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第26章　二次函數(shù)
第27章　(考試時間：120分鐘，全卷滿分：150分)
姓名：________　　班級：________　　分?jǐn)?shù)：________
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．
1．下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是(C)
A．y＝2x＋1 B．y＝ax2－2x＋1
C．y＝x2＋2 D．y＝2x－1
2．二次函數(shù)y＝(x－1)2＋2的最小值是(B)
A．－2 B.2 C.－1 D.1
3．把拋物線y＝(x＋3)2向上平移2個單位，再向右平移2個單位，所得到的拋物線是(A)
A．y＝(x＋1)2＋2 B．y＝(x－1)2－2
C．y＝x2＋2 D．y＝(x－1)2＋2
4．已知二次函數(shù)y＝a(x－1)2＋2，當(dāng)x<1時，y隨x的增大而增大， 則a的取值范圍是(B)
A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)<0 C．a(chǎn)≥0 D．a(chǎn)≤0
5．若二次函數(shù)y＝3x2＋x－2m的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程3x2＋x＝2m的根的情況是(A)
A．有兩個不等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能確定
6.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a>0)的對稱軸為直線x＝1，且經(jīng)過點(diǎn)(－1，y1)，(2，y2)，則y1與y2的大小關(guān)系為(A)
A．y1>y2 B．y17．如圖，從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度h(單位：m)與小球運(yùn)動時間t(單位：s)之間的關(guān)系式為h＝30t－5t2，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時間是(A)
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝a(x＋1)2＋b與y＝a(x－2)2＋b＋1交于點(diǎn)A.過點(diǎn)A作y軸的垂線，分別交兩拋物線于點(diǎn)B，C(點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè))，則線段BC的長為 (B)
A．5 B．6 C.7 D．8
9．如圖，某大門的形狀是拋物線形，大門的地面寬8 m，在兩側(cè)距地面3.5 m高處有兩個掛單位名牌匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離是6 m．若按圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的表達(dá)式是(建筑物厚度忽略不計)(A)
A．y＝－x2＋8 B．y＝－x2＋7 C．y＝x2＋8 D．y＝x2＋7
10．函數(shù)y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是(C)
　　　A　　　 　　　 B　　　　　　　C　　　　　　　D
11．如圖，Rt△OAB的頂點(diǎn)A(－2，4)在拋物線y＝ax2上，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(C)
A．(，) B．(2，2) C．(，2) D.(2，)
12．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為B(－1，3)，與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(－3，0)和(－2，0)之間，以下結(jié)論：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正確的有(B)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．
13．請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)(0，1)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式：y＝x2＋1(答案不唯一)．
14．拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(－6，0)，B(4，0)，則拋物線的對稱軸是直線x＝－1.
15．二次函數(shù)y＝x2－x－2的圖象如圖所示，則函數(shù)值y＜0時，x的取值范圍是－1＜x＜2.
16．如圖，利用一個直角墻角修建一個梯形儲料場ABCD，其中∠C＝120°.若新建墻 BC與CD總長為12 m，則該梯形儲料場ABCD的最大面積是24 m2.
17．已知拋物線y＝x2－x＋2與直線y＝x－2的圖象如圖所示，點(diǎn)P 是拋物線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最短距離為.
18．從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球運(yùn)動時間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．有下列結(jié)論：①小球在空中經(jīng)過的路程是40 m；②小球運(yùn)動的時間為6 s；③小球拋出3 s時，速度為0；④當(dāng)小球的高度h＝30 m時，t＝1.5 s，其中正確的有②③(選填序號)．
三、解答題：本大題共7個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
19．(本題滿分10分)已知二次函數(shù)y＝4x2＋16x.
(1)寫出它的對稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)寫出它與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)指出當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大？
解：(1)對稱軸是直線x＝－2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－2，－16)．
(2)(0，0)，(－4，0)．
(3)當(dāng)x≥－2時，y隨x的增大而增大．
20．(本題滿分10分)如圖，二次函數(shù)y＝(x－1)(x－a)(a為常數(shù))的圖象的對稱軸為直線x＝2.
(1)求a的值；
(2)向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，求平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．
解：(1)根據(jù)題意，得＝2，∴a＝3.
(2)y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3，
設(shè)平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為
y＝x2－4x＋3－b，把(0，0)代入，得b＝3.
∴平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為
y＝x2－4x.
21．(本題滿分10分)如圖，點(diǎn)A(－1，0)，B(2，－3)都在二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3的圖象上．
(1)a＝1，b＝－2；
(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，y1)，(0，y2)，，比較y1，y2，y3的大小，并簡述理由．
解：(2)y＝(x－1)2－4，∴對稱軸為直線x＝1，
∵a＝1＞0，∴在對稱軸的右側(cè)，
y隨x的增大而增大，
∵(－2，y1)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)(4，y1)，(0，y2)
關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)(2，y2)，
∵2＜＜4，∴y2＜y3＜y1.
