資源簡介

(共22張PPT)
人教版八年級下冊
平行四邊形的邊、角性質
活動一：創設情境，導入新課
【情境導入】
仔細觀察下列實際生活中的圖片，你能從中找到平行四邊形的形象嗎？
結合圖形，回憶小學知識，我們知道，兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形用“□ ”表示，如圖①，平行四邊形 ABCD 記作“□ ABCD”.
幾何語言（以圖①為例）:
雙重 含義 1.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD 是平行四邊形；
2.∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC.
動手試一試:：如圖②，在□ ABCD 中，EF∥BC，則圖中共有______個平行四邊形.
3
活動二：動手操作，探究新知
探究點 1 平行四邊形邊、角的性質
根據上面的概念畫一個□ABCD，用刻度尺度量對邊 AB 與 CD 的長，BC 與 DA 的長，并用量角器度量對角∠A 與∠C，∠B 與∠D 的大小.
A
B
C
D
據此回答下列問題:
1. 對邊 AB 與 CD 的長，BC 與 DA 的長分別相等嗎？
A
B
C
D
AB = CD，BC = DA.
2. 對角∠A 與∠C，∠B 與∠D 的大小分別相等嗎？
∠A =∠C，∠B =∠D.
3. 平行四邊形的對邊、對角具有什么性質？
平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等.
下面我們一起來進行驗證.
已知:如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形.
求證: AB = CD，BC = DA ；∠B =∠D，∠BAD =∠DCB.
證明:如圖，連接 AC.
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴AD // BC，AB // CD.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共邊，
∴△ABC≌△CDA. ∴AB = CD，BC = DA，∠B =∠D.
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1＋∠4 = ∠2＋∠3，即∠BAD = ∠DCB.
A
B
C
D
4
1
3
2
歸納總結:平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等.
A
B
C
D
4
1
3
2
　　例1 如圖，□ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為 E，F．求證：AE = CF．
證明： ∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ ∠A = ∠C，AD = CB.
又∠AED = ∠CFB = 90°，
∴ △ADE ≌△CBF，
∴ AE = CF.
A
B
E
C
F
D
[選自教材P42]
[選自教材P43]
練習
1.在 □ ABCD 中，
（1）已知 AB = 5，BC = 3，求它的周長；
（2）已知 ∠A = 38°，求其余各內角的度數.
解：（1）∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴AB = CD = 5，BC = AD = 3，
∴它的周長 = (5+3)×2 = 16.
（2）∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴∠C = ∠A，∠A + ∠B = 180°，∠A+∠D = 180°.
∵∠A = 38°，∴∠C = 38°，
∴∠D = ∠B = 180°-38°= 142°.
[選自教材P43]
練習
1.在 □ ABCD 中，
（1）已知 AB = 5，BC = 3，求它的周長；
（2）已知 ∠A = 38°，求其余各內角的度數.
2. 如圖，在□ ABCD 中，E，F 分別是 AB，CD 的中點.
求證:∠ADE = ∠CBF.
證明:∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴∠A =∠C，AD = CB，AB = CD.
∵E，F 分別是 AB，CD 的中點，
∴AE = AB，CF = CD. ∴AE = CF.
∴△AED≌△CFB (SAS).∴△ADE=∠CBF.
探究點 2 兩條平行線之間的距離
利用方格紙畫出直線 a//b，A，D 為直線 a 上任意兩點.
1.如圖①，過點 A，D 分別畫直線 c，d，使 c∥d，B，C 分別是直線 c 和 b，直線 d 和 b 的交點，用刻度尺測量點 A，B 的距離和點 D，C 的距離，它們相等嗎？_____
a
b
c
d
A
B
D
C
相等
①
2. 再測量一下點 A，D 的距離和點 B，C 的距離，它們相等嗎？
______
a
b
c
d
A
B
D
C
相等
歸納總結: 兩條平行線之間的任何兩條平行線段都相等.（可結合平行四邊形的概念和性質說明其中的道理）
①
3.如圖②，分別過 A，D 兩點作直線 b 的垂線 AB 和 DC. AB 和 DC 有什么關系？___________________
AB // DC，AB = DC
概念引入: 從上面的結論進一步可以知道: 如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都相等. 兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離. 圖②中 AB，CD 均可表示平行線 a，b 之間的距離.
【對應訓練】
1.如圖，已知 l1 // l2，AB // CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列說法錯誤的是（ ）
A. l1 與 l2 之間的距離是線段 FG 的長度
B. 線段 CD 的長度就是 l1，l2 之間的距離
C. AC = BD
D. CE = FG
B
2.如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構成了個四邊形，轉動其中一張紙條，線段 AD 和 BC 的長度有什么關系？為什么？
解：線段 AD = BC.
