資源簡介

第4章 計數原理
4.3 組合
教案
學習目標
1.理解組合、組合數的概念及組合和排列之間的區別與聯系.
2.能利用計數原理推導組合數公式，并熟練掌握組合數公式及組合數的性質，能運用組合數的性質化簡、計算、證明.
3.能運用排列數公式、組合數公式和計數原理解決一些簡單的應用問題.
教學重難點
1.教學重點：組合、組合數的概念及應用.
2.教學難點：組合數的性質及應用.
教學過程
情境引入
教師提問：考察下面兩個問題，并思考這兩個問題與上節的問題1、2有什么聯系與區別？
教師提出問題1：平面上有5個不同的點A，B，C，D，E，以其中兩個點為端點的線段共有多少條？
學生思考回答：如圖，以A為端點，到其余四點的線段有4條：AB，AC，AD，AE.
A不是端點，以B為端點之一，到其余三點的線段有3條：BC，BD，BE；
A，B都不是端點，以C為端點之一，到其余兩點的線段有2條：CD，CE；
A，B，C都不是端點，以剩下兩點D，E為端點的線段只有1條：DE.
共有（條）不同的線段.
教師提出問題2：從a，b，c，d這4個字母中，取出3個組成一組，共有多少種不同的取法？
學生思考回答：從a，b，c，d這4個字母中，取出3個組成一組，所有取法為abc，abd，acd，bcd. 共有4種不同的取法.
教師總結：上述問題1、2與上節的排列問題比較而言，相同點都是從n個不同元素中取出個元素；不同點是本節的兩個問題與所選的元素的順序無關，而排列問題與順序有關.
新知積累
1.組合
一般地，從n個不同元素中取出個不同的元素，不論次序地構成一組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
根據組合的定義，兩個組合相同，當且僅當這兩個組合的元素完全相同.
2.組合數
從n個不同元素中取出個不同的元素，所有不同組合的個數叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示.
思考：從n個不同元素中取m個元素的組合數怎么計算呢？
3.組合數公式
一般地，求從n個不同元素中取個元素的排列數，可以分兩步完成：
第一步（選元素），先從這n個不同元素中取出m個元素，不考慮次序構成一個組合，共有個組合；
第二步（排位置），將每一個組合中的m個元素進行全排列，全排列數是.
根據分步乘法計數原理，得到. 由此得到組合數的計算公式：，其中，并且，這個公式叫作組合數公式.
因為，所以，上面的組合數公式還可以寫成.特別地，.
一般地，從n個不同元素中取m個元素的組合數與從n個不同元素中取個元素的組合數相等，即.
因為，，
所以成立.
例題鞏固
例1 計算和.
解 ，
.
例2 為助力建設宜居宜業和美鄉村，星辰中學從“十佳志愿者”的10人中任選5人代表學校參加“為美麗鄉村增光添彩”的志愿服務活動.問：
（1）共有多少種不同的選法？
（2）如果還要從選出的5人中再選定一人為組長，那么共有多少種不同的選法？
解 （1）由于從10人中任選5人，與順序無關，所以共有種選法.
（2）（方法一）從這10人中任選5人，并確定其中一人為組長，可以分為如下兩步完成：
第一步，先從10人中任選5人，共有種方法；
第二步，從選出的5人中再確定1人為組長，共有種方法.
根據分步乘法計數原理，共有種不同的選法.
（方法二）從這10人中任選5人，并確定其中一人為組長，可以分為如下兩步完成：
第一步，先從10人中選定1人為組長，共有種方法；
第二步，從余下的9人中再選4人，共有種方法.
根據分步乘法計數原理，共有種不同的選法.
例3 從4臺標清彩電和5臺高清彩電中選購3臺，要求至少有標清彩電與高清彩電各1臺，共有多少種不同的選法？
解 選法可分為兩類：
第一類，從4臺標清彩電中選1臺，從5臺高清彩電中選2臺，共有種不同的選法；
第二類，從4臺標清彩電中選2臺，從5臺高清彩電中選1臺，共有種不同的選法.
根據分類加法計數原理，共有種不同的選法.
例4 6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法：
（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）分為三份，每份2本.
解 （1）將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本，可以分為三步完成：
第一步，先從6本書中選2本給甲，有種選法；
第二步，從其余的4本書中選2本給乙，有種選法；
第三步，最后剩余的2本書給丙，有種選法.
根據分步乘法計數原理，共有種不同的分法.
分給甲、乙、丙三人，每人2本，這件事情可以分兩步完成：
第一步，將6本書分為三份，每份2本，設有x種方法；
第二步，將這三份分給甲、乙、丙三人，有種方法.
根據（1）的結論和分步乘法計數原理得到，所以.
因此分為三份，每份2本，一共有15種方法.
課堂練習
1.若，則正整數( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：C
解析：，，解得（舍去）或.故選C.
2.假期里，有4名同學去社區做文明實踐活動.根據需要，要安排這4名同學去甲、乙2個文明實踐站，每個實踐站至少去1名同學，則不同的安排方法共有( )
A.20種 B.14種 C.12種 D.10種
答案：B
解析：先將4名同學分為兩組，則兩組人數可能為1，3或2，2.當兩組人數為1，3時，有（種）方法，當兩組人數為2，2時，有（種）方法，所以將這4名同學分為兩組，共有（種）方法，再將這兩組同學分配到2個文明實踐站，有（種）方法，所以根據分步乘法計數原理，得共有（種）不同的安排方法.故選B.
3.某車間有11名工人，其中5名是鉗工，4名是車工，另外2名既能當車工又能當鉗工.現要在這11名工人里選派4名鉗工和4名車工修理一臺機床，則不同的選派方法有__________種.
答案：185
解析：設既能當車工又能當鉗工的2名工人為A，B.
A，B都不在內的選派方法有（種）；
A，B都在內且當鉗工的選派方法有（種）；
A，B都在內且當車工的選派方法有（種）；
A，B都在內，且一人當鉗工，另一人當車工的選派方法有（種）；
A，B有一人在內且當鉗工的選派方法有（種）；
A，B有一人在內且當車工的選派方法有（種）.
所以不同的選派方法共有（種）.
小結作業
小結：本節課學習了組合、組合數的概念及應用.
作業：完成本節課課后習題.
板書設計
4.3 組合
1.組合
2.組合數
3.組合數公式

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