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專題三 三角形的內(nèi)角和定理
【知識點】
1. 三角形內(nèi)角和定理
三角形三個內(nèi)角的和等于180°.
2. 三角形內(nèi)角和定理的推論
推論1，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.
如圖①所示, ∵∠1是△ABC的外角, ∴∠1=∠ABC+∠ACB.
推論2，三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.
如圖①所示, ∵∠2是△ABC的外角, ∴∠2>∠BAC, ∠2>∠ACB.
3. 與三角形的角有關的模型
模型1：角的“8”字模型：
如圖②所示, AC, BD相交于點O, 連接AD, BC. 結論: ∠A+∠D=∠B+∠C.
模型2：角的“飛鏢”模型：
如圖③所示, 結論: ∠D=∠A+∠B+∠C.
注意：角的“8”字模型和角的“飛鏢”模型不可直接使用，解題中必須證明后再用.
題型1 求角度的大小
【例1】在△ABC中, 已知∠A-∠B=30°, ∠C=4∠B. 求∠A, ∠B, ∠C的度數(shù).
舉一反三。
1. 在△ABC中, ∠B比∠A的2倍少5°, ∠C比∠A多21°, 求∠A, ∠B,∠C的度數(shù).
題型2 判斷三角形的形狀
【例2】在△ABC中, 已知 試判斷這個三角形的形狀.
舉一反三。
2. 一個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)的比是3∶7∶10，最大的內(nèi)角是多少度 這個是什么三角形
題型3 利用分類討論思想求角度
【例3】已知非直角三角形ABC中， ，高BD和CE所在直線交于點H，求. 的度數(shù).
舉一反三。
3. 在 中， BD是AC邊上的高， 求 的度數(shù).
題型4 三角形的折疊與求角
【例4】生活中到處都存在著數(shù)學知識，只要同學們學會用數(shù)學的眼光觀察生活，就會有許多意想不到的收獲，如下兩幅圖都是由同一副三角板拼湊得到的：
(1) 如圖①所示, 求∠ABC的度數(shù);
(2) 如圖②所示, 若AE∥BC, 則.
舉一反三。
4.(1) 如圖①所示,將直角三角形(∠ACB 為直角) 沿線段 CD折疊使點 B 落在點 B'處, 若 則
(2) 如圖②所示, 紙片 中， 將紙片的一角沿ED折疊，使點 A 落在△ABC外點A'處, 求∠1-∠2的度數(shù).
題型5 入射角與反射角的問題
【例5】光線以如圖所示的角度α照射到平面鏡Ⅰ上，然后在平面鏡Ⅰ，Ⅱ之間來回反射，已知 求 的度數(shù).
舉一反三。
5. 光線以如圖所示的角度α照射到平面鏡Ⅰ上，然后在平面鏡Ⅰ，Ⅱ之間來回反射，已知 ，求∠γ的度數(shù).
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題型6 應用三角形內(nèi)角和定理的推論1求角的度數(shù)
【例6】如圖所示， 中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠FDE=64°, ∠DEF=43°, 求 各內(nèi)角的度數(shù).
舉一反三。
6. 如圖所示, △ABC的一條外角平分線是 CE, F是CA 延長線上一點, FG∥CE交AB于點G. 若∠DCE=50°, ∠B=40°, 求∠FGA的度數(shù).
題型7 應用三角形內(nèi)角和定理的推論2求證角或線段的不等關系
【例7】如圖所示，已知在 中， A D平分∠BAC, 交BC于點 D. 求證: .
舉一反三。
7. 如圖所示，在 中, AD平分 于D, 求證：
考點8 三角形兩內(nèi)角平分線夾角
【例8】已知在 中，
(1) 如圖①所示, 的角平分線交于點O，求 的度數(shù)：
(2) 如圖②所示. 的三等分線交于點 則.
