資源簡介

(共32張PPT)
第十八章 平行四邊形
矩形的性質
情境導入
拿一個活動的平行四邊形教具,輕輕拉動一個點,它還是平行四邊形嗎 使一個角是直角,這時它是什么圖形
點擊查看平行四邊形到矩形的變化過程
平行四邊形
一個角是直角
矩形的概念：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形,也就是長方形．
仔細觀察下列實際生活中的圖片,你覺得哪些是矩形的形象
矩形是生活中很常見的圖形,你還能列舉出矩形在生活中應用的其他例子嗎
我們一起來探討一下矩形的性質吧!
探索新知
探究點1：矩形的性質
如圖，取一張矩形紙片，用直尺畫出它的對角線.
1.矩形是特殊的平行四邊形，它和平行四邊形相比，有什么特殊之處？
A
B
C
D
有一個角是直角
探索新知
探究點1：矩形的性質
如圖，取一張矩形紙片，用直尺畫出它的對角線.
2.平行四邊形的對角相等，鄰角互補，那么矩形的四個角會有怎樣的關系呢？
A
B
C
D
矩形的四個角都相等，都是直角
探索新知
探究點1：矩形的性質
如圖，取一張矩形紙片，用直尺畫出它的對角線.
3.測量我們剛剛折紙時的兩條對角線長度，這兩個長度有什么關系？
A
B
C
D
兩條對角線長度相等
探索新知
探究點1：矩形的性質
1.如圖，在矩形ABCD中，∠A=90°，
求證：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴AB∥CD, ∠A=∠C.
證明：∵矩形 ABCD 是特殊的平行四邊形，
同理：∠B=90°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵∠A=90°，
∴∠C=90°，∠D=180°－90°=90°.
D
A
B
C
下面我們來一起驗證一下：
2.如圖，四邊形ABCD是矩形.求證：AC=BD.
探索新知
探究點1：矩形的性質
A
B
C
D
∴∠ABC=∠DCB=90°.AB=DC.
證明：∵四邊形 ABCD 是矩形，
又BC=CB.
在△ABC與△DCB中，
AB=DC
∠ABC=∠DCB
BC=CB
∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴AC=BD.
歸納總結：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等.
對應訓練
1. 矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是( )
A. 對邊平行
B. 對邊相等
C. 對角相等
D. 對角線相等
D
對應訓練
2. 如圖，在矩形ABCD中，E是AB的中點，連接DE，CE.求證：△ADE≌△BCE.
D
A
B
C
E
∴AD=BC, ∠A=∠B=90°.
證明：∵四邊形 ABCD 是矩形，
∵E是AB中點，
∴AE=BE.
∴△ADE≌△BCE(SAS).
對應訓練
3. 矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？
矩形是軸對稱圖形.它有兩條對稱軸，分別是對邊中點連線所在的直線.
A
B
C
D
【選自教材P53,練習第3題】
直角三角形斜邊上的中線性質
新知探究
如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O. 我們觀察Rt△ABC,在Rt△ABC中,BO是斜邊AC上的中線,BO與AC有什么關系
1.矩形ABCD的對角線AC把矩形分成了兩個三角
形,在△ABC中∠ABC是什么角
A
B
C
D
O
∠ABC是直角
直角三角形斜邊上的中線性質
新知探究
2. AO與CO有什么關系 BO與DO有什么關系
A
B
C
D
AO=CO，BO=DO
3. BO與BD有什么關系 與AC又有什么關系
BO= BD，BO= AC
O
歸納總結：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
例1 如圖，矩形 ABCD 的對角線 AC ，BD 相交于點 O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形對角線的長。
A
B
C
D
O
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC與BD相等且互相平分.
∴OA=OB,
又∠AOB=60°
∴△OAB是等邊三角形.
∴OA=AB=4 ∴AC=BD=2OA=2×4=8
60°
4
對應訓練
1. 如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD , CD=4,則AB的長為（ ）
A
C
B
D
A
A.8 B. 6 C. 4 D. 2
對應訓練
2. 如圖，O是矩形ABCD對角線的交點，∠AOD=120°，AE平分∠BAD,則∠EAC= .
