資源簡介

(共32張PPT)
人教版八年級下冊
課前調查單
求作：
∠A1B1C1 ，使∠A1B1C1
＝ ∠ABC.
1.已知：∠ABC，
A
B
C
3.作線段MN的垂直
平分線.
2.過點E作直線 l 的平行線.
l
E
M
N
提示：點擊視頻全屏播放
一、動手操作，運用舊知
根據條件畫一個平行四邊形:一組鄰邊分別為a和b，且鄰邊夾角為∠1. 有哪些畫法，依據分別是什么？
1
a
b
畫法1
畫法2
畫法3
提示：點擊畫法跳轉到對應頁面
拿出【學習單】
按要求作圖，步驟如下：
1. 作∠ABC＝∠1;
2. 在∠ABC的兩邊分別截取線段
AB＝b，BC＝a;
3. 過點A作BC的平行線，并在平
行線上截取點D，使得AD＝a;
4. 連接CD.
1
a
b
拿出【學習單】
二、探究新知，證明猜想
提示：點擊畫面播放視頻
作圖中，四邊形ABCD構造了哪些條件？
活動二中的四邊形是平行四邊形嗎？
剪下活動二的四邊形和活動一的平行四邊形，把他們進行比較，你有什么發現？
關于平行四邊形的判定，你又可以提出什么猜想？
請試著證明一下你的猜想。
A
B
C
D
AD∥BC，AD＝BC
如圖，在四邊形ABCD中，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
AD∥BC，AD＝BC.
A
B
C
D
證明：連接AC.
∴△ACB≌△CAD.
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB.
∴四邊形ABCD的兩組對邊分別相等，它是平行四邊形.
AD＝BC，
∠DAC＝∠ACB，
AC=CA，
在△ACB和△DAC中,
∴AB＝CD.
又∵AD＝BC.
還有其他證明方法嗎？
一組對邊平行且相等的
四邊形是平行四邊形；
于是，我們又得到平行四邊形的一個判定定理：
∵AB=CD，AB∥CD
符號語言
文字語言
∴四邊形ABCD是平行四邊形
三、歸納提煉，方法小結
為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行的夾在鐵軌之間的枕木長相等就可以了.你能說出其中的道理嗎？
【教材P47練習 第3題】
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形.
如圖，在□ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，
求證：四邊形EBFD是平行四邊形.
A
B
D
C
E
F
例
∴ AB＝CD， EB∥FD.
∴EB＝FD.
∴四邊形EBFD是平行四邊形.
又EB＝ AB，FD＝ CD，
現在你有多少種判定一個四邊形是平行四邊形的方法？
四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件:
①AD∥BC；②AD＝BC；
③OA＝OC；④OB＝OD.
從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（ ）
A.3種 B.4種 C.5種 D.6種
D
C
A
B
O
①+②，
①+③
①+④，
③+④
B
圖示 元素 文字語言 符號語言（書寫格式）
邊
角
對角線
平行四邊形的判定方法
已知四邊形ABCD，對角線AC、BD相交于點O.
D
C
A
B
O
∵OA=OC，OB=OD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
∵AB=CD，AD=BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
∵AB∥CD，AD∥BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
∵AB=CD，AB∥CD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
1.如圖，在四邊形ABCD中， AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，
① AB∥CD ；②AB＝CD；③AD＝BC；
④∠ADB＝∠CDB ；⑤∠BAC＝∠DCA ；⑥∠DAB＝∠DCB ；
要判定四邊形ABCD是平行四邊形，
則添加的條件可以是（ ）
A. ① ② ③ ⑤ B. ① ③ ⑤ ⑥
C. ① ② ⑤ ⑥ D. ① ② ④ ⑥
A
D
B
C
O
B
【考點】平行四邊形的判定方法. 難度系數：☆☆☆
四、鞏固新知，靈活運用
2.如圖，E是□ABCD邊AD延長線上一點，連接BE，CE，BD，BE交CD于點F，添加以下條件，不能判定四邊形 BCED為平行四邊形的是（ ）.
A.∠ABD＝∠DCE
C.∠AEB＝∠BCD
D.∠AEC＝∠CBD
B. DF＝CF
【考點】平行四邊形的判定方法. 難度系數：☆☆☆
A
B
D
C
E
F
C
3.如圖，在□ABCD中，BD是它的一條對角線，過A，C兩點
分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F為垂足.求證：四邊形AFCE
是平行四邊形.