∵兩張紙條的對邊都平行，
∴重合的部分構成的四邊形是平行四邊形，
平行四邊形的對邊相等，
∴ AD = BC.
活動三：綜合運用，鞏固提升
例2 如圖，在△ABC 中，AB = AC，點 D 在 AC 邊上，以 CB，CD 為邊作 □ BCDE，DE 交 AB 于點 F.
（1）若∠A = 50°，求 ∠E 的度數；
解: 在△ABC中，∵∠A = 50°，AB = AC，
∴∠C =∠ABC = (180°-50°)÷2 = 65°.
∵四邊形 BCDE 是平行四邊形，
∴∠E = ∠C = 65°.
例2 如圖，在△ABC 中，AB = AC，點 D 在 AC 邊上，以 CB，CD 為邊作 □ BCDE，DE 交 AB 于點 F.
（2）若 AD = CD，BC = 6，求 EF 的長.
活動三：綜合運用，鞏固提升
∵四邊形 BCDE 是平行四邊形，
∴BE // CD，DE = BC = 6，BE = CD，
∴∠E =∠ADF，∠EBF =∠A.
∵AD = CD，BE = AD.
∴△BEF≌△ADF (ASA). ∴EF = DF = DE = 3.
課堂總結
平行四邊形的概念是什么？平行四邊形的邊、角有哪些性質？兩條平行線之間的距離是指什么？
全等三角形
平行四邊形
概念：對邊平行
平行四邊形的性質：邊、角
簡單應用(共23張PPT)
人教版八年級下冊
平行四邊形對角線的性質
知識回顧
前面我們學行四邊形的哪些知識點？
定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。
性質1：平行四邊形的對邊相等。
性質2：平行四邊形的對角相等。
A
B
C
D
O
在平行四邊形中你還能找到其他性質嗎？
如圖，在 □ ABCD 中，連接 AC，BD，并設它們相交于點 O，OA 與 OC，OB 與 OD 有什么關系？你能證明發現的結論嗎？
A
B
C
D
O
觀察與度量
探究
[選自教材P43]
探索新知
我們猜想，在□ ABCD 中，OA = OC，OB = OD.
證明：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB = CD.
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
在△OAB 和△OCD 中，
∴△OAB ≌△OCD （ASA）.
∴OA = OC，OB = OD.
∠1 = ∠2，
AB = CD，
∠3 = ∠4.
A
B
C
D
O
1
2
4
3
平行四邊形的對角線互相平分.
符號語言：
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴OA = OC，OB = OD.
A
B
C
D
O
1
2
4
3
小 結
例 2 如圖，在 □ ABCD 中， AB = 10，AD = 8，AC⊥BC.
求 BC，CD，AC，OA 的長，以及□ ABCD 的面積.
A
B
C
D
O
[選自教材P44]
【思路分析】
平行四邊形對邊相等
BC，CD 的長
運用勾股定理
AC 的長
面積公式
□ ABCD 的面積
解：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ BC = AD = 8， CD = AB = 10.
∵ AC ⊥ BC，
∴ △ABC 是直角三角形.
根據勾股定理，
又 OA = OC，
∴ OA = AC = 3，
S□ ABCD = BC · AC = 8×6 = 48.
A
B
C
D
O
例 2 如圖，在 □ ABCD 中， AB = 10，AD = 8，AC⊥BC.
求 BC，CD，AC，OA 的長，以及□ ABCD 的面積.
[選自教材P44]
一位飽經滄桑的老人經過一輩子的辛勤勞動擁有了一塊平行四邊形形狀的土地．由于年老體弱，他決定把這塊土地平分給他的四個孩子，他是按下圖這樣分的：

可是當四個孩子看到時，爭論不休，都認為自己分的土地比其他人少．老人這樣分地合理嗎？
面積探索
A
B
C
D
O
1
3
2
4
說一說，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它們的面積有什么關系？
平行四邊形的對角線互相平分.
【提示】
三角形中線等分面積.
面積探索
A
B
C
D
O
1
3
2
4
說一說，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它們的面積有什么關系？
在△ABD中，OB = OD，
OA 是 BD 邊上的中線，
所以 S△ABO = S△DAO .
同理可得：
S△ABO = S△BCO = S△CDO = S△DAO .
面積探索
說一說，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它們的面積有什么關系？
歸納：
平行四邊形的兩條對角線將它分成的四個三角形的面積都相等.
A
B
C
D
O
1
3
2
4
面積探索
A
B
C
D
O
1
3
2
4
想一想 △ABD 的面積與 △CDB 的面積有什么關系？
△ABC 的面積與△CDA 的面積呢？
因為 S△ABD = S△ABO + S△DAO ，
S△CDB = S△BCO + S△CDO ，
所以 S△ABD = S△CDB .
