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第三章 圓錐曲線的方程章末復(fù)習(xí)小結(jié)
人教A版（2019)
知識(shí)復(fù)習(xí)
知識(shí)體系構(gòu)建
知識(shí)梳理
1.橢圓概念與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
橢圓定義 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
半軸長(zhǎng) 對(duì)稱性 頂點(diǎn)坐標(biāo)
a、b、c關(guān)系 離心率 圖形
范圍
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2 |)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓
(a>b>0).
(a>b>0).
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
關(guān)于x、y軸成軸對(duì)稱;關(guān)于原點(diǎn)(0,0)成中心對(duì)稱
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b(a>b).
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
a2=b2+c2(a>b>0).
e=, e∈(0,1).
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
知識(shí)梳理
2.雙曲線的概念與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
雙曲線定義 標(biāo)準(zhǔn)方程
圖像
焦點(diǎn)
頂點(diǎn)
范圍
對(duì)稱性 虛實(shí)軸 離心率 漸近線
F1(-c,0)
F2(c,0)
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2(0,c)
F1(0,-c)
x
B1
y
O
.
B2
A1
A2
.
F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
x≤-a或x≥a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
對(duì)稱軸：x軸、y軸；中心：原點(diǎn)
實(shí)軸長(zhǎng)：2a；虛軸長(zhǎng)：2b
e=∈(1,+∞)，c2=a2+b2
.
.
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡
)
)
知識(shí)梳理
3.拋物線的概念與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
拋物線定義 圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線
頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 離心率 范圍
把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡
y2=2px(p＞0)
y2=-2px(p＞0)
x2=2py(p＞0)
x2=-2py(p＞0)
F(,0)
F(,0)
F(0,)
F(0,)
x=－.
x=.
y=－.
y=.
(0,0)
x軸
y軸
e=1
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
題型探究
【例1】⑴若命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，a是常數(shù))；命題乙：點(diǎn)P的軌跡是橢圓，則甲是乙的(　　)
A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
⑵平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1(－5,0)和F2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝6，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是 ．
解：
⑴若點(diǎn)P的軌跡是橢圓，則一定有|PA|＋|PB|＝2a(a＞0)；
∴甲是乙的必要不充分條件.故選B.
題型1：圓錐曲線的定義　
反過來(lái)，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0)，則點(diǎn)P的軌跡可能是線段，也可能不存在．
⑵|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝10，根據(jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支，且a＝3，c＝5，
∴b2＝16，
故軌跡方程為(x≥3)．
B
(x≥3)
初試身手
1.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N. 若M為FN的中點(diǎn), 則|FN|=_______.
解：
如圖,過M、N分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M1、N1,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F1,則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.
∴|MM1|=3,
由拋物線的定義知|FM|=|MM1|=3,
∵M(jìn)為FN的中點(diǎn),
6
∴|FN|=2|FM|=6.
題型探究
【例2】⑴已知雙曲線C: =1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y= x,且與橢圓+ =1有公共焦點(diǎn),則C的方程為(　　)
A. =1 B. =1 C. =1 D. =1
解：
⑴由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為=k(k>0),即=1,
則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，
∵雙曲線與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),
題型2：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程　
∴4k+5k=12-3,解得k=1,
故雙曲線C的方程為=1.
B
題型探究
【例2】⑵已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn). 若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為(　 )
A. +y2=1 B. +=1 C. +=1 D.+=1
解：
⑵設(shè)|F2B|=x(x>0),則|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,
由橢圓的定義知|BF1|+|BF2|=2a=4x,
∴|AF1|=2x，
題型2：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程　
即4x2=4x2+22+8x·cos∠BF2F1 ②,
在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1,
即9x2=x2+22-4x·cos∠BF2F1 ①,
在△AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1,
由①②得x=,所以2a=4x=2,a=,所以b2=a2-c2=2.
所以橢圓的方程為+=1.故選B.
B
初試身手
2.⑴已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是(　　)
A. B. C. D.
解：
⑴∵2a＝18,2c＝×2a＝6，
∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
∴所求方程為.故選A.
A
初試身手
2.⑵已知雙曲線C：(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　)
A. B. C. D.
解：
⑵根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為y＝,
可知. ①
又橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(－3,0)，
∴a2＋b2＝9. ②
根據(jù)①②可知a2＝4，b2＝5，
∴C的方程為.故選B.