證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
【教材P47 練習 第4題】
A
B
D
C
E
F
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°.
∴△AED≌△CFB，
∴AE＝CF.
又∵ ∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴ AE∥CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形.
【考點】平行四邊形的性質和判定的綜合應用.
4.如圖，在□ABCD中，點E、F分別在BC，AD上，且AF＝CE.
求證：四邊形AECF是平行四邊形.
【教材P50 習題18.1 第4題】
A
D
B
C
F
E
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，即AF∥CE.
又∵AF＝CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形.
【考點】平行四邊形的性質和判定綜合應用. 難度系數：☆
5.如圖，四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
【教材P50 習題18.1 第6題】
A
D
B
C
E
F
證明：∵四邊形AEFD和EBFC都是平行四邊形，
∴EF∥AD，EF＝AD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴EF∥BC，EF＝BC，
【考點】平行四邊形的判定方法. 難度系數：☆☆☆
3.如圖，B，E，C，F在一條直線上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，連接AD．求證：四邊形ABED是平行四邊形．
A
D
B
E
C
F
由平行易知：∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB
【思路】
易得：BC＝EF，可證△ABC≌△DEF
得AB＝DE，又AB∥DE，得證ABED是□
顯示規范解答
【題型】平行四邊形的判定方法的運用. 難度：☆☆
4.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E，F是對角線BD上兩點，且BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別是E，F.
(1)求證：△ABE≌△CDF；
(2)若AC與BD交于點O，求證：OA＝OC.
A
D
B
C
O
E
F
【思路】
由△ABE≌△CDF，可知∠ABD＝∠BDC
易得：AB∥CD，四邊形ABCD是□
直角三角形全等判定定理（HL）
得證：OA＝OC
顯示規范解答
【題型】平行四邊形的判定方法的運用. 難度：☆☆☆
5.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且BO＝DO，AD∥BC. (1)求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
D
C
A
B
O
【思路】
易得：∠ADB＝∠DBC，
∠AOD＝∠COB
可證：△AOD≌△COB(ASA)
得AD＝CB，得證ABCD是□
顯示規范解答
【題型】平行四邊形的判定方法的運用. 難度：☆☆☆
(2)若AD＝12，OD＝5，AC＝26.
①求∠ADB的度數； ②S四邊形ABCD＝_______.
D
C
A
B
O
13
12
5
【思路】
① 由勾股定理得，∠ADB＝90°
② BD⊥AD，BD＝10，S□＝底×高
顯示規范解答
判定方法的選擇
元素 已知條件 證明思路 本質
邊 一組對邊相等
一組對邊平行
角 角
對角線 對角線相交
另一組對邊相等
兩組對邊分別相等
另一組對邊平行
對角線相互平分
兩組對角分別相等
兩組對邊分別平行
對角線相互平分
兩組對角分別相等
該組對邊平行
一組對邊平行且相等
該組對邊相等
一組對邊平行且相等
五、歸納提煉，反思總結
通過本節的學習，我們一共有幾種判定平行四邊形的方法？
在具體證明中，這些方法如何選?。?br/>六、梳理脈絡，課堂小結
依據：_________________的四邊形是平行四邊形.
兩組對邊分別平行
提示：點擊畫面播放視頻
依據：_________________的四邊形是平行四邊形.
兩組對邊分別相等
提示：點擊畫面播放視頻
依據：_________________的四邊形是平行四邊形.
對角線互相平分
提示：點擊畫面播放視頻
如圖，B，E，C，F在一條直線上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，連接AD．求證：四邊形ABED是平
行四邊形．
1.
證明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BE＋CE＝CF＋CE，
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
∠B＝∠DEF
BC＝EF
∠ACB＝∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
又∵AB∥DE，
∴四邊形ABED是平行四邊形．
退出規范解答
A
D
B
E
C
F
如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E，F是對角線BD上兩點，且BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別是E，F.
(1)求證：△ABE≌△CDF；
(2)若AC與BD交于點O，求證：OA＝OC.
2.
（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)；
A
D
B
C
O
E
F
(2)∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO.
退出規范解答
如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且BO＝DO，AD∥BC.
(1)求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
3.
D
C
A
B
O
解：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
∠ADO＝∠CBO
OD＝OB
∠AOD＝∠COB
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
退出規范解答
如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且BO＝DO，AD∥BC.
(2)若AD＝12，OD＝5，AC＝26.
