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16.1 二次根式 課件(2份打包) 2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

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  1. 二一教育資源

16.1 二次根式 課件(2份打包) 2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

資源簡(jiǎn)介

(共20張PPT)
R·八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)
16.1 二次根式
二次根式的概念
你能說出下列問題的結(jié)果嗎?
(1)16的平方根是多少?算術(shù)平方根是多少?
(2)0的平方根是多少?算術(shù)平方根是多少?
(3)﹣2有沒有平方根?有沒有算術(shù)平方根?
平方根的性質(zhì):
1.正數(shù)有兩個(gè)平方根且互為相反數(shù);
2. 0的平方根是0;
3.負(fù)數(shù)沒有平方根;
4.非負(fù)數(shù)a的平方根表示為 .
復(fù)習(xí)回顧
你能說出下列問題的結(jié)果嗎?
(1)16的平方根是多少?算術(shù)平方根是多少?
(2)0的平方根是多少?算術(shù)平方根是多少?
(3)﹣2有沒有平方根?有沒有算術(shù)平方根?
1.正數(shù)只有一個(gè)算數(shù)平方根;
2. 0的算術(shù)平方根是0;
3.負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根;
4.非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根表示為 .
算術(shù)平方根的性質(zhì):
復(fù)習(xí)回顧
填一填:
(1)面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為_____,面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為_____.
(2)一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄,長(zhǎng)是寬的2倍,面積為130m2,則它的寬為_____m.
(3)一個(gè)物體從高處自由落下,落到地面所用的時(shí)間t(單位:s)與開始落下的高度h(單位:m)滿足關(guān)系h=5t2,如果用含有h的式子表示t,那么t為_____.
探索新知
觀察:上面問題的結(jié)果分別是 , , , .
(1)這些式子表示的意義是?
分別表示3,S,65, 的算術(shù)平方根.
(2)這些式子有什么共同特征?
①根指數(shù)都為2;
含有“ ”.
②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).
二次根式的定義
一般地,我們把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式,“ ”稱為二次根號(hào).
a叫做被開方數(shù).
二次根式
的兩個(gè)必備特征
1.含有二次根號(hào)“ ”(根指數(shù)為 2);
2.被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).
下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:
(m<0)
6
分析:
是否含二次根號(hào)

被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù)

是二次根式

不是二次根式





1.要畫一個(gè)面積為18cm2的長(zhǎng)方形,使它的長(zhǎng)與寬之比為3∶2.它的長(zhǎng)、寬各應(yīng)取多少?
【選自教材第3頁 練習(xí) 第1題】
解:設(shè)矩形的長(zhǎng)寬分別是3xcm、2xcm,由題意得2x×3x=18,解得x1= , x2= (舍).
答:它的長(zhǎng)取 cm,寬取 cm.
練習(xí)
例1 當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí), 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?
二次根式 有意義的條件是:被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),即a≥0.
解:由x-2≥0,得
x≥2.
當(dāng)x≥2時(shí), 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.
當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
x可以為任意實(shí)數(shù)
x≥0
x可以為任意實(shí)數(shù)
x>0
x>﹣1
x≤1且x≠0
要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,即需滿足被開方數(shù)≥0,列不等式求解即可.若二次根式為分式的分母時(shí),應(yīng)同時(shí)考慮分母不為0.
2.當(dāng)a是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?
【選自教材第3頁 練習(xí) 第2題】
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,即需滿足被開方數(shù)≥0,列不等式求解即可.若二次根式為分式的分母時(shí),應(yīng)同時(shí)考慮分母不為0.
a≥1
a≥
a≤0
a≤5
練習(xí)
二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個(gè)非負(fù)數(shù)(或式)的算術(shù)平方根.對(duì)于任意一個(gè)二次根式 ,必須滿足以下兩條:
(1)a為被開方數(shù),為保證其有意義,可知a≥0;
(2) 表示一個(gè)數(shù)或式的算術(shù)平方根,可知 ≥0.
二次根式的雙重非負(fù)性
二次根式的被開方數(shù)非負(fù)
二次根式的值非負(fù)
歸納小結(jié)
1.下列各式中一定是二次根式的是( ).
A. B. C. D.
B
D
2.二次根式 中,字母x的取值范圍是( ).
A. x<2 B. x≤2 C. x≥2 D. x>2
隨堂練習(xí)
3.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?
(1) ;
解:根據(jù)題意可得-x2+2x-1≥0,
∴-(x2-2x+1)≥0.
∴x2-2x+1≤0.
∴(x-1)2≤0.
∵(x-1)2≥0,
∴當(dāng)x=1時(shí), 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.
(2) .
解:根據(jù)題意可得-x2-2x-3≥0,
∴-(x2+2x+3)≥0.
∴x2+2x+3≤0.
∴(x+1)2+2≤0.
∵(x+1)2≥0,∴(x+1)2+2>0.
∴無論x為何實(shí)數(shù), 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都無意義.
被開方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí),需要對(duì)組成多項(xiàng)式的項(xiàng)進(jìn)行恰當(dāng)分組湊成含完全平方的形式,再進(jìn)行分析討論.
3.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?
4.若 +|b-2|+(c-1)2=0,求2a-b+3c的值.
提示:多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則可得每個(gè)非負(fù)數(shù)均為0.初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對(duì)值、偶次冪及二次根式.
解:由題意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1.
所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.
5.已知|3x-y-1|和 互為相反數(shù),求x+4y的平方根.
解:由題意得3x-y-1=0且2x+y-4=0.
解得x=1,y=2.
∴x+4y=1+2×4=9,
∴x+4y的平方根為±3.
1.若 ,則x的取值范圍是_______.
2.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示,試化簡(jiǎn):
=_______.
a
b
0
x≤1
-3b
拓展提升
二次根式
定義
在有意義條件下求字母的取值范圍
雙重非負(fù)性
帶有二次根號(hào)
被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)
被開方數(shù)≥0
分母≠0
a≥0
≥0
課堂小結(jié)(共21張PPT)
R·八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)
16.1 二次根式
二次根式的性質(zhì)
二次根式的定義
一般地,我們把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式,“ ”稱為二次根號(hào).
a叫做被開方數(shù).
復(fù)習(xí)回顧
問題1:如圖,一塊正方形的方巾,面積為a,求它的邊長(zhǎng),并用所求得的邊長(zhǎng)表示出面積,你發(fā)現(xiàn)了什么?
正方形的邊長(zhǎng)為 .
用邊長(zhǎng)表示正方形的面積為 .
又∵面積為a.
∴ =a.
這個(gè)式子對(duì)所有的二次根式都成立嗎?
探索新知
問題2:驗(yàn)證問題1的結(jié)論是否具有廣泛性,下面根據(jù)算術(shù)平方根及平方的意義填空,你又發(fā)現(xiàn)了什么?
a(a≥0)
0
2
4

