資源簡介

3.4 函數的應用
【學習目標】
（1）能建立函數模型，利用已知函數模型解決實際問題（數學建模、數學運算）
（2）了解擬合函數模型并解決實際問題（數據分析）
【重點難點】
建立數學模型，解決實際問題
【導問引領，新知生成】：
問題：現實世界里有很多問題可以用一次函數、二次函數、冪函數等來解決。通常包括兩個方面：
（1）利用已知的函數模型解決問題；
（2）建立恰當的函數模型解釋有關現象，對某些發展趨勢進行預測。
新知：不同的函數模型能刻畫不同的變化規律：
（1）線性函數增長適合于描述增長速度不變的變化規律；
（2）冪函數增長模型適合于描述速度一般的變化規律。
故需抓住變化信息準確的建立函數模型來解決實際問題。
【實例研究，提升技能】：
實例1、一家庭（父親、母親、孩子們）去某地旅游，甲旅行社說：“如果父親買全票一張，其他人可享受半票優惠。”乙旅行社說：“家庭旅游為集體票，按原價的優惠。”這兩家旅行社的原價是一樣的，試就家庭孩子數分別建立表達式，計算兩家旅行社的收費，并討論哪家旅行社更優惠？
導問1.依題意收費都跟什么數量有關？所以如何設未知數？
導問2.旅行社的原價不知道如何解決？
導問3.各旅行社收費與家庭人數的關系如何？如何體現取那個旅行社更優惠？
【及時總結】：解決這些常見函數模型的實際應用題時，要“求什么，設什么，列什么”，解決最值問題常常轉化成不等式，解答時要注意變量的取值范圍，然后結合圖像或單調性解決。
實例2、經市場調查。某商品在過去的100天內的銷售量（單位：百件）和價格（單位：元）均為時間t（單位：天）的函數，且銷售量近似地滿足
價格為
（1）求該種商品的日銷售額與時間t的函數關系；
（2）求t為何值時，日銷售額最大。
總結：利用二次函數求最值的方法及注意點：
（1）方法：根據實際問題建立函數模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題；
（2）注意：取最值時的自變量與實際意義是否相符。
實例3.某公司研發A、B兩種芯片耗費資金2千元，現在準備投入資金進行生產。經市場調查與預測，生產A芯片的毛收入y（千萬元）與投入的資金x （千萬元），已知每投入1千萬元，公司可獲得0.25千萬元的毛收入；生產B芯片的毛收入y（千萬元）與投入的資金x （千萬元）的函數關系為，其圖像如圖所示：
（1）試分別求出生產A，B兩種芯片的毛收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數關系式。
（2）如果公司只生產一種芯片，那么生產那種芯片毛收入更大？
（3）現在公司準備投入4億元資金同時生產A、B兩種芯片，設投入m千萬元生產B芯片，用表示公司所獲凈利潤。當m為多少時，可以獲得最大凈利潤？求出最大凈利潤（凈利潤=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研發耗費資金）
總結：冪函數的應用求解策略：
（1）給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，明確函數關系式。
（2）根據題意，直接列出相應的函數關系式。
【鞏固訓練，檢測成果】：
1.某廠日產手套總成本y（元）與手套日產量x（副）的函數解析式為y=5x+4000,而手套出廠價格為每副10元，則該廠為了不虧本，至少日產手套（ ）
A 200副 B 400副 C 600副 D 800副
2.某工廠生產某種產品固定成本為2000萬元，并且每生產1單位產品，成本增加10萬元，又知總收入K（萬元）是單位產品數Q的函數，且,則總利潤的最大值是 萬元。
3.一輛汽車在某段路程中的行駛速度 v與時間t的關系圖象如圖所示，則當 t=2時，汽車已行駛的路程為( ).
A.100km B.125 km C.150 km D.225 km
4.小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是( ).

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