①求∠ADB的度數；
②S四邊形ABCD＝_______.
3.
解：
①∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC＝26，
∴OA＝OC＝13，
∵AD＝12，OD＝5，
∴AD2＋OD2＝OA2，
∴△AOD是直角三角形，
∴∠ADO＝90°，即∠ADB＝90°；
②由①可知，∠ADB＝90°，∴BD⊥AD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BD＝2OD＝10，
∴S四邊形ABCD＝AD·BD＝12×10＝120.
D
C
A
B
O
13
12
5
退出規范解答(共39張PPT)
人教版八年級下冊
教師提問，引出課題
平行四邊形的定義。
2
3
4
（提示：點擊傳送門分別打開平行四邊形的創造方法）
你還記得等腰三角形的性質定理與判定定理嗎？它們的條件與
結論有什么關系？
性質定理
互逆命題
等腰三角形兩底角相等；
判定定理
有兩個角相等的三角形是等腰三角形；
直角三角形的兩直角邊長度的平方之和等于斜邊長的平方;
若三角形中兩邊長的平方和等于第三邊邊長的平方，則它是直角三角形。
具有這種結構特點的性質與判定還有嗎？
經驗類比，形成思路
問題
由平行四邊形，我們能否也可以通過研究性質的逆命題，猜想
一下判定平行四邊形的方法呢？
平行四邊形的性質 平行四邊形的判定
平行四邊形的對邊相等 猜想1：
平行四邊形的對角相等 猜想2：
平行四邊形的對角線互相平分 猜想3：
你能證明這些猜想嗎？
逆向思考，提出猜想
問題
D
C
A
B
已知：四邊形ABCD中, AB=CD，AD=BC，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
∵AB=CD，AD=BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形
符號語言（書寫格式）
猜想1：
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
文字語言
平行四邊形的判定
顯示規范解答
【提示】依據定義。
演繹推理，形成定理
1. 如圖，在下列各題中，再添上一個條件使結論成立，并說明理由：
（1）∵AB∥CD，__________，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
（2）∵AB=CD ，__________，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
D
C
A
B
AD∥BC
AD＝BC
【考點】（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義).
（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
跟蹤訓練
D
C
A
B
已知：四邊形ABCD中, ∠A=∠C，∠B=∠D，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四邊形ABCD是平行四邊形
符號語言（書寫格式）
猜想2：
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
文字語言
平行四邊形的判定
顯示規范解答
【提示】依據定義。
2. 在四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比如下，其中能判斷四邊形是平
行四邊形的是（ ）.
A.1∶2∶3∶4 B.2∶3∶4∶5 C.3∶2∶3∶2 D.3∶3∶5∶4
C
【考點】兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
跟蹤訓練
D
C
A
B
已知：四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，
且OA=OC，OB=OD，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
∵OA=OC，OB=OD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
符號語言（書寫格式）
猜想3：
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
文字語言
平行四邊形的判定
O
顯示規范解答
【提示】依據定義。
3.如圖所示，AO＝OC，BD＝16 cm，則當OB＝______ cm 時，四邊形ABCD是
平行四邊形.
A
D
B
C
O
8
【考點】對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
跟蹤訓練
方法歸納，階段小結
圖示 元素 文字語言 符號語言（書寫格式）
邊
角
對角線
平行四邊形的判定方法
已知四邊形ABCD，對角線AC、BD相交于點O.
D
C
A
B
O
∵OA=OC，OB=OD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
∵AB=CD，AD=BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
∵AB∥CD，AD∥BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
回總結頁
4. 下列命題中，正確的是（ ）．
A.兩組角相等的四邊形是平行四邊形
B.一組對邊相等，兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形
C. 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
D.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
D
反例：
A
B
C
D
【注意】一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定
是平行四邊形.
跟蹤訓練
又BO＝DO，得證
例1 如圖，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且E、F是AC上的兩點，并且
AE＝CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。
A
D
B
C
E
F
O
【教材P46 例3】
易得EO＝FO
已知AE＝CF
思路：
顯示規范解答
小試牛刀，例題演練
1. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝110°，BE平分∠ABC交AD于
點E，F是邊BC上一點，∠FDC＝35°.
