資源簡介

(共12張PPT)
人教版八年級下冊
一次函數的應用
知識點 一次函數的應用
一次函數的應用的兩種類型：
（1）給出一次函數解析式，直接應用其性質解決問題；
（2）只用語言敘述或用表格、圖象提供一次函數的信息時，應先求出函數解析式，進而利用函數的性質解決問題.
題型一 利用表格構造單一的一次函數解決問題
某幫扶工作隊將幫扶村生產的優質香菇和大米銷往全國.相關信息如下表：
已知銷售香菇和大米共 1000 袋，其中香菇不少于 300 袋，大米不少于 400 袋.設銷售香菇 x 袋，銷售完這批香菇和大米獲得的利潤為 y 元.
（1）求 y 關于 x 的函數解析式，并寫出 x 的取值范圍；
解：由題意得 y = (60-40)x + (53-38)·(1000-x)，
所以 y = 5x + 15000.
由題意得 x≥300，1000-x≥400，
所以 300≤x≤600，且 x 為整數.
（2）銷售完這批香菇和大米，至少可獲得多少元的利潤？
在 y = 5x + 15000 中，因為 5 > 0，所以 y 隨 x 的增大而增大，
所以當 x = 300 時，y 有最小值為 5×300+15000 = 16500.
所以銷售完這批香菇和大米，至少可獲得16500元的利潤.
題型二 簡單的分段函數問題
某市為了倡導居民節約用水，生活用自來水按階梯式水價計費.如圖是某戶居民每月的水費 y（單位：元）與用水量 x（單位：t）之間的函數圖象.
（1）求 y 關于 x 的函數解析式；
（2）若這戶居民某月的用水量為 15 t，求這個月的水費；
（3）若這戶居民上月的水費為 91 元，則上月用水量為多少噸？
（1）求 y 關于 x 的函數解析式；
當 x≥17 時，設 y 關于 x 的函數解析式為 y = k1x + b（k1 ≠ 0）.
由題意得
20k1 + b = 66，
30k1 + b = 116.
解方程組得
k1 = 5，
b = -34.
所以 y = 5x - 34. 當 x = 17 時，y = 5×17-34 = 51.
當 0 ≤ x < 17 時，設 y 關于 x 的函數
解析式 y = k2（k2 ≠ 0）.
由題意得 17k2 = 51，解得k2 = 3，所以 y = 3x.
綜上所述，y 關于 x 的函數解析式為
y =
3x（0 ≤ x < 17），
5x-34（x ≥ 17）.
（2）若這戶居民某月的用水量為 15 t，求這個月的水費；
當 x = 15 時，y = 3×15 = 45，
則這個月的水費為 45 元.
當 y = 91 > 51 時，
由題意得 5x - 34 = 91，
解得 x = 25，
則上月用水量為 25 t.
（3）若這戶居民上月的水費為 91 元，則上月用水量為多少噸？
題型三 復雜的分段函數問題（行程問題）
甲、乙兩人在某大街上同起點、同終點、同方向勻速步行 2400 m，先到終點的人原地休息. 已知甲先出發 4 min，在整個步行過程中，甲、乙兩人間的距離 y（單位：m）與甲出發的時間 x（單位：min）之間的關系如圖中折線 OABCD 所示.
（1）甲的速度為______m/min，
乙的速度為______m/min；
60
80
（2）求線段 AB 的函數解析式，并寫出自變量 x 的取值范圍；
設線段 AB 的函數解析式為 y = kx + b（4 ≤ x ≤ 16），
把（4，240），（16，0）代入，
得
4k + b = 240，
16k + b = 0.
則線段 AB 的函數解析式為
y = -20x + 320（4 ≤ x ≤ 16）.
k = -20，
b = 320.
解方程組得
（3）乙比甲早幾分鐘到達終點？
甲步行完全程所用時間為 2400÷60 = 40（min），
乙步行完全程所用時間為
2400÷80 = 30（min），
乙比甲早到終點的時間為
40-30-4 = 6（min）.
