資源簡介

二次函數
【滿分：120】
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分，給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.若是二次函數，則m的值為( )
A. B.2 C. D.
2.若實數x,y,m滿足,則代數式的值可以是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.某商店購進一批單價為20元的商品，若以單價30元銷售，則每月可售出400件，如果銷售單價每提高1元，月銷售量相應減少20件，設每件商品單價漲x元，月銷售利潤為y元，可列函數為：，對所列函數下列說法錯誤的是( )
A.表示漲價后商品的單價
B.表示漲價后少售出商品的數量
C.表示漲價后商品的月銷售量
D.當時月利潤達到最大
4.已知在平面直角坐標系中，拋物線(a，k為常數，且)與y軸交點的縱坐標大于2，將拋物線向左平移1個單位長度得到拋物線，若點、均在拋物線上，則下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
5.如圖是二次函數的圖象,下列結論中正確的是( )
A. B. C. D.
6.觀察規律,,,,運用你觀察到的規律解決以下問題：如圖,分別過點作x軸的垂線,交的圖象于點,交直線于點.則的值為( )
A. B. C. D.
7.二次函數與一次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
8.將拋物線位于y軸左側的部分沿x軸翻折,其余部分不變,翻折得到的圖象和原來不變的部分構成一個新圖象,若直線與新圖象有且只有2個公共點,則t的取值范圍是( )
A. B.
C.或 D.或
9.如圖,在菱形ABCD中,,,點P,Q同時從點A出發,點P以的速度沿的方向運動,點Q以的速度沿的方向運動,當其中一點到達D點時,兩點停止運動.設運動時間為,的面積為,則下列圖象中能大致反映y與x之間函數關系的是( )
A. B.
C. D.
10.二次函數的圖象如圖所示,拋物線的對稱軸是直線,且與x軸的一個交點為,與y軸交點的縱坐標在-3~-2之間,根據圖象判斷以下結論：①；②；③；④：⑤若且,則.其中正確的結論是( )
A.②④ B.②③④ C.②③⑤ D.②③④⑤
二、填空題（每小題4分，共20分）
11.如圖，運動員小鉻推鉛球，鉛球行進高度y（米）與水平距離x（米）間的關系為，則運動員小銘將鉛球推出的距離為_____米．
12.已知二次函數(其中x是自變量),當時,y隨x的增大而增大,且時,y的最大值為21,則a的值為________.
13.在平面直角坐標系中,設二次函數,其中.
(1)此二次函數的對稱軸為直線______；
(2)已知點和在此函數的圖象上,若,則t的取值范圍是______.
14.在平面直角坐標系中,點和點在拋物線上,已知點,,在該拋物線上.若,則,,的大小關系為______.
15.如圖,已知頂點為的拋物線過,下列結論：①；②對于任意的實數m,均有；③：④若,則；⑤,其中結論正確的為______.(填序號)
三、解答題（本大題共6小題，共計60分，解答題應寫出演算步驟或證明過程）
16.（8分）如圖,在中,,,,點M,N分別從A,B同時出發,點M沿AB方向以2cm/s的速度勻速運動,點N沿BC方向以1cm/s的速度勻速運動,當點N運動到點C時,兩點同時停止運動.設運動時間為xs,的面積為.
(1)求y與x之間的函數解析式,并直接寫出自變量x的取值范圍；
(2)求的面積的最大值.
17.（8分）已知拋物線經過點和點，且.
(1)若該拋物線的對稱軸經過點A，如圖，請通過觀察圖象，指出此時y的最小值，并寫出t的值；
(2)若，求a、b的值，并指出此時拋物線的開口方向；
(3)直接寫出使該拋物線開口向下的t的一個值.
18.（10分）某班“數學興趣小組”對函數的圖像和性質進行了探究,探究過程如下,請補充完整.
(1)自變量x的取值范圍是全體實數,x與y的幾組對應值列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 m 0 0 3 …
其中,______.
(2)觀察函數圖像,畫出該函數圖像的另一部分并思考,當______時,函數有最小值
(3)進一步探究函數圖像發現：
①函數圖像與x軸有______個交點,所以對應的方程有______個實數根；
②方程有______個實數根；
③關于x的方程有4個實數根時,a的取值范圍是______.
19.（10分）如圖,拋物線經過,B兩點,且與x軸交于點,直線與x軸交于點A,與y軸交于點B.
(1)求拋物線的解析式；
(2)若,是該拋物線圖象上的兩點,且,求m的取值范圍；
(3)若點P是直線l下方的拋物線上一點,過點P作軸交直線l于點E,過點P作軸交直線l于點F,求的最大值.
20.（12分）2024年9月16日,全國青少年輪滑聯賽在北戴河開賽.其中項目之一是“輪滑速降”,依靠路面的傾斜給予動力,人體自由下落,感受風馳電掣般的運動.如圖是某輪滑速降比賽場地的橫截面示意圖,線段表示出發臺,表示助滑坡,點C表示起跳點,線段表示著陸坡,點K表示此輪滑速降的落地點K.以水平地面為x軸,過點B作x軸的垂線為y軸,建立平面直角坐標系.已知起跳點C到水平地面的距離為30米,到y軸的距離是10米,米,米.
