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第一章 空間向量與立體幾何
1.1空間向量的概念和運算
【學習目標】
類比平面向量的概念和表示，理解、識記空間向量的概念、表示以及幾個特殊向量的概念，特別是理解、識記直線的方向向量的概念；
理解空間向量運算的“平面性”，類比平面向量掌握空間向量加法、減法、數乘和數量積的運算法則；
【重點難點】
共面向量定理以及利用共面向量定理證明4點共面；
選擇合適的向量作為“基底”表示所需向量，進而解求距離、線線夾角以及證明線
線平行和垂直等問題.
【導學流程】
閱讀課本，認真分析空間向量的概念和加、減、數乘以及數量積的運算法則，完成以下問題.
探究一、空間向量的概念和表示
1.空間向量的概念
在空間中，把具有 和 的量叫空間向量.
空間向量
2.空間向量的概念和表示概述
3.兩種空間向量的概念
（1）直線的方向向量
若非零向量所在的直線與直線l ，則就叫做直線l的方向向量.
直線的方向向量
（2）共面向量：如果向量所在的直線平行于平面或在平面內，就說向量平行于平面. 于同一個平面的向量，叫做共面向量。空間中任意兩個向量 必然 共面，但是三個向量可能共面，也可能不共面。兩個或多個向量共線 一定 共面。
規定：零向量和任意兩個向量都共面.
空間兩個向量必然共面
空間三個向量可能共面，也可能不共面
探究二、空間向量的運算
1.空間向量運算的“平面性”舉例
（1）作圖求 （2）平移到起點相同
（3）空間向量運算變為平面向量運算
2.空間向量運算概述
3.共面向量定理及四點共面的判斷方法
我們知道，任意兩個空間向量一定共面，但三個空間向量可以共面，也可以不共面，如下圖所示：
（一）大前提： 向量不共線 .
（1）共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使 .
（2）定理本質： 平面向量基本定理 .
（3）證明四點共面的方法： .
（二）當（非零向量）共線，且時，與的關系分析
與的關系
共線
不共線 共面，但不共線
（三）典例·概念辨析
例1.給出下列結論中，正確的有( )
A. 若，，共面，則存在實數，，使得．
B. 若，，不共面，則不存在實數，，使得．
C. 若，，共面，，不共線，則存在實數，，使得．
D. 若，則，，共面．
4.投影向量
（1）向量在向量（或直線）上的投影向量（同平面向量）.
（2）向量在平面上的投影向量.
（1） （2）
【典型例題】
題型一、空間向量的線性運算
1. 已知空間四邊形中，，點在上，且，為的中點，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 在正方體，若，則的值為
A．3 B．1 C．－1 D．－3
3. 設三棱錐中，，是的重心，則（ ）
A. B.
C. D.
題型二、3點共線、4點共面問題
1. 如圖所示，在正方體中，E在上，且，在對角線上，且
（1）用向量表示向量；
（2）求證：E,F,B三點共線。
2. 設是空間兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，求實數的值.
3. 設空間四點滿足，若A,B,P三點共線，求m+n的值.
4.【結論，要識記】已知空間任意一點和不共線的三點，滿足向量式
, 若四點共面，求x+y+z的值.
5.如圖，在平行六面體中，為的中點，點滿足.若四點在同一個平面上，則（ ）
A. B. C. D.
題型三、空間中的投影向量
1. 如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于 ．
題型四、空間向量的數量積運算
1. 如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E,F分別是AB,AD的中點.
求，；
2. 如圖所示，正方體中，用“向量法”求異面直線與所成的角.
3. 如圖，正三棱柱的各個棱長都是2，E,F分別是AB，的中點，用“向量法”求EF的長.
第1題 圖 第2題 圖 第3題 圖

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