資源簡介

(共19張PPT)
19.2.3 一次函數與方程、不等式
一
次
函
數
與
一
元
一
式
次
方
程
不
等
、
疑問導入
思考：y-2x=20是二元一次方程還是函數？
一次函數的一般形式為
y=kx+b(k≠0).
y-2x=20
y=2x+20
方程的角度
二元一次方程
函數的角度
一次函數
任意一個二元一次方程都可以轉化為y=kx+b的形式，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數，于是都對應一條直線.
自主探究
思考：下面3個方程有什么共同點和不同點？你能從函數的角度對解這3個方程進行解釋嗎？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=﹣1.
探究點1：一次函數與一元一次方程
1.從“數”的角度看：
一次函數問題 方程的解
2x+1=3 可以看作函數y=2x+1，當y=3時，求x的值 x=1
2x+1=0 可以看作函數y=2x+1，當y=0時，求x的值 x=
2x+1=﹣1 可以看作函數y=2x+1，當y=﹣1時，求x的值 x=﹣1
2.從“形”的角度看：
一次函數問題 圖象
2x+1=3 在直線y=2x+1上取縱坐標為3的點，求其橫坐標
2x+1=0 在直線y=2x+1上取縱坐標為0的點，求其橫坐標 2x+1=﹣1 在直線y=2x+1上取縱坐標為﹣1的點，求其橫坐標 從函數的角度看解一元一次方程ax+b=0 (a≠0)，相當于在一次函數y=ax+b (a≠0)的函數值為0時，求自變量x的值.
歸納小結
從數的角度看：
求ax+b=0(a,b是常數，a≠0)的解
一次函數y=ax+b的函數值為0時，求自變量x的值
從形的角度看：
求ax+b=0(a,b是常數，a≠0)的解
求直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標
數形結合
對應訓練
1.當自變量x的取值滿足什么條件時，函數y=2x+8的值滿足下列條件？(1)y=0；(2)y=﹣8.
2.下列圖象中，直線上每個點的坐標都是二元一次方程2x－y=2的解的是( ).
(1)x=﹣4；
(2)x=﹣8；
B
探究點2：一次函數與一元一次不等式
思考：下面3個不等式有什么共同點和不同點？你能從函數的角度對解這3個不等式進行解釋嗎？
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜﹣1.
1.從“數”的角度看：
一次函數問題 不等式的解
3x+2>2 可以看作函數y=3x+2，當y>2時，求x的取值范圍 x>0
3x+2<0 可以看作函數y=3x+2，當y<0時，求x的取值范圍 x<
3x+2<﹣1 可以看作函數y=3x+2，當y<﹣1時，求x的取值范圍 x<﹣1
2.從“形”的角度看：
一次函數問題 圖象
3x+2>2 在直線y=3x+2上取縱坐標大于2的點，求其橫坐標的范圍
3x+2<0 在直線y=3x+2上取縱坐標小于0的點，求其橫坐標的范圍 3x+2<﹣1 在直線y=3x+2上取縱坐標小于﹣1的點，求其橫坐標的范圍 從函數角度看解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a≠0)相當于在一次函數y=ax+b(a≠0)的值大于0或小于0時，求自變量x的取值范圍.
歸納小結
從數的角度看：
求ax+b>0(或<0)(a,b是常數，a≠0)的解集
求一次函數y=ax+b的函數值大于0(或小于0)，求自變量x的取值范圍
從形的角度看：
求ax+b>0(或<0)(a,b是常數，a≠0)的解集
求直線y=ax+b在x軸上方(或下方)部分的自變量x的取值范圍
數形結合
畫出函數y=﹣3x+6的圖象，結合圖象求：
（1）不等式﹣3x+6>0 和﹣3x+6<0的解集；
（2）當x取何值時，y<3？
解：（1）由圖象可知，
不等式-3x+6>0 的解集是圖象位于x軸上方的x的取值范圍，即x<2；
不等式 -3x+6<0的解集是圖象位于 x軸下方的x的取值范圍，即x>2；
（2）由圖象可知，當x>1時，y<3.
