資源簡介

§3.2.3函數的對稱性、周期性、凸凹性
¤學習目標
1. 了解函數對稱性、周期性與凸凹性的含義.
2. 了解函數奇偶性、單調性和對稱性、凸凹性、周期性之間的聯系.
3. 利用函數性質能解決相關的簡單問題．
¤知識要點
一、函數的對稱性：對于函數f(x)，使得定義域內任意x，都有
(1) f(a＋x)＝f(a－x)成立，則函數y＝f(x)的圖象關于 對稱．
(2) f(a＋x)＝f(b－x)成立，則函數y＝f(x)的圖象關于 對稱．
(3) f(a＋x)＝－f(a－x)成立，則函數y＝f(x)的圖象關于 對稱．
(4) f(a＋x)＝－f(b－x)成立，則函數y＝f(x)的圖象關于 對稱．
(5) f(a＋x)+f(b－x) ＝ c成立，則函數y＝f(x)的圖象關于 對稱．
二、函數的周期性：
1. 函數f(x) 的周期是T ，都有 （T是非零常數）
2. 函數f(x)的最小正周期：f(x)的所有周期中的最小正數．
3. 求函數周期的方法：
①定義法：，f(x＋T)＝f(x) 函數f(x) 的周期是T（T是非零常數）
②公式法：函數y＝Asin(ωx＋)+B(ω≠0)的最小正周期：T＝；
函數y＝Acos(ωx＋)+B (ω≠0)的最小正周期：T＝；
函數y＝Atan(ωx＋)+B (ω≠0)的最小正周期：T＝．
③圖象法：
④周期常用的結論：對f(x)定義域內任一自變量的值x
(i)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝ ； (ii)若f(x＋a)＝f(x－a)，則T＝ ；
(iii)若f(x＋a)＝，則T＝ ； (iv)若f(x＋a)＝－ ，則T＝ .
⑤雙對稱的周期：
(i)兩條對稱軸：
若函數f(x)的圖象關于x=a，x=b對稱，則f(x)的最小正周期是 .
(ii)兩個對稱中心：
若函數f(x)的圖象關于（a，0），（b，0）對稱，則f(x)的最小正周期是 .
(iii) 一條對稱軸+一個對稱中心：
若函數f(x)的圖象關于x=a，（b，0）對稱，則f(x)的最小正周期是 .
三、函數的凸凹性：設函數y＝f(x) 在區間D上連續，，
(1)函數f(x)的圖形是凹的 (2)函數f(x)的圖形是凸的
¤典型例題
【例1】若函數f(x)＝x2－mx＋3，滿足f(1＋x) = f(1－x)，求實數m的值.
【變1】若函數f(x)＝|x＋m|，滿足f(1＋x) = f(3－x)，求實數m的值.
【變2】若函數f(x)＝，滿足f(1＋x) =－ f(1－x)，求實數m的值.
【變3】若函數f(x)＝，滿足f(m＋x)＋ f(1－x) = n，求m＋n的值.
【例2】定義在R上函數f(x)，當x∈（0，2] 時，函數f(x)＝(x－1)2
(1) 若函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，求f(2025)的值.
(2) 若奇函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，求f(2024)+f(－2025)的值.
(3) 若偶函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱，且方程f(x)＝ax有三個不相等的實數根，
求實數a的取值范圍.
(4) 若奇函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱，當x∈（2026，2028] 時，
判斷與的大小關系.

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