求證：四邊形BEDF是平行四邊形．
A
D
B
C
E
F
追問 你還有其他證明方法嗎？
110°
35°
35°
35°
證明另一組對邊平行：BE∥FD
由其他已知條件可推出：∠EBC＝∠DFC＝35°
已知ED∥BF
思路1：
顯示規范解答
A
D
B
C
E
F
110°
35°
35°
A
D
B
C
E
F
110°
35°
由已知條件可推出：∠EBC＝∠EDF
證明另一組對角相等：∠BED ＝∠BFD
已知∠A＝110°，∠FDC＝35°
思路2：
35°
35°
由ASA可證 △EAB ≌△FCD
得證兩組對邊相等：BE＝FD,ED＝BF
由已知條件可推出：∠ABE＝35°
思路3：
110°
110°
解：因為AB＝CD，AD＝BC，
所以四邊形ABCD為平行四邊形.
因為DC＝EF，DE＝CF，
所以四邊形DCFE為平行四邊形.
如圖，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF．圖中有哪些互相平行 的線段
A
D
E
B
C
F
【教材P47 練習 第1題】
所以AB ∥ DC ∥ EF，AD ∥ BC，DE∥ CF.
【考點】兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
直接運用，鞏固練習
2.如圖， □ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F分別是OA，
OC的中點．求證 BE＝DF.
【教材P47 練習 第2題】
A
B
D
C
O
E
F
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵E，F分別是OA，OC的中點，
∴OE＝OF，
又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，
∴BE＝DF.
【考點】平行四邊形性質和判定的綜合應用.
3.如圖，□ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且E，F，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
【教材P50 習題18.1 第5題】
A
D
B
C
F
E
G
H
O
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
又∵E，F ，G ，H分別是AO， BO， CO， DO的中點，
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
∴EO＝ AO ，FO ＝ BO ，
GO ＝ CO ，HO ＝ DO.
∴EO＝GO，FO＝HO，
【考點】平行四邊形性質和
判定的綜合應用.
2. 如圖1，在□ABCD中，點E、F分別在BC、AD上，AC與EF相交于點O，且
AO＝CO．
（1）求證：△AOF≌△COE；
（2）連接AE、CF，則四邊形AECF ____（填“是”或“不是”）平行四邊形．
A
D
B
C
E
F
O
A
D
B
C
E
F
O
（圖1）
（圖2）
（分析：由ASA可證 △AOF≌△COE ）
顯示（1）規范解答
顯示（2）規范解答
3. 如圖，點B、E分別在AC、DF上，AF分別交BD、CE于點M、N，∠A＝∠F，
∠1=∠2．
（1）求證：四邊形BCED是平行四邊形；
（2）已知DE＝2，連接BN，若BN平分∠DBC，求CN的長．
A
B
C
N
M
D
E
F
2
1
（1）思路1：由已知條件角相等，證明兩組對角分別相等；
思路2：由已知條件角相等推出一組對邊平行，證明另外一組對邊平行。
3
2
顯示規范解答
判定方法的選擇
元素 已知條件 證明思路 本質
邊 一組對邊相等
一組對邊平行
角 角
對角線 對角線相交
另一組對邊相等
兩組對邊分別相等
另一組對邊平行
對角線相互平分
兩組對角分別相等
兩組對邊分別平行
對角線相互平分
兩組對角分別相等
回總結頁
歸納
如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），B（2，1），若找一點D，
使得O、A、B、D四點構成平行四邊形，則點D的坐標可以是___________．
（寫出兩個即可）
O
A
B
x
y
D1
D2
D3
（1,1），（3,1）
坐標系中的平行四邊行問題
平行四邊形的判定與性質的綜合
已知：如圖，在□ ABCD 中，點E，F在AC上，且AF＝CE，點G，H分別在
AB，CD上，且AG＝CH， AC與GH相交于點O.
求證：EG∥ FH.
A
D
B
C
E
F
O
G
H
得GO＝HO, EO＝FO
易證△AOG≌△COH（AAS）
依據□ ABCD邊的性質，易得∠BAC＝∠ACD
思路：
對角線相互平分得證ABCD是□，得證EG∥ FH
證明：如圖，連接GF，EH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
在△AOG和△COH中，
∠AOG＝∠COH,
∠BAC＝∠ACD
AG＝CH,
∴△ AOG ≌△COH（AAS）
∴OG＝OH，OA＝OC,
又∵ AF＝CE，AF－OA＝CE－OC， ∴ OF＝OE
∴四邊形EGFH為平行四邊形. ∴ EG// FH.