B
題型探究
【例3】⑴雙曲線=1(a>0,b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　 )
A. y=±x B. y=± x C. y=± x D. y=± x
題型3：圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
解：
⑴∵e=,
∴,
∴雙曲線的漸近線方程為y=± x=±x.故選A.
A
題型探究
【例3】⑵已知F1,F2是橢圓C: =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
題型3：圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
解：
⑵由題意可得直線AP的方程為y= (x+a),①
直線PF2的方程為y= (x-c).②
如圖,過P向x軸引垂線,垂足為H,則PH= (a+c).
聯(lián)立①②得y= (a+c),
∵∠PF2H=60°, PF2=F1F2=2c, PH= (a+c),
∴sin 60°= , 即a+c=5c, 即a=4c,
∴e= .故選D.
D
題型探究
【例2】⑶(多選)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)A(0,2)，則C的方程為(　　)
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝2x D．y2＝16x
解：
⑵由已知得拋物線的焦點(diǎn)F(,0),設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，
則,
題型3：圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
　
,
由已知得
即，y0＝4，M(,4),
由|MF|＝5，得
又p>0，解得p＝2或p＝8.
∴C的方程為y2＝4x或y2＝16x.故選AD.
AD
初試身手
解：
3.⑴設(shè)F為雙曲線C: =1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為(　 　)
A. B. C.2 D.
⑴∵|PQ|=|OF|=c,
∴P .
∴PQ過點(diǎn).
∴a2= ,
又∵|OP|=a,
∴ =2, e= .故選A.
A
初試身手
解：
3.⑵已知橢圓(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，若，則該橢圓的離心率的取值范圍為 ．
⑵∵A(－a,0)，B(0，b)，M()，F(xiàn)(c,0)，
∴,
又，
∴結(jié)合0＜e＜1,得0＜e≤－1.
∴2a2－2ac－c2≥0，即e2＋2e－2≤0，
0＜e≤－1
初試身手
解：
3.⑶(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為且經(jīng)過點(diǎn)F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若|AF|＝4，則以下結(jié)論正確的是 (　　)
A．p＝2 B．F為AD中點(diǎn) C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2.
⑵如圖，F(xiàn)(,0)，直線l的斜率為，則
聯(lián)立,得12x2-20px+3p2=0,
由|AF|＝=4，得p=2,
∴拋物線方程為y2＝4x.
直線方程為y＝(x-)，
解得，
初試身手
解：
3.⑶(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為且經(jīng)過點(diǎn)F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若|AF|＝4，則以下結(jié)論正確的是(　　 )
A．p＝2 B．F為AD中點(diǎn) C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2.
∴,|BF|=,
|BD|＋|BF|＝＝4，則F為AD中點(diǎn)，
故選ABC.
∴拋物線方程為y2＝4x.
|BD|=，|BD|=2|BF|.
ABC
題型探究
【例4】已知橢圓(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1)，離心率為，過點(diǎn)B(0，－2)及左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F2.
⑴求橢圓的方程；
⑵求弦長(zhǎng)|CD|.
題型4：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
解：
⑴∵橢圓(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1)，
∴b=1,
又,a2=b2+c2,
∴a2=2，c=1.
∴橢圓的方程為.
⑵設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，
橢圓的左焦點(diǎn)F1(－1,0)，所以直線BF1的方程為,即y＝－2x－2，
聯(lián)立，得9x2＋16x＋6＝0，
題型探究
【例4】已知橢圓(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1)，離心率為，過點(diǎn)B(0，－2)及左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F2.
⑴求橢圓的方程；
⑵求弦長(zhǎng)|CD|.
題型4：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
解：
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
=.
∴|CD|＝.
聯(lián)立，得9x2＋16x＋6＝0，
題型探究
【例5】已知拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為P.
⑴若|AF|+|BF|=4, 求l的方程;
∴|AF|+|BF|=x1+x2+ ,
⑴由題設(shè)得F ,
設(shè)直線l:y= x+t, A(x1,y1), B(x2,y2).
題型4：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系　
由 可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
解：
由題設(shè)可得x1+x2=.
則x1+x2=- .
∴- = , 得t=- .
∴l(xiāng)的方程為y=x-.
題型探究
【例5】已知拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為P.
⑵若=3, 求|AB|
由,得y2-2y+2t=0.
⑵由=3可得y1=-3y2.
題型4：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系　
代入C的方程得x1=3, x2= .
解：
∴y1+y2=2.從而-3y2+y2=2,y2=-1, y1=3.
∴|AB|= .
初試身手
解：
4.已知橢圓C：(a＞b＞0)過點(diǎn)(1,)，且焦距為2.