注：①K點是輪滑速降中打出距離分所用的參照點,此跳臺的參照距離是37.5米,即米.
②距離分(跳躍距離).
③跳躍距離是指起跳點C與著陸點之間的距離.
(1)求點K的坐標；
(2)某運動員從點C滑出,在空中飛行的軌跡(與橫截面在同一平面內)可以近似的看成一條拋物線,其函數表達式為.
①若該運動員第一跳的距離分S是60分,求此時該拋物線的表達式；
②某運動員在第二次起跳中,發現第二跳的飛行軌跡拋物線的表達式為,求該運動員此跳的距離分S.
21.（12分）如圖,拋物線過點,,矩形的邊在線段上(點B在點A的左側),點C,D在拋物線上.設,當時,.
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)當為何值時,矩形的周長有最大值？最大值是多少？
(3)保持時的矩形不動,向右平移拋物線,當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G,H,且直線平分矩形的面積時,求平移后的拋物線的頂點坐標.(直接寫出結果即可)
答案以及解析
1.答案：C
解析：∵是關于x的二次函數，
∴，且，
∴，且，
∴.
故選：C.
2.答案：D
解析：由題意可得,
解得:,
選項D符合題意,
故選:D.
3.答案：A
解析：設每件商品單價漲x元，則單件價格為元，利潤為元，月銷量減少量為元，月銷售量為元，則月銷售利潤是：元，
故，
，
∴時，月利潤達到最大值，
據此選項B，C，D正確，不符合題意，選項A錯誤符合題意，
故選：A.
4.答案：B
解析：在中，當時，，
∴拋物線與y軸交點的坐標為，
∵拋物線(a，k為常數，且)與y軸交點的縱坐標大于2，
∴，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴將拋物線向左平移1個單位長度得到拋物線，則拋物線的對稱軸為直線，
∵，
∴拋物線中，離對稱軸越遠函數值越大，
∵，
∴，
∴
根據現有條件無法判斷，
故選：B.
5.答案：D
解析：A.∵拋物線開口向上,
∴.
∵
∴.
∵,
∴,故A不正確；
B.∵對稱軸是直線,
∴,
∴,故B不正確；
C.∵時,,
∴,故C不正確；
D.∵圖象與x軸的一個交點是,對稱軸是直線,
∴圖象與x軸的另一個交點是,
∴,故D正確.
故選D.
6.答案：D
解析：∵過點的垂線,交的圖象于點,交直線于點；
∴令,可得∶縱坐標為,縱坐標為,
,,
.
,
.
故選D.
7.答案：D
解析：拋物線的對稱軸為直線,時,拋物線開口向上,對稱軸在y軸左側,與y軸正半軸的交于點,一次函數經過第一、二、三象限,與y軸正半軸的交于點,時,拋物線開口向下,對稱軸在y軸右側,與y軸負半軸的交于點,一次函數經過第二、三、四象限,與y軸正半軸的交于點.
故選:D.
8.答案：C
解析：∵二次函數解析式為：,
∴拋物線的頂點坐標為,
如圖：按要求折疊后,新圖象的頂點坐標為,
當直線過點時,即,直線與新圖象有且只有2個公共點,此時直線；
直線向上移動過程中,與新圖象一直有兩個公共點,直到過點時有三個公共點,即；
拋物線左側部分的函數解析式為：
,
當直線與y軸左側相切時,與新圖象有一個公共點,
∴僅有一個解,
∴的,
∴,
解得：.
綜上,當或時,直線與新圖象有且只有2個公共點.
故選：C.
9.答案：A
解析：∵四邊形ABCD是菱形,
∴,,
∴,都是等邊三角形,
∴.
如圖1,當時,,,
作于E,
∴,
∴,
故D選項不正確；
如圖2,當時,,,,
作與F,作于H,
∴,
,
∴,
故B選項不正確；
當時,,,
∴,
作于G,
∴,
∴,
故C不正確.
故選：A
10.答案：D
解析：①觀察圖像可知,,
拋物線對稱軸為直線
,
,故①錯誤;
②
,故②正確;
③拋物線對稱軸為直線,其與x軸的一個交點為
由對稱性可知,其與x軸的另一個交點為
拋物線解析式也可以寫為
,,
拋物線與y軸交點為
,
,
,
,故③正確;
④拋物線經過點
代入解析式得:,故④正確;
⑤,
,
,
,
,
,
,
,
,故⑤正確。
故本題應選:D。
11.答案：11
解析：當時，
解得：（不合題意，舍去），
推鉛球的距離是11米．
故答案為：11
12.答案：2
解析：(其中x是自變量)是二次函數式,
對稱軸是直線.
當時,y隨x的增大而增大,
.
時,y的最大值為21,且,
時,即,
移項得,,
解得,或(不合題意舍去)。
故答案為:2.