所以乙比甲早 6 min 到達終點.(共18張PPT)
人教版八年級下冊
一次函數的概念
正比例函數 解析式
圖象的位置
性質
一次函數 ？ ？
y = kx（k 是常數，k ≠ 0）
當 k > 0 時，直線 y = kx 經過第一、第三象限
當 k < 0 時，直線 y = kx 經過第二、第四象限
當 k > 0 時，y 隨著 x 的增大而增大
當 k < 0 時，y 隨著 x 的增大而減小
舊知鞏固
問題 2 某登山隊大本營所在地的氣溫為 5 ℃，海拔每升高 1 km 氣溫下降 6 ℃. 登山隊員由大本營向上登高 x km 時，他們所在位置的氣溫是 y ℃.
試用函數解析式表示 y 與 x 的關系.
這個函數是正比例函數嗎？它與正比例函數有什么不同？
自主探究
原大本營所在地氣溫為_____，
因為當海拔增加 1 km 時，氣溫減少______.
所以當海拔增加 x km 時，氣溫減少______.
因此 y 與 x 的函數解析式為____________.
5 ℃
6 ℃
6x ℃
y = 5-6x
問題 2 某登山隊大本營所在地的氣溫為 5 ℃，海拔每升高 1 km 氣溫下降 6 ℃. 登山隊員由大本營向上登高 x km 時，他們所在位置的氣溫是 y ℃.
試用函數解析式表示 y 與 x 的關系.
自主探究
y = 5 - 6x
當登山隊員由大本營向上登高 0.5 km 時，他們所在位置的氣溫是_____℃.
y = 5 - 6×0.5 = 2
2
[選自教材P90]
下列問題中，變量之間的對應關系是函數關系嗎？如果是，請寫出函數解析式.
（1）有人發現，在 20℃~25 ℃ 時蟋蟀每分鳴叫次數 c 與溫度 t (單位：℃) 有關，即 c 的值約是 t 的 7 倍與 35 的差.
是函數關系，函數解析式為 c = 7t - 35 (20 ≤ t ≤ 25)
思 考
（2）一種計算成年人標準體重 m（單位：kg）的方法是：以厘米為單位量出身高值 h，再減常數 105，所得差是 m 的值.
是函數關系，函數解析式為 m = h-105
（3）某城市的市內電話的月收費額 y（單位：元）包括月租費 22 元和撥打電話 x min的計時費（按 0.1 元/min收取）.
是函數關系，函數解析式為 y = 0.1x + 22
（4）把一個長 10 cm、寬 5 cm 的長方形的長減少 x cm，寬不變，長方形的面積 y（單位：cm2）隨 x 的變化而變化.
是函數關系，函數解析式為 y = -5x + 50 (0≤ x ＜10)
（1）c = 7t - 35 (20 ≤ t ≤ 25)
（2）m = h-105
（3）y = 0.1x + 22
（4）y = -5x + 50 (0≤ x ＜10)
這些函數解析式有哪些共同特征？
發現：它們都是常數 k 與自變量的_____與常數 b 的 的形式.
積
和
（1）c = 7t - 35 (20 ≤ t ≤ 25)
（2）m = h-105
（3）y = 0.1x + 22
（4）y = -5x + 50 (0≤ x ＜10)
一次函數的概念：
一般地，形如 y = kx+b ( k，b 是常數，k≠0 )的函數，叫做一次函數.
[選自教材P90 練習 第1題]
練 習
1. 下列函數中哪些是一次函數，哪些又是正比例函數？
（1）y = -8x； （2）y = ；
（3）y = 5x2 + 6； （4）y = -0.5x -1
（1）（4）是一次函數，其中（1）也是正比例函數.
一次函數： y = kx+b（k，b 是常數，k ≠ 0）
正比例函數：y = kx（k 是常數，k ≠ 0）
正比例函數是一種特殊的一次函數.
