資源簡介

(共38張PPT)
19.1 函數
第2課時 函數
人教版
八年級
下冊
汽車耗油量為 0.1 L/km，油箱中有汽油 50 L. 如果在行駛過程中不再加油，那么下列各量中：
①汽車耗油量；②行駛路程x；
③汽車油箱中的剩余油量y.
變量是___________，常量是__________.
復習導入
②③
①
在一個變化過程中，數值發生變化的量為變量，數值始終不變的量為常量.
上面幾個變量之間有什么聯系嗎？
汽車耗油量為 0.1 L/km，油箱中有汽油 50 L. 如果在行駛過程中不再加油，那么下列各量中：
①汽車耗油量；②行駛路程x；
③汽車油箱中的剩余油量y.
變量是___________，常量是__________.
②③
①
行駛路程 x
剩余油量 y
10 km
x km
20 km
30 km
......
49 L
y L
48 L
47 L
......
50-0.1×10
50-0.1×20
50-0.1×30
50-0.1x
單值對應關系
說一說
對于用其他方式表示的變化過程，其中的兩個變量是否也存在單值對應關系？大家能列舉出對應的例子嗎？
自主探究
思考
思考
（1）如圖是體檢時的心電圖，其中圖上點的橫坐標 x 表示時間，縱坐標 y 表示心臟部位的生物電流，它們是兩個變量. 在心電圖中，對于 x 的每一個確定的值，y 都有唯一確定的值與其對應嗎？
（2）下表是我國第一至第七次人口普查的年份與人口數，其中年份與人口數可以分別記作變量 x 與 y . 對于表中每一個確定的年份 x ，都對應著一個確定的人口數 y 嗎？
年份 人口數/億
1953 6.02
1964 7.23
1982 10.32
1990 11.60
2000 12.95
2010 13.71
2020 14.43
對于 x 的每一個確定的值，y 都有唯一確定的值與其對應；
對于表中的每一個確定的年份 x ，都對應著一個確定的人口數 y .
年份 人口數/億
1953 6.02
1964 7.23
1982 10.32
1990 11.60
2000 12.95
2010 13.71
2020 14.43
S = πr2
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量 x 與 y，并且對于 x 的每一個確定的值，y 都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說 x 是自變量，y 是 x 的函數.
自變量
y 是 x 的函數
“在一個變化過程中，居于主動地位的變量叫做
自變量，隨之變化且對應值有唯一確定性的另
一個變量叫做自變量的函數.”
函數的本質是對應，函數的關系就是變量之間的對應關系.
概念引入
P 是數軸上的一個動點，它所表示的實數是 m，
P 點到坐標原點的距離為 s.
（1）s 是 m 的函數嗎？為什么？
（2）m 是 s 的函數嗎？為什么？
0
-m
s
m
s
P
解：（1）s 是 m 的函數，因為對于 m 的每一個取值，s 都有唯一確定的值與其對應.
解：（2）m 不是 s 的函數，因為對于 s 除 0 外的每一個取值，m 有兩個不同的值，不滿足唯一對應性.
（2）m 是 s 的函數嗎？為什么？
（1）s 是 m 的函數嗎？為什么？
自變量的函數 y 對自變量 x 是單值對應，故給出自變量 x 的一個值，函數 y 不可能有兩個或兩個以上的值；x 對 y 不一定是單值對應，故可能會存在自變量 x 的多個值對應的函數 y 的值相等.
對應訓練
如果當 x = a 時 y = b，那么 b 叫做當自變量的值為 a 時的函數值.
函數值
你認為函數與函數值有什么區別？舉例說一說.
概念引入
函數是變量，函數值是某個具體的數值，即常數. 一個函數可能有許多不同的函數值.
如：在左面的表格中，年份 x 是自變量，人口數 y 是 x 的函數，是一個變量，表中的 12.52 是 y 的一個函數值.
年份 人口數/億
1953 6.02
1964 7.23
1982 10.32
1990 11.60
2000 12.95
2010 13.71
2020 14.43
已知函數 y = 2x－5 ，當 y = 5 時， x = ______.
已知鞋子的“碼數”y 與“厘米數”x 滿足關系式 y = 2x－10，則 22 cm 的鞋子為______碼.
5
34
求函數值：把所給出的自變量的值代入函數解析式中，即可求出相應的函數值.
當已知函數解析式時，給出函數值，求相應自變量x
的值，就是解方程.
對應訓練
是刻畫變量之間對應關系的數學模型，許多問題中變量之間的關系都可以用函數來表示.
