資源簡介

第4章 計數(shù)原理
4.4 二項式定理
教案
學習目標
1.掌握二項式定理及其二項展開式的通項公式.
2.能解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.
3.了解楊輝三角.
4.掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)，會用賦值法求項（二項式）的系數(shù)和.
教學重難點
1.教學重點：二項式定理及其二項展開式的通項公式.
2.教學難點：二項式系數(shù)的性質(zhì).
教學過程
情境引入
在初中我們學過多項式乘法，并且知道：如果a，b是任意實數(shù)，那么，，，
由四個因式相乘得到，即，且每個因式中有兩項：a，b. 展開后的每項由每個因式中任取一項（或）相乘得到，因而各項都是四次式，其所含字母的形式分別為，，，，.
再看展開式中各項的系數(shù)，也就是上面各項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù).
是由的四個因式中都只取a（即每個都不取b）相乘得到，有1種選法，所以的系數(shù)是；
是四個因式中任取一個因式內(nèi)的b與另三個因式內(nèi)的a相乘得到，有種選法，所以的系數(shù)是；
是四個因式中任取兩個因式內(nèi)的b與另兩個因式內(nèi)的a相乘得到，有種選法，所以的系數(shù)是；
是四個因式中任取三個因式內(nèi)的b與另一個因式內(nèi)的a相乘得到，有種選法，所以的系數(shù)是；
是四個因式中都只取b 相乘得到，有種選法，所以的系數(shù)是.
因此.
據(jù)此獲得啟發(fā)，設(shè)a，b是任意實數(shù)，對于正整數(shù)n，有以下猜想：.
下面，來推理證明上述猜想.
新知積累
由于是n個二項式相乘，根據(jù)多項式相乘的規(guī)律，展開式中的每項都是一個n次式，具有形式，其中.
下面計算形如的同類項個數(shù).
每個和其他因式相乘時，有選或選兩種選擇. 將看作紅球，將看作黑球. 考慮n個均放有一個紅球和一個黑球的盒子. 現(xiàn)從每個盒子中取一個球，有選紅球或選黑球兩種選擇，其結(jié)果可分為類：
第1類，取出的n個球中，有n個紅球，即0個黑球，共有種取法，所以展開式中一共有項 .
第2類，取出的n個球中，有個紅球，即1個黑球，共有種取法，所以展開式中共有項.
……
第類，取出的n個球中，有個紅球，即個黑球，共有種取法，所以展開式中共有項 .
……
第類，取出的n個球中，有0個紅球，即n個黑球，共有種取法，所以展開式中共有項.
1.二項式定理
由加法原理可得
上述公式稱為二項式定理. 右邊的多項式叫作的二項展開式，一共有項，其中各項的系數(shù)（其中）叫作二項式系數(shù)，式中的叫作二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：.
在二項式定理中，如果設(shè)，，則得到公式：.
2.楊輝三角
的展開式中二項式系數(shù)依次是，，，，，，當n依次取1，2，3，4，…時，把對應(yīng)的二項式系數(shù)按如下形式排列：
圖中的三角形數(shù)表稱為“二項式系數(shù)表”.
對于展開式的二項式系數(shù)，，，，，，可以將其看作函數(shù)，，進而可以用函數(shù)的觀點來研究它們.
例如，當時，畫的圖象，如圖所示.
通過觀察函數(shù)圖象，得到二項式系數(shù)的一些性質(zhì)特點：
3.二項式系數(shù)的性質(zhì)
（1）對稱性：二項式系數(shù)關(guān)于直線對稱，即. 在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即.
（2）單調(diào)性和最大值：二項式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大，且當n是偶數(shù)時，展開式的項數(shù)是奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值；當n是奇數(shù)時，展開式的項數(shù)是偶數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且同時取得最大值.
這是因為：，當，即時，有，即二項式系數(shù)是逐漸增大的；當，即時，有，即二項式系數(shù)是逐漸減小的.
（3）各二項式系數(shù)的和：由二項式定理得
，令，則.即的展開式中各二項式系數(shù)的和等于.
例題鞏固
例1 求的展開式.
解
.
例2 計算的展開式中第5項的系數(shù)和二項式系數(shù).
解 的展開式的第5項是，
所以展開式中第5項的系數(shù)是，第5項的二項式系數(shù)是.
例3 求 的展開式中的系數(shù).
解 原式可化為，
其中含的項為.
因此，的系數(shù)是42.
例4 當n為偶數(shù)時，求證：
.
證明 由二項式定理得，分別令和，，相應(yīng)得到
，①
. ②
①+②得，
即.
①-②得.
所以，當n為偶數(shù)時有.
例5 已知，計算.
解 在展開式中取，則.
再在展開式中取，得，
于是.
課堂練習
1.若的二項展開式中的系數(shù)是，則實數(shù)a的值是( )
A. B. C.1 D.2
答案：D
解析：的二項展開式的通項公式.令，得.由的系數(shù)是，得，解得.故選D.
2.（多選）在的展開式中，下列說法正確的有( )
A.所有項的二項式系數(shù)和為64
B.所有項的系數(shù)和為0
C.常數(shù)項為20
D.二項式系數(shù)最大的項為第3項
答案：AB
解析：所有項的二項式系數(shù)和為，故A正確；令，得所有項的系數(shù)和為，故B正確；常數(shù)項為，故C錯誤；展開式有7項，二項式系數(shù)最大的項為第4項，故D錯誤.選AB.
3.的展開式中的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）.
答案：-28
解析：展開式的通項，.令，得，令，得，所以的展開式中的系數(shù)為.
小結(jié)作業(yè)
小結(jié)：本節(jié)課學習了二項式定理、二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.
作業(yè)：完成本節(jié)課課后習題.
板書設(shè)計
4.4 二項式定理
1.二項式定理
2.楊輝三角
3.二項式系數(shù)的性質(zhì)

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