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專題二 勾股定理的逆定理
【知識點】
1. 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三邊長a，b，c滿足 那么這個三角形是直角三角形.
2. 利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形的步驟：
①首先確定最大的邊(設為c)；
②驗證c .與 是否具有相等關系，若 那么△ABC是以∠C為直角的直角三角形； 若 那么△ABC不是直角三角形.
3. 勾股數:
勾股數又稱勾股弦數，是指能夠成為直角三角形三條邊長的三個整數.
常見的勾股數有 3, 4, 5; 5, 12, 13; 6, 8, 10; 7, 24, 25; 8, 15, 17; 9, 12, 15; 9, 40, 41等，勾股數組有無數個，比如3，4，5三個整數的正整數倍都是勾股數.
熟悉常見的勾股數，有助于判斷一個幾何圖形中有無直角三角形，為解題帶來方便.
題型1 用三角形三邊關系判定是否是直角三角形
【例1】在△ABC中, 其中m, n是正整數, 且m>n. 試判斷△ABC是否是直角三角形.
舉一反三。
1. 已知三角形的三邊分別為a, b, c, 且(
(1) 這個三角形一定是直角三角形嗎 為什么
(2)試給出一組直角三角形的三邊的長，使它的最小邊不小于20，另兩邊的差為2，且三邊均為正整數.
題型2 勾股數的概念
【例2】閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數a，b，c，稱為勾股數. 世界上第一次給出勾股數通解公式的是我國古代數學著作《九章算術》，其勾股數組公式為：
其中m>n>0, m, n是互質的奇數.
應用：當n=1時，求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長.
舉一反三。
2. 觀察下面的表格給出的三個數a, b, c, a3, 4. 5 3 +4 =5
5, 12, 13 5 +12 =13
7, 24, 25 7 +24 =25
9, 40, 41 9 +40 =41
… …
21, b, c 21 +b =c
(1) 試找出它們的共同點，并證明你的結論；
(2) 當a=21時, 求b, c的值.
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題型3 用計算的方法進行證明
【例3】如圖所示，在 中，已知 D是AC上的一點，
(1) 證明: 是直角三角形；
(2) 試求: 的面積.
舉一反三。
3. 如圖所示， 為等腰直角三角形， 且. AD為中線.
求證：
(2) AD平分.
題型4 應用勾股定理的逆定理求角的度數
【例4】如圖所示, 等邊三角形ABC內有一點P, 若點 P到頂點A, B, C的距離分別為3,4, 5, 求 的度數.
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第一章 勾股定理
舉一反三。
4. 如圖所示，P是等邊三角形ABC外一點，. 求 的度數.
題型5 應用勾股定理的逆定理求線段的長
【例5】如圖所示，在 中， BC邊上的中線. 求 BC的長.
·舉一反三。
5. 如圖所示，在 中，D是BC邊上一點， 已知 求CD的長.
題型6 探究直角三角形存在的條件
【例6】如圖①所示, 在1 中， 點 D, E 在直線BC 上, 且. 求證：
【閱讀理解】要證明 可設法將 BD，CE，DE 轉化為某直角三角形的三邊即可. 故過A作AF⊥AD, 且AF=AD, 連接CF, EF, 再通過證明 即可將BD，CE，DE三邊轉化到直角. 中，解決問題.
【拓展應用】如圖②所示，若 其他條件不變，請探究：以線段BE，CD，DE的長度為三邊長的三角形是何種三角形 并說明理由.
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舉一反三。
6. 已知 為等腰直角三角形， 點 B為NM延長線上一點， 且
(1) 如圖①所示, 連接CN, 求證:
(2) 如圖②所示, 作 的平分線交MN于A，求證：
(3) 如圖③所示, 在(2) 的條件下, 過A作 于 E, 過B作 于F, EA, BF的延長線交于P，請探究：以線段AE，BF，AP的長度為三邊長的三角形是何種三角形 并說明理由.
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題型7 勾股定理 (逆定理) 與網格作圖
【例7】如圖所示，將 放在由邊長為1的小正方形組成的網格中，點A，點B，點C均落在格點上.
(1) 計算. 的值等于 .
(2)請在如圖所示的網格中，用無刻度的直尺，畫出一個以AB為一邊的矩形，使該矩形的面積等于 并簡要說明畫圖方法(不要求證明).
·舉一反三。
7. 在數學活動課上，老師要求在： 的正方形ABCD 網格中(小正方形的邊長為1)畫直角三角形，要求三個頂點都在格點上，而且三邊與AB或AD都不平行. 試畫出四種圖形，并直接寫出其周長.

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