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專題二 實數
【知識點】
實數包括有理數(有限小數和無限循環小數) 和無理數(無限不循環小數).每一個實數都可以用數軸上的點來表示：反之，每一個數軸上的點都表示一個實數. 在實數范圍內，可進行加、減、乘、除、乘方和開方運算，實數的運算法則與有理數的運算法則相同.
有理數對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數的和、差、積、商還是有理數； 而無理數對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數的和、差、積、商不一定是無理數.
在實數中，有三類數是“非負數”：實數的絕對值、實數的偶次方特別是實數的平方以及算術根，它們都不能是負數. 在解答與實數有關的問題時，要注意利用這些數的非負性來解題. “非負數”有一個常用的性質：如果若干個非負數的和為0，那么每個非負數都是0.
題型1 實數與數軸
【例1】如圖所示，數軸上A，B兩點表示的數分別為-1和. 點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的數為 ( )
·舉一反三。
1. 如圖所示，數軸上A，B兩點分別表示實數1， ，點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的實數為 ( )
題型2 根據數軸上字母點的位置化簡求值
【例2】已知實數a, b, c在數軸上的位置如圖所示, 化簡|a+1|+|b-1|--|a+b|+|b-c+4|.
·舉一反三。
2. a，b，c在數軸上的位置如圖所示，化簡
題型3 實數的計算
【例3】計算:
。舉一反三。
3. 計算:
考點4 確定實數的整數部分與小數部分
【例4】閱讀下面的文字，解答問題.
大家知道 是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此 的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用 來表示 的小數部分，你同意小明的表示方法嗎 事實上，小明的表示方法是有道理的，因為 的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分.
請回答：
①寫出 的整數部分和小數部分；
②已知： 其中x是整數，且0·舉一反三。
4. (1) 觀察例題:
因為 即 所以 的整數部分為2，小數部分為
請你觀察上述的規律后試解下面的問題：
如果 的小數部分為a， 的小數部分為b，求a，b的值；
(2) 若實數 的整數部分是3，則k的取值范圍是 ；
(3) 若 估計m的范圍為 ， 整數部分為 ， 小數部分為 .
考點5 運用求差法與平方法比較實數的大小
【例5】比較 與 的大小.
舉一反三。
5. 比較 與 的大小.
考點6 利用估值求值
【例6】已知a, b為有理數, m, n分別表示. 的整數部分和小數部分，且 試求a+b的值.
。舉一反三。
6. 已知a, b為有理數, m, n分別表示 的整數部分和小數部分，且 求 的值.
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考點7 實數的探究題
【例 7】觀察下列各式的規律： …·依此規律，若 則.
。舉一反三。
7. 觀察下列式子： 根據此規律，若 則
考點8 根據非負數之和為零化簡求值
【例8】已知a, b, c都是實數, 且滿足 且 求代數式 的值.
·舉一反三。
8. 已知實數a, b, c滿足 求代數式 的值.
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考點9 運用有理數與無理數四則運算性質化簡求值
【例9】已知a, b為有理數, 且 求a-b的值.
。舉一反三。
9. 求滿足 的自然數a, x, y的值.
考點10 實數綜合題
【例10】任何實數a，可用[a]表示不超過a的最大整數，如 現對72進行如下操作： 這樣對 72 只需進行 3 次操作后變為1，類似地，①對81只需進行 次操作后變為1；②只需進行3次操作后變為1的所有正整數中，最大的是 .
·舉一反三。
10. 設[x) 表示大于x的最小整數, 如| ，則下列結論中正確的是 .(填寫所有正確結論的序號).
①[0) =0; ②[x) -x的最小值是0; ③[x) -x的最大值是0; ④存在實數x, 使[ 成立.

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