對應訓練
隨堂練習
1.已知直線y=ax-b的圖象如圖所示，則關于x的方程ax-b=0的解為x=_____，當x=0時，y=_____.
2
﹣1
2.一次函數y=ax+b的圖象如圖所示，則關于x的不等式ax+b≥0的解集是( ).
A.x≥2 B.x≤2 C.x≥4 D.x≤4
B
3.函數y=2x+6的圖象如圖，利用圖象：
（1）求方程 2x+6=0 的解；
（2）求不等式 2x+6>0 的解集；
（3）求不等式組﹣1≤2x+6≤3 的解集．
解：(1)因為圖象過點(﹣3, 0)，所以方程2x+6=0的解為x=﹣3．
(2)因為當函數y=2x+6的圖象在x軸上方時，x>﹣3，所以不等式2x+6>0的解集為x>﹣3．
3.函數y=2x+6的圖象如圖，利用圖象：
（1）求方程 2x+6=0 的解；
（2）求不等式 2x+6>0 的解集；
（3）求不等式組﹣1≤2x+6≤3 的解集．
(3)因為函數圖象過F(﹣1.5, 3)，G(﹣3.5,﹣1)兩點，當函數y=2x+6的函數值滿足﹣1≤y≤3時，﹣3.5≤
x≤﹣1.5，所以不等式組的解集是﹣3.5≤x≤﹣1．
拓展延伸
在平面直角坐標系中，一次函數y=kx和y=mx+n的圖象如圖所示，則關于x的一元一次不等式(k-m)x-n>0的解集是_____．
kx>mx+n
x>1
課堂小結
數：計算求解
形：觀察圖象
一次函數
一元一次方程
一元一次不等式(共22張PPT)
19.2.3 一次函數與方程、不等式
一
次
函
數
與
二
元
一
次
方
程
組
回顧導入
1.二元一次方程x+y=5和一次函數y=﹣x+5之間有什么聯系？
2.（1）解二元一次方程組
x+y=5，
2x﹣y=1；
（2）求直線y=﹣x+5和直線y=2x﹣1交點的坐標．
對比（1）中方程組的解與（2）中交點的坐標，你有什么發現？
探索新知
由上節課我們可知，y=﹣x+5既可以表示一個二元一次方程，又可以表示一個一次函數．
那么對于二元一次方程2x﹣y=3，可以將其寫成一次函數　___________的形式．
y=2x﹣3
探究點1：二元一次方程與一次函數
（1）畫出一次函數y=2x﹣3的圖象；
探索新知
（2）找出一次函數y=2x﹣3的幾組解；
（3）將（2）中找出的幾組解在平面直角坐標系中描出，你發現了什么
x=﹣1，y=﹣5
x=0，y=﹣3
x=1，y=﹣1
x=2，y=1
x=3，y=3
x=4，y=5
y=2x﹣3
找出的幾組解在平面直角坐標系中描出后，均在直線y=2x﹣3上．
探索新知
y=2x﹣3
（4）在一次函數y=2x﹣3的圖象上的點的坐標都是二元一次方程2x﹣y=3的解嗎
歸納小結
從數的角度看：
一次函數
y=kx+b (k≠0)
二元一次方程
y-kx=b (k≠0)
從形的角度看：
以二元一次方程y=kx+b(其中k，b為常數，k≠0)的解為坐標的點組成的圖形
一次函數
y-kx=b的圖象
直線上每個點的坐標都是二元一次方程x﹣2y=2的解的是( ).
對應訓練
C
探究點2：二元一次方程組與一次函數
思考：（1）在同一平面直角坐標系中，分別作直線y=﹣x+5和直線y=2x﹣1，這兩條直線有交點嗎？有的話，求出交點的坐標．
y=﹣x+5
y=2x﹣1
解：根據圖象可知，有交點．
令﹣x+5=2x﹣1，解得x=2．
將x=2代入y=﹣x+5，得y=﹣2+5=3，
所以交點的坐標為(2, 3)．
y=﹣x+5
y=2x﹣1
思考：（2）中交點的坐標與方程組 的解有什么關系？
x+y=5，
2x﹣y=1
解方程組 得
x+y=5，
2x﹣y=1，
x=2，
y=3.
