資源簡介

圓
【滿分：120】
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分，給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.在平面直角坐標系中，以點為圓心，2為半徑作，下列判斷正確的是( )
A.與x軸相交 B.與y軸相切
C.點O在外 D.點在內
2.下列說法正確的是( )
A.平分弦的直徑垂直于弦
B.圓是軸對稱圖形,任何一條直徑都是圓的對稱軸
C.相等的圓心角所對的弧相等
D.等弧所對的弦必相等
3.如圖,點,,,在上,是的一條弦,則( ).
A. B. C. D.
4.有一題目：“已知和有相同的外心，，求.”兩人的說法如下：甲：的度數是；乙：甲考慮的不全，的度數還應有一個不同的值.下列判斷正確的是( )
A.甲和乙都對 B.甲對乙錯 C.甲錯乙對 D.甲和乙都錯
5.如圖，P為外一點，PA、PB分別切于點A、B，CD切于點E，分別交PA、PB于點C、D，若，則的周長為( )
A.8 B.6 C.12 D.10
6.如圖,在平面直角坐標系中,A,B兩點同時從原點O出發,點A以每秒2個單位長的速度沿x軸的正方向運動,點B以每秒1個單位長的速度沿y軸的正方向運動,設運動時間為t秒,以為直徑作圓,圓心為點P.在運動的過程中有如下5個結論：
①的大小始終不變；
②始終經過原點O；
③半徑的長是時間t的一次函數；
④圓心P的運動軌跡是一條拋物線；
⑤始終平行于直線.
其中正確的有( )
A.①②③④ B.①②⑤ C.②③⑤ D.①②③⑤
7.如圖，AB為的直徑，弦于點F，于點E，若，，則CD的長度是( )
A.9.6 B. C. D.10
8.在中，，，.點O為邊AB上一點（不與A重合），是以點O為圓心、AO為半徑的圓.當與三角形邊的公共點個數為3時，OA的取值范圍為( )
A.或 B.或
C. D.或
9.如圖①是一款帶毛刷的圓形掃地機器人,它的俯視示意圖如圖②所示,的直徑為40cm,毛刷的一端固定在點M處,另一端為動點P,,毛刷繞著點M旋轉形成的圓弧交于點A,B,且A,M,B三點在同一條直線上,則該毛刷能掃到區域的面積(陰影部分)是( )
A. B.
C. D.
10.中，，是的外接圓，于點D，關于點D對稱得到.若線段與有兩個公共點，則滿足的條件是( )
A. B. C. D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
11.如圖，已知正六邊形的邊長為2，以點E為圓心，長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長為_________.
12.如圖，AC是的內接正六邊形的一邊，點B在弧AC上，且BC是的內接正十邊形的一邊，若AB是的內接正n邊形的一邊，則____.
13.如圖,與相切于點B,連接交于點E,過點B作交于點F,連接,若,則的度數為______.
14.如圖,正六邊形的邊長為6,以頂點A為圓心,的長為半徑畫圓,則：
(1)圖中陰影部分的面積為______；
(2)直線與圓A的位置關系是______.
15.如圖，在中，，，D為上一點，E為上一點，若，則的最小值為______.
三、解答題（本大題共6小題，共計60分，解答題應寫出演算步驟或證明過程）
16.（8分）如圖所示,以的頂點A為圓心,為半徑作圓,分別交,于點E,F,延長交于G.
(1)求證：；
(2)若劣弧所對圓心角的度數為,求的度數.
17.（8分）作圖題
如圖,在中,已知.
(1)尺規作圖：畫的外接圓(保留作圖痕跡,不寫畫法)
(2)連接,；若,,求的長.
18.（10分）如圖,在中,半徑,過OA的中點C作交于D、F兩點,且,以O為圓心,OC為半徑作,交OB于E點.
(1)求的半徑OA的長；
(2)計算陰影部分的面積.
19.（10分）將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，從上面看得到的平面圖形如圖1，正六邊形邊長為2且各有一個頂點在直線l上，兩側螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，從上面看得到的平面圖形如圖2，其中，中間的正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經過兩側正六邊形的一個頂點，則圖2中：
（1）___________°；
（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為___________.（結果保留根號）
20.（12分）關于x的一元二次方程,如果a、b、c滿足且,那么我們把這樣的方程稱為“勾系方程”,請解決下列問題：
(1)求證：關于x的“勾系方程”必有實數根.
(2)如圖,已知、是半徑為5的的兩條平行弦,,,且關于x的方程是“勾系方程”.
①求的度數,
②直接寫出的長：_____________(用含a、b的式子表示).
21.（12分）課本改編
(1)如圖1,四邊形為的內接四邊形,為的直徑,則______度,______度.
(2)如果的內接四邊形的對角線不是的直徑,如圖2,求證：圓內接四邊形的對角互補.
知識運用
(3)如圖3,等腰三角形的腰是的直徑,底邊和另一條腰分別與交于點D,E,F是線段的中點,連接,求證：是的切線.
答案以及解析
1.答案：C
解析：圓心，
到x軸的距離是3，到y軸的距離是1，
的半徑為2，
與x軸相離，與y軸相交，故選項A、B錯誤；
由，
則點O在外，故選項C正確；
設，
，
則點在上，故選項D錯誤；
故選：C.