2. 一次函數 y = kx + b，當 x = 1 時，y = 5；當 x = -1 時，y = 1. 求 k 和 b 的值.
解：因為當 x = 1 時，y = 5，
所以 k + b = 5. ①
因為當 x = -1 時，y = 1，
所以 -k + b = 1. ②
①+② 得 2b = 6，即 b = 3，帶入①，得 k = 2.
[選自教材P90 練習 第2題]
3. 一個小球由靜止開始沿一個斜坡向下滾動，其速度每秒增加 2 m/s.
（1）求小球速度 v (單位：m/s)關于時間 t (單位：s) 的函數解析式. 它是一次函數嗎？
v = 2t（t ≥ 0），它是一次函數.
[選自教材P91 練習 第3題]
（2）求第 2.5 s 時小球的速度.
當 t = 2.5 s 時，v = 2×2.5 = 5（m/s）.
若 y = （m-1）x2-|m| + 3 是關于 x 的一次函數，則 m 的值為______.
-1
題型一 利用一次函數的定義求字母的值
跟蹤訓練
題型二 根據兩組對應值確定一次函數解析式
一次函數 y = kx + b，當 x = 1 時，y = 2；當 x = 2 時，y = 1. 當 x = 3 時，求 y 的值.
分析：先由兩組對應值求出函數解析式，再代入 x 的值即可求出相應的 y 值.
解：將 x = 1，y = 2 和 x = 2，y = 1 分別代入 y = kx + b，得 解得
所以這個一次函數解析式為 y = -x + 3.
當 x = 3，y = -3 + 3 = 0，即所求 y 的值為 0.
k + b = 2，
2k + b = 1，
k = -1，
b = 3.
題型二 根據兩組對應值確定一次函數解析式
一次函數 y = kx + b，當 x = 1 時，y = 2；當 x = 2 時，y = 1. 當 x = 3 時，求 y 的值.
正比例函數 解析式
圖象的位置
性質
一次函數 解析式
y = kx（k 是常數，k ≠ 0）
當 k > 0 時，直線 y = kx 經過第一、第三象限
當 k < 0 時，直線 y = kx 經過第二、第四象限
當 k > 0 時，y 隨著 x 的增大而增大
當 k < 0 時，y 隨著 x 的增大而減小
y = kx + b（k，b 是常數，k ≠ 0）
課后小結(共22張PPT)
人教版八年級下冊
一次函數的圖象與性質
正比例函數圖象
舊知鞏固
例 2 畫出函數 y = -6x 與 y = -6x + 5 的圖象.
列表
x -2 -1 0 1 2
y = -6x
y = -6x + 5
描點
畫線
12
6
0
-6
-12
17
11
5
-1
-7
y = -6x
y = -6x + 5
自主探究
比較這兩個函數圖象的相同點與不同點，填出你的觀察結果：
這兩個函數的圖象形狀都是________，并且傾斜程度______.
函數 y = -6x 的圖象經過原點，函數
y = -6x + 5 的圖象與 y 軸交于點______，
即它可以看作由直線y = -6x 向____平移
_____個單位長度得到.
一條直線
相同
(0，5)
上
5
思 考
y = -6x
y = -6x + 5
聯系上面的結果，你能歸納出一次函數 y = kx + b(k ≠ 0) 與正比例函數y = kx (k≠0) 之間的關系嗎？
y = -6x
y = -6x + 5
直線 y = kx + b (k≠0) 可以看作由直線 y = kx (k≠0) 平移 | b | 個單位長度得到.
當 b > 0 時，向上平移；
當 b < 0 時，向下平移 .
小 結
一次函數圖象的畫法：
根據兩點確定一條直線，為計算簡單，一般選擇點（0，b）和點（1，k+b）.