0
2

( )2
0
2
4

算術(shù)平方根
平方運(yùn)算
根據(jù)問題2直接寫出結(jié)果,然后根據(jù)問題2的探究過程說明理由:
=____;
=____;
=____;
=____.
4
2
0
把上述計(jì)算結(jié)論推廣到一般,并用字母表示:
一般地, .
即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.
例2 計(jì)算:
(1)( )2; (2)( )2.
解:(1)( )2=1.5;
(2)( )2
積的乘方:(ab)2=a2b2
=22×( )2
=4×5=20.
1.計(jì)算:
練習(xí)
(1)( )2; (2)( )2;
【選自教材第4頁 練習(xí) 第1題】
解:(1)( )2=3;
(2)( )2=32×( )2=9×2=18.
2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:
(1)x2-7; (2)x4-4x2+4.
解:(1)x2-7=(x+ )(x- );
(2)x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-( )2]2=(x+ )2(x- )2
這里逆用了( )2=a(a≥0)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式時(shí),原來在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式的方法和公式仍然適用.
練習(xí)
問題3:填一填,你發(fā)現(xiàn)了什么?
a(a≥0)
2
0.1
0

a2
4
0.01
0

2
0.1
0

平方運(yùn)算
算術(shù)平方根
觀察兩者有什么關(guān)系?
思考:當(dāng)a<0時(shí),問題3中的結(jié)論還成立嗎?
a(a<0)
﹣2
﹣0.1
﹣3

a2
4
0.01
9

2
0.1
3

平方運(yùn)算
算術(shù)平方根
把得到的結(jié)論推廣到一般,并用含字母的二次根式表示:
即任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.
歸納小結(jié)
運(yùn)算順序 先開方,后平方 先平方,后開方
取值范圍 a≥0 a取任何實(shí)數(shù)
運(yùn)算結(jié)果 a |a|
表示意義 表示一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方 表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根
討論:如何區(qū)別 與 ?
例3 化簡(jiǎn):
(1) ; (2) .
解:(1)
=
=4;
(2)
=
=5.
3.說出下列各式的值:
【選自教材第4頁 練習(xí) 第2題】
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
0.3
﹣π
練習(xí)
問題4:回顧我們學(xué)過的式子,如5,a,a+2b,﹣ab, ,
﹣x3, , (a≥0),這些式子有哪些共同特征?
含有數(shù)或表示數(shù)的字母;
用基本運(yùn)算符號(hào)連接數(shù)或表示數(shù)的字母.
用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子,我們稱這樣的式子為代數(shù)式.
整式
分式
二次根式
4.下列式子:(1)x; (2)a-b;(3) ;(4) ;(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)﹣2.其中是代數(shù)式的有(  ).
A.4個(gè)    B.5個(gè) C.6個(gè)    D.7個(gè)
B
方法總結(jié):?jiǎn)蝹€(gè)的數(shù)字或字母也是代數(shù)式,代數(shù)式中不能含有“=”“>”或“<”等.
練習(xí)
2.當(dāng)1A.3 B.﹣3 C.1 D.﹣1
1.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是( ).
A.±4 B.±2 C.4 D.﹣4
3.在下列各式中,不是代數(shù)式的是( ).
A.3 B.3>1+1 C. D.
C
D
B
隨堂練習(xí)
4.a,b,c為三角形的三邊長(zhǎng),化簡(jiǎn): .
解:由三角形兩邊之和大于第三邊得:
a+b-c>0,a+c-b>0.
∴ =a+b-c+(a+c)-b=2a.
已知a為實(shí)數(shù),求代數(shù)式 的值.
解:由題意可知﹣a2≥0,又∵a2≥0,∴a2=0,∴a=0.
∴ = =2-3+0=﹣1.
拓展提升
二次根式的性質(zhì)
拓展
a為全體實(shí)數(shù)
課堂小結(jié)

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