函 數
例 1 汽車油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中的油量 y（單位：L）隨行駛路程 x（單位：km）的增加而減少，耗油量為 0.1 L/km.
（1）寫出表示 y 與 x 的函數關系的式子；
（2）指出自變量 x 的取值范圍；
（3）汽車行駛 200 km時，油箱中還有多少汽油？
常量
變量
變量
（1）寫出表示 y 與 x 的函數關系的式子；
（1）行駛路程 x 是自變量，油箱中的油量 y 是 x 的函數.
當行駛路程為 x 時，行駛中的耗油量為 0.1x.
等量關系：油箱中的油量 = 原有油量－行駛中的耗油量
y = 50 － 0.1x
所以 y 與 x 的函數關系可表示為 y = 50 － 0.1x.
解：
0.1x 表示什么意思？
行駛中的耗油量
= 耗油量×行駛路程
例 1 汽車油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中的油量 y（單位：L）隨行駛路程 x（單位：km）的增加而減少，耗油量為 0.1 L/km.
（1）寫出表示 y 與 x 的函數關系的式子；
（2）指出自變量 x 的取值范圍；
（3）汽車行駛 200 km時，油箱中還有多少汽油？
（2）指出自變量 x 的取值范圍；
使函數有意義的自變量的取值的全體叫做
自變量的取值范圍.
（2）僅從式子 y = 50 － 0.1x 看，x 可以取任意實數.
但是考慮到 x 代表的實際意義為行駛路程，因此 x 不能取負數. 行駛中的耗油量為 0.1x，它不能超過油箱中現有汽油量 50，即
0.1x 50.
因此，自變量 x 的取值范圍是
0 x 500.
確定自變量的取值范圍時，不僅要考慮使函數關系式有意義，而且還要注意問題的實際意義.
解：
在函數 中，自變量 x 的取值范圍是（ ）
函數
有意義
2－3x≥0
x+1≠0
D
求自變量的取值范圍，可轉化為求不等式（組）的解集.
常見自變量取值范圍的不同類型
對應訓練
類型 特征 舉例 取值范圍
整式型 等式右邊是關于自變量的整式 y = x2+1
分式型 等式右邊是關于自變量的分式
根式型 等式右邊是關于自變量的開偶次方的式子
等式右邊是關于自變量的開奇次方的式子
0指數冪(或負整數指數冪)型 等式右邊是關于自變量的0指數冪(或負整數指數冪) y = (x+1)0 - 2(x-3)1
復合型 含有上述兩種或多種形式
全體實數
使分母不為0的實數
使根號下的式子為大于或等于0的實數
全體實數
使底數不為0的實數
使各部分都有意義的實數的公共部分
返回
返回
例 1 汽車油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中的油量 y（單位：L）隨行駛路程 x（單位：km）的增加而減少，耗油量為 0.1 L/km.
（1）寫出表示 y 與 x 的函數關系的式子；
（2）指出自變量 x 的取值范圍；
（3）汽車行駛 200 km時，油箱中還有多少汽油？
（3）汽車行駛 200 km時，油箱中還有多少汽油？
（3）汽車行駛 200 km時，油箱中的汽油量是函數 y = 50 － 0.1x 在 x = 200 時的函數值. 將 x = 200 帶入 y = 50 － 0.1x，得
y = 50－0.1×200 = 20.
汽車行駛 200 km時，油箱中還有 30 L汽油.
解：
像 y = 50 － 0.1x 這樣，用關于自變量的數學式子表示函數與自變量之間的關系，是描述函數的常用方法. 這種式子叫做函數的解析式.
概念提取
y 關于 x 的函數解析式
y 關于 x 的函數解析式
一名老師帶領 x 名學生到某景點參觀，若該景點的成人票每張 60 元，學生票每張 40 元，他們買門票的總費用為 y 元，則 y 關于 x 的函數解析式為____________.
y = 40x +60
在求 y 關于 x 的函數解析式時，必須用含 x 的代數式表示 y.
對應訓練
下列兩個變量之間不存在函數關系的是（ ）
圓的面積 S 和半徑 r 之間的關系
一個正數 b 的平方根 a 與這個正數之間的關系
某班學生的身高 y 與該班學生的學號 x 的關系
某地一天的溫度 T 與時間 t 的關系
B
判斷一個關系是不是函數關系：
①看是否在一個變化過程中；②看是否存在兩個變量；
③看自變量每取一個確定的值，另一個變量是否都有唯一確定的值與其對應.
S 是 r 的函數
y 是 x 的函數
T 是 t 的函數
a 不是 b 的函數
隨堂練習
2. 下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數？
試寫出函數的解析式.
