資源簡介

(共21張PPT)
勾股定理的逆定理
R·八年級數學下冊
據說，古埃及人用右圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的 13 個結，然后以 3 個結間距、4 個結間距、5 個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.
活動一：引用故事，導入新課
【故事導入】
你知道為什么嗎？今天我們就來學習其中的原因.
活動二：問題引入，自主探究
探究點 1 勾股定理的逆定理
類似古埃及人畫直角的故事，我們準備三根繩子來模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的結果.
（1）讓一根繩子的一端與 0 刻度線重合，分別在 3 cm，7 cm，12 cm 處做標記，得到長度分別為 3 cm，4 cm，5 cm 的三段，然后以這三段為邊圍成一個三角形，量量看是不是直角三角形.
是直角三角形
（2）類似（1）的操作，以 2.5 cm，6 cm，6.5 cm 和 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 的三段為邊分別圍成一個三角形，量量看是不是直角三角形.
是直角三角形
（3）結合上面的操作，想想學過的勾股定理，猜想一個三角形的三邊滿足什么關系時，這個三角形就是直角三角形，用命題形式表述.
如果三角形的三邊長 a，b，c 滿足a2 +b2 = c2，那么這個三角形是直角三角形.
3 cm，4 cm，5 cm
2.5 cm，6 cm，6.5 cm
4 cm，7.5 cm，8.5 cm
這兩個命題的題設、結論分別是什么？
命題2 如果三角形 ABC 的三邊長 a，b，c 滿足 a2 + b2 = c2，
那么這個三角形是直角三角形．
探究點 2 互逆命題和互逆定理
命題1 如果直角三角形兩直角邊長分別為 a，b，斜邊長為 c，那么 a2+b2 = c2．
題設
結論
題設
結論
我們把像這樣，題設和結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題. 如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.
題設A
結論B
①
題設B
結論A
②
原命題
逆命題
互逆命題
互逆命題
A
B
C
a
b
c
A′
B′
C′
a
b
c
①
如圖①，已知：在△ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b，并且 a2 + b2 = c2，怎么證明△ABC 是直角三角形呢？
如圖②，畫一個 Rt△A′B′C′ 中，使B′C′ = a，A′C′ = b，∠C′ = 90°. △ABC 與△ A′B′C′ 全等嗎？可以說明△ABC是直角三角形嗎？
②
互逆定理
根據勾股定理，A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 + b2 = c2.
∴ A′B′ = c .在△ABC 和△A′B′C′ 中，BC = a = B′C′，AC = b = A′C′，
AB = c = A′B′，
∴△ABC ≌△ A′B′C′（SSS）.
∴∠C=∠C′=90°，
即△ABC 是直角三角形.
A
B
C
a
b
c
A′
B′
C′
a
b
c
①
②
如果一個定理的逆命題經過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.
定理：內錯角相等，兩直線平行；
逆定理：兩直線平行，內錯角相等；
互為逆命題
歸納總結
勾股定理是正確的，其逆命題也是正確的，是不是說明原命題成立，其逆命題一定成立呢？有沒有反例說明？
不一定.比如命題“對頂角相等”成立，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”卻不成立.
例 1　判斷由線段 a，b，c 組成的三角形
是不是直角三角形：
（1）a = 15，b = 8，c = 17；
（2）a = 13，b = 14，c = 15.
解：（1）因為 152 + 82 = 225 + 64 = 289，
172 = 289，
所以 152 + 82 = 172，根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形.
（2）因為 132 + 142 = 169 + 196 = 365，
152 = 225，
所以 132 + 142 ≠ 152，根據勾股定理，這個三角形不是直角三角形.
像 15，8，17 這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數.
【對應訓練】
1. 以下列各組數為三邊長的三角形中，是直角三角形
的有（ ）
① 5，12，13； ② 1，2，4；
③ 32，42，52； ④ 0.3，0.4，0.5.
A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
B
2. 有下列 4 組數：① 7，24，25；② 8，15，19；③ 0.6，
0.8，1.0；④ 30，40，50. 其中，勾股數有（ ）
A. 1 組 B. 2 組 C. 3 組 D. 4 組
B
3. 如果三條線段長 a，b，c 滿足 a2 = c2-b2，這三條線段
組成的三角形是不是直角三角形？為什么？
解: 這三條線段組成的三角形是直角三角形.
∵ a2 = c2-b2，∴ a2 + b2 = c2，
由勾股定理的逆定理知這個三角形是直角三角形.
4. 說出下列命題的逆命題，這些逆命題成立嗎？
（1）兩條直線平行，內錯角相等；
（2）如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；
其逆命題為“內錯角相等，兩直線平行”；這個命題成立.
