資源簡介

二次函數的圖像和性質
教學設計
一、整體設計思路、指導依據說明
《新課標》中也指出：數學教學是數學活動教學，教師要緊密聯系生活實際，從學生的經驗和已有的知識出發，創設生動教學情境，激發學生的學習興趣，使學生在實際生活中體會到數學的用途，并運用所學的知識，解決實際問題。
二 、教學背景分析
（一）、教學內容分析
二次函數的圖像和性質是華師版九年級數學上冊第二十六章第二節第一課時的內容，是在學生學習了二次函數的基本概念之后引入的新內容，也是后面研究坐標形式和一般形式的二次函數圖像性質的基礎。
本節課“二次函數的圖象與性質”內容，主要是能夠利用描點法準確畫出二次函數的圖象，確定二次函數的性質特征。在利用描點法畫二次函數圖象時，其具體步驟是：確定自變量取值范圍，分析x、y的變化規律，估量函數圖象的位置和趨勢，通過“列表一描點一連線”這一系列步驟畫出函數圖象，并由此得出畫函數圖象的規律所在。這不僅符合學生的認知規律，而且還使學生進一步體會了由特殊到一般和數形結合的思想方法。因此，這節課無論是在知識上，還是對學生能力的培養上都有著十分重要的作用。
（二）、教學對象分析
九年級學生學習積極性比較高，學習能力也不差，他們在學習數學知識的過程中，善于使用直觀思維，并能夠對直觀圖象進行抽象概括，其認知水平已處于一個上升趨勢。在學習本節課之前，學生已熟練掌握一次函數的相關知識和函數圖象的描點法，同時也基本掌握了二次函數的相關概念，做好了學習二次函數的前期知識積累，為順利學好“二次函數的圖象與性質”提供了保障。
三、教學目標
（一）知識與技能：
能夠準確繪制二次函數圖像；通過圖像發現和研究二次函數的性質。
（二）過程與方法：
經歷探索和發現二次函數圖像的特點和性質的過程；體會數形結合的數學思想在數學中的應用。
（三）情感、態度與價值觀：
經歷觀察，推理和交流等過程，獲得研究問題與合作交流的方法和經驗；體驗數學活動中的探索性和創造性。
四、教學重難點
教學重點：學生能夠使用描點法畫出二次函數的圖象，掌握拋物線相關概念知識。
教學難點：學生能夠使用描點法畫出二次函數的圖象，能夠通過對二次函數y=ax2圖象的分析，確定其性質特征。
五、教學過程設計
環節一 創設情境
我國著名數學家華羅庚曾說過：
數缺形時少直觀，形少數時難入微；
數形結合百般好，隔離分家萬事休。
數學中,數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透...
借助函數圖像研究函數性質是學習函數最行之有效的方法。我們知道，一次函數的圖象是一條直線，反比例函數的圖像是雙曲線。那么，二次函數的圖象是什么它有什么特點，又有哪些性質。讓我們先來研究最簡單的二次函數的圖象與性質。
（板書課題：二次函數的圖象與性質）
設計意圖：通過數與形的詩詞，讓學生明白數與形的關系，而刻畫函數性質需要借助函數圖像。想了解二次函數的性質要從最簡單的開始研究，讓學生體會從特殊到一般的數學思想。
環節二 合作學習，探究新知
通過兩個活動讓學生主動參與其中，在活動中感悟，在問題中創造，在討論中生成、發展，獲取新知。
活動一、初識拋物線
畫函數的圖像
（1）、列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=ax2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
（2）、描點：根據表中數值，在平面直角坐標系中描點。
（3）、連線：用平滑的曲線順次連結各點，就得到圖像。
思考：1、二次函數的自變量取值范圍是什么？如何表示未取到的值？
2、如何在圖像上體現還可以有很多未取到的值？
要求：在坐標紙上作二次函數的圖像。教師巡回搜集畫圖中出現的各種問題展示出來。
學生分組討論，全班交流，歸納出作圖的方法，自我評價并糾正所畫的圖像。并結合所學迅速作出的圖像。
這種圖像如同我們拋出物體的軌跡，我們稱這種圖像為拋物線。 一般的，二次函數的圖像叫做拋物線.
讓同學列舉生活中的拋物線的例子，結合PPT展示生活中的拋物線。
設計意圖：在坐標紙上作二次函數的圖像，在于呈現學生探究的自然過程，暴露可能存在的問題。事實上，出現了學生畫成折線、畫成半個拋物線、沒畫出延伸的趨勢、沒有取原點、有的描了幾個點不知該如何連線等多種情形.教師收集并將這些具有代表性的（有規范的，也有不規范的）圖像貼到黑板上，讓學生辨析并升華自己對二次函數圖像的理解，這就把自主探究與合作學習有機地統一起來。通過生活中的實例讓學生體會數學來源于生活并高于生活，培養學生能夠在生活中更好的使用數學，把數學同生活融為一體，緊密地聯系起來，運用數學知識，解決生活中的問題。
活動二、觀察探討的特征
觀察圖像，思考：你發現拋物線有什么特征？你是怎樣判斷出來的？點名讓學生作答，老師根據學生發表意見的層次，同時演示課件上的相關內容，讓學生進一步認識圖像的基本性質.
