資源簡(jiǎn)介

第4章 計(jì)數(shù)原理
4.2 排列
教案
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解排列、排列數(shù)的概念.
2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，并掌握排列數(shù)公式及其變形，能運(yùn)用排列數(shù)公式熟練地進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.
3.能熟練地運(yùn)用排列知識(shí)解決一些有關(guān)排列的實(shí)際問題.
教學(xué)重難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)：排列、排列數(shù)的概念.
2.教學(xué)難點(diǎn)：排列知識(shí)解決實(shí)際問題.
教學(xué)過程
情境引入
教師提出問題1：平面上有5個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D，E，以其中兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？
學(xué)生思考回答：要解決這個(gè)問題，可以分2個(gè)步驟完成.
第一步，確定有向線段的起點(diǎn)，在5個(gè)字母中任取1個(gè)，有5種方法；
第二步，確定有向線段的終點(diǎn)，從余下的4個(gè)字母中任取1個(gè)，有4種方法.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有（條）不同的有向線段，如圖所示.
由此可寫出所有的有向線段：；；；；.
教師提出問題2：從4名運(yùn)動(dòng)員中選出3名參加一項(xiàng)比賽，并排定他們的比賽順序，有多少種不同的方法？
學(xué)生思考回答：要解決這個(gè)問題，可以分3個(gè)步驟完成.
第一步，先選定第一名比賽隊(duì)員，在4名運(yùn)動(dòng)員中任取1名，有4種方法；
第二步，選定第二名比賽隊(duì)員，從余下的3名運(yùn)動(dòng)員中任取1名，有3種方法；
第三步，選定第三名比賽隊(duì)員，從余下的2名運(yùn)動(dòng)員中任取1名，有2種方法.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有（種）不同的排序方法.
若記這4名運(yùn)動(dòng)員分別為a，b，c，d，則24種不同的方法如圖所示.
由此可寫出所有的排序方式：abc，abd，acb，acd，adb，adc；bac，bad，bca，bcd，bda，bdc；cab，cad，cba，cbd，cda，cdb；dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
思考：?jiǎn)栴}1與問題2的共同特點(diǎn)是什么？能將其推廣到一般情形嗎？
事實(shí)上，問題1可以歸結(jié)為從5個(gè)不同的元素中任取2個(gè)不同的元素，然后按一定的順序排成一列. 同樣地，問題2可以歸結(jié)為從4個(gè)不同的元素中任取3個(gè)不同的元素，然后按一定的順序排成一列.
新知積累
1.排列
一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同的元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.
根據(jù)排列的定義，一個(gè)排列包含兩個(gè)方面的意義：一是“取出元素”，二是“按照一定順序排成一列”. 因此，兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列的元素及其排列順序完全相同.
2.排列數(shù)
從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同的元素，所有不同排列的個(gè)數(shù)叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.
一般的從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)的計(jì)算：
假定有排好順序的m個(gè)空位（如圖），從n個(gè)不同元素中任意取m個(gè)去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列. 因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù).
填空可分為m步：
第1步，填第1個(gè)位置，可以從n個(gè)元素中任取一個(gè)填上，有n種填法；
第2步，填第2個(gè)位置，可以從余下的個(gè)元素中任取一個(gè)填上，有種填法；
……
第m步，填第m個(gè)位置，可以從余下的個(gè)元素中任取一個(gè)填上，有種填法.
3.排列數(shù)公式
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，全部填滿m個(gè)空位共有種填法. 得到公式，其中，并且，這個(gè)公式叫作排列數(shù)公式.
特別地，從n個(gè)不同元素中取認(rèn)n個(gè)不同的元素（即全部取出）排成一列，叫作n個(gè)元素的一個(gè)全排列，此時(shí)，將右端簡(jiǎn)記為，叫作n的階乘，表示正整數(shù)1到n的連乘積. 特別地，規(guī)定.
根據(jù)上面階乘的定義得
.
這樣，排列數(shù)公式還可以寫成.
例題鞏固
例1 計(jì)算：（1）； （2）.
解 （1）；
（2）.
例2 春節(jié)期間，某班20名同學(xué)互發(fā)一條問候短信，那么他們發(fā)出的短信總數(shù)有多少條？
解 發(fā)出的短信總數(shù)為：（條）.