2.答案：D
解析：A.平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧,故該選項錯誤；
B.圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸,故該選項錯誤；
平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧,所以B選項錯誤；
C.在同圓和等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,故該選項錯誤；
D.同弧或等弧所對的圓周角相等,故該選項正確；
故選：D.
3.答案：D
解析：連接CD,
∵,,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
故選：D.
4.答案：C
解析：
畫出圖形，當點D，C在的不同側時，
，
；
當點D，在的同一側時，
，
綜上所述，的度數為或，
甲錯乙對，
故選：C.
5.答案：C
解析：∵PA、PB分別切于點A、B，CD切于點E，
，，，
，
即的周長為12，
故選：C.
6.答案：D
解析：依題意,,
∴,
∴的大小始終不變,故①正確；
如圖,連接,
∴,
∴始終經過原點O,故②正確
∵
∴半徑的長是時間t的一次函數,故③正確；
∵
∴圓心的運動軌跡是一條直線；故④不正確
∵,,
設直線的解析式為,
則,
解得：,
∴直線的解析式為
∴始終平行于直線,故⑤正確.
故選：D.
7.答案：A
解析：∵，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
∴，即：，
∴，
，
.
故選：A.
8.答案：B
解析：如圖所示，在圓心O從到的過程中，與三角形邊的公共點個數為3，當圓心O恰好到達，時，與三角形邊的公共點個數變為4，過點作于點D，則.在中，，，，，設，則，，即，得，經檢驗，是原分式方程的解，當時，與三角形邊的公共點個數為3，當點O為AB的中點時，與三角形邊的公共點個數為3，此時.綜上，當或時，與三角形邊的公共點個數為3.
9.答案：C
解析：如圖,連接,,,由題意可知點M是點A,P,B所在圓的圓心.
∵A,M,B三點在同一條直線上,
∴是的直徑,
∴.
∵的直徑為40cm,
∴,
∵,
∴,
∴是等邊三角形,
∴.
∴,
∴,
∴.
故選：C.
10.答案：C
解析：如圖，當與切于點F時，此時線段與有且只有一個公共點，
連接，，
是的外接圓，于點D，
為直徑，，
，
關于點D對稱得到，
，
，
；
當從點B在中點時，由題意可知，，為等腰直角三角形，
，
；
此時，點E與點C重合，線段與有兩個公共點，
此時當點B繼續逆時針向點A運動時（不與A重合），線段與有且只有一個公共點，
綜上，線段與有兩個公共點時，滿足的條件是.
故選：C.
11.答案：
解析：六邊形是正六邊形，
，
，
故答案為：.
12.答案：15
解析：連接OB，是的內接正六邊形的一邊，
，
是的內接正十邊形的一邊，
，
，
即，，
故答案為15.
13.答案：/25度
解析：連接,
∵與相切于點B,
∴,
∵,,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
故答案為：.
14.答案：(1)
(2)相切
解析：(1)∵六邊形是正六邊形,
∴,,
∴陰影部分的面積,
故答案為：.
(2)連接,
∵六邊形是正六邊形,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∵是圓A的半徑,
∴是圓A的切線,
∴直線與圓A的位置關系是相切
故答案為：相切
15.答案：
解析：以的中點O為圓心，的長為半徑作圓，連接，如圖，
，
點D在上，
當CE最小時，即最小，
當時，最小，即CE最小，
設，則，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
CE的最小值為；
故答案為：.
16.答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)如圖,連接,
為圓心,
,
,
四邊形為平行四邊形,
,
,,
,
；
(2)∵劣弧所對圓心角的度數為,
,
,
四邊形為平行四邊形,
,
.
17.答案：(1)圖見解析
(2)
解析：(1)如圖所示,即為所求；
(2)∵
∴,
∵,,即,
解得：或(負值舍去).
18.答案：(1)⊙O的半徑OA的長為2
(2)陰影部分的面積為
解析：(1)連接OD,如圖,
∵,,
∴,
∵C為OA的中點,
∴.
在中,,
∴,
∴,
∴,
∴的半徑OA的長為2；
(2)∵,
∴,
∴,
,
,
.
19.答案：（1）30
（2）
解析：（1）根據中間正六邊形的一邊與直線l平行及多邊形外角和為360°，
得.
（2）設中間正六邊形的中心為O，如圖，
由題意得，，，
四邊形ABFG為矩形，，
又，，
，.
在中，，，
則，由正六邊形的結構特征知，
，，
.
又，，.
20.答案：(1)證明見解析
(2)①
②
解析：(1)證明：關于x的一元二次方程是“勾系方程”,
且,,
,
,
,
方程必有實數根；
(2)①,理由如下：
作于E,延長交于F,連接,,
,
,
,,
,
,
是“勾系方程”,
,
；
,
；
,
,
,
,
.
②如圖所示,過點D作的垂線,垂足為G,則四邊形是矩形,
∴,
∵,則
∴
故答案為：.
21.答案：(1)90,180
(2)證明見解析
(3)證明見解析
解析：(1)∵四邊形為的內接四邊形,為的直徑,
∴度,
∵
∴
故答案為：90,180
(2)證明：如圖,連接并延長,交于點E,連接,
由(1)可知,,,
,
,
即圓內接四邊形的對角互補
(3)證明:連接,,如圖所示.
,
,
四邊形是圓內接四邊形,
,
是線段的中點,
是的半徑,
是的切線.

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