資源簡介

第4章 計數原理
4.1 兩個計數原理
教案
學習目標
1.通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理.
2.了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義.
3.能根據具體問題的特征，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題.
教學重難點
1.教學重點：兩個計數原理及其意義.
2.教學難點：兩個計數原理的區分.
教學過程
新課導入
教師提出問題1：從甲地到乙地，可乘汽車或火車兩種交通工具，如果一天內有4趟汽車開往乙地，有3列火車開往乙地，那么一天內從甲地到乙地有多少種不同的乘車選擇？
學生思考回答：從甲地到乙地，有汽車和火車兩種交通工具，乘汽車有4種選擇，乘火車有3種選擇，所以一共有種不同的乘車選擇.
教師提出問題2：某書架共有三層，第一層放有3本不同的數學書，第二層放有2本不同的語文書，第三層放有2本不同的英語書. 從該書架上任取1本書，有多少利不同的取法？
學生思考回答：從該書架上任取1本書，結果可能是數學書、語文書或英語書. 取到數學書、語文書或英語書分別有3種、2種或2種不同的取法，所以一共有種不同的取法.
學生討論總結：根據以上兩個問題從中歸納出一般的規律.
新知積累
1.分類加法計數原理
如果完成一件事有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，…，在第n類辦法中有種不同的方法，每種方法都能獨立完成這件事，那么完成這件事共有種不同的方法.
我們把分類加法計數原理簡稱為分類計數原理，或加法原理.
用分類加法計數原理解決計數問題時，首先要根據問題的特點確定一個適當的分類標準，然后根據這個分類標準進行分類. 分類時還要注意兩條基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須分入相應的類；二是不同類的方法必須是互不相同的. 只有滿足這兩條基本原則才可以使計數不重不漏.
教師提出問題3：從甲地到乙地，需從甲地乘汽車到丙地，再于次日從丙地乘火車到乙地，如果一天內有4趟汽車從甲地開往丙地，有3列火車從丙地開往乙地，那么兩天內從甲地到達乙地有多少種不同的乘車選擇？
學生思考回答：假定從甲地到丙地的4趟汽車分別為a，b，c，d，從丙地到乙地的三列火車分別為1，2，3，則從甲地到乙地的不同乘車選擇為：共有（種）不同的乘車選擇.
教師提出問題4：某書架有三層，第一層放有3本不同的數學書，第二層放有2本不同的語文書，第三層放有2本不同的英語書. 從書架的第一、二、三層各取1本書，共有多少種不同的取法？
學生思考回答：記3本不同的數學書分別為，，，2本不同的語文書分別為，，2本不同的英語書分別為，，則從書架的第一、二、三層各取1本書的所有可能結果為：；；. 共有（種）不同的取法，如圖.
學生討論總結：根據以上兩個問題從中歸納出一般的規律.
2.分步乘法計數原理
如果完成一件事需要分成n個步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，…，第n步有種不同的方法，每個步驟都完成才算做完這件事，那么完成這件事共有種不同的方法.
我們把分步乘法計數原理簡稱為分步計數原理，或乘法原理.
在使用分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決問題時，一定要分清完成這件事是有n類辦法還是有n個步驟. 分類要做到“不重不漏”. 分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數. 分步要做到“步驟完整”——依次完成所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立. 分步后再計算每一步的方法數，最后根據分步乘法計數原理求積，得到總數.
例題鞏固
例1 某市的有線電視可以接收中央臺12個頻道、本地臺10個頻道和其他省市46個頻道的節目.
（1）當這些頻道播放的節目互不相同時，一臺電視機共可以選看多少個不同的節目？
（2）如果有3個頻道正在轉播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節目，一臺電視機共可以選看多少個不同的節目？
解 （1）當所有頻道播放的節目互不相同時，一臺電視機選看的節目可分為3類：
第一類，選看中央臺頻道的節目，有12個不同的節目；
第二類，選看本地臺頻道的節目，有10個不同的節目；
第三類，選看其他省市頻道的節目，有46個不同的節目。
根據分類加法計數原理，一臺電視機共可以選看個不同的節目.