例 3 畫出函數 y = 2x -1 與 y = -0.5x + 1 的圖象.
x 0 1
y = 2x-1
y = -0.5x + 1
列表
描點
畫線
-1
1
y = 2x - 1
1
0.5
y = -0.5x + 1
例 3 畫出函數 y = 2x -1 與 y = -0.5x + 1 的圖象.
你還有其他畫法嗎？
先畫直線 y = 2x 與 y = -0.5x，再分別平移它們，也能得到直線 y = 2x-1 與 y = -0.5x + 1.
- 1
y = 2x
y = -0.5x
+ 1
探 究
畫出函數 y = x + 1，y = -x + 1，
y = 2x + 1，y = -2x + 1 的圖象. 由它
們聯想：一次函數解析式 y = kx + b
（k，b 是常數，k ≠ 0）中，k 的正
負對函數圖象有什么影響？
1
2
1
0
1
3
1
-1
x 0 1
y = x + 1
y = -x + 1
y = 2x + 1
y = -2x + 1
y = x + 1
y = -x + 1
y = 2x + 1
y = -2x + 1
y = x + 1
y = -x + 1
y = 2x + 1
y = -2x + 1
觀察一次函數圖象，你能發現什么規律？
當 k > 0 時，y 隨 x 的增大而增大；
當 k < 0 時，y 隨 x 的增大而減小.
[選自教材P93]
練習
1. 直線 y = 2x - 3 與 x 軸交點坐標為______，與 y 軸
交點坐標為_______，圖象經過____________象限，
y 隨 x 的增大而______.
(0，-3)
一、三、四
增大
2. 在同一直角坐標系中畫出下列函數的圖象，并指出
每小題中三個函數的圖象有什么關系.
（1）y = x -1，
y = x，
y = x + 1；
y = x -1
y = x
y = x + 1
2. 在同一直角坐標系中畫出下列函數的圖象，并指出
每小題中三個函數的圖象有什么關系.
（2）y = -2x -1，
y = -2x，
y = -2x+1.
y = -2x -1
y = -2x
y = -2x+1
每小題中三個函數的圖象都互相平行.
3. 分別在同一直角坐標系中畫出下列（1）（2）中各函數
的圖象，并指出每組函數圖象的共同之處.
（1）y = x + 1，
y = x + 1，
y = 2x + 1；
y = x + 1
y = x + 1
y = 2x + 1
3. 分別在同一直角坐標系中畫出下列（1）（2）中各函數
的圖象，并指出每組函數圖象的共同之處.
（2）y = - x - 1，
y = -x - 1，
y = -2x - 1.
y = - x - 1
y = -x - 1
y = -2x - 1
每小題中三個函數的圖象與 y 軸交點為同一點，只是傾斜程度不同.
題型一 一次函數的圖象與性質
已知關于 x 的一次函數 y = （2m+4）x+（3-n）.
（1）當 m，n 取何值時，y 隨 x 的增大而減小？
（2）當 m，n 取何值時，圖象經過第一、二、三象限？
題型一 一次函數的圖象與性質
已知關于 x 的一次函數 y = （2m+4）x+（3-n）.
（1）當 m，n 取何值時，y 隨 x 的增大而減小？
（2）當 m，n 取何值時，圖象經過第一、二、三象限？
解：（1）由題意，得 2m + 4 < 0，3-n 是任意實數，
所以 m < -2，n 是任意實數.
（2）由題意，得 2m + 4 > 0，3-n > 0，
所以 m > -2，n < 3.
題型二 平面直角坐標系中的雙圖象共存問題
關于 x 的一次函數 y = mx + n 與 y = mnx（mn ≠ 0）在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（ ）
C
題型三 一次函數的圖象和性質與幾何的綜合
如圖，函數 y = kx + 1 的圖象經過點 A（3，-3），且與 x 軸相交于點 B，O 為坐標原點，連接 OA.
（1）求點 B 的坐標；（2）求△OAB 的面積.