（1）改變正方形的邊長 x ，正方形的面積 S 隨之改變.
【選自教材P74練習 第1題】
解：（1）自變量：正方形的邊長 x；
自變量的函數：正方形的面積 S；
函數解析式： S = x2.
（2）每分向一水池注水 0.1 m3，注水量 y（單位：m3）隨注水時間 x（單位：min）的變化而變化.
（3）秀水村的耕地面積是 106 m2，這個村人均占有耕地面積 y（單位：m2）隨這個村人數 n 的變化而變化.
（4）水池中有水 10 L，此后每小時漏水 0.05 L，水池中的水量 V（單位：L）隨時間 t（單位：h）的變化而變化.
（2）自變量：注水時間 x；自變量的函數：注水量 y；函數解析式： y = 0.1x.
（3）自變量：人數 n；自變量的函數：人均占有耕地面積 y；函數解析式： y = .
（4）自變量：時間 t；自變量的函數：水池中的水量 V；函數解析式： V = 10－0.05t.
確定函數解析式的方法：
1. 找：找出變量和常量；
2. 定：確定包含變量和常量的等量關系；
3. 列：根據等量關系列出等式；
4. 變：將等式變形，寫成用含自變量的式子表示
函數的形式，得出函數解析式.
3. 按如圖所示的程序計算函數 y 的值，若輸入 x 的值為 -3，則輸出 y 的值為_________.
x -1
開始
輸入 x
y = 2x2
y = 2x+3
輸出 y
是
否
18
4. 下列函數中，自變量的取值范圍錯誤的是（ ）
A. y = 2x2 中，x 取任意實數
B. 中，x 取 x ≠ -1 的實數
C. 中，x 取 x 2 的實數
D. 中，x 取 x -3的實數
D
x > -3
5. 要用 20 m 長的繩子圍成一個矩形，寫出矩形的面積 S （單位：m2）關于矩形的一邊長 x （單位：m）的函數解析式，并寫出自變量 x 的取值范圍.
矩形的面積 =
矩形的一邊長
相鄰另一邊的長
×
S
x
解：由題意，得 S = x · = x（10 - x）= - x2+10x .
要使實際問題有意義，則
x > 0，
所以 0 < x < 10.
故矩形的面積 S 關于矩形的一邊長 x 的函數解析式為
5. 要用 20 m 長的繩子圍成一個矩形，寫出矩形的面積 S （單位：m2）關于矩形的一邊長 x （單位：m）的函數解析式，并寫出自變量 x 的取值范圍.
S = - x2+10x（0 < x < 10）.
邊長為正數
6. 如圖，正方形 ABCD 的邊長為 4 cm，E，F 分別是 BC，DC 邊上的動點. 點 E，F 同時從點 C 處出發，均以 1 cm/s 的速度分別向點 B，D 運動，當點 E 與點 B 重合時，兩點均停止運動. 設運動時間為 x s，運動過程中 △AEF的面積為 y cm2.
（1）寫出 y 關于 x 的函數解析式，并寫出自變量 x 的取值范圍.
觀察圖形
S△AEF = S正方形ABCD - S△ABE - S△ADF - S△ECF
函數
解析式
不規則圖形的面積轉化為規則圖形面積的差
【單擊圖形或畫線文字跳轉幾何畫板】
解：由題意，得 CE = CF = x cm，
所以 BE = DF =（4 - x）cm.
即 y 關于 x 的函數解析式為
速度、時間轉化為線段的長度
由 S△AEF = S正方形ABCD - S△ABE - S△ADF - S△ECF，得
【單擊圖形跳轉幾何畫板】
（2）當點 E 運動到 BC 的中點時，求△AEF 的面積.
解：當點 E 運動到 BC 的中點時， x = CE = 2 cm，
所以 y = = 6 .
所以當點 E 運動到 BC 的中點時，△AEF 的面積是 6 cm2.
變量和常量
自變量、自變量的函數
函數值
自變量的取值范圍
解析式
函數
課堂總結
完成練習冊本課時的習題.
課后作業(共35張PPT)
19.1 函數
人教版
八年級下冊
第1課時 變量
一次函數
變量與函數
一次函數
一次函數與方程、不等式
實際應用
常量、變量
函數值、自變量
函數的表示方法
正比例函數
一次函數
圖象的平移
行星在宇宙中的位置隨時間而變化，氣溫隨海拔而變化，樹高隨樹齡而變化……在我們周圍的事物中，這種一個量隨另一個量的變化而變化的現象大量存在.