其逆命題為“如果兩個實數的絕對值相等，那么這兩個實數相等”；這個命題不成立.
如 |-3| = |3|，但 -3 ≠ 3.
（3）全等三角形的對應角相等；
（4）在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
其逆命題為“對應角相等的兩個三角形全等”；這個命題不成立.
其逆命題為“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”；這個命題成立.
活動三：重點突破，提升探究
例 2 四邊形 ABCD 的各邊長如圖所示，對角線 BD = 10，
求四邊形 ABCD 的面積.
解：∵AD = 8，AB = 6，BD = 10，CD = 26，BC = 24，
∴ AB2 +AD2 = BD2， BD2 +BC2 = CD2 .
∴△ABD 和△BDC 都是直角三角形，
且∠A = 90°，∠DBC = 90°.
∴ S四邊形ABCD = S△ABD + S△BDC = ×6×8 + ×10×24 = 144.
答：四邊形 ABCD 的面積是 144.
課堂總結
勾股定理的逆定理是什么？什么是逆命題？什么樣的數叫做勾股數？
勾股定理
互逆命題、
互逆定理
勾股定理的逆定理
直角三角形的判定
證明
內容(共23張PPT)
勾股定理的逆定理的應用
R·八年級數學下冊
命題1 如果直角三角形兩直角邊長分別為 a，b，斜邊長為 c，那么 a2+b2 = c2．
命題2 如果三角形 ABC 的三邊長 a，b，c 滿足 a2 + b2 = c2，
那么這個三角形是直角三角形．
復習回顧
利用勾股定理的逆定理解決實際問題
知識點
例 2　如圖，某港口 P 位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16 n mile，“海天”號每小時航行 12 n mile.它們離開港口一個半小時后分別位于點 Q、R 處，且相距 30 n mile. 如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？
1
2
N
E
P
Q
R
【思考】1.已知哪些條件？
2.需要解決的問題是什么？
速度已知
時間已知
距離已知
其中一艘船的航向已知
求另一艘船的航向
1
2
N
E
P
Q
R
【分析】
通過已知條件可以求出：
PQ
PR
QR
∠1
利用勾股定理的逆定理判斷∠RPQ是否為直角
從而確定∠2的度數
1
2
N
E
P
Q
R
解：根據題意，
PQ = 16×1.5 = 24，
PR = 12×1.5 = 18，QR = 30.
因為 242 + 182 = 302，
即PQ2 + PR2 = QR2，所以∠QPR = 90°.
∠1 = 45°.因此∠2 = 45°，
即“海天”號沿西北方向航行.
如圖，在四邊形 ABCD 中，AB = 20，BC = 15，CD = 7，AD = 24，∠B = 90°. 求四邊形 ABCD 的面積.
解：如圖，連接 AC.
∵∠B = 90°，AB = 20，BC = 15，
∴AC2 = AB2 + BC2 = 202 + 152 =625.
∵AD2 + CD2 = 242 + 72 =625，
∴AC2 = AD2 + CD2，
∴△ADC 是直角三角形，且∠D 是直角.
∴S四邊形ABCD = S△ABC + S△ADC = AB·BC + AD·CD
= ×20×15 + ×24×7 = 234.
A
B
C
D
轉化思想
練習
1. 如果三條線段長 a，b，c 滿足 a2 = c2-b2，這三條線段
組成的三角形是不是直角三角形？為什么？
解: 這三條線段組成的三角形是直角三角形.
∵ a2 = c2-b2，∴ a2 + b2 = c2，
由勾股定理的逆定理知這個三角形是直角三角形.
【選自教材 P33】
2. 說出下列命題的逆命題. 這些逆命題成立嗎？
（1）兩條直線平行，內錯角相等；
（2）如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；
其逆命題為“內錯角相等，兩直線平行”；這個命題成立.
其逆命題為“如果兩個實數的絕對值相等，那么這兩個實數相等”；這個命題不成立.
如 |-3| = |3|，但 -3 ≠ 3.
【選自教材 P33】
（3）全等三角形的對應角相等；
（4）在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平 分線上.
其逆命題為“對應角相等的兩個三角形全等”；這個命題不成立.
其逆命題為“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”；這個命題成立.
3. A，B，C 三地的兩兩距離如圖所示，A 地在 B 地
的正東方向，C 地在 B 地的什么方向？
解：由圖知：△ABC 中，AB = 12，BC = 5，AC = 13.
∵ AB2 + BC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169，∴AB2 + BC2 = AC2，
由勾股定理的逆定理得△ABC 為直角三角形，且∠B = 90°.
∵A 地在 B 地的正東方向，
∴C 地在 B 地的正北方向.