(3) 如圖③所示, 的n等分線交于點 則 (用含n的代數(shù)式)
舉一反三。
8. 如圖所示， 于D，試探究 與 之間的數(shù)量關系.
考點9 三角形兩外角平分線夾角
【例9】如圖, 點 P是 兩條外角平分線的交點，求證：
舉一反三·
9. 如圖所示，在平面直角坐標系中，點A為x軸上的一點，點B為y軸上的一點，AC平分. BC平分∠ABy, 求∠C的度數(shù).
考點10 三角形一內(nèi)角平分線與一外角平分線的夾角
【例10】如圖所示, 點 D 是BC延長線上一點, PB平分. PC平分 求證：
舉一反三。
10. 如圖所示, 試探究 之間的數(shù)量關系.
考點11 角平分線+高線夾角模型
【例11】(1)已知△ABC中, ∠B>∠C, AD⊥BC于點D, AE 平分∠BAC,如圖①所示, 設∠B=x,∠C=y, 試用x, y表示∠DAE, 并說明理由;
(2) 在圖②中, 其他條件不變, 若把“AD⊥BC于點 D”改為“F是AE上一點, FD⊥BC于點 D”,試用x，y表示
(3) 在圖③中，若把(2)中的“點F在AE上”改為“點F是AE延長線上一點”，其余條件不變，試用x，y表示
(4)在圖③中,分別作出∠BAE和∠EDF的角平分線,交于點P,如圖④.試用x,y表示∠P= .
舉一反三。
11. 如圖所示, AD 是 的角平分線，M是射線AD 上一點， 于點N， 且
(1) 如圖①,當點M與A 點重合, 時, 求∠DMN的度數(shù);
(2)如圖②,當點M在線段AD上(不與A, D兩點重合) 時, 求證:
(3) 如圖③，當點 M在線段AD 延長線上時，(2) 中的結論成立嗎 為什么
(4)如圖④，在(2)的條件下，過點M作AD的垂線交 CB的延長線于點N，直接寫出. 的度數(shù)(用含α，β的式子表示).
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考點12 與三角形有關的雙角平分模型
【例12】(1) 模型: 如圖①所示, AD, BC交于O點. 求證: ∠D+∠C=∠A+∠B.
(2) 模型應用: 如圖②所示, ∠BAD和∠BCD的平分線交于點E.
①若∠D=30°, ∠B=40°, 則∠E的度數(shù)是 ;
②直接寫出∠E與∠D, ∠B之間的數(shù)量關系: .
(3) 類比應用: 如圖③所示, ∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E. 若∠D=m°,∠B=n°, (m舉一反三。
12. 如圖所示，∠ABD的平分線與∠ACD的鄰補角∠ACE 的平分線所在的直線交于點I.
(1) 如圖①所示，寫出∠I與∠A，∠D之間的數(shù)量關系式并證明；
(2) 如圖②所示，直接寫出∠I與∠A，∠D之間的數(shù)量關系式為 .
考點13 “飛鏢”與“8字”模型應用
【例13】(1) 如圖①所示, 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).
(2)如圖②所示, 在四邊形ABCD中, AM, CM分別平分∠DAB和∠DCB, AM與CM交于M, 探究∠AMC與∠B, ∠D間的數(shù)量關系.
舉一反三。
13.(1) 如圖①所示, 求. 的度數(shù).
(2) 如圖②所示, 求 的度數(shù).
題型14 三角形內(nèi)角和定理與平行線的綜合應用
【例14】已知, 在四邊形ABCD中,
(1) 求證:
(2) 如圖①所示, 若DE平分. BF平分 的外角，寫出DE與BF的位置關系，并證明；
(3) 如圖②所示, 若 BF, DG分別平分. 的外角，寫出BF與DG的位置關系，并證明.
舉一反三。
14. 如圖所示, ∠OAB=30°,∠OAP=∠NAP, ∠NMA=∠NAM, PN∥MB, 試求 的度數(shù).

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