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第一章 勾股定理
專題一 勾股定理有關的計算與證明
【知識點】
勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊為c，那么
即，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
勾股定理幾種表達式: 在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A, ∠B, ∠C的對邊分別為a, b, c, 則(
直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質：兩銳角互余(角的關系)、勾股定理(邊的關系)、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半(邊角關系)，這些性質在求線段的長度、證明線段倍分關系、證明線段平方關系等方面有廣泛的應用.
勾股定理只有在直角三角形中才適用，如果不是直角三角形，那么三條邊之間就沒有這種關系. 在應用勾股定理時，一定要弄清哪條邊是直角邊，哪條邊是斜邊.
題型1 勾股定理的驗證
【例1】如圖①所示，裁剪出若干張大小、形狀完全相同的直角三角形，三邊長分別記為a，b，c.
(1) 拼圖一：分別用 4 張直角三角形紙片拼成如圖②、圖③的形狀，觀察圖②、圖③可發現，圖②中兩個小正方形的面積之和 (填“大于”、 “小于”或“等于”) 圖③中小正方形的面積，用關系式表示為 ；
(2) 拼圖二：用4張直角三角形紙片拼成如圖④的形狀，觀察圖形可以發現，圖中共有 個正方形，它們的面積之間的關系是 ，用關系式表示為 .
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·舉一反三
1. 勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜地發現，當兩個全等的直角三角形如圖①或圖②擺放時，都可以用“面積法”來證明， 下面是小聰利用圖①證明勾股定理的過程：
將兩個全等的直角三角形按圖①所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：
證明: 連結DB, 過點D作BC邊上的高DF, 則DF=EC=b-a.
因為
又因為
所以
所以
請參照上述證法，利用圖②完成下面的證明.
將兩個全等的直角三角形按圖②所示擺放，其中∠DAB=90°. 求證：
題型2 “弦圖”的應用
【例2】如圖所示，在邊長為10的正方形ABCD 中，內接有六個大小相同的正方形，點 P，Q，M，N 是落在大正方形邊上的小正方形的頂點，求每個小正方形的面積.
。舉一反三。
2. 長方形ABCD中嵌入了如圖所示的5個相同的正方形和一個三角形，E，F，G，H分別在長方形的邊 AB, BC, CD和DA 上. 已知. 求嵌入的圖形總面積.
題型3 利用勾股定理求直角三角形中線段的長
【例3】如圖所示，在. 中， D 是斜邊AB的中點, E, F分別在邊AC, BC上, 若 ，求線段AB的長度.
舉一反三。
3. 如圖所示，在 中， 點D是AC的中點, 點E在邊 BC上, 求AE的長.
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題型4 應用勾股定理求一般三角形中線段的長
【例4】如圖所示，在. 中， ，以AC 為邊向外作等邊 求BD的長.
·舉一反三·
4. 如圖所示, 在四邊形ABCD中, 求 BD的長.
題型5 線段多解求解型問題
【例5】在 中， ，以AB為邊向外作等腰直角三角形ABD，求CD的長.
4
舉一反三。
5.在 中， .以AC為一邊，在 的外部作等腰直角三角形ACD，求線段BD的長.
題型6 利用勾股定理求解動點運動問題
【例6】如圖所示,等腰三角形ABC的底邊 BC為8cm, 腰長為5cm, 一動點 P在底邊 BC上從 B向C以0.25cm/s的速度運動. 請你探究：當點P運動多長時間時，點P與頂點A的連線PA 與腰垂直
舉一反三。
6. 一個正方體物體沿斜坡向下滑動，其截面如圖所示，正方形 DEFH的邊長為2m，坡角 當正方形DEFH運動到什么位置，即當AE的長為多少時，有
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題型7 特殊角與勾股定理
【例7】如圖, 在△ACD中, 中, AB=AC.
(1) 如圖①, 若 ,在△ACD外作等邊△ADD'.
求證： 求BD的長.
(2) 如圖②, 若∠ , 求BD的長.
舉一反三。
7.(1)如圖①, 中分別以AB，AC為邊向外作等腰 和等腰 連接BD, CE, 若 求BD的長.
(2) 如圖②, 四邊形ABCD中, 連接AC, ( 5,求AD的長.
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題型8 利用勾股定理探索規律
【例8】如圖①所示，在 的邊 AB 的同側，分別以三邊為直徑作三個半圓，大半圓以外的兩部分面積分別為 的面積為
如圖②所示, 梯形ABCD中, AD∥BC, E為CD的中點, 的面積分別為S ，
如圖③所示, 梯形 ABCD 中, , 以 AD, CD, BC 為邊的三個正方形的面積分別為
則滿足S +S =S 的有 .(填序號并說明理由)
舉一反三。
8.(1)如圖①所示，分別以直角三角形ABC 三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別為( 試說明 的關系；
(2)如圖②所示，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別為 則 有什么關系
(3) 如圖③所示，分別以直角三角形ABC 三邊為邊向外作三個等邊三角形，其面積分別為 請確定 的關系.
題型9 問題的證明
【例9】在 中， D為BC的中點， 連 DE, EF.
(1) 如圖①所示, 若E, F分別在AB, AC上, 求證:
(2)如圖②所示，若E，F分別在BA，AC的延長線上，則(1) 中的結論是否仍成立 請說明理由.
·舉一反三。
9. 在等腰直角. 中， P是線段BC上一動點(與點 B，C不重合)，連接AP，延長BC至點Q, 使得( 過點Q作 于點 H, 交AB于點M.
(1) 若 求 的大小 (用含α的式子表示).
(2) 用等式表示線段MB與PQ之間的數量關系，并證明.
題型 問題的證明
【例10】已知
(1) 如圖①所示, 若( 求證：
(2) 如圖②所示, 若( 求證：
舉一反三。
10. 如圖①所示, 在 中， ,D為AB的中點, M, N分別為AC, BC上的點，且.
(1) 求證:
(2)如圖②所示, 若M, N分別在AC, CB的延長線上, 探究 CM, CN, BD 之間的數量關系.
題型 問題的證明
【例11】如圖所示, 在四邊形ABDM中, 以AB為邊作等邊 BE平分 交CD于點E, 連接EM.
(1) 求 的度數.
(2) 試探究: 線段. 與ME之間的數量關系，并加以證明.
(3)若 求線段EC的長.
舉一反三。
11. 已知.
(1) 如圖①所示, 若 求證：
(2) 如圖②所示, 若( 探究AB, AD, AC 之間的數量關系.
題型12 與線段的平方關系有關的證明
【例12】如圖所示， 中, AD是邊BC上的中線, 點M在邊AB上, 點N在邊AC上, 并且 如果 求證：
舉一反三。
12. 如圖所示, 在 中， D為AB的中點, E, F分別在AC, BC上, 且 求證：
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