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章末復習
R·八年級數學下冊
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形邊長的數量關系
直角三角形的判定
互逆定理
知識框圖
復習回顧
回顧思考：
1.直角三角形三邊的長有什么特殊的關系
2.趙爽證明勾股定理運用了什么思想方法
3.已知一個三角形的三邊長，怎樣判斷它是不是直角三角形 你作判斷的依據是什么
4.證明勾股定理的逆定理運用了什么方法
5.一個命題成立，它的逆命題未必成立. 請舉例說明.
如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2.
A
C
B
b
a
c
即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
幾何語言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2.
勾股定理
例1 在Rt△ABC中，已知兩直角邊分別是5和12，則第三邊長度為______.
例2 若直角三角形的兩邊的長分別為 和2，則該直角三角形第三邊長為________.
13
1或
①已知兩邊，求第三邊
典型例題
例3 直接求出下圖中x、y和z的值.
2
x
y
1
4
z
90°
90°
90°
45°
30°
60°
2
2
2
②已知一邊及一個特殊角
典型例題
例4 如圖，在Rt△ABC中，已知AB長度為6，BC-AC=2，求AC的長度.
B
A
C
解：設AC的長度為x，則BC的長度為(x+2).
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
62+x2=(x+2)2
解得 x=8
即AC的長度為8.
③已知一邊及另外兩邊的數量關系
6
x+2
x
典型例題
勾股定理的證明
趙爽弦圖
S大正方形=c2
=(b-a)2+4× ab
化簡結果，得c2=a2+b2.
數學思想：
數形結合思想
特殊到一般的思想
轉化思想
分類討論思想
畢達哥拉斯：利用拼接圖形的面積法
重新組合
S左=a2+b2+4× ab
S右=c2+4× ab
∵S左=S右
∴a2+b2=c2
加菲爾德：梯形面積法
題設：Rt△ABC≌Rt△CDE
易證：△ACE為直角三角形，四邊形ABDE為梯形
S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE
即 (a+b)(a+b)= ×2×ab+ c2
化簡得：a2+b2=c2
達芬奇證明方法：
思考：如何判定一個三角形是直角三角形呢？
1.有一個內角為直角的三角形是直角三角形.
2.兩個內角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.
A
C
B
b
a
c
勾股定理的逆定理
幾何語言：∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形.
例5 試判斷下列邊長組成的三角形是否為直角三角形：
（1）a=2，b=3，c=4；
（2）a=6，b=8，c=10；
（3）a=5，b=13，c=17.
22+32≠42，不是直角三角形.
62+82=102，是直角三角形.
52+132≠172，不是直角三角形.
像這樣，能成為直角三角形三條邊長的正整數，稱為勾股數.
典型例題
例6 如圖，一塊鐵皮（圖中陰影部分），測得AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，∠B=90°﹒求陰影部分的面積.
又∵AC2+AD2=52+122=169=132，
∴AC2+AD2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∠CAD=90°.
S陰影=S△CAD-S△ABC
= AC·AD- AB·BC
=24
解：如圖，連接AC.
∠B=90°，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
AC= =5.
典型例題
勾股定理
題設：一個三角形是直角三角形.
結論：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
(a2+b2=c2)
勾股定理
的逆定理
題設：一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2.
結論：這個三角形是直角三角形.
若兩個命題的題設、結論正好相反，則這兩個命題叫做互逆命題.
互逆命題
題設：一個三角形是直角三角形.
結論：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
(a2+b2=c2)
題設：一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2.
結論：這個三角形是直角三角形.
如果把其中一個叫原命題，那么另一個叫做它的逆命題.
如果一個定理的逆命題經過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理.
思考：一個命題成立，它的逆命題一定成立嗎？請舉例說明.
原命題：如果兩個角是直角，那么它們相等.
逆命題：如果兩個角相等，那么這兩個角是直角.
該逆命題不成立.
例7 下列命題中，逆命題仍然成立的是( ).
A.全等三角形的面積相等
B.到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
C.同一個角的余角相等
D.等腰三角形是軸對稱圖形
B
典型例題
1.如圖，一個圓柱形油罐，要從A點環繞油罐建梯子，正好到A點的正上方B點，請你算一算梯子最短需多少米？（已知油罐的底面周長是12米，高是5米）.
解：如圖，將油罐側面展開，
此時AB= =13(m).
鞏固練習
2.如圖，已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，求：(1)BC邊的長；(2)△ABC的面積.
解：(1)∵AD⊥BC，AB=17，AC=10，AD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得:
BD2= =15.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得:
CD2= =6.
∴BC=BD+CD=21.
(2)S△ABC= AD·BC=84.
3.如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角AC=6，BC=8.現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長.
解：由折疊可知AC=AE=6.
在Rt△ACB中，AC=6，CB=8，由勾股定理得AB= =10. ∴EB=4.
設CD長為x，則BD=(8-x).
Rt△BDE中，由勾股定理，得
(8-x)2=x2+42，解得x=3.
4.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9，3和1，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A處有一只螞蟻，想到B處去吃可口的食物，則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程是多少？
9
A
B
3
1
3
1
3
1
C
提示：AB2=AC2+BC2
直角三角形
勾股定理
勾股定理的逆定理
互逆命題、互逆定理
勾股定理的證明——趙爽弦圖
應 用
課堂小結

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