你還能舉出更多生活中的例子嗎？
“萬物皆變”
蘋果距離地面的高度與時間
心率與
運動強度
手機使用的流量與話費
氣溫與濕度
為了更好地認識世界，我們要研究和探索這些變化過程，首先要找出其中變化的量和不變的量.
變化的量 不變的量.
探索新知
（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程為 s km，行駛時間為 t h. 填寫下表，s 的值隨 t 的值的變化而變化嗎？
t / h 1 2 3 4 5
s / km
60
120
180
240
300
s = 60t
你能找出問題中變化的量和不變的量嗎？
汽車的行駛速度 60 km/h
汽車的行駛路程 s 和行駛時間 t
探索新知
（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程為 s km，行駛時間為 t h. 填寫下表，s 的值隨 t 的值的變化而變化嗎？
（2）電影票的售價為10元/張. 第一場售出150張票，第二場售出205張票，第三場售出310張票，三場電影的票房收入各多少元？設一場電影售出 x 張票，票房收入為 y 元，y 的值隨 x 的值的變化而變化嗎？
x / 張 150 205 310
y / 元
1500
2050
3100
y = 10x
如圖所示，圓形水波慢慢地擴大. 在這一過程中，當圓的半徑 r 分別為
10 cm，20 cm，30cm時，圓的面積 S 分別為多少？S 的值隨 r 的值的變化而變化嗎？
（3）你見過水中漣漪嗎？
r / cm 10 20 30
S / cm2
100π
400π
900π
S = πr2
π
圓周率π是常數
y = 5－x
（4）用 10 m 長的繩子圍一個矩形. 當矩形的一邊長x 分別為 3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 時，它的鄰邊長 y 分別為多少？y 的值隨 x 的值的變化而變化嗎？
x / m 3 3.5 4 4.5
y / m
2
1.5
1
0.5
幾何畫板
（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程為 s km，行駛時間為 t h.
（2）電影票的售價為10元/張. 設一場電影售出 x 張票，票房收入為 y 元.
（3）水中漣漪，圓形水波慢慢地擴大過 程中，圓的半徑 r ，圓的面積 S .
（4）用 10 m 長的繩子圍一個矩形. 矩形的一邊長x ，它的鄰邊長 y.
x / 張 150 205 310
y / 元
r / cm 10 20 30
S / cm2
x / m 3 3.5 4 4.5
y / m
這些運動變化過程中出現的量，你認為可以怎樣分類？
數值不斷變化的量
數值固定不變的量
變量
常量
在上面的幾個變化過程中，有些量的數值是變化的，有些量的數值是始終不變的. 由此，在一個變化過程中，我們稱數值發生變化的量為變量，數值始終不變的量為常量.
歸納小結
說一說問題（1）~（4）中的變量和常量分別是什么？
變量：
常量：
汽車的行駛路程 s 和行駛時間 t.
汽車的行駛速度
60 km/h.
電影的售出票數 x 和票房收入 y .
電影票的售價
10 元/張.
圓的半徑 r 和
圓的面積 S .
圓周率π.
矩形的一邊長 x 和
它的鄰邊長 y .
繩子的長度 10 m.
1. 圓周率 π 表示的是一個常數，是常量；
2. 常量、變量與字母的指數沒有關系；
在一個變化過程中，變量的個數一定是兩個嗎？
3. 判斷變量與常量的前提條件是“在同一變化過程中”。
注 意
已知簽字筆的價格是 5 元/支，筆記本的價格是 2 元/本，狀狀購買了 a 支簽字筆和 b 本筆記本，花了 m 元.
在這個問題中，變量是___________，常量是________.
a，b，m
2，5
在一個變化過程中，變量的個數一定是兩個嗎？
指出下列問題中的變量和常量：
【教材P71、72 練習】
（1）某市的自來水價為 4 元/ t. 現要抽取若干戶居民調查水費支出情況，記某戶月用水量為 x t，月應交水費為 y 元.
變量：
常量：
4 元 / t
xt
y 元
某戶月用水量 x 和月應交水費 y .
自來水價 4 元/t .
在一個變化過程中，數值發生變化的量為變量，數值始終不變的量為常量.
對應訓練
變量：
常量：
手機通話時間 t 和話費卡余額 w .
手機通話費 0.2 元/min .
（2）某地手機通話費為 0.2 元/min. 李明在手機話費卡中存入 30 元，記此后他的手機通話時間為 t min，話費卡中的余額為 w 元.
變量：
常量：
變量：
常量：
漣漪半徑 r 和圓周長 C .