A
D
B
C
E
F
O
G
H
結合本節課的學習，談談對研究幾何圖形判定方法的思考．
定義
判定定理
性質定理
逆向猜想
1
通過本節的學習，我們一共有幾種判定平行四邊形的方法？
2
在具體證明中，這些方法如何選取？
3
顯示總結
顯示總結
梳理脈絡，課堂小結
兩根長度相等的長吸管和兩根長度相等的短吸管可以得到平行四邊形。
2
（點擊視頻開始播放）
將一個圓平分成兩對相等的角，可以拼成一個平行四邊形。
3
（點擊視頻開始播放）
將兩根吸管的中點重疊，用皮筋連接吸管的頂點，可以得到一個平行四邊形。
4
（點擊視頻開始播放）
D
C
A
B
已知：四邊形ABCD中, AB=CD，AD=BC，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
退出規范解答
證明：連接BD.
在△ABD和△CDB中，
AB＝CD，
AD＝CB，
BD＝DB,
∴△ABD≌△CDB.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴AB∥CD，AD∥CB.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
猜想1：
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
定義
D
C
A
B
已知：四邊形ABCD中, ∠A=∠C，∠B=∠D，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明：∵∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°，
又∵ ∠A=∠C，∠B=∠D ，
∴ 2∠A＋2∠B＝360°，
即∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC.
同理 AB∥DC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
退出規范解答
猜想2：
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
定義
證明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB.
∵∠OAD＝∠OCB，
∴AD∥BC.
同理 AB∥DC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
D
C
A
B
已知：四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，
且OA=OC，OB=OD，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
O
退出規范解答
猜想3：
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
定義
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.
又BO＝DO,
∴四邊形BFDE是平行四邊形.
例1 如圖，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且E、F是AC上的兩點，并且
AE＝CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。
【教材P46 例3】
A
D
B
C
E
F
O
退出規范解答
A
D
B
C
E
F
110°
35°
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠C＝∠BAD＝110°，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝180°－110°＝70°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°.
∵∠CFD＝180°－∠C－∠FDC＝180°－110°－35°＝35°，
∴∠CBE＝∠CFD，
∴BE∥FD.
又∵BF∥DE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
退出規范解答
1. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝110°，BE平分∠ABC交AD于
點E，F是邊BC上一點，∠FDC＝35°.
求證：四邊形BEDF是平行四邊形．
A
D
B
C
E
F
O
（圖1）
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
∠OAF＝∠OCE,
AO＝CO,
∠AOF＝∠COE.
∴△AOF≌△COE（ASA）
退出規范解答
2. 如圖1，在□ABCD中，點E、F分別在BC、AD上，AC與EF相交于點O，且
AO＝CO．
（1）求證：△AOF≌△COE；
（2）連接AE、CF，則四邊形AECF ____（填“是”或“不是”）平行四邊形．
A
D
B
C
E
F
O
（圖2）
（2）解：四邊形AECF是平行四邊形，理由如下：
如圖2，由（1）得：△AOF≌△COE，
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
故答案為：是．
退出規范解答
2. 如圖1，在□ABCD中，點E、F分別在BC、AD上，AC與EF相交于點O，且
AO＝CO．
（1）求證：△AOF≌△COE；
（2）連接AE、CF，則四邊形AECF ____（填“是”或“不是”）平行四邊形．
A
B
C
N
M
D
E
F
2
1
3
2
（1）證明：∵∠A＝∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1＝ ∠2，且∠1＝ ∠DMF，
∴∠DMF ＝ ∠2，
∴DB∥EC，
則四邊形BCED為平行四邊形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB＝∠DBN，
∴∠CNB＝∠CBN，
∴CN ＝ BC ＝ DE ＝ 2．
退出規范解答
3. 如圖，點B、E分別在AC、DF上，AF分別交BD、CE于點M、N，∠A＝∠F，
∠1=∠2．
（1）求證：四邊形BCED是平行四邊形；
（2）已知DE＝2，連接BN，若BN平分∠DBC，求CN的長．(共27張PPT)
第十八章 平行四邊形
三角形的中位線
如圖,將任意一個三角形形狀的蛋糕平均分給四個小朋友,要求每人分得的形狀和大小必須完全相同,該如何切割 這個問題與三角形的中位線有關,學完本節課就可以解決這個問題.