解：（1）因為函數 y = kx + 1 的圖象
經過點 A（3，-3），所以 3k + 1 = -3，
解得 k = . 所以 y = x + 1. 令 y = 0，
則 x + 1 = 0，解得 x = ，
因此點 B 的坐標為（ ，0）
題型三 一次函數的圖象和性質與幾何的綜合
如圖，函數 y = kx + 1 的圖象經過點 A（3，-3），且與 x 軸相交于點 B，O 為坐標原點，連接 OA.
（1）求點 B 的坐標；（2）求△OAB 的面積.
（2）△OAB 的面積
= .
一次函數
解析式
y = kx + b（k，b是常數，k ≠ 0）
圖象的位置
當 k > 0，b > 0 時，圖象經過一、二、三象限
當 k > 0，b < 0 時，圖象經過一、三、四象限
當 k < 0，b > 0 時，圖象經過一、二、四象限
當 k < 0，b < 0 時，圖象經過二、三、四象限
性質
當 k > 0 時，y 隨 x 的增大而增大.
當 k < 0 時，y 隨 x 的增大而減小.
課后小結(共21張PPT)
人教版八年級下冊
用待定系數法求
一次函數的解析式
你會畫出函數 y = 2x + 1 的圖象嗎？
x 0 1
y 1 3
y = 2x + 1
知道兩點坐標你會求函數解析式嗎？
舊知鞏固
　　例 4 已知一次函數的圖象過點（3，5）與（-4，-9），求這個一次函數的解析式．
[選自教材P93]
一次函數的圖象過點（3，5）與（-4，-9），因此這兩點的坐標適合一次函數 y = kx + b.
自主探究
　　例 4 已知一次函數的圖象過點（3，5）與（-4，-9），求這個一次函數的解析式．
[選自教材P93]
解：設這個一次函數的解析式為 y = kx + b(k≠0).
把點 (3，5)與 (-4，-9) 分別代入，得：
解方程組得
∴這個一次函數的解析式為 y = 2x-1.
k=2
b=-1
3k + b = 5
-4k + b = -9
自主探究
知識點 用待定系數法確定一次函數的解析式
先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而得出這個式子的方法，叫做待定系數法.
解：設這個一次函數的解析式為 y = kx + b(k≠0).
把點 (3，5)與 (-4，-9) 分別代入，得：
解方程組得
∴這個一次函數的解析式為 y = 2x-1.
k = 2
b = -1
3k + b = 5
-4k + b = -9
設
代
解
寫
用待定系數法確定一次函數解析式的一般步驟：
用待定系數法確定一次函數解析式的一般步驟：
（1）設：設一次函數的解析式為 y = kx + b（k ≠ 0）；
（2）代：將兩組 x，y 的值分別代入解析式，得到關于 k，b 的二元一次方程組；
（3）解：解方程組，求出 k，b 的值；
（4）寫：將求出的 k，b 的值回代到所設的函數解析式，得出所求函數的解析式.
函數解析式
y = kx+b
滿足條件的兩定點
(x1，y1)與(x2，y2)
一次函數的圖象直線 l
選取
解出
畫出
選取
從數到形
從形到數
整理歸納
例 5 “黃金 1 號”玉米種子的價格為 5 元/kg. 如果一次購買 2 kg 以上的種子，超過 2 kg 部分的種子價格打 8 折.
（1）填寫下表.
購買量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ...
付款金額/元 ...
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
分段函數
（2）寫出付款金額關于購買量的函數解析式，并畫出函數圖象.
設購買量為 x kg，付款金額為 y 元.
當 0 ≤ x ≤ 2時，y = 5x；
當 x > 2 時，
y = 4(x -2) + 10 = 4x + 2.
y = 5x
y = 4x+2
例 5 “黃金 1 號”玉米種子的價格為 5 元/kg. 如果一次購買 2 kg 以上的種子，超過 2 kg 部分的種子價格打 8 折.
