資源簡介

課題：《二次函數與一元二次方程的關系》
【學習目標】
1、通過探索，理解二次函數與一元二次方程的聯系
2、運用二次函數及其圖象、性質解一元二次方程
【評價目標】
1. 自我檢查：能判斷二次函數與一元二次方程的關系
2. 對話展示：能選擇數形結合的方法解一元二次方程
3. 課堂提問：能辨別函數值與方程的解的轉化
4. 紙筆作業：能用數形結合的思想求一元二次方程出方程的解
【重點難點】
學習重點 ： 理解二次函數與一元二次方程的聯系
學習難點 ： 數形結合的思想
【教學過程】
一、【溫故·習新】
預習作業
1．問題：如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關系h＝20t－5t2． 考慮以下問題：
（1）球的飛行高度能否達到15m？如能，需要多少飛行時間？
（2）球的飛行高度能否達到20m？如能，需要多少飛行時間？
（3）球的飛行高度能否達到20.5m？為什么？
（4）球從飛出到落地要用多少時間？
探索新知
1．觀察圖象：
（1）二次函數y＝x2＋x－2的圖象與x軸有____個交點，則一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判別式△＝_______0；
（2）二次函數y＝x2－6x＋9的圖像與x軸有___________個交點，則一元二次方程
x2－6x＋9＝0的根的判別式△＝_______0；
（3）二次函數y＝x2－x＋1的圖象與x軸________公共點，則一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判別式△_______0．
2．歸納：
（1）如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是,那么當時，函數值是________，因此是方程________________的一個根.
（2）已知二次函數y＝－x2＋4x的函數值為3，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程 __________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函數 __________________的函數值為3的自變量x的值．
一般地：已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的函數值為m，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的值為m的自變量x的值．
（3）二次函數y＝ax2＋bx＋c與x軸的位置關系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式△＝b2－4ac．
（1）當△＝b2－4ac＞0時 拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有_______交點；
（2）當△＝b2－4ac＝0時 拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸_______交點；
（3）當△＝b2－4ac＜0時 拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸_______公共點．
二、【研討·拓展】
例1、利用拋物線圖象求解一元二次方程
（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根為___________；（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根為__________；（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根為__________；
鞏固練習：
已知拋物線y＝ax2﹣2ax+c與x軸一個交點的坐標為（﹣1，0），則一元二次方程
ax2﹣2ax+c＝0的根為_______．
2．若拋物線y＝ax2+bx+c與x軸兩個交點之間的距離為6，對稱軸為直線x＝﹣2，則關于x的方程ax2+bx+c＝0的解為 　 　．
例2、 已知函數y＝x2－2x－3，
(1寫成y＝a(x－h)2＋k的形式，寫出函數圖象的對稱軸、頂點坐標、開口方向、最值；
(2)求出圖象與坐標軸的交點坐標；
(3)畫出函數圖象的草圖；
(4)根據圖象草圖，說出x取哪些值時，①y＝0；②y<0；③y>0
鞏固練習：
1、如圖，已知二次函數y＝ax2+2x+c圖象經過點A （1，4）和點C （0，3）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）結合函數圖象，直接回答下列問題：
①當﹣1＜x＜2時，求函數y的取值范圍：　 　．
②當y≥3時，求x的取值范圍：　 　．
2、已知函數y＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數，且a≠0）的圖象如圖所示，則關于x的方程
ax2＋bx＋c－4＝0的根的情況是（ ）
有兩個不相等的正實數根 B．有兩個異號實數根 C．有兩個相等實數根 D．無實數根
例3、已知二次函數的表達式為y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．
（1）試判斷該二次函數的圖象與x軸交點的個數？并說明理由．
（2）此二次函數的圖象與函數y＝2x+m+4的圖象的一個交點在y軸上，求m的值．
鞏固練習：
1．已知：二次函數y＝kx2﹣3x﹣3的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍為　 　．
2．若函數y＝mx2－x＋1與x軸有兩個交點，求m的范圍
3.已知拋物線y＝kx2＋2x－1與坐標軸有三個交點，則k的取值范圍___________．
三、【反饋·提煉】
1、二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象頂點的坐標為（2，1），與x軸的一個交點在點（3，0）和點（4，0）之間，有下列結論：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③c﹣4a＝1；④b2＞4ac；⑤am2+bm+c≤1（m為任意實數）．其中正確的有（　　）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2、拋物線y＝ax2+ax+1的一部分如下圖一所示，那么該拋物線在y軸右側與x軸交點的坐標是（　　）A．（0，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（2.5，0）
3、如圖是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點坐標為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，則下列結論：
①abc＜0；②3a+b＞0；③4a﹣2b+c＞0；④b2＝4a（c﹣n）；
⑤一元二次方程ax2+bx+c＝n+1有兩個互異實根．其中正確結論的個數是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
4、關于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的兩個不相等的實數根都在﹣1和0之間（不包括﹣1和0），則a的取值范圍是　 　
【課堂小結】.
本節課的思維導圖
每日一題：
【每日一題】某班“數學興趣小組”對函數y＝x2﹣2|x|的圖象和性質進行了探究，探究過程如下，請補充完整（1）自變量x的取值范圍是全體實數，x與y的幾組對應值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2.5 ﹣2 ﹣1 0 1 2 2.5 3 …
y … 3 1.25 m ﹣1 0 ﹣1 0 1.25 3 …
其中，m＝　 　．
（2）根據表中數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數圖象的一部分，請畫出該函數圖象的另一部分．
（3）觀察函數圖象，寫出1條函數的性質．
（4）進一步探究函數圖象發現：
①函數圖象與x軸有　 　個交點，所以對應的方程x2﹣2|x|＝0有　 　個實數根；
②方程x2﹣2|x|＝2有　 　個實數根．
③函數y＝x2﹣2|x|的圖象與y＝a有至少有3個交點時，a的取值范圍是　 　．
二次函數與X軸的交點個數
根據函數圖像求一元二次方程的近似解
如果拋物線與X軸的交點坐標（x1,0）,(x2,0),那么x1,x2就是方程的解
二次函數與一元二次方程的關系
二次函數與一元二次方程
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