【選自教材 P33】
復習鞏固
1. 判斷由線段 a，b，c 組成的三角形是不是直角三角形：
（1）a = 7，b = 24，c = 25；
∵ a2 + b2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625，c2 = 252 = 625，
∴ a2 + b2 = c2.
由勾股定理的逆定理知這個三角形是直角三角形.
【選自教材 P34】
習題17.2
（2）a = ，b = 4，c = 5；
∵b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 24 = 41，a2 = ( )2 = 41，
∴b2 + c2 = a2.
由勾股定理的逆定理知這個三角形是直角三角形.
（3）a = ，b = 1，c = ；
∵b2 + c2 = 12 + ( )2 = 1 + = ，a2 = ( )2 = ，
∴ b2 + c2 = a2.
由勾股定理的逆定理知這個三角形是直角三角形.
（4）a = 40，b = 50，c = 60；
∵ a2 + b2 = 402 + 502 = 1600 + 2500 = 4100，c2 = 602 = 3600，
∴ a2 + b2 ≠ c2.
∴這個三角形不是直角三角形.
2.下列各命題都成立，寫出它們的逆命題. 這些逆命題成立嗎？
（1）同旁內角互補，兩直線平行；
其逆命題為“兩直線平行，同旁內角互補”；這個命題成立.
（2）如果兩個角是直角，那么它們相等；
其逆命題為“如果兩個角相等，那么它們都是直角”；
這個命題不成立.
【選自教材 P34】
（3）全等三角形的對應邊相等；
其逆命題為“如果兩個三角形的三組邊對應相等，
那么這兩個三角形全等”；這個命題成立.
（4）如果兩個實數相等，那么它們的平方相等.
其逆命題為“如果兩個實數的平方相等，
那么這兩個實數相等”；這個命題不成立.
3. 小明向東走 80 m 后， 沿另一方向又走了 60 m，再沿第三個方向走 100 m 回到原地. 小明向東走 80 m 后是向哪個方向走的？
解：小明的行走路線恰好構成三角形.
∵ 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 = 1002，
∴ 這個三角形是直角三角形.
∵小明向東走 80 m，
∴小明又向北或南走 60 m.
【選自教材 P34】
綜合運用
4. 在△ABC 中，AB =13，BC = 10，BC 邊上的中線
AD =12. 求 AC.
解：在△ABD中，BD = BC = 5. AD = 12，AB = 13.
∵BD2 + AD2 = 52 + 122 = 25 + 144 =169，
AB2 = 132 = 169，∴BD2 + AD2 = AB2，
∴△ABD 是直角三角形且∠ADB = 90°.
在△ADC 中，∠ADC = 90°，
由勾股定理得 AC2 = AD2 + CD2 = 122 + 52 = 132，
∴AC = 13.
【選自教材 P34】
5. 如圖，在四邊形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD = 13，∠B = 90°. 求四邊形 ABCD 的面積.
解：AB = 3，BC = 4，∠B = 90°，
∴ 由勾股定理得 AC2 = AB2 + BC2，
得 AC = = 5. 又 CD =12，AD = 13，
∴ AC2 + CD2 = AD2，∴△ACD為直角三角形，
∴ S四邊形ABCD = S△ABC + S△ACD = AB·BC + AC·CD
= ×3×4 + ×5×12 = 36.
【選自教材 P34】
6. 如圖，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中點，F 是 CD 上一點，且 CF = CD. 求證∠AEF = 90°.
證明：設 CF = x，則 EC = BE = 2x，DF = 3x，
AD = AB = 4x.
由勾股定理得：EF2 = EC2 + FC2 = 5x2，
AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2 = 25x2，
∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2.
由勾股定理的逆定理知，∠AEF = 90°.
【選自教材 P34】
拓廣探索
7. 我們知道 3，4，5 是一組勾股數，那么 3k，4k，5k（k 是正整數）也是一組勾股數嗎？一般地，如果 a，b，
c 是一組勾股數，那么 ak，bk，ck（k 是正整數）也是
一組勾股數嗎？
【選自教材 P34】
解：3k，4k，5k 也是一組勾股數.
∵ (3k)2 + (4k)2 = 9k2 + 16k2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，
∴(3k)2 + (4k)2 = (5k)2.
如果a，b，c是一組勾股數，那么ak，bk，ck也是一組勾股數.
∵a，b，c 是勾股數，則 a2 + b2 = c2，
(ak)2 + (bk)2 = a2k2 + b2k2 = (a2 + b2)k2 = c2k2，
(ck)2 = c2k2，故(ak)2 + (bk)2 = (ck)2，
∴ak，bk，ck 也是一組勾股數.
勾股定理的逆定理
判斷一個三角形是不是直角三角形
判斷航行方向
計算不規則四邊形面積
課堂小結

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