15°
A
B
C
D
O
E
120°
對應訓練
3. 一個矩形的一條對角線長為8，兩條對角線的一個交角為120°.求這個矩形的邊長(結果保留小數點后兩位）.
【選自教材P53,練習第2題】
矩形的性質
利用勾股定理
依題作圖
120°
+120°
直角三角形(30°)
A
C
D
O
B
30°
點擊查看解題過程
如圖所示:
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC與BD相等且互相平分，∠ABC=90°.
∴OB=OC.
又∠BOC=120°,
∴∠ACB=30°.
∴AB= AC= 4.
∴BC= .
∴ .
120°
A
C
D
O
B
30°
解：
例2 如圖,在矩形ABCD 中，對角線AC，BD 相交于點O，AE⊥BD 于點E，且BE∶ED=1∶3，AD=6cm．求AE 的長．
A
B
D
O
E
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BO=OD= BD= AC=OA,
∠BAD=90°.
∵BE∶ED=1∶3，∴BE=OE.
又AE⊥BD,∴AB=AO=BO.∴△ABO是等邊三角形.
∴∠ABO=60°.∴∠ADE=90°－60°=30°.
∴AE= AD= ×6=3（cm)
C
對應訓練
1. 如圖,在矩形ABCD 中，對角線AC，BD 相交于點O，點E，F 分別是AO，AD 的中點，連接EF.若AB=6cm，BC=8cm，則EF的長是（ ）.
A
C
D
O
B
F
E
A. 2.2cm B. 2.3cm
C. 2.4cm D. 2.5cm
D
對應訓練
2. 如圖,O是矩形ABCD 的對角線AC 的中點, M 是AD 的中點. 若AB=5, AD=12,求四邊形ABOM 的周長.
矩形的性質
矩形對角線的長
A
C
D
O
B
M
+勾股定理
直角三角形斜邊上的中線的性質
OB的長
三角形的中位線
OM的長
四邊形ABOM的周長=AB+OB+OM+AM
點擊查看解題過程
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=12,CD=AB=5,∠ABC=90°.
∴AC= .
∵O是AC的中點，∴OB= AC=6.5.
∵M是AD的中點，∴OM是△ACD的中位線.
∴OM= CD=2.5，AM= AD=6.
∴四邊形ABOM的周長為：
AB+OB+OM+AM=5+ 6.5+2.5+6=20.
A
C
D
O
B
M
解：
課堂總結
矩形的概念：
矩形的性質：
直角三角形斜邊上的中線的性質：
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
矩形的四個角都是直角;
矩形的對角線相等.
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
知識結構
平行
四邊形
矩形
性質：邊、角、對角線
轉化：直角三角形、等腰三角形
課后作業
1. 教材P60習題18.2第4, 9題.
2. 《創優作業》主體本部分相應課時訓練.
課后作業
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC.求∠A,∠B的度數.
【選自教材P60,習題18.2第4題】
B
C
A
∵△ABC為直角三角形，且AB=2AC
∴∠B=30°
∠A=90°－30°=60°
課后作業
A
C
B
D
E
2. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D,∠ACD=3∠BCD, E是斜邊AB的中點.∠ECD是多少度？為什么？
【選自教材P61,習題18.2第9題】
1
2
課后作業
A
C
B
D
E
1
2
∵△ABC為直角三角形，∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
又CD⊥AB,∴∠1+∠B=90°.∴∠A=∠1.
∵E是AB的中點，∴CE=AE.
∴∠2=∠A.∴∠1=∠2.
又∠ACD=3∠1,∴∠ECD=∠1+∠2.
∴∠ECD= ∠ACB= ×90°=45°
3. 如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，CE∥DB，交AB的延長線于點E．AC和CE相等嗎？為什么？
A
C
D
O
B
E
矩形的性質
平行四邊形
AC=CE
邊相等 (BD=CE)
點擊查看解題過程
AE∥DC
對角線相等 (BD=AC)
課后作業
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥DC, AC=BD.
又BD∥CE,
∴四邊形ABCD為平行四邊形.