分段函數
你能由上面的函數解析式解決以下問題嗎？
（1）一次購買 1.5 kg 種子，需付款多少元？
（2）一次購買 3 kg 種子，需付款多少元？
y =
5x，
4x + 2，
0 ≤ x ≤ 2，
x > 2.
y = 5×1.5 = 7.5（元）
y = 4×3 + 2 = 14（元）
在函數的定義域內，對于自變量 x 的不同取值區間，有著不同的對應法則，這樣的函數叫做分段函數.
分段函數的概念
[選自教材P95]
練習
1. 已知一次函數的圖象經過點（9，0）和點（24，20），寫出函數解析式.
解：因為直線 y = kx + b 經過（9，0）和點（24，20）.
所以 解得
0 = 9k + b，
20 = 24k + b，
k = ，
b = -12.
所以函數解析式為 y = x -12.
2. 一個試驗室在 0:00—2:00 保持 20℃ 的恒溫，在 2:00—4:00 勻速升溫，每小時升高 5 ℃. 寫出試驗室溫度
T（單位：℃）關于時間 t（單位：h）的函數解析式，
并畫出函數圖象.
解：當 0≤t≤2 時，T = 20；
當 2＜t≤4 時，
T = 20 + 5×(t-2) = 5t +10.
函數圖象如圖：
t/h
T/℃
題型一 利用函數的增減性確定一次函數的解析式
已知一次函數 y = kx + b 中自變量 x 的取值范圍是 -3≤x≤-1，相應的函數值 y 的取值范圍是 4≤y≤6，求這個一次函數的
解析式.
解：分兩種情況：
①當 k > 0 時，把 x = -3，y = 4 和 x = -1，y = 6
分別代入 y = kx + b，得
-3k + b = 4，
-k + b = 6.
解方程組得 所以 y = x + 7.
k = 1，
b = 7.
題型一 利用函數的增減性確定一次函數的解析式
已知一次函數 y = kx + b 中自變量 x 的取值范圍是 -3≤x≤-1，相應的函數值 y 的取值范圍是 4≤y≤6，求這個一次函數的
解析式.
②當 k < 0 時，把 x = -3，y = 6 和 x = -1，y = 4
分別代入 y = kx + b，得
-3k + b = 6，
-k + b = 4.
解方程組得 所以 y = -x + 3.
k = -1，
b = 3.
綜上所述，這個一次函數的解析式為 y = x + 7或 y = -x + 3.
題型二 利用幾何變換求一次函數的解析式
將函數 y = -2x 的圖象向下平移后得到直線 AB，若直線 AB 經過點（m，n），且 2m + n + 6 = 0，求直線 AB 的解析式.
題型二 利用幾何變換求一次函數的解析式
將函數 y = -2x 的圖象向下平移后得到直線 AB，若直線 AB 經過點（m，n），且 2m + n + 6 = 0，求直線 AB 的解析式.
解：由題意，將函數 y = -2x 的圖象向下平移后得到直線 AB，
可設直線 AB 的解析式為 y = -2x + b.
因為直線 AB 經過點（m，n），
所以 -2m + b = n，即 2m + n-b = 0.
又 2m + n + 6 = 0，所以 b = -6.
因此，直線 AB 的解析式為 y = -2x-6.
題型三 利用三角形的面積求一次函數的解析式
已知一次函數 y = kx + b 的圖象與 x 軸交于點 A（-6,0），與 y 軸交于點 B. 若△AOB 的面積為 12，求這個一次函數的解析式.
解：因為圖象經過點 A（-6,0），所以 -6k+b=0，即 b = 6k.易得圖象與 y 軸的交點是 B（0，b）所以 S△AOB = OA·OB = ×6×|b| = 12.
所以 b = 4或 -4.
當 b = 4 時，k = ；當 b = -4 時，k = .
則這個一次函數的解析式為 y = x + 4 或 y = x - 4.
1.用待定系數法求一次函數解析式
2.分段函數
課后小結

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