同理可得，S△ABC = S△CDA .
發現：任意相鄰兩個小三角形組成的大三角形的面積也相等.
面積探索
如圖，在 □ ABCD 中，BC = 10，AC = 8，BD = 14，△AOD
的周長是多少？△ABC 與△DBC 的周長哪個長？長多少？
A
B
C
D
O
[選自教材P44 練習]
解：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴AD＝ BC＝10，OA＝ OC ＝ 4，
OD＝ OB ＝ 7，
∴ l△AOD＝ AD+OA+OD＝10+4+7＝21，
∵ AB=CD，BC=BC，BD – AC=14 – 8 = 6，
∴△DBC 的周長較長，長 6.
△ABO 與△ADO 的周長呢？
歸納：相鄰兩個小三角形的周長之差等于鄰邊長之差.
周長探索
如圖， □ ABCD 的對角線 AC ，BD 相交于點 O，EF 過
點 O 且與 AB，CD 分別相交于點 E，F . 求證 OE = OF.
A
B
C
D
E
F
O
【思路分析】
△AOE ≌△COF
OE = OF
[選自教材P44 練習]
綜合探索
A
B
C
D
E
F
O
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，OA=OC （平行四邊形的性質）
∴∠EAO=∠FCO（兩直線平行，內錯角相等）
在△AOE和△COF中，
∠AOE = ∠ COF﹙對頂角相等﹚
OA = OC
∠EAO = ∠FCO
∴ △AOE≌△COF （ASA ）
∴ OE = OF （全等三角形的對應邊相等）
如圖， □ ABCD 的對角線 AC ，BD 相交于點 O，EF 過
點 O 且與 AB，CD 分別相交于點 E，F . 求證 OE = OF.
[選自教材P44 練習]
綜合探索
改變直線 EF 的位置，OE = OF 還成立嗎？
□ ABCD 被線段 EF 所截的兩部分面積與周長呢？
點擊打開幾何畫板演示
歸納：若一條直線經過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊所截的線段相等，且這條直線平分該平行四邊形的面積和周長.
A
B
C
D
E
F
O
1. 如圖， □ ABCD 中，AD = 5，BD = 6，
AC = a，則 a 的取值范圍是（ ）
A．2C．4A
B
C
D
O
解：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ OD = BD = 3， AC = 2OA .
在△AOD中，有三角形的三邊關系得：
AD - OD < AO < AD + OD，
∴ 5 - 3 < OA < 5 + 3，
∴ 2 < OA < 8，
又∵ AC = 2OA ，
∴ 4 < a < 16.
D
隨堂練習
1. 如圖， □ ABCD 中，AD = 5，BD = 6，
AC = a，則 a 的取值范圍是（ ）
A．2C．4A
B
C
D
O
D
歸納總結：
利用對角線互相平分可以解決對角線或邊的取值范圍問題，在解答時應聯系“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”來解決.
隨堂練習
2. 如圖， 在□ ABCD 中，AB = 10，AD = 6，AC ⊥BC，
則 BD = _________.
解：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴BC = AD = 6，OB = OD，OA = OC，
∵AC ⊥ BC，
∴OC = 4，
A
B
C
D
O
【提示：勾股定理】
3. 如圖所示，平行四邊形 ABCD 的面積
為 20 cm2，對角線交于點 O；以 AB，
AO 為鄰邊作平行四邊形 AOC1B，對
角線交于點 O1；以 AB，AO1 為鄰邊
作平行四邊形 AO1C2B … 以此類推，
則平行四邊形 AO4C5B 的面積為
________cm2.
（規律探索題，選做）
解：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ AB∥CD，
∴平行四邊形 AOC1B 底邊 AB 上的高等于
平行四邊形 ABCD 底邊 AB 上的高的 ，
∴平行四邊形 AOC1B 的面積 = S□ABCD，
同理：□ AO1C2B 底邊 AB 上的高等于□ AOC1B 底邊 AB 上的高的 ，
∴平行四邊形 AO1C2B 的面積 = S□ABCD = ，
以此類推，平行四邊形 AO4C5B 的面積 = （cm2）.
故答案為 .
性質 數學語言 圖示
邊 平行四邊形的對邊相等. ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD=BC, AB=CD.
角 平行四邊形的對角相等. ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴∠A=∠C，∠B=∠D. 對角線 平行四邊形的對角線互相平分. ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴OA=OC= AC, OB=OD= BD
平行四邊形的性質
A
B
C
D
A
B
C
D
O
課堂小結

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