∴BD=CE.
∴AC=CE.
解：
A
C
D
O
B
E
課后作業
拓展提升
4. 在矩形ABCD中，AB=5 , AD=12 , 點P是AD、DC上一動點，求點P到兩條對角線的距離之和。
A
C
D
O
B
E
F
P
①當點P在AD邊上時，
如圖所示，作PE⊥AC于點E,PF⊥BD于點F，連接PO.
∵四邊形ABCD是矩形，且AB=5，AD=12，
∴AC=BD=13，AO=DO= .
A
C
D
O
B
E
F
P
= AO×（PE+PF)
∴PE+PF=
=15
∴
又
②當點P在DC邊上時，
同理可得：
A
C
D
O
B
E
F
P
= OD×（PE+PF)
∴PE+PF=
=15
又
綜上所述：點P到兩條對角線的距離之和為(共36張PPT)
第十八章 平行四邊形
矩形的判定
情境導入
同學們我們首先回憶一下:
1. 矩形的概念:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．
2. 矩形的性質:矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等.
矩形的概念可以用于判定矩形，我們來看一看下面的一個例子：
情境導入
工人師傅做鋁合金窗框,分下面三個步驟進行：
A
B
C
E
G
D
F
H
①
②
③
④
(1)先截出兩對符合規格的鋁合金窗料,如圖①,使AB＝CD , EF＝GH ;
(2)擺放成如圖②所示的四邊形,則這時窗框的形狀是 　,根據的數學道理是　 　;
平行四邊形
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
情境導入
工人師傅做鋁合金窗框,分下面三個步驟進行：
A
B
C
E
G
D
F
H
①
②
③
④
(3)將直角尺靠窗框的一個角,如圖③,調整窗框的邊框,當直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時, 如圖④, 說明窗框合格, 這時窗框是 ,根據的數學道理是　　 ．
矩形
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形
概念可以判定矩形,比照平行四邊形的判定,那矩形性質的逆命題是不是也可以用于矩形的判定呢 我們來看下.
探究點1：對角線相等的平行四邊形是矩形
探索新知
已知如圖,為了防蚊蟲,數學老師為自己的宿舍門定制了一扇矩形形狀的紗門．安裝師傅上門安裝時,數學老師只利用卷尺測量了兩組對邊的長度是否分別相等,又測量了兩條對角線的長度是否相等,就犀利地指出該紗門不規正,要求重新制作．同學們想一想,數學老師是如何判斷紗門不是矩形的
探究點1：對角線相等的平行四邊形是矩形
探索新知
我們可以這么思考：
1. 為什么測量兩組對邊的長度是否分別相等
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
2. 為什么測量兩條對角線的長度是否相等
由矩形的對角線相等的性質,我們猜測:對角線相等的平行四邊形是矩形．
探究點1：對角線相等的平行四邊形是矩形
A
B
C
D
O
下面我們來驗證我們的判斷:
已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，且AC=BD.
求證：四邊形 ABCD 是矩形.
探索新知
探究點1：對角線相等的平行四邊形是矩形
A
B
C
D
O
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD ，AB∥CD .
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
∴∠ABC=∠DCB .
∵AB∥DC ，
∴∠ABC+∠DCB=180° .
∴∠ABC=90°.
∴四邊形ABCD是矩形.
探索新知
幾何語言：
對角線相等的平行四邊形是矩形
∵四邊形ABCD 是平行四邊形，
且 AC=BD.
∴四邊形ABCD 是矩形
歸納總結
1.八年級（3）班同學要在廣場上布置一個矩形花壇，計劃用紅花擺成兩條對角線.如果一條對角線用了38盆紅花，還需要從花房運來多少盆紅花？為什么？如果一條對角線用了49盆呢？
對應訓練
【選自教材P55,練習第1題】
答：需要再搬來38盆紅花.根據矩形的對角線相等，以及對角線交點處不放花.
需要再搬來48盆紅花.根據矩形的對角線相等，以及對角線交點處要放花.
2.如圖， ABCD 的對角線 AC, BD 相較于點O , OAB 是等邊三角形，且AB=4.求 ABCD 的面積.
