頂點A的坐標為（1，），則頂點D的坐標為 ．
【答案】（，）
【分析】根據圖形，利用對稱的性質計算即可求出D的坐標．
【詳解】解：根據題意，點D與點A關于原點對稱，
∵點A的坐標為：（1，），
∴點D的坐標為：（，）；
故答案為：（，）；
【點睛】此題考查了正多邊形和圓，以及坐標與圖形性質，熟練掌握對稱的性質是解本題的關鍵．
12．如圖，正五邊形內接于，、交于點，則的度數為 ．
【答案】
【詳解】本題主要考查正多邊形與圓、圓周角定理等知識點，靈活運用相關定理成為解題的關鍵．
如圖，根據正五邊形的性質，可知圓周長，進而求出，求出，即可解答．
【分析】解：五邊形為正五邊形，
，
圓周長，
，
，
．
故答案為：．
13．如圖，正方形內接于圓，，點P在圓上且滿足，，則點A到的距離為 ．
【答案】或
【分析】
本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．
分兩種情況討論，當點在上方時，設與相交于點O，連接，過點A作，交延長的延長線于E，過點A作于，由勾股定理可求，的長，由“”可證，可得，，可求，當點在上方時，同理可求的值．
【詳解】解：如圖，當點在上方時，
設與相交于點O，
連接，過點A作，交延長的延長線于E，過點A作于，
∵四邊形是正方形，
，，
又∵，
，
又，，
，
，，
，
∴四邊形是矩形，
又∵，
∴四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
當點P在的下方時，
同理可求，
故答案為：或．
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（8分）如圖，正三角形ABC內接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半徑．
【答案】2cm
【分析】利用等邊三角形的性質得出點O既是三角形內心也是外心，進而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用銳角函數關系得出BO即可．
【詳解】過點O作OD⊥BC于點D，連接BO，
∵正三角形ABC內接于⊙O，
∴點O即是三角形內心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半徑為2cm．
【點睛】考查了正多邊形和圓，利用正多邊形內外心的特殊關系得出∠OBD=30°，BD=CD是解題關鍵．
15．（8分）如圖1，等邊內接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點D．
（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數量關系：___．
（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：
①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．
②請在圖2中作出⊙O的內接正六邊形ADBECF的一條不經過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．

【答案】（1）；（2）①見解析，②見解析
【分析】（1）結合外心的定義和等邊三角形的性質推斷出CD垂直平分AB，從而利用垂徑定理得出結論即可；
（2）①結合（1）的結論，可直接連接AO，BO，分別延長與圓相交，再順次連接各交點即可；
②如圖，延長AF，EC，交于一點，此時可構成等邊三角形，從而連接交點與圓心的直線即為所求的對稱軸．
【詳解】（1），
∵O為三角形的外心，
∴O為三角形三邊中垂線的交點，
又∵三角形為等邊三角形，
∴可得CD垂直平分AB，
根據垂徑定理可得：；
（2）①如圖所示，在（1）的基礎之上，連接AO，并延長至E，連接BO，并延長至F，順次連接圓周上各點即可；
②如圖所示：（方法不唯一）
【點睛】本題主要考查復雜作圖，以及正多邊形與圓之間的關系，熟練掌握正多邊形的性質是解題關鍵．
16．（8分）如圖，正方形的外接圓為，點P在劣弧上（不與點C重合）．

(1)求的度數；
(2)若的半徑為8，求正方形的邊長．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查圓與正多邊形，圓周角定理：
（1）連接，根據中心角的計算公式求出的度數，圓周角定理，求出的度數即可；
（2）勾股定理求出的長即可．
【詳解】（1）解：連接，

由題意得：，
∴；
（2）由（1）知：，
又∵，
∴，
即正方形的邊長為：．
17．（8分）如圖，正六邊形內接于，邊長為2．
(1)求的直徑的長；
(2)求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查正多邊形和圓，圓周角定理：
（1）連接，求出的度數，得到是等邊三角形，得到，即可得出結果；
（2）根據圓周角定理，即可得出結果．
【詳解】（1）解：連接．
∵正六邊形內接于，
∴，
又，
∴是等邊三角形．
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
18．（8分）如圖，正方形內接于，連接，點F是的中點，過點D作的切線與的延長線相交于點G．
(1)試判斷與的位置關系，并說明理由．
(2)求的度數．
【答案】(1),理由見解析
(2)
【分析】（1）連接，可得，根據切線的定義可得，即可得出結論．
（2）根據正方形的性質可得，，，則．根據點F是的中點，可得．最后根據平行線的性質可得．
【詳解】（1）解：．
理由：如圖，連接，
∵正方形內接于，
∴．
∵與相切于點D，
∴，即．
∴，
∴．
（2）解：∵四邊形是正方形，
∴，，
∴．
∵點F是的中點，
∴，
∴．
∵，
∴．
【點睛】本題主要考查了圓的內接正多邊形，平行線的判定和性質，圓周角定理，解題的關鍵是掌握圓內接正多邊形的中心角，同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，以及平行線的判定和性質．
19．（8分）閱讀與思考
下面是博學小組研究性學習報告的部分內容，請認真閱讀，并完成相應任務．
關于“等邊半正多邊形”的研究報告博學小組研究對象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念—性質—判定”的路徑，由一般到特殊進行研究．研究方法：觀察（測量、實驗）—猜想—推理證明研究內容：【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數為偶數），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形．如圖①，我們學習過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形……【特例研究】根據等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：概念理解：如圖②，如果六邊形是等邊半正六邊形，那么，，，且．性質探索：根據定義，探索等邊半正六邊形的性質，得到如下結論：內角：等邊半正六邊形相鄰兩個內角的和為 ▲ °．對角線：……
任務：
(1)直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內容：_______．
(2)如圖③，六邊形是等邊半正六邊形．連接對角線，猜想與的數量關系，并說明理由；
(3)如圖④，已知是正三角形，是它的外接圓．請在圖4中作一個等邊半正六邊形（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
【答案】(1)240
(2)，見解析
(3)見解析
【分析】（1）六邊形內角和為，由等邊半正六邊形的定義即可得出相鄰兩內角和為；
（2）連接，，通過全等很容易證出；
（3）作、、的垂直平分線，在圓內線上取一點或者圓外取一點都行，切記不能取圓上，否則就是正六邊形了．
【詳解】（1）解：∵六邊形內角和為，且，，
∴等邊半正六邊形相鄰兩個內角的和為，
故答案為：240；
（2）解：．
理由如下：連接，．
六邊形是等邊半正六邊形．
，．
．
．
在與中，
，
．
；
（3）解：如圖，六邊形即為所求（答案不唯一）．
作法一：作法二：．
【點睛】本題主要考查圓綜合題，以等邊半正六邊形為背景，理解題意以及掌握圓和多邊形的相關性質是解題關鍵．
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