資源簡介

可化為一元一次方程的分式方程
【課時安排】
4課時
【第一課時】
教學目標 1．經歷將實際問題中的等量關系用分式方程表示的過程，體會分式方程的模型思想。 2．了解分式方程的意義，會判斷一個方程是否是分式方程。
教學重點 根據題意找出能夠表示問題中全部含義的一個相等關系。
教學難點 根據題意找出能夠表示問題中全部含義的一個相等關系。
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動
復習導入 探索新知 （一）根據題意，列出下列方程。 1．停車場上共停了35輛小轎車和兩輪摩托車，地面上數一共有100個輪子，請問小轎車和摩托車各有多少輛？ 2．學校開展植樹活動，甲班和乙班共植樹31棵，其中甲班植樹數比乙班植樹數的2倍多一棵，求兩班各植樹多少棵？ （二）交流與發現 思考下面的問題，并與同學交流： 1．王師傅承擔了310個工件的焊接任務，加工了100個工件后開始采用焊接新工藝，工效提高到原來的1.5倍，共用8天完成了任務。如果采用新工藝，王師傅還需要多少天才能完成任務？ 分析：解決這個問題的關鍵，是求出采用新工藝前王師傅每天焊接多少個工件。 如果設采用新工藝前王師傅每天焊接x個工件，那么加工100個工件需要_______天；采用新工藝后王師傅每天加工_______個工件，加工剩余的工件用了_______天。 問題中給出的等量關系是：______________。 焊接100個工件用的時間+焊接剩余工件用的時間=8天。 由此得到方程______________。 思考：這是一個怎樣的方程？是一元一次方程嗎？ 2．甲、乙兩班的同學參加植樹，乙班每小時比甲班植60棵樹，乙班植了66棵樹，甲、乙兩班每小時各植樹多少棵？ （1）在這個問題中，哪些是已知量，哪些是未知量？ （2）如果選取一個未知量用x表示，那么其他量能用x表示嗎？ （3）在這個問題中，給出的等量關系是什么？ （4）選擇哪個等量關系可以得到關于未知數x的方程？ （5）你得到的方程是一元一次方程嗎？ （三）總結： 分母中含有未知數的方程叫做分式方程。 （四）練一練： 1．下列方程中，哪些是分式方程？ （1） （2） （3） （4） 2．一個分數的分子比分母小2，當分子與分母都加上3時，這個分數等于，求這個分數。（只列方程） （五）點撥： 1．分式方程中分母中一定要有未知數。 2．問題中有關的量用已知量或含有未知數的量的代數式表示出來，根據問題中的等量關系，列出方程。 學生做在練習本上。 學生閱讀課本，然后回答問題，得出題目中的等量關系。 分析得出的方程和一元一次方程的區別和聯系。 學生閱讀課本，并回答問題。 得出等量關系，小組間交流討論。 總結分式方程的概念。 學生直接回答問題。 學生列出方程。 教師分析，學生記憶。
鞏固練習 小結 （一）填空題 1．分母中_______的方程叫做分式方程。 2．一個正多邊形的每個內角都是135°，求它的邊數，如果設這個正多邊形的邊數為，則得到方程_______。 3．甲、乙兩個火車站相距1280千米。采用“和諧號”動車組提速后，列車行駛的速度是原來的3.2倍，從甲站到乙站的時間縮短了11小時，求列車提速后的速度，如果設列車原來行駛的速度為x千米/時，那么提速后的速度是_______千米/時，得到的方程是_______。 4．一名工人已加工零件1500個，由于改造了工作方法，效率提高了2.5倍，再加工1500個零件少用18h，現在每小時加工多少個零件？ 若設該工人原來每小時加工x個零件，那么現在每小時加工_______個，原來和現在加工1500個零件分別用_______h和_______h，根據題意，可得方程______________。 （二）解答題 1．A、B兩地相距30千米，甲、乙兩人同時從A地騎車去B地。已知甲每小時比乙多行2千米，且比乙早半小時到達，求甲乙二人的速度（設甲的速度為千米/時，只列出方程）。 2．一臺甲型拖拉機4天耕完一塊耕地的一半，加一臺乙型拖拉機，兩臺拖拉機合耕1天耕完這塊地的另一半。設乙型拖拉機單獨耕這塊地需要x天，則x應滿足怎樣的方程？ 這節課你有什么收獲？ 學生做在練習本上。
【第二課時】
教學目標 1．經歷探索分式方程的解法的過程，體會把分式方程化為整式方程求解的轉化思想。 2．會解可化為一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超過兩個）。
教學重難點 會解可化為一元一次方程的分式方程。
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動
復習導入 探索新知 鞏固練習 小結 1．解下列方程： （1） （2） 2．交流與發現： 思考在上節課中，我們得到的兩個分式方程： 交流怎樣解這個方程？ 3．點撥： 解分式方程的基本思路是：去分母，把分式方程化為整式方程。 4．例題講解 例1：解方程 提示：如何把分式方程中的分母去掉是關鍵。 例2： 點撥： 要解分式方程重點是把分式方程轉化為整式方程。解得出方程的解時一定要進行驗根。 解分式方程的一般思路是：去分母，把分式方程化為整式方程。 5．練一練： （1）解下列分式方程： a． b． （2）解下列分式方程： a． b． c． d． 今天你有什么收獲？ 學生做在練習本上。 學生思考，并交流解方程的方法。 師生討論怎樣去分母。 學生板書。 師生分析，學生板書。 教師總結。 學生做在練習本上。
【第三課時】
教學目標 1．了解分式方程增根的含義和產生增根的原因，并會檢驗分式方程的根。 2．掌握分式方程的一般步驟，會解可化為一元一次方程的分式方程。