所以（1）中交點的坐標就是方程組的解．
從數的角度看：
歸納小結
解這樣的方程組，相當于求自變量為何值時相應的兩個函數值相等，以及這個函數值是多少；
由含有未知數x和y的兩個二元一次方程組成的每個二元一次方程組，都對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線.
從形的角度看：
解這樣的方程組，相當于確定兩條相應直線交點的坐標.
問題3：1號探測氣球從海拔5m處出發，以1m/min的速度上升.與此同時，2號探測氣球從海拔15m處出發，以0.5m/min的速度上升.兩個氣球都上升了1h.
（1）用式子分別表示兩個氣球所在位置的海拔y（單位：m）關于上升時間x（單位：min）的函數關系.
分析：氣球上升時間x滿足0≤x≤60.
對于1號氣球，y關于x的函數解析式為y=x+5.
對于2號氣球，y關于x的函數解析式為y=0.5x+15.
（2）在某時刻兩個氣球能否位于同一高度？如果能，這時氣球上升了多長時間？位于什么高度？
從數的角度看：就是求自變量x(0≤x≤60)為何值時，兩個一次函數y=x+5，y=0.5x+15的函數值相等，并求出函數值.
y=x+5
y=0.5x+15
聯立
x-y=5
0.5x-y=-15
x=20
y=25
解得
這就是說，當上升20min時，兩個氣球都位于海拔25m的高度.
從形的角度看：同一坐標系下，兩直線的交點坐標為(20, 25)，說明氣球上升20min時，兩氣球都位于海拔25m的高度.
對應訓練
如圖，一次函數y=ax+b和y=kx的圖象交于點P，則關于x，y 的二元一次方程組 的解是( )
﹣ax+y=b，
kx﹣y=0
x=3，
y=﹣1
A.
x=﹣3，
y=﹣1
B.
x=﹣3，
y=1
C.
x=3，
y=1
D.
C
練習
考慮下面兩種移動電話計費方式：
方式一 方式二
月租費/(元/月) 30 0
本地通話費/(元/min) 0.30 0.40
用函數方法解答何時兩種計費方式費用相等.
【選自教材第98頁 練習】
解：設通話時間為x min，若按“方式一”計費方式則收取費用y=30+0.3x，若按“方式二”計費方式則收取費用y=0.4x.
在同一平面直角坐標系中分別畫出這兩個函數的圖象：
得
x=300，
y=120.
解方程組
y=30+0.3x，
y=0.4x，
所以兩圖象交于點(300，120).
當x=300 時，30+0.3x=0.4x.即當一個月內通話時間等于300min時，選擇兩種計費方式費用相等.
隨堂練習
某銷售公司推銷一種產品，設x(單位：件)是每月推銷產品的數量，y(單位：元)是付給推銷員的月報酬.公司付給推銷員的月報酬的兩種方案如圖所示，推銷員可以任選一種與公司簽訂合同，看圖解答下列問題：
（1）求每種付酬方案中y關于x的函數解析式；
方案一：y=40x.
方案二：y=20x+600.
（2）當推銷產品多少件時，選擇方案一與選擇方案二所得報酬相同 報酬是多少
根據題意列方程組，得
y=40x，
y=20x+600.
x=30，
y=1200.
解得
答：當推銷產品30件時，選擇方案一與選擇方案二所得報酬相同，報酬是1200元．
（3）若推銷員某月推銷產品35件，則他選擇哪種方案所得報酬更高
結合（2）中的答案和函數圖象可得，當月推銷產品35件時，選擇方案一所得報酬更高．
拓展延伸
當k為何值時，直線2k+1=5x+4y與直線k=2x+3y的交點在第四象限
聯立
5x+4y=2k+1，
2x+3y=k.
解得
x= ，
y= .
因為它們的交點在第四象限，所以x>0，y<0，即
解得 課堂小結
二元一次方程的解
兩個一次函數圖象的交點坐標
兩個二元一次方程的公共解

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