情境導入
思考：
1. 一個三角形有幾條中位線？自己試著畫一畫．
探究點1 三角形的中位線的概念
概念：像DE這樣，連接三角形兩邊中點的線段 叫做三角形中位線
探索新知
如圖,在△ABC中,D ,E分別是AB,AC的中點,連接DE.
A
C
D
E
B
一個三角形有三條中位線
思考：
2. 三角形的中位線和中線一樣嗎 有什么區別
探究點1 三角形的中位線的概念
概念：像DE這樣，連接三角形兩邊中點的線段 叫做三角形中位線
探索新知
如圖,在△ABC中,D ,E分別是AB,AC的中點,連接DE.
A
C
D
E
B
不一樣.三角形的中位線是連接三角形兩邊中點的線段,而中線是連接三角形的頂點與其對邊中點的線段.
在紙上畫一個三角形,記作△ABC,分別取AB, AC邊的中點D, E,連接DE.
1. 借助量角器測量∠ADE 與∠B 的大小,并猜想DE與BC之間的位置關系．
探究點2 三角形的中位線定理
探索新知
A
C
D
E
B
∠ADE=∠B,由同位角相等,兩直線平行,猜想DE∥BC.
在紙上畫一個三角形,記作△ABC,分別取AB, AC邊的中點D, E,連接DE.
2. 用直尺分別測量DE與BC的長,它們之間存在怎樣的數量關系
探究點2 三角形的中位線定理
探索新知
A
C
D
E
B
DE= BC.
下面我們一起來驗證DE與BC之間存在的位置關系和數量關系.
A
B
C
D
E
中位線
倍長
構造全等三角形
平行四邊形
作等長延長線
得線段相等、角相等
得線段相等、平行
F
點擊查看證明過程
探索新知
如圖, D, E分別是△ABC的邊AB, AC的中點.
求證：DE∥BC,且DE= BC.
證明：如圖，延長DE到F，使EF=DE，連接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A=∠ECF,AD=CF.
∴CF∥AB.
∵BD=AD, ∴CF=BD.
∴四邊形DBCF是平行四邊形
（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
∴DF∥BC（平行四邊形的定義），
DF=BC（平行四邊形的對邊相等）.
∴ DE∥BC，DE= BC.
A
B
C
D
E
F
探索新知
三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.
三角形中位線定理
A
B
C
D
E
歸納總結
幾何語言： 在△ABC中
∵點D,E分別為AB，AC的中點，
∴DE BC
12.5
對應訓練
5.5
4
3
E
F
A
C
D
B
1. 如圖, D, E, F分別是△ABC各邊的中點, 且AB=11cm, BC=8cm, AC=6cm, 則DE= cm, DF= 　cm,
EF= cm, △DEF的周長是 cm．
25
對應訓練
2. 如圖, 有一塊等邊三角形空地ABC, E, F分別是邊AB, AC的中點, 量得EF=5m. 若用籬笆圍成四邊形BCFE, 則所需籬笆的長度是 m.
證明：∵D,E分別是AC,AB的中點,
∴DE是△ABC的中位線.
∴DE∥BC,BC=2DE.
∵CF=3BF, ∴BC=2BF. ∴DE＝BF.
又DE∥BF, ∴四邊形DEFB是平行四邊形.
例題精析
例： 如圖, 在△ABC中, D, E分別是AC, AB 的中點,點F是CB延長線上的一點,且CF=3BF, 連接DB, EF, CE.求證：四邊形DEFB是平行四邊形．
B
E
A
C
F
D
解：能在圖中畫出3個平行四邊形.
如圖，連接DE,EF,FD,
則 BEFD, DECF, DEFA即為所畫的3個平行四邊形.
對應訓練
1. 如圖, 在△ABC中, D, E, F分別是, AB, BC, CA 的中點.以這些點為頂點，在圖中，你能畫出多少個平行四邊形？為什么？
B
E
A
C
F
D
【選自教材P49，練習第1題】
A
B
C
D
E
方法1：分別取AC, BC的中點D, E, 連接DE, 并量出DE的長，則AB=2DE（依據：三角形中位線定理）.
2.如圖，A, B兩點被池塘隔開，在 A, B外選一點C，連接 AC和 BC, 怎樣測出 A, B兩點間的距離？根據是什么？
對應訓練
【選自教材P49，練習第3題】
A
B
C
D
E
方法2：可分別延長AC和BC到D, E, 使 DC=BC ，EC=AC, 連接DE, 量出DE的距離，即得AB的距離，AB=DE（依據：三角形全等）.