圓周率π.
第一個抽屜的本數 x 和第二個抽屜的本數 y .
一共有 10 本書.
（3）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為 r ，圓周長為 C ，圓周率（圓周長與直徑之比）為 π.
（4）把 10 本書隨意放入兩個抽屜（每個抽屜內都放），第一個抽屜放入 x 本，第二個抽屜放入 y 本.
在課本P71的4個問題中，對于每個問題，其中一個變量的變化是怎樣影響另一個量的變化的？
想一想
變量之間的關系：
s 隨著 t 的變化而變化.
s 怎樣隨著 t 的具體變化而變化？
當 t 的值取定后，s 的值有一個且只有一個.
也就是說，當 t 取定一個值時，s 的值由 t 的值完全確定，且唯一確定.
變量之間的關系：
每當 x 取定一個值時，y 就有唯一確定的值與其對應 . 例如，若 x =150，則 y =1500；x =205，則 y =2050；x =310，則 y =3100.
變量之間的關系：
每當 r 取定一個值時，S 就有唯一確定的值與其對應 .
1
2
3
4
...
r
π
4π
9π
16π
...
πr2
變量之間的關系：
每當 x 取定一個值時，y 就有唯一確定的值與其對應 .
上面每個問題中的兩個變量互相聯系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就有唯一確定的值與其對應.
唯一確定
歸 納
當一個變量取定一個值時：
另一變量有對應值；
對應值只有一個.
也叫“單值對應關系”
唯一確定
下圖是某地一天的氣溫變化圖象，任意給出這天中的某一時刻 t，你能說出這一時刻的氣溫 T 嗎？
對應訓練
若球的體積為V，半徑為R，則 .
其中_________是變量，________是常量.
（1）常量、變量與字母的指數沒有關系.
（2）π 是常量，不是變量.
V，R
隨堂練習
2. 已知路程 s，速度 v 和時間 t 的關系式為 s=vt，則下列
說法中正確的是（ ）.
當 s 一定時，v 是常量，t 是變量
當 v 一定時，t 是常量，s 是變量
當 t 一定時，t 是常量，v 是變量
當 t 一定時，s 是常量，v 是變量
C
s 是常量，v，t 是變量
v 是常量，s，t 是變量
t 是常量，s，v 是變量
√
判斷一個量是不是變量，關鍵是看其數值是否發生變化.
常量與變量是相對的，前提是“在一個變化過程中”.
3. 回顧多邊形的相關知識，隨著多邊形邊數 n 的增加，多邊形的內角和 α 和外角和 β 會有什么變化？請用式子表示出它們的關系.
解：α 的值隨 n 的值的變化而變化，邊數 n 每增加1，內角和 α 增加180°，α =（n-2）·180°；
β 不受 n 的影響，β =360°.
4. 如圖，在矩形 ABCD 中，點 M 在邊 BC 上，點 N 在
邊 CD 上. 設 BM=a，CN=b，則△BMN 的面積 .
（1）若保持點 M 不動，點 N 在 CD 上運動，
請指出 中的變量與常量；
（2）若保持點 N 不動，點 M 在 BC 上運動，
請指出 中的變量與常量.
幾何畫板示意圖
解：（1）S 和 b 是變量， 和 a 是常量；
（2）S 和 a 是變量， 和 b 是常量.
2
1
2
1
5. 已知某易拉罐廠設計一種易拉罐，在設計過程中發現符合要求的易拉罐的底面半徑與用鋁量有如表關系：
（1）上表反映了哪兩個變量之間的關系？
（2）當易拉罐底面半徑為 2.4 cm 時，易拉罐需要的用鋁量
是多少？
（3）根據表格中的數據，你認為易拉罐的底面半徑為多少
時比較適宜？說說你的理由.
底面半徑 x/cm 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用鋁量 y/cm3 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
底面半徑 x/cm 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用鋁量 y/cm3 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
解：（1）反映了用鋁量 y 與底面半徑 x 之間的關系.
（2）當底面半徑為 2.4 cm時，易拉罐需要的用鋁量是
5.6 cm3.
（3）易拉罐的底面半徑為 2.8 cm時比較適宜，理由如下：
當易拉罐的底面半徑為 2.8 cm 時，用鋁量最少，
成本最低.
在一個變化過程中
數值始終不變的量為常量
數值發生變化的量為變量
單值對應關系：當一個變量取定一個值時，另一變量有且只有一個對應值.
課堂總結
課后作業
完成練習冊對應內容的習題.

展開更多......

收起↑