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專題三 二次根式的性質和運算
【知識點】
1. 二次根式的性質
性質1：式子 既表示二次根式，又表示非負數a的算術平方根，所以 具有雙重非負性：(1) a≥0; (2) ≥0.
性質2： 即一個非負數的算術平方根的平方等于它本身.
性質3：
2. 常用的二次根式運算法則
3. 二次根式的運算
二次根式的混合運算，應先確定運算順序：先算乘除，再算加減，有括號的應先算括號里面的. 在運算過程中，乘法公式和有理數的運算律在二次根式的運算中仍然適用. 其中，分母有理化，是化簡根式及根式運算中最為基本的一步.
分母有理化常規方法：
(1) 分母是單項式： 的有理化因式是 . 即:
(2) 分母是多項式： 的有理化因式是 即：
(3) 也可以通過類似分式中的“約分”進行分母有理化，如
題型1 確定式子中被開方數字母的取值范圍
【例1】求當下列式子有意義時，x的取值范圍.
·舉一反三。
1. 求當下列式子有意義時，x的取值范圍.
題型2 的“雙重非負性”
【例2】(1) 已知 求x+y的值.
(2) 若 求 的值.
·舉一反三。
2. (1) 已知 求x, y的值.
(2)x, y為實數, 且滿足 求 的值.
題型3 最簡二次根式與同類二次根式
【例3】已知a, b是正整數, 求a+b的值.
·舉一反三·
3. 最簡二次根式 與 能否是被開方數相同的二次根式 若能，求出y的值；若不能，請說明理由.
題型 的運用
【例4】(1) 如果式子. 化簡的結果是2x-3，則x的取值范圍是 ( )
A. x≤1 B. x≥2 C. 1≤x<2 D. x>0
(2) 把 根號外的因式移到根號內，結果為 ( )
·舉一反三·
4. (1) 若代數式 的值是常數2，則a的取值范圍是 .
(2) 若a<0, 則
題型 的運用
【例5】已知△ABC的三邊a, b, c滿足關系式 試求△ABC的周長.
·舉一反三。
5. 若 求a, b, c的值.
題型6 分母有理化
【例6】化簡:
舉一反三。
6. 化簡:
題型7 條件二次根式的化簡求值
【例7】設 化簡
舉一反三。
7. 已知 求 的值.
題型8 整體代入法求值
【例8】 設 求 的值.
8. 已知 求代數式 的值.
題型9 利用隱含條件求值
【例9】已知 求 的值.
舉一反三。
9. 已知 求 的值.
題型10 復合二次根式的化簡
【例10】先閱讀下面的材料，然后作答.
閱讀材料：形如 的化簡，只要我們找到兩個非負數a，b，使( 這樣 那么便有
例如：化簡 首先把 化為 這里
由于 即 所以
試用上述例題的方法化簡：(1) -2 ; (2) - ; (
。舉一反三。
10. 閱讀下列材料，再解決問題.
閱讀材料：數學上有一種根號內又帶根號的數，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質化去里面的一層根號.
例如：
解決問題：
(1) 在括號內填上適當的數：
(2) 根據上述思路，化簡

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