22．(本題滿分10分)一個滑道由滑坡(AB段)和緩沖帶(BC段)組成，如圖所示，滑雪者在滑坡上滑行的距離y1(單位：m)和滑行時間t1(單位：s)滿足二次函數(shù)關(guān)系，并測得相關(guān)數(shù)據(jù)：
滑行時間t1/s 0 1 2 3 4
滑行距離y1/m 0 4.5 14 28.5 48
　　
滑雪者在緩沖帶上滑行的距離y2(單位：m)和在緩沖帶上滑行時間t2(單位：s)滿足：y2＝52t2－2t，滑雪者從A出發(fā)在緩沖帶BC上停止，一共用了23 s，求滑坡AB的長度．
解：設(shè)y1＝at＋bt1，把(1，4.5)和(2，14)代入函數(shù)關(guān)系式，得
解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y1＝2.5t＋2t1①.
y2＝52t2－2t，函數(shù)在對稱軸上取得最大值，即滑雪者停下，
此時，t2＝－＝13，23－13＝10(s)，
把t＝10代入①式，解得y1＝270.
∴滑坡AB的長度為270 m.
23．(本題滿分12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝－x＋n 經(jīng)過點(diǎn)A(－4，2)，分別與x，y軸交于點(diǎn)B，C，拋物線y＝x2－2mx＋m2－n的頂點(diǎn)為D.
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)；
(2)①直接寫出拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含m的式子表示)；
②若拋物線y＝x2－2mx＋m2－n與線段BC有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．
解：(2)①∵y＝x2－2mx＋m2－n＝
(x－m)2－1，∴D(m，－1)．
②將點(diǎn)(0，1)代人y＝x2－2mx＋m2－1中，得m＝或m＝－.將點(diǎn)(4，0)代入
y＝x2－2mx＋m2－1中，
得0＝16－8m＋m2－1，解得m＝5或m＝3.
結(jié)合圖象，可得－≤m≤5.
24．(本題滿分12分)【綜合與實(shí)踐】
【問題情境】小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進(jìn)了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期的售價與日銷售量情況，記錄如下：
售價(元/盆) 日銷售量(盆)
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【數(shù)據(jù)整理】
(1)請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中：
售價(元/盆) 18 20 22 26 30
日銷售量(盆) 54 50 46 38 30
【模型建立】
(2)分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找出日銷售量與售價間的關(guān)系；
【拓廣應(yīng)用】
(3)根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中．
①要想每天獲得400元的利潤，應(yīng)如何定價？
②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？
解：(2)觀察表格可知銷售量是售價的一次函數(shù)．
設(shè)銷售量為y盆，售價為x元/盆，
日銷售量y與售價x間的關(guān)系式為y＝－2x＋90.
(3)①(x－15)(－2x＋90)＝400，解得x＝25或x＝35，
∴要想每天獲得400元的利潤，應(yīng)定價為25元/盆或35元/盆．
②設(shè)每天獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得
w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－1 350＝－2(x－30)2＋450，
∵－2＜0，∴當(dāng)x＝30時，w取最大值450，
∴售價定為30元/盆時，每天能夠獲得最大利潤450元．
25．(本題滿分14分)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，AC＝，OB＝OC＝3OA.
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P，使四邊形PBAC的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在(2)的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使以P，B，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．
解：(1)∵OB＝OC＝3OA，AC＝，∠AOC＝90°，
∴OC2＋OA2＝AC2，即(3OA)2＋OA2＝()2，
解得OA＝1，∴OC＝OB＝3，
∴A(1，0)，B(－3，0)，C(0，3)，代入
y＝ax2＋bx＋c中，得解得
∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3.
