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專題二 平行線的判定與性質
【知識點】
1. 平行線中常用的結論：
(1) 在同一平面內，兩條直線的位置關系：平行或相交；
(2) 在同一平面內不相交的兩條直線互為平行線；
(3)兩條平行線被第三條直線所截得的同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補，反之也成立；
(4) 如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線也互相平行；
(5) 經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；
(6) 在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行.
2. 平行線中的常見“模型”：
(1) 鉛筆模型: 若a∥b, 則∠1+∠2+∠3=360°
(3) 其他模型:
若a∥b, 則∠1=∠2+∠3 若a∥b, 則∠3=∠1+∠2
注意：遇到帶有“折線”“拐角”類的題目，解決問題的辦法一般是過“拐點”作平行線將一個角分成兩個角，然后再運用平行線的性質定理，問題便自然得到解決.
3. 等積變形：
(1) 幾何圖形面積計算問題的題型較多，解題最常用的就是轉化思想，即將不規則的組合圖形，通過分、合、移、補、轉等變形轉化為規則的幾何圖形，然后利用圖形的面積公式進行計算.
(2) 可以利用平行線間的距離處處相等，同底等高的兩三角形面積相等來解決有關面積轉化的問題.
(3) 蝴蝶模型:
如圖①, 已知AB∥CD, 則S△ACD與S△BCD的大小關系是
如圖②, 已知AB∥CD, 則S△ACO與S△BDO的大小關系是.
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題型1 平行線的判定方法
【例1】如圖所示，已知. 求證： (試用三種方法證明)
舉一反三。
1. 如圖所示，已知. 求證 (用兩種方法證明)
【例2】如圖所示，已知. 試用p,q, y米表示x.
舉一反三。
2. 如圖所示，已知. 點M、N分別為兩直線上的點，點E，F為兩直線內部的點，求證：
題型3 平行線的性質和判定的綜合應用
【例3】如圖所示，已知∠ 求 的度數.
3. 如圖所示, 已知∠1=25°, ∠2=45°, ∠3=30°, ∠4=10°, 試說明直線AB∥CD.
題型4 基本圖形的變式
【例4】如圖所示, AB∥CD, EM是∠AMF的平分線, NF是∠CNE的平分線, EN, MF交于O點.
(1) 若∠AMF=50°, ∠CNE=40°, 分別求∠E, ∠F的度數;
(2) 若圖中∠E+60°=2∠F, 求∠AMF的度數;
(3) 探究∠E, ∠F與∠MON之間的數量關系.
舉一反三。
4. (1)如圖①所示, AB∥CD, ∠DCE=60°, ∠E=20°, 求∠ABE的度數;
(2) 如圖②所示, 已知AB∥CD, ∠EBF=2∠ABF, CF平分∠DCE, 若2∠F--∠E=10°, 求∠ABE的度數.
題型5 設未知數求定角
【例5】如圖①所示, 直線MN與直線AB, CD分別交于點E, F, AB∥CD,∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P, EP的延長線與CD交于點G, 點 H是MN上一點, 且GH⊥EG.
(1) 求證:
(2) 如圖②所示, 連接PH, K是GH上一點, 作PQ平分∠EPK, 問. 的大小是否發生變化 若不變，請求出其值； 若變化，請說明理由.
舉一反三。
5. 如圖所示，已知 點 P 是射線AM 上一動點 (與點 A 不重合)， 和 的平分線分別交射線 AM 于點C，D. 的平分線與 的平分線交于點 H，在點 P運動的過程中， 與 的比值是否變化 若不變，請求出這個比值； 若變化，請找出其變化規律.
題型6 求角的和、差、倍、分為定值
【例6】如圖所示， 與 的角平分線交于點 G， 已知 求 的值.
舉一反三。
6. 已知點A, C為射線l上兩點, 且.
(1) 如圖①所示, 點E在線段AC上, 求證:
(2) 如圖②所示, 若點E, F在線段AC 上, 且. DE 平分 求 的度數.
題型7 按照點的不同位置關系分類討論求角
【例7】(1) 如圖①所示, F是OC邊上一點, 求證:
(2) 如圖②所示, OC平分 點 D, E在射線 OA, OC 上, 點 P 是射線 OB 上的一個動點，連接DP交射線OC于點 F，設 若 是否存在這樣的x的值，使得 若存在，求出x的值； 若不存在，說明理由.
舉一反三。
7.(1) 如果兩個角的兩邊分別平行，且一個角比另一個角的兩倍少 求這兩個角的度數.
(2) 如圖所示, 直線 EF 與直線 AB, CD 分別交于點 E, F, 點 P 為直線EF左側平面上一點，且. 求 的度數.
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題型8 分類討論求角之間的關系
【例8】如圖①所示, 已知AB∥CD, BE平分∠ABD, DE平分∠BDC.
(1) 求證: BE⊥DE;
(2) H是直線CD上一動點(不與點D重合), BI平分∠HBD交CD 于點I, 在圖②或圖③中, 請你畫出圖形，并猜想∠EBI與∠BHD的數量關系，且說明理由.
舉一反三。
8. 已知 點 P在直線AD 上, E 為 CD上一點.
(1) 如圖①所示，當點 P在線段AD延長線上時，求證：
(2) 如圖②所示，當點P在直線AD上運動時(不與點A，D重合)，求 與 之間的數量關系.
題型9 結論探索題
【例9】閱讀理解，填寫部分理由，探索新的結論.
(1) 如圖①所示, AB∥CD, 求證: ∠B+∠C=∠BEC.
理由如下: 過E點作EF∥AB, 則∠1=∠B( ),
∵EF∥AB、AB∥CD(已知), ∴FF∥CD( ).
∴∠2=∠C( ).
∵∠BEC=∠1+∠2, ∴∠BEC=∠B+∠C( );
(2)如圖②所示, 圖中的∠B, ∠E,∠G, ∠F, ∠C的數量關系是 , 證明你的結論;
(3)如圖③所示, 圖中的∠B, ∠E,∠F, ∠G, ∠H, ∠M,∠C的數量關系是 .
舉一反三。
9. 如圖①, 圖②, 圖③所示, 若 試求：
的度數；
的度數；
的度數；
(4) 猜測 的度數，并說明理由.
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題型10“蝴蝶模型”的應用
【例10】如圖①所示, 已知直線m∥n, A, B為直線n上的兩點, C, D為直線m上的兩點.
(1)寫出圖中面積相等的各對三角形 ；
(2)如果A，B，C為三個定點，點D在m上移動，那么無論D 點移動到任何位置，總有 與△ABC的面積相等，理由是 ：
解決以下問題：如圖②所示，五邊形 ABCDE 是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經過多年開墾荒地，現已變成如圖③所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路(即圖中折線CDE)還保留著.張大爺想過E點修一條直路，使直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾荒地面積一樣多，請你用相關的幾何知識，按張大爺的要求設計出修路方案.(不計分界小路與直路的占地面積)
(3) 寫出設計方案，并在圖③中畫出相應的圖形；
(4) 說明方案設計的理由.
舉一反三。
10. 如圖①所示, 直線m∥n, A, B為直線n上的點, C, P為直線m上的點, 如果A, B, C三個定點，點P在m上移動，那么無論點 P移動到何位置，△ABP與 的面積總相等，說明理由.
應用：
(1)如圖②所示, △ABC和△DCE都是等邊三角形,若 的邊長為1，則.△BAE的面積是 .
(2)如圖③所示，四邊形ABCD 和四邊形BEFG 都是正方形，若正方形ABCD的邊長為4，求 的面積.

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