13.答案：(2)/0.5
(2)
解析：(1)二次函數,
函數經過和,是對稱點,
對稱軸為直線,
故答案為：
(2)二次函數,
二次項系數為,
函數圖象開口向上,
又和在此函數的圖象上,對稱軸為直線,
畫出圖象如下圖,點Q關于對稱軸的對稱點橫坐標,
,
點P應在線段下方部分的拋物線上(包括點Q、),
,
故答案為：
14.答案：
解析：點和點在拋物線上,
,,
,
,
與異號,
,
,
,,
點,,在該拋物線上,
,,,
,
,
,
,
.
故答案為：.
15.答案：①③⑤
解析：由題知,
令拋物線的解析式為,將點代入函數解析式得,
,
解得,
拋物線的函數解析式為
,
,,,
.故①正確.
拋物線的頂點縱坐標為-6,且開口向上,
對于拋物線上的任意一點(橫坐標為m),其縱坐標不小于-6,
即,
.故②錯誤.
,,
,故③正確.
拋物線經過點,且對稱軸為直線
點也在拋物線上,
又拋物線開口向上,
當時,或,故④錯誤.
故⑤正確.
故答案為:①③⑤.
16.答案：(1)
(2)
解析：(1)∵,,.
∴.
即.
(2)由(1)知：
∴.
∵當時,y隨x的增大而增大
而,∴當時,y取最大值,且,
即的面積的最大值是.
17.答案：(1)
(2)，拋物線開口方向向上
(3)t的值可以是-1
解析：(1)∵拋物線的對稱軸經過點A，
∴A點為拋物線的頂點，
∴y的最小值為-3，
∵P點和O點對稱，
；
(2)分別將和代入，得：，
解得，
∴拋物線開口方向向上；
(3)將和點代入，
，
由①得，③，
把③代入②，得，
，，
.
∵拋物線開口向下，，
，
，
.
故t的值可以是-1(答案不唯一).
18.答案：(1)0
(2)或1,圖見解析
(3)①3,3
②2
③
解析：(1)當時,,
,
故答案為：0；
(2)根據給定的表格中數據描點畫出圖形,如圖所示：
由圖可得,當或時,y取最小值為,
故答案為：或1；
(3)①觀察函數圖像可知：當、0、2時,,
該函數圖像與x軸有3個交點,即對應的方程有個實數根,
故答案為：3,3；
②由函數圖像知：直線與該函數圖像有兩個交點,
方程有2個實數根,
故答案為：2；
③由函數圖像知：當時,直線與函數有4個交點,
關于x的方程有4個實數根時,a的取值范圍是,
故答案為：.
19.答案：(1)
(2)
(3)時,求的最大值為6
解析：(1)把,代入,得
,
解得,
∴；
(2)由(1),得,,
∴拋物線的對稱軸是直線,
∴關于對稱軸的對稱點,
∵拋物線開口向上,,且,
∴；
(3)設,
∵軸交直線l于點E,軸,
∴,,
∴,
,
∴
,
∵點P是直線l下方的拋物線上一點,
∴,
∴時,求的最大值為6.
20.答案：(1)點K的坐標為
(2)①；②該運動員此跳的距離分S為
解析：(1)如圖所示,過點C作軸于點M,過點K作于點H,
∵C到水平地面的距離為30米,到y軸的距離是10米,
∴米,米
∴米
∵
∴米
∴
∴
∴
∴米,米
∴米,米
∴點K的坐標為；
(2)①設該運動員的著陸點為E,則跳躍距離為
∵該運動員第一跳的距離分是60分,
∴,即.
∴點E與點K重合,即點E的坐標為,點C的坐標為
由題意可得：,
解得：
∴；
②：由題意可得：點,
設的解析式為：,
則有：,解得：,
∴的解析式為：,
設新的著陸點為Q,
聯立
解得：或(與點C重合舍去)
∴點Q的坐標為,
勾股得：跳躍距離為,
∴第二次的距離分為.
21.答案：(1)
(2)當時,矩形的周長有最大值,最大值為
(3)
解析：(1)設拋物線解析式為,
∵當時,,
∴點B的坐標為,
∵四邊形是矩形,
∴點C的坐標為,
∴將點C坐標代入解析式得,
解得：,
∴拋物線的函數表達式為；
(2)由拋物線的對稱性得,
∴,
當時,點C的縱坐標為,
∴矩形的周長
,
∵
∴當時,矩形的周長有最大值,最大值為；
(3)∵當時,,
∴點B的坐標為,
∴點C的坐標為,點A的坐標為,
連接,相交于點P,連接,取的中點Q,連接,如圖：
∵直線平分矩形的面積,
∴直線過點P,
由平移的性質可知,,,
∴四邊形是平行四邊形,
∴,
∴點P是的中點,Q是的中點,
∴,,
∴,,
∴四邊形是平行四邊形,
∴,
∴拋物線向右平移的距離是4個單位,
∵
∴平移后的拋物線解析式為,
∴平移后拋物線的頂點坐標為.

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