(2)如圖，S四邊形PBAC＝S△BCA＋S△PBC，而△ABC的面積是定值，要使四邊形PBAC的面積最大，只需要△BPC的面積最大即可．
過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，
∵B(－3，0)，C(0，3)，設(shè)直線BC的表達(dá)式為
y＝mx＋n，則解得
∴直線BC的表達(dá)式為y＝x＋3，
設(shè)點(diǎn)P(x，－x2－2x＋3)，則點(diǎn)H(x，x＋3)，
S△BPC＝PH·OB＝×(－x2－2x＋3－x－3)×3
＝－x2－x＝－＋，
∵－<0，∴S△BPC有最大值，即四邊形PBAC的面積有最大值，
此時x＝－，代入y＝－x2－2x＋3中，得y＝，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，或.二次函數(shù)
(考試時間：120分鐘，全卷滿分：150分)
姓名：________　　班級：________　　分?jǐn)?shù)：________
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．
1．下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝ax2－2x＋1
C．y＝x2＋2 D．y＝2x－1
2．二次函數(shù)y＝(x－1)2＋2的最小值是( )
A．－2 B.2 C.－1 D.1
3．把拋物線y＝(x＋3)2向上平移2個單位，再向右平移2個單位，所得到的拋物線是( )
A．y＝(x＋1)2＋2 B．y＝(x－1)2－2
C．y＝x2＋2 D．y＝(x－1)2＋2
4．已知二次函數(shù)y＝a(x－1)2＋2，當(dāng)x<1時，y隨x的增大而增大， 則a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)<0 C．a(chǎn)≥0 D．a(chǎn)≤0
5．若二次函數(shù)y＝3x2＋x－2m的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程3x2＋x＝2m的根的情況是( )
A．有兩個不等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能確定
6.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a>0)的對稱軸為直線x＝1，且經(jīng)過點(diǎn)(－1，y1)，(2，y2)，則y1與y2的大小關(guān)系為( )
A．y1>y2 B．y17．如圖，從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度h(單位：m)與小球運(yùn)動時間t(單位：s)之間的關(guān)系式為h＝30t－5t2，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時間是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝a(x＋1)2＋b與y＝a(x－2)2＋b＋1交于點(diǎn)A.過點(diǎn)A作y軸的垂線，分別交兩拋物線于點(diǎn)B，C(點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè))，則線段BC的長為 ( )
A．5 B．6 C.7 D．8
9．如圖，某大門的形狀是拋物線形，大門的地面寬8 m，在兩側(cè)距地面3.5 m高處有兩個掛單位名牌匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離是6 m．若按圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的表達(dá)式是(建筑物厚度忽略不計)( )
A．y＝－x2＋8 B．y＝－x2＋7 C．y＝x2＋8 D．y＝x2＋7
10．函數(shù)y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是( )
　　　A　　　 　　　 B　　　　　　　C　　　　　　　D
11．如圖，Rt△OAB的頂點(diǎn)A(－2，4)在拋物線y＝ax2上，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A．(，) B．(2，2) C．(，2) D.(2，)
12．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為B(－1，3)，與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(－3，0)和(－2，0)之間，以下結(jié)論：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正確的有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．
13．請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)(0，1)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式： ．
14．拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(－6，0)，B(4，0)，則拋物線的對稱軸是直線 .
15．二次函數(shù)y＝x2－x－2的圖象如圖所示，則函數(shù)值y＜0時，x的取值范圍是 .
16．如圖，利用一個直角墻角修建一個梯形儲料場ABCD，其中∠C＝120°.若新建墻 BC與CD總長為12 m，則該梯形儲料場ABCD的最大面積是 .
17．已知拋物線y＝x2－x＋2與直線y＝x－2的圖象如圖所示，點(diǎn)P 是拋物線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最短距離為 .
18．從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球運(yùn)動時間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．有下列結(jié)論：①小球在空中經(jīng)過的路程是40 m；②小球運(yùn)動的時間為6 s；③小球拋出3 s時，速度為0；④當(dāng)小球的高度h＝30 m時，t＝1.5 s，其中正確的有 (選填序號)．
三、解答題：本大題共7個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
19．(本題滿分10分)已知二次函數(shù)y＝4x2＋16x.
(1)寫出它的對稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)寫出它與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)指出當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大？
20．(本題滿分10分)如圖，二次函數(shù)y＝(x－1)(x－a)(a為常數(shù))的圖象的對稱軸為直線x＝2.
(1)求a的值；
(2)向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，求平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．
21．(本題滿分10分)如圖，點(diǎn)A(－1，0)，B(2，－3)都在二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3的圖象上．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，y1)，(0，y2)，，比較y1，y2，y3的大小，并簡述理由．
22．(本題滿分10分)一個滑道由滑坡(AB段)和緩沖帶(BC段)組成，如圖所示，滑雪者在滑坡上滑行的距離y1(單位：m)和滑行時間t1(單位：s)滿足二次函數(shù)關(guān)系，并測得相關(guān)數(shù)據(jù)：
滑行時間t1/s 0 1 2 3 4
滑行距離y1/m 0 4.5 14 28.5 48
　　
滑雪者在緩沖帶上滑行的距離y2(單位：m)和在緩沖帶上滑行時間t2(單位：s)滿足：y2＝52t2－2t，滑雪者從A出發(fā)在緩沖帶BC上停止，一共用了23 s，求滑坡AB的長度．
23．(本題滿分12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝－x＋n 經(jīng)過點(diǎn)A(－4，2)，分別與x，y軸交于點(diǎn)B，C，拋物線y＝x2－2mx＋m2－n的頂點(diǎn)為D.
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；
(2)①直接寫出拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含m的式子表示)；
②若拋物線y＝x2－2mx＋m2－n與線段BC有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．
24．(本題滿分12分)【綜合與實(shí)踐】
【問題情境】小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進(jìn)了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期的售價與日銷售量情況，記錄如下：
售價(元/盆) 日銷售量(盆)
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【數(shù)據(jù)整理】
(1)請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中：
售價(元/盆)
日銷售量(盆)
【模型建立】
(2)分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找出日銷售量與售價間的關(guān)系；
【拓廣應(yīng)用】
(3)根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中．
①要想每天獲得400元的利潤，應(yīng)如何定價？
②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？
25．(本題滿分14分)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，AC＝，OB＝OC＝3OA.
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P，使四邊形PBAC的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在(2)的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使以P，B，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．

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