2.如圖，A, B兩點被池塘隔開，在 A, B外選一點C，連接 AC和 BC, 怎樣測出 A, B兩點間的距離？根據是什么？
對應訓練
【選自教材P49，練習第3題】
3. 如圖,將任意一個三角形形狀的蛋糕平均分給四個小朋友,要求每人分得的形狀和大小必須完全相同,該如何切割
對應訓練
解:沿三角形的三條中位線切割即可.如圖,點D,E,F分別是AB,AC,BC的中點,根據三角形的中位線定理,易證△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.
4.如圖,在 ABCD中,E是AD的中點,點F在BA的延長線上,且AF= AB. 連接EF,BD.
（1）請用無刻度的直尺作出△ABD中
與AB平行的中位線EG(不寫作法,保留
作圖痕跡)；
（2）在（1）的基礎上,判斷四邊形
AGEF的形狀,并說明理由.
對應訓練
A
F
B
C
D
E
解:（1）如圖,EG即為所求．
（2）四邊形AGEF是平行四邊形．
理由如下：
∵EG是△ABD的中位線,
∴EG∥AB,EG= AB．
又AF= AB,∴EG=AF．
又EG∥AF,
∴四邊形AGEF是平行四邊形．
對應訓練
A
F
B
C
D
E
G
知識結構
課堂總結
三角形的中位線定理
平行四邊形的性質及判定
三角形全等
內容及圖形
數學符號表示
應用：位置、數量
1. 教材P50習題18.1第5, 11題, 教材P62習18.2第16題.
2. 《創優作業》主體本部分相應課時訓練.
課后作業
1. 如圖， ABCD的對角線AC, BD相交于點O, 且E, F, G, H分別是AO, BO, DO的中點. 求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
課后作業
【選自教材P50，習題18.1第5題】
E
F
B
A
C
D
G
H
O
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AO=CO, BO=DO.
又E, F, G, H分別是AO, BO,
CO, DO的中點，
∴EO=GO, FO=HO.
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
2. 如圖,A'B'∥BA, B'C'∥CB, C'A'∥AC, ∠ABC與∠B'有什么關系？線段AB'與線段AC' 呢？為什么？
課后作業
【選自教材P51，習題18.1第11題】
B
A
C
A'
C'
B'
解：∠ABC=∠B',AB'=AC'.
理由：∵A'B'∥BA, B'C'∥CB, C'A'∥AC,
∴ 四邊形ABCB'、四邊形ABA'C、四邊形C'BCA都是平行四邊形，
∴∠ABC=∠B',且AB'=BC, AC'=BC,
∴AB'=AC'.
3. 如圖,在△ABC中，BD,CE分別是邊AC,AB上的中線，BD與CE相交于點O. BO與OD的長度有什么關系 BC邊上的中線是否一定過點O 為什么 （提示：分別作BO,CO的中點M,N,連接ED,EM,MN,ND.)
課后作業
【選自教材P62，習題18.2第16題】
E
O
B
A
C
D
M
N
課后作業
E
O
B
A
C
D
M
N
解：（1）BO=2OD;
（2）BC邊上的中線一定過點O.
證明：（1）作BO的中點M,CO的中點N,連接ED，EM,MN,ND.∵ED是△ABC的中位線，∴ED∥BC，且ED= BC.又MN是△OBC的中位線，∴MN∥BC,且MN= BC.∴ED MN.∴四邊形EMND是平行四邊形.∴OM=OD.又OM= BO,∴BO=2OD.
（2）三角形三邊的中線交于一點.
4. 如圖，任意畫一個四邊形，以四邊的中點為頂點組成一個新四
邊形，這個新四邊形的形狀有什么特征？請證明你的結論.
方法總結：連接兩點構造中位線及應用
課后作業
證明：如圖，連接AC.
∵在△ABC中，E,F分別為AB,BC中點,
∴ EF AC.
∵在△ADC中，H,G分別為AD,DC中點，
∴HG AC, ∴EF GH,
∴四邊形EFGH為平行四邊形.
5. 如圖，在△ABC中，AB>AC，在AB上取一點D，連接BC、AD的中點 E，F的直線交CA的延長線于點G.若AF=AG，求證:BD=AC.
方法總結：先添加輔助線，再構造中位線
中點
構造中位線
平行線
角相等
點擊查看證明過程
拓展提升
點擊返回上一頁
拓展提升
，
，
，
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