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函數(shù)的奇偶性
奇偶性定義：
1．偶函數(shù)
一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)。
2．奇函數(shù)
一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)。
函數(shù)奇偶性的判斷：
（1）圖象法；
（2）定義法.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟是：
①先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
②再判斷或是否恒成立；
③作出相應(yīng)結(jié)論
若；
若
點(diǎn)撥：常用結(jié)論：
(1)兩個(gè)偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).
(2)兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).
(3)一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為非奇非偶函數(shù).
(4)兩個(gè)偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(5)兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(6)一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).
函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：
1.求函數(shù)值.
例1 已知,且，求.
2.求解析式.
例2 已知是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,求
時(shí),的解析式.
注：此類題型的解題步驟如下：
①在哪個(gè)區(qū)間求解析式，就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間里;
②利用的奇偶性把或；
③將中的代入已知解析式中，從而解出.
3.解抽象函數(shù)不等式
例3 設(shè)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）上遞增，且有，求的取值范圍.
4.函數(shù)的綜合問(wèn)題
例4 已知是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)，且，若[-1,1],時(shí)，有成立.
(1)判斷在[-1,1]上的單調(diào)性，并證明；
(2)解不等式：；
(3)若對(duì)所有的[-1,1]恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
變式訓(xùn)練：
1、已知是R上的奇函數(shù)，且時(shí)，，求的解析式；
2、已知奇函數(shù)有最大值7，試問(wèn)它有無(wú)最小值？若有，求出最小值；
3、已知函數(shù)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)椋?1,1），且在[0,1）上為增函數(shù)，若，試求的取值范圍.
4、已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)。
（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性;（3）若對(duì)任意的，
不等式恒成立，求的取值
5.抽象函數(shù)的奇偶特性
例5 已知函數(shù)f（x）滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，試證f（x）是偶函數(shù)．
變式訓(xùn)練：
設(shè)函數(shù)y＝f（x）（xR且x≠0）對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x1、x2滿足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），
求證f（x）是偶函數(shù)．
決戰(zhàn)巔峰：
1、已知下列四個(gè)命題：①若為減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若為增函數(shù)，則函數(shù)在其定義域內(nèi)為減函數(shù)；③若均為上的增函數(shù)，則也是區(qū)間上的增函數(shù)；④若在上分別是增函數(shù)與減函數(shù)，且，則也是區(qū)間上的增函數(shù)；其中正確的命題是 ．
2、函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
（1）求實(shí)數(shù)，并確定函數(shù)的解析式；
（2）用定義證明在上是增函數(shù)；
（3）寫出的單調(diào)減區(qū)間，并判斷有無(wú)最大值或最小值？如有，寫出
3、已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有且當(dāng)x＞0，
判斷的奇偶性；
（2）求在區(qū)間[－3,3]上的最大值；
（3）解關(guān)于的不等式
家庭作業(yè)：
1．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值是（ ）
A. B. C. D.
2.函數(shù)是 ( )
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)
3、設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則( )
(A) 2； (B) 1； (C) ； (D) ．
設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則 的值是（ ）
A. B. C. D.
若函數(shù)是奇函數(shù)，則為__________。
6. 已知在R上是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；則當(dāng)時(shí)，
的解析式為 .

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