（2）因為有3個頻道正在轉播同一場球賽，即這3個頻道轉播的節目只有1個，而其余頻道（共有（）個）正在播放互不相同的節目，所以，一臺電視機共可以選看個不同的節目.
例2 通信公司在某一段時間內向市場投放一批手機號碼，這一批號碼（共11位數字）的前七位是統一的，后四位都是0~9之間的一個數字，那么這一號段共有多少個不同的號碼？
解 后四位中的每一位都可以從0~9，這10個數字中任選一個，都有10種選法. 根據分步乘法計數原理，可依次確定手機號碼的第八、九、十、十一位，那么這一號段共有個不同的號碼.
例3 某校在藝術節期間需要舉辦一場晚會，現要從3名教師、4名男同學和5名女同學當中選出若干人來主持這場晚會（任一人都可主持）.
（1）如果只需一人主持，共有多少種不同的選法？
（2）如果需要教師、男同學和女同學各一人共同主持，共有多少種不同的選法？
解 （1）從3名教師、4名男同學和5名女同學當中選一主持晚會，選法可分為3類：
第一類，選一名教師主持，有3種選法；
第二類，選一名男同學主持，有4種選法；
第三類，選一名女同學主持，有5種選法.
根據分類加法計數原理，共有種不同的選法.
（2）從3名教師、4名男同學和5名女同學當中各選出一人共同主持晚會，可分3步：
第一步，選出一名教師，有3種選法；
第二步，選出一名男同學，有4種選法；
第三步，選出一名女同學，有5種選法.
以上3個步驟依次完成后，事情才算完成.
根據分步乘法計數原理，共有種不同的選法.
課堂練習
1.把標號為1，2，3，4的四個小球分別放入標號為1，2，3，4的四個盒子中，每個盒子只放一個小球，則1號球和2號球都不放入1號盒子的方法共有( )
A.18種 B.12種 C.9種 D.6種
答案：B
解析：由于1號盒子不能放1號和2號球，則1號盒子有3號球、4號球兩種放法，剩下3個盒子各放一個球，有（種）放法.因此，共有（種）放法.故選B.
2.甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有( )
A.4種 B.6種 C.10種 D.16種
答案：B
解析：分2類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種方法（如圖）.同理，甲先踢給丙時，滿足條件的也有3種方法.由分類加法計數原理可知，共有（種）傳遞方式.故選B.
3.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種.現有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學喜歡牛、馬和猴，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學所有的吉祥物都喜歡.現讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法共有( )
A.50種 B.60種 C.80種 D.90種
答案：C
解析：按甲的不同選擇分成兩種情況討論：若甲選擇牛，此時乙的選擇有2種，丙的選擇有10種，共有（種）不同的選法；
若甲選擇馬或猴，此時甲的選擇有2種，乙的選擇有3種，丙的選擇有10種，共有（種）不同的選法.
綜上可知，一共有（種）不同的選法.故選C.
4.現有3名高一學生和5名高二學生，從中選擇一人作為國旗下講話的主持人，則不同的選法種數是__________；若要從高一年級的3名學生和高二年級的5名學生中各選擇一人作為國旗下講話的主持人，則不同的選法種數是__________.
答案：8；15
解析：根據題意，從中選擇一人作為國旗下講話的主持人，若從高一學生中選，則有3種選法；若從高二學生中選，則有5種選法.由分類加法計數原理知，共有（種）不同的選法.若要從高一年級的3名學生和高二年級的5名學生中各選擇一人作為國旗下講話的主持人，從高一學生中選出一人，有3種選法，從高二學生中選出一人，有5種選法，則有（種）不同的選法.
小結作業
小結：本節課學習了分類加法計數原理與分步乘法計數原理.
作業：完成本節課課后習題.
板書設計
4.1 兩個計數原理
1.分類加法計數原理.
2.分步乘法計數原理.

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