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專題三 一次方程組的應用
【知識點】
1. 列方程組解應用題的關鍵在于正確找出問題中的兩個等量關系，列出方程并組成方程組，同時注意解的合理性. 主要應用有：
(1) 在實際數學問題中，構造二元一次方程組解決有關問題：
(2) 能從圖表中獲得有關信息，列二元一次方程組解決問題.
2. 一次方程組的應用策略：
(1) 有些問題需要根據題意分成若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進行歸納綜合.
(2) 當題目中的量比較多，僅設一兩個未知數難以求解時，恰當地增設未知數，設而不求，聯系轉化，可使問題化難為易.
(3) 在題目所給的條件無法求出每一個未知量時，通常要將題目最終所求的看成一個整體，利用已知條件進行恰當的變形求出這個整體.
題型 1 方案選擇問題
【例1】已知：用兩輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸； 用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸. 某物流公司現有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物.
根據以上信息，解答下列問題：
(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸
(2) 請你幫該物流公司設計租車方案；
(3) 若A 型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次. 請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費.
舉一反三。
1. 某地生產一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為 1000元； 經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元； 經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元. 當地一家農產品公司收購這種蔬菜140噸，該公司的加工廠的生產能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工 16 噸； 如果進行精加工，每天可加工 6噸. 但兩種加工方法不能同時進行. 受季節條件的限制，公司必須在 15 天之內將這批蔬菜全部加工或銷售完畢，為此公司研制了三種處理方案：方案一，將蔬菜全部進行粗加工； 方案二：盡可能多地對蔬菜進行精加工，沒有來得及加工的蔬菜在市場上直接銷售；方案三，將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好在 15天內完成. 你認為哪種方案能獲利最多 為什么
題型2 分類討論問題
【例2】某水果批發市場香蕉的價格如下表：
購買香蕉數(千克) 不超過20 千克 20千克以上但不超40千克 40千克以上
每千克價格 6元 5元 4元
張強兩次共購買香蕉50千克(第二次多于第一次)，共付出264元. 請問：張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克
舉一反三。
2. 某旅行社擬在暑假期間面向學生推出“林州紅旗渠一日游”活動，收費標準如下：
人數m 0200
收費標準/(元/人) 90 85 75
甲、乙兩所學校計劃組織本校學生自愿參加此項活動. 已知甲校報名參加的學生人數多于 100，乙校報名參加的學生人數少于100. 經核算，若兩校分別組團共需花費20800元，若兩校聯合組團只需花費 18000元.
(1) 兩所學校報名參加旅游的學生人數之和超過200嗎 為什么
(2) 兩所學校報名參加旅游的學生各有多少人
題型3 設而不求
【例3】有一只小船順流行駛，從甲地到乙地需6小時，逆流行駛這段距離需8小時，現有一木排順流漂下，由甲地至乙地需幾小時
舉一反三。
3. 防汛指揮部決定冒雨排一個蓄水池中的水，假設每分鐘降雨量相同，每臺水泵的排水量也相同，若開兩臺水泵需40分鐘排完積水，若開4臺水泵則需16分鐘排完積水，若開6臺水泵，則需幾分鐘排完積水
題型4 整體求解
【例4】甲、乙、丙三人共解出100道數學題，每人都解出其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題，試問：難題多還是容易題多 (多的比少的) 多幾道題
舉一反三。
4. 有甲、乙、丙三種商品，若購買甲3件、乙2件、丙1件共需315元錢； 若購買甲1件、乙2件、丙3件共需285元錢，那么購買甲、乙、丙三種商品各一件，共需多少元錢
題型5 一次不定方程組問題
【例5】小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2 分. 小明共套 10次，每次都套中了，且每個小玩具都至少被套中一次. 小明套 10次共得61分，則小雞至少被套中幾次
舉一反三。
5. 甲組同學每人有28個核桃，乙組同學每人有30個核桃，丙組同學每人有31個核桃，三組的核桃總個數是365，則三個小組共有多少名同學

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