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
⑵設(shè)過點(diǎn)P(－2,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍．
⑴由2c＝2得c＝1，則a2＝b2＋c2＝b2＋1，
解得b2＝1，a2＝2，
⑵由題意設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)．
把(1,)代入橢圓C的方程,得,
∴故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
當(dāng)k＝0時(shí)，顯然滿足題意．
當(dāng)k≠0時(shí)，聯(lián)立,整理得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
初試身手
解：
4.已知橢圓C：(a＞b＞0)過點(diǎn)(1,)，且焦距為2.
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
⑵設(shè)過點(diǎn)P(－2,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍．
由Δ＝(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，
解得,
∴斜率k的取值范圍為.
當(dāng)k≠0時(shí)，聯(lián)立,整理得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
初試身手
解：
5.知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為( 　)
A.2 B. C.2 D.4
方法1：設(shè)直線AB的方程為x=ty+1, A(x1,y1), B(x2,y2), 線段AB的中點(diǎn)為M,
∴y1+y2=4t,y1y2=-4,
由yM= =2t=2, 得t=1,
由，消去x得y2-4ty-4=0,
A
∴S△AOB= |OF||y1-y2|= =2.故選A.
初試身手
解：
5.知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為( 　)
A.2 B. C.2 D.4
方法2：設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2).
∴直線AB的方程為y=x-1,
由拋物線定義可得|AB|=x1+x2+2=y1+y2+4=8,
由,得kAB= = =1,
A
∴S△AOB= |AB|d=2.故選A.
而點(diǎn)O到直線AB的距離d= ,
題型探究
【例6】已知點(diǎn)P()是橢圓C：(a＞b＞0)上一點(diǎn)，A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F，且點(diǎn)A，B到直線l的距離的比值為3．
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
題型5：圓錐曲線中的證明問題　
⑴由點(diǎn)P()在橢圓C：(a＞b＞0)上，得 ①,
設(shè)F(c,0)，由點(diǎn)A，B到直線l的距離的比值為3得|AF|=3|BF|，即a+c=3(a-c)，a=2c，
∴a2=4c2=4a2-4b2，即3a2=4b2 ②
由①②得a2=4,b2=3,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
解：
題型探究
【例6】已知點(diǎn)P()是橢圓C：(a＞b＞0)上一點(diǎn)，A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F，且點(diǎn)A，B到直線l的距離的比值為3．
⑵若點(diǎn)Q是直線x=4上且不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)，直線AQ，BQ分別與橢圓C交于另一點(diǎn)M，N，求證：M，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線．
題型5：圓錐曲線中的證明問題　
⑵由⑴知F(1,0)，A(-2,0),B(2,0),
易知直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為x=my+t，
代入,得(3m2+4)y2+6tmy+3t2-12=0，
∴Δ=48(3m2-t2+4)>0,
設(shè)M(x1,y1),(x2,y2),(4,y0)(y0≠0),
解：
∴,
題型探究
【例6】已知點(diǎn)P()是橢圓C：(a＞b＞0)上一點(diǎn)，A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F，且點(diǎn)A，B到直線l的距離的比值為3．
⑵若點(diǎn)Q是直線x=4上且不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)，直線AQ，BQ分別與橢圓C交于另一點(diǎn)M，N，求證：M，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線．
題型5：圓錐曲線中的證明問題　
由A，M，Q三點(diǎn)共線得,即，
由B，N，Q三點(diǎn)共線得,
∴=3，
∴t=1,直線MN的方程為x=my+1，
解：
∴直線MN的過點(diǎn)F,則M，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線．
初試身手
解：
⑴∵, ∴,
∴a2=5,.
⑵證明：由⑴可知直線,點(diǎn)F2(3,0),
設(shè)P(,t)，Q(x0，y0)，則,
∵，
∴，
即.
6.已知雙曲線E：(a＞0)的中心為原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P是直線x＝上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線E上，且滿足.
⑴求實(shí)數(shù)a的值；
⑵證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．
初試身手
解：
∵點(diǎn)Q(x0，y0)在雙曲線E上，
∴,即,
∴,
∴直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值.
即.
6.已知雙曲線E：(a＞0)的中心為原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P是直線x＝上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線E上，且滿足.
⑴求實(shí)數(shù)a的值；
⑵證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．
作業(yè)布置
作業(yè)： p145 復(fù)習(xí)參考題3 第2,4，6，7,8,9題.
盡情享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂吧！
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