例3 （1）有5個(gè)不同的科研小課題，從中選3個(gè)安排高二年級(jí)的3個(gè)課外興趣小組參加，每組一個(gè)課題，共有多少種不同的安排方法？
（2）有5個(gè)不同的科研小課題，高二年級(jí)的3個(gè)課外興趣小組報(bào)名參加，每組限報(bào)一個(gè)，共有多少種不同的報(bào)名方法？
解 （1）從5個(gè)不同的課題中選出3個(gè)，安排課外興趣小組來參加，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列.
因此，共有種不同的安排方法.
（2）每個(gè)小組都可從5個(gè)不同的課題中選報(bào)一個(gè)，因此第一小組有5個(gè)不同的課題可以選擇，第二小組也有5個(gè)不同的課題可以選擇，第三小組仍然有5個(gè)不同的課題可以選擇.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有種不同的報(bào)名方法.
例4 由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個(gè)？
解 要組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，可以分成以下步驟來完成：
第一步，排個(gè)位數(shù)，因?yàn)橐笫桥紨?shù)，所以只能排2或4，排法有種；
第二步，排萬位數(shù)，小于50000的五位數(shù)，萬位數(shù)只能是1，3或排個(gè)位數(shù)時(shí)余下的2，4中的一個(gè)，排法有種；
在首末兩位排定后，第三步排中間3個(gè)數(shù)字時(shí)，排法有種.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求偶數(shù)共有（個(gè)）.
例5 用1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無重復(fù)數(shù)字？
（1）個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；
（2）不大于4310的四位偶數(shù).
解 （1）（方法一）十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類.
第一類，當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，有個(gè)；
第二類，當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，有個(gè).
故符合題意的六位數(shù)共有（個(gè)）.
（方法二）將數(shù)字0，1，2，3，4，5進(jìn)行排列，共得個(gè)六位數(shù)，其中5在個(gè)位的六位數(shù)有個(gè).
故符合題意的六位數(shù)共有（個(gè)）.
（2）分三種情況，具體如下：
①當(dāng)千位上排1或3時(shí)，共有個(gè).
②當(dāng)千位上排2時(shí)，有個(gè).
③當(dāng)千位上排4時(shí)，形如“”，“”的各有個(gè)；
形如“”的有個(gè)；
形如“”的只有4310和4302這兩個(gè)數(shù).
故符合題意的四位偶數(shù)共有（個(gè)）.
課堂練習(xí)
1.2名輔導(dǎo)教師與3名獲獎(jiǎng)學(xué)生站成一排照相，要求2名教師分別站在兩側(cè)，則不同的站法共有( )
A.種 B.種 C.種 D.種
答案：B
解析：因?yàn)?名教師排在兩側(cè)有（種）排法，3名學(xué)生排在中間有種排法，所以共有種排法.故選B.
2.（多選）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是( )
A.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種
C.甲、乙不相鄰的排法有72種
D.甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有6種
答案：ABC
解析：甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，可將甲、乙捆綁看成一個(gè)元素，則不同的排法有（種），故A正確.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（種），故B正確.甲、乙不相鄰的排法有（種），故C正確.甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有（種），故D不正確.選ABC.
3.計(jì)算：___________.
答案：
解析：方法一：.
方法二：.
4.某個(gè)密室逃脫游戲的一個(gè)環(huán)節(jié)是需要打開一個(gè)密碼箱，已知該密碼箱的密碼由四個(gè)數(shù)字組成（每個(gè)數(shù)字都可以是0~9這十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)），且從之前的游戲環(huán)節(jié)得知，該密碼的四個(gè)數(shù)字互不相同，且前兩個(gè)數(shù)字均大于6，最后兩個(gè)數(shù)字均小于5，則該密碼可能的情況數(shù)為__________.
答案：120
解析：由題意知，前兩個(gè)數(shù)字可以從7，8，9中任取2個(gè)排列，有種排列方法，后兩個(gè)數(shù)字可以從0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)排列，有種排列方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，該密碼可能的情況數(shù)為.
小結(jié)作業(yè)
小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了排列、排列數(shù)的概念及其應(yīng)用.
作業(yè)：完成本節(jié)課課后習(xí)題.
板書設(shè)計(jì)
4.2 排列
1.排列
2.排列數(shù)
3.排列數(shù)公式

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