結論：這條拋物線關于y軸對稱，y軸就是它的對稱軸，對稱軸為直線對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點，頂點坐標為（0，0）。
設計意圖：讓學生觀察的圖像，探尋其幾何特征，輔之以課件動畫演示，增強幾何直觀能力.而且引入對稱軸方程和頂點坐標，初步地把形（對稱性、特殊點）與數（對稱軸方程、頂點坐標）結合起來，為下一步對的圖像的探究作出鋪墊。
活動三、再識拋物線
作拋物線的圖像
如果我們改變二次項的系數，它的圖像會如何變化呢？帶著這個問題，引導學生舉例，通過幾何畫板繪制、的圖像與對比。
繪制、的圖像與對比。
2、討論交流
觀察單個函數圖像，你能發現什么規律？對比幾個圖像，你還能發現什么？
在這個過程中運用幾何畫板工具，讓學生直觀地看到當變化時，圖像的變化規律，驗證學生的發現。
歸納：拋物線的性質
（1）填表
圖像草圖 開口方向 頂點 對稱軸 增減性 最值
（2）拋物線與關于 對稱，因此拋物線與關于 對稱，開口大小 。
（3）當時，越大，拋物線的開口越 ；
當時，越大，拋物線的開口越 。
因此，| |越大，拋物線的開口越 ，反之| |越小，拋物線的開口越 。
設計意圖：組內完成作圖后分步觀察：先看單個的圖像，能發現什么？再將幾個圖像放在一起對比觀察，還能發現什么？這樣不僅使學習更具有主動性，同時也使個人的想法得到糾正和補充.接下來各組代表上臺對黑板上展示的圖像交流說明，促進小組學習的積極性。而恰到好處地運用幾何畫板工具驗證學生的發現，符合課堂上及時反饋、評價、調控的教學要求，降低了學習難度。
環節3、鞏固新知
獨立完成，小組內交流與評價。
1、的開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 。
2、的開口 ，當時，隨的增大而 ；當時，隨的增大而 。
3、已知拋物線，當= 時，有最 （填“大”或“小”）值，此時= 。
4、（2019·呼和浩特）二次函數與一次函數在同一坐標系中的大致圖像可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
設計意圖：安排4道非常精練的小練習，及時鞏固所學知識，使學生品嘗到成功的喜悅.（1）、（2）、（3）直接復習了二次函數的圖像特征，簡單易懂、面向全體.（4）蘊含“數形結合”的數學思想。對于（4），可以由學生講解完成.先簡單回顧一次函數的相關性質，再小組內分析討論。
環節4：課堂小結
通過本節課的學習：
（1）我知道了 ，
我學會了 。
（2）本節課還有什么收獲和體會？
設計意圖：課程結束前，讓學生從以下方面總結歸納：
我們是怎樣來作函數的圖像并研究其性質的？
作圖像過程中，經歷了類比列表、描點、連線的過程，由有限個點進行猜想并驗證得到拋物線，連線的時候要用光滑的曲線。
函數圖像和性質與有關。（投影圖像的性質）
板書設計
二次函數的圖像和性質
畫圖象的步驟（描點法）：列表----描點----連線
圖像：拋物線
觀察圖象：形狀、開口、對稱軸、增減性、頂點坐標、對稱軸
六、教學反思
本課是一節數形結合、探索理解性的典型的數學知識新授課。
1.教學過程之自我評價
（1）整堂課采用“引導直觀觀察、獨立探究思考、小組合作交流”的教學思想，沿著“借助信息技術，突出數學直觀，強調形數結合，發展思維能力”的思路展開。
（2）本節課的教學過程圍繞著核心概念和思想方法展開，以恰時恰點的問題引導數學活動，知識（形成與發展過程）線和思想方法（訓練）線兩線交織融合，讓學生在潛移默化中掌握本節課的核心概念和數學思想方法。
知識線（主線）：問題情境（生活中的實例）→數學模型（拋物線）→解釋（畫二次函數的圖像）→拓展（拋物線的對稱性、增減性、頂點、開口）
思想方法線（暗線）：猜想（二次函數的形狀）→類比（一次函數的畫法）→數學一般化（借助幾何畫板直觀認識拋物線）→觀察與歸納（結合的取值，分類再觀察拋物線）→抽象與慨括（數形結合探索拋物線的性質）。
（3）本節課的教學方法符合學生的認知規律。
①類比作一次函數的圖像，讓學生動手作二次函數的圖像，“做中學”體驗了知識的探索過程。
②讓學生獨立觀察的圖像，用層層推進的問題串啟發學生深入思考，主動獲取知識，通過小組合作，討論交流，在教師引領下從圖像發現規律，理解函數圖像的性質。
③讓學生經歷直觀觀察一分析判斷一歸納驗證的數學過程，有利于培養學生的合情推理能力和積極的情感態度。
④用幾何畫板輔助函數圖像教學，化靜為動、直觀形象，演示改變的取值由圖像驗證學生猜想得到的性質，體現了由特殊到一般的數學思想，較好地解決了學生難以理解二次函數的圖像為什么是曲線和“函數圖像就是點的集合”的問題。
2.預設與生成之問題反思
本節課的教學設計和教學目標協調一致，充分做到以學生的發展為本，符合學生的思維規律，整堂課上在知識形成過程中既有學生的觀察與思考，又有學生的操作與表述；既有小組的合作交流，又有學生的自主探究；還有教師恰當的引導點撥.
3.課堂重建之再思考
①適時地歸納小結是數學課的魂。本節課有三處需要適時地歸納小結（二次函數的圖像是拋物線；和時二次函數的圖像、性質），課堂結束前的歸納小結如何做得更好，怎樣進行小結才是一種升華而不顯重復，這是值得研究的問題。
②本節課內容比較多，這里采取了與課本相同的處理方式：先整體認識知識，再鞏固運用知識，這樣做符合課標強調對知識的整體認知的要求，有利于培養學生的能力；還可以先探究時二次函數的圖像和性質，第二節課再討論時二次函數的圖像和性質，在有些薄弱學校授課時按這種方式處理較好，有利于學生經歷知識的形成過程。

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