教學重難點 掌握分式方程的一般步驟，會解可化為一元一次方程的分式方程。
教學過程
復習導入 探索新知 1．解分式方程的基本思路是什么？ 2．解下列分式方程： （1） （2） 3．例題講解： 例1：解方程：。 解：方程兩邊都乘得： 解這個一元一次方程，得：。 檢驗可知，當時，分式與的分母都為0。 所以，不是原方程的根，應當舍去。 原方程沒有解。 分析：事實上，原方程可以寫成： ，即。 由此看出這個方程無解。 總結：____________________ 增根：____________________ 在方程變形的過程中，產生的不適合原方程的根叫做方程的增根。 增根應當舍去。 想一想： （1）解分式方程為什么要驗根？ （2）怎樣驗根？ 點撥： 與解一元一次方程不同，解分式方程可能出現增根，這是因為分式方程不允許未知數取分母的值為零的那些數，把原方程轉化成整式方程后，方程中未知數的允許值范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰使原方程中的分母為零，那么就會出現增根。所以解完方程后要檢驗是很必要的。 學生回答問題，并做在練習本上。 師生分析，然后學生板書。 分析方程無解的原因，引導學生學習增根。 師生分析，然后學生板書。 學生思考，然后小組交流討論。 教師點撥。
鞏固練習 小結 1．驗根的方法： （1）把求出的根代入原方程檢驗。如果求出的根使原方程的一個分母的值是0，那么這個根就是方程的增根。 （2）把求出的根代入解分式方程時兩邊同乘的整式，如果那個整式的值為零，那么這個根就是增根，應當舍去。 2．練一練： （1）解下列分式方程： a． b． c． d． （2）小亮從圖書館借了一本書，共280頁，借期是兩周。當他讀完書的一半時，發現以后平均每天讀書的頁數必須增加1倍才能在借期內讀完。小亮讀前半本書時平均每天讀多少頁？ 今天你有什么收獲？ 教師總結。 學生做在練習本上。
【第四課時】
教學目標 1．經歷“實際問題→分式方程模型→求解→解釋解的合理性”的過程，提高分析問題、解決問題的能力。 2．會利用分式方程解決相關的實際問題。
教學重難點 會利用分式方程解決相關的實際問題。
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動
復習導入 探索新知 1．回憶列一元一次方程解應用題的步驟是什么？ 列一元一次方程解應用題的步驟： （1）審清題意； （2）設未知數，用含未知數的式子表示其他未知量； （3）根據題意找出等量關系，列出方程； （4）解方程，并檢驗； （5）寫出答案。 2．例題講解 例1：甲、乙兩地相距360千米，張老師和王老師分別乘坐早7時發出的普通客車和8時15分發出的豪華客車從甲地去乙地，恰好同時到達。已知豪華客車與普通客車的平均速度的比是4∶3，求兩車的平均速度。 分析：問題中的等量關系是： 普通客車所用時間－豪華客車所用時間=時。 解：設豪華客車的平均速度為4x千米/時，普通客車的平均速度為3x千米/時。于是豪華客車從甲地乙地所用的時間為時，普通客車從甲地到乙地所用的時間為時。根據題意，得方程。 解這個方程，得。 檢驗可知，是這個方程的根。 因為（千米/時），（千米/時），所以，豪華客車的平均速度為96千米/時，普通客車的平均速度為72千米/時。 想一想： （1）從例題的條件出發，還可以求出哪些未知量？ （2）列分式方程解應用題的步驟是什么？ 例2：陽光小區有A型和B型兩種住宅出售，A型與B型住宅每平方米的價格分別是全樓每平方米平均價格的1.1倍與0.9倍，而且A型比B型的面積少40平方米。如果A型比B型的面積的售價分別為33萬元與36萬元，求全樓每平方米的平均價格。 根據題意，思考下列問題： （1）如果設全樓每平方米的平均價格為x元，那么A型住宅與B型住宅每平方米的價格分別是多少？ （2）A型住宅與B型住宅的面積分別是多少？ （3）根據“A型住宅比B型住宅的面積少40平方米”這個等量關系，列出的方程是____________。 試著解這個方程。 （4）去分母，即兩邊都乘____________，得到____________。 解這個方程，得x=____________。 （5）檢驗它是否是方程的根？ 根據例題中提供的信息，每小組編制出另一個用分式方程解決的問題？ 想一想：列分式方程解應用題檢驗的意義是什么？ 學生回憶，并回答問題。 師生共同分析問題，然后學生回答問題。 學生板書。 小組討論問題，并回答問題。 師生分析問題，然后學生回答問題。 小組討論列分式方程解應用題的檢驗意義： 1．檢驗所得到的根是否為原方程的根； 2．檢驗原方程的根是否符合題意。
鞏固練習 1．假日里，小亮、小瑩、大剛去離家18千米的某村進行社會調查。他們先步行了8千米，然后乘汽車前往，共用2小時到達。如果汽車的速度是步行速度的10倍，求他們步行的速度。 2．甲、乙兩地相距180千米，一輛客車從甲地出發開往乙地，1小時后有一輛轎車也從甲地開往乙地。如果轎車的速度是客車速度的3倍，且轎車比客車早1小時到達，求兩車行駛的速度。 3．大剛家、王老師家與學校在同一條馬路上。大剛家距王老師家3千米，王老師家距學校0.5千米。大剛的腿摔傷以后，王老師每天騎自行車接大剛上學。已知王老師騎自行車的速度是他步行速度的3倍，他每天比平時步行上班多用20分鐘，求王老師步行的速度與自行車的速度。 學生做在練習本上。 小組討論，然后回答問題。 教師提示：分為兩種情況進行分析。
小結 1．列分式方程解應用題的步驟是什么？ 2．列分式方程解應用題的檢驗的意義是什么？

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