A
B
C
D
O
4
點擊查看解題過程
線段關系
矩形ABCD
利用勾股定理
BC長
等邊 OAB+ ABCD
Rt
AC=BD
對應訓練
【選自教材P55,練習第2題】
A
B
C
D
O
4
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AC=2OA=2OC，BD=2OB=2OD.
又 OAB是等邊三角形,
∴ OA=OB=4. ∴ AC=BD=8.
∴四邊形ABCD是矩形.
∴∠ABC=90°，∴ ABC 是直角三角形.
∴
∴
對應訓練
探索新知
D
A
B
C
前面我們研究了矩形的四個角，知道它們都是直角.它的逆命題成立嗎？即四個角都是直角的四邊形是矩形嗎？進一步，至少有幾個角是直角的四邊形是矩形？
我們一起來驗證一下：
探究點2：有三個角是直角的四邊形是矩形
探索新知
已知：如圖，在四邊形 ABCD 中， ∠A=∠B=∠D =90°
求證：四邊形 ABCD 是矩形.
證明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B =180°, ∠B+∠C =180°.
∴ AD∥BC， AB∥CD.
∴四邊形 ABCD 是平行四邊形.
又∠A=90°， ∴四邊形ABCD 是矩形.
探究點2：有三個角是直角的四邊形是矩形
D
A
B
C
有三個角是直角的四邊形是矩形
幾何語言：
∵∠A=∠B=∠C =90°，
∴四邊形 ABCD 是矩形
歸納總結
如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，DF，DE分別是△BDC,△ADC的角平分線. 求證：四邊形DECF是矩形.
對應訓練
A
C
B
D
E
F
證明:∵ ∠ACB=90°，D是AB的中點，
∴AD=CD=BD.
∵DE是△ADC的角平分線， ∴DE⊥AC.
∴∠DEC=90°. 同理得∠CFD=90°.
又∠ACB=90°， ∴四邊形DECF 是矩形.
經典例題
例1 如圖，在 ABCD 中，對角線AC，BD相交于點O，
且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度數.
A
B
C
D
O
又∠OAD=50°，∴ ∠OAB=40°.
50°
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ OA=OC= AC，OB=OD= BD.
又OA=OD, ∴AC=BD.
∴四邊形ABCD是矩形.
又∵∠A=90°，∴ ABCD 是矩形. ∴∠DAB=90°
變式訓練
變式 如圖②, 已知 ABCD的對角線AC, BD 相交于點
O, △AOB是等邊三角形, AB=4cm, 求 ABCD的面積．
A
B
C
D
O
線段關系
矩形ABCD
利用勾股定理
BC長
等邊 OAB+ ABCD
Rt
AC=BD
點擊查看解題過程
A
B
C
D
O
4
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AC=2OA=2OC，BD=2OB=2OD.
又 OAB是等邊三角形,
∴ OA=OB=4. ∴ AC=BD=8.
∴四邊形ABCD是矩形.
∴∠ABC=90°，∴ ABC 是直角三角形.
∴
∴
變式訓練
1.依據所標數據，下列不一定是矩形的是（ ）
對應訓練
B
A
B
C
D
90°
90°
90°
90°
90°
90°
90°
4
4
4
4
8
8
5
5
2.如圖，在 ABCD中,對角線AC,BD 相交于點O, AC⊥AB, ∠AOB=60°, E, F分別是OB, OD的中點, 連接AE, CE, CF, AF．
（1）求證：四邊形AECF為矩形;
（2）若AB=3, 求矩形AECF的面積．
對應訓練
A
B
C
D
O
E
F
對應訓練
A
B
C
D
O
E
F
（1）證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA＝OC,OB＝OD．
∵E,F分別是OB,OD的中點,
∴OE= OB,OF= OD．
∴OE=OF,∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵AC⊥AB,∠AOB=60°,∴∠BAO=90°,
∠ABO=30°,∴OA= OB=OE．
∴AC=EF,∴ AECF為矩形．
（2）解:由（1）得OA=OE=OC=OF,
∠AOB=60°,∠ABO=30°,
∴△OAE是等邊三角形,
∠OFA=∠OAF= ∠AOB=30°=∠ABO．
∴AE=OA ,AF=AB=3．
在Rt△OAB中,由勾股定理易得OA= ,
∴AE=OA= ．
∴矩形AECF的面積＝AF·AE＝ ．
對應訓練
A
B
C
D
O
E
F
幾何語言：
定理1：對角線相等的平行四邊形是矩形
矩形的判定定理：
∵ ABCD 的對角線 AC=BD.
∴ ABCD 是矩形
定理2：有三個角是直角的四邊形是矩形
幾何語言：
∵在四邊形 ABCD 中， ∠A=∠B=∠C =90°.
∴四邊形 ABCD 是矩形
定理3：矩形的定義(有一個角是直角的平行四邊形)
課堂總結
知識結構
四邊形
有三個角是直角
平行四邊形
對角線相等
有一個角是直角
矩形
矩形
矩形
課后作業
1. 教材P60習題18.1第1, 2, 3, 8, 14題.
2. 《創優作業》主體本部分相應課時訓練.
1.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD 相交于點O, 且∠1=∠2.它是一個矩形嗎？為什么？
課后作業
【選自教材P60,習題18.2第1題】
解: 它是一個矩形.
理由：∵∠1=∠2，∴OB=OC.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ OA=OC，OB=OD. ∴OA=OC=OB=OD.
∴AC=BD， ∴ ABCD是矩形.
A
B
C
D
O
1
2
課后作業
2.求證：四個角都相等的四邊形是矩形.
證明：由四邊形的內角和定理得
∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形.
A
B
C
D
【選自教材P60,習題18.2第2題】
課后作業
3.一個木匠要制作矩形踏板.他在一個對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸了兩次，就能得到矩形踏板.為什么？
解：如圖，∵AB⊥AD，CD⊥AD
∴AB∥CD，∠A=90°.
∵AD∥BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
又∠A=90°，∴四邊形ABCD是矩形.
【選自教材P60,習題18.2第3題】
A
B
C
D
l1
l2
課后作業
4.如圖，為了做一個無蓋紙盒，小明先在一塊矩形硬紙板的四角畫出四個相同的正方形，用剪刀剪下.然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，一個無蓋紙盒就做成了.紙盒的底面是什么形狀？為什么？
【選自教材P61,習題18.2第8題】
課后作業
解：紙盒的底面是矩形.
如圖，∵四邊形ABCD是正方形.
∴∠ADC=90°.
∴∠EDF=90°.
同理∠E=∠F=90°，
∴四邊形DFGE是矩形.
A
B
C
D
E
F
G
課后作業
5.如圖，將等腰三角形紙片ABC沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角形.用這兩個三角形你能拼成多少種平行四邊形？試一試，分別求出它們的對角線的長.
【選自教材P62,習題18.2第14題】
A
B
C
m
m
h
n
n
課后作業
解：能拼成三種平行四邊形.
（1）如圖①的矩形，其對角線長為m.
（2）如圖②的平行四邊形.
其兩條對角線長分別為n,
（3）如圖③的平行四邊形，
其對角線長分別為h，
m
h
n
①
m
h
n
②
h
m
n
③
6.如圖，在□ABCD中,AE⊥BC于點E,點F在BC邊的延長線上，只需再添加一個條件即可證明四邊形AEFD是矩形，這個條件可以是 (寫出一個即可）
A
C
D
B
E
F
BE=CF
課后作業
7.如圖， ABCD 的四個內角的平分線分別相交于點 E,F ,G , H. 求證：四邊形 EFGH 是矩形.
A
B
C
D
G
H
E
F
角關系
直角
矩形EFGH
ABCD +角平分線
+ 三角形內角和
課后作業
A
B
C
D
G
H
E
F
課后作業
證明：∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC＋∠GCB＝ (∠ABC＋∠BCD)
＝ ×180°＝90°，
∴∠G＝90°. 同理可得∠E=∠AFB＝90°.
∴∠GFE＝∠AFB=∠E＝∠G＝90°.
∴四邊形EFGH是矩形．

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