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第二章 機(jī)械振動(dòng)
第四節(jié) 科學(xué)測量：用單擺測量重力加速度
新課導(dǎo)入
曾經(jīng)有個(gè)廣東人到瑞士旅游，看到擺鐘很漂亮，就買了一個(gè)回家，但是回到廣東之后發(fā)現(xiàn)擺鐘計(jì)時(shí)不準(zhǔn)了，而在瑞士買的時(shí)候是很準(zhǔn)的。后來就打電話投訴，但經(jīng)過鑒定擺鐘的質(zhì)量是沒有問題的。那問題出現(xiàn)在哪里？擺鐘是走慢了還是走快了？如何進(jìn)行校準(zhǔn)呢？
根據(jù)單擺的周期公式
我們知道，這里擺長不變的情況下，一定是重力加速度g發(fā)生了變化。
1.知道用單擺測重力加速度的實(shí)驗(yàn)思路并能正確進(jìn)行實(shí)驗(yàn)
2.會(huì)測量實(shí)際單擺的擺長,會(huì)測量單擺振動(dòng)的時(shí)間,會(huì)用平均值法求周期
3.會(huì)用平均值法、圖像法（T2-l 圖像）求重力加速度
學(xué)習(xí)目標(biāo)
新課導(dǎo)入
了解地球表面重力加速度的分布，對(duì)地球物理學(xué)、航空航天技術(shù)及大地測量等領(lǐng)域有十分重要的意義。為此，就需要了解測量重力加速度的方法。
測量 l 和 T 即知當(dāng)?shù)豨
g=
實(shí)驗(yàn)?zāi)康?br/>1.用單擺測量重力加速度。
2.會(huì)使用秒表測量時(shí)間。
3.能分析實(shí)驗(yàn)誤差的來源，并能采用適當(dāng)方法減小測量誤差。
單擺在擺角小于5°時(shí)的振動(dòng)可近似為簡諧運(yùn)動(dòng)，
由 ，得
只要測出單擺的擺長 l 和周期 T，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋?br/>實(shí)驗(yàn)原理
實(shí)驗(yàn)器材
帶有鐵夾的鐵架臺(tái)、中心開有小孔的金屬小球、 長約1 m的細(xì)線、刻度尺、游標(biāo)卡尺（選用）、機(jī)械停表（秒表）。
實(shí)驗(yàn)步驟
1. 組裝單擺：
取約1米長的線繩穿過帶孔的小鋼球，并打一個(gè)比小孔大一些的結(jié)，然后用夾子固定在桌邊的鐵架臺(tái)上。
并在單擺的平衡位置做標(biāo)記
2.測擺長
用刻度尺測擺線長度l線，用游標(biāo)卡尺測小球的直徑d。測量多次，取平均值，計(jì)算擺長l＝_________。
3.測周期
將小球從平衡位置拉至一個(gè)偏角小于5°的位置并由靜止釋放，使其在豎直面內(nèi)振動(dòng)。待振動(dòng)穩(wěn)定后，從小球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始用秒表計(jì)時(shí)，測量N次全振動(dòng)的時(shí)間t，則周期T＝___。重復(fù)多次，取平均值。
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測量周期時(shí)，可以使用機(jī)械停表，也可以使用其他計(jì)時(shí)工具，例如手機(jī)上的計(jì)時(shí)器等
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秒表
機(jī)械秒表的計(jì)數(shù): 分針和秒針?biāo)甘镜臅r(shí)間之和為記錄時(shí)間。
秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)是通過齒輪傳動(dòng)的，不可能停在兩格中間，所以不用估讀。
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讀數(shù)：2分7.6秒或者127.6秒
大表盤：7.6秒
小表盤：2分鐘或120秒
實(shí)驗(yàn)步驟
4.改變擺長，重復(fù)實(shí)驗(yàn)多次。
5.將每次實(shí)驗(yàn)得到的l、T代入g＝ 計(jì)算重力加速度，取平均值，即為測得的當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?br/>數(shù)據(jù)分析
1 2 3 4 5 6
l/m
T/s
g/(m·s-2)
重力加速度的平均值是 g=
1.公式法：
每改變一次擺長，將相應(yīng)的l和T代入公式g＝ 中求出g的值，最后求出g的平均值，設(shè)計(jì)如表所示的實(shí)驗(yàn)表格。
數(shù)據(jù)分析
2.圖像法：
由 ，
以T2為縱軸，以l為橫軸，作出T2－l圖像(如圖所示)，其斜率k＝________，由圖像的斜率即可求出重力加速度g＝______。
誤差分析
1．系統(tǒng)誤差
主要來自于單擺模型本身是否符合要求，即懸點(diǎn)是否固定，擺球和擺長是否符合要求，最大擺角是否不超過5，是否在同一豎直平面內(nèi)擺動(dòng)等。
2．偶然誤差
（1）主要來自于時(shí)間測量，測量時(shí)間時(shí)要求從擺球通過平衡位置開始計(jì)時(shí)，在記次數(shù)時(shí)不能漏記或多記。同時(shí)應(yīng)多次測量，再對(duì)多次測量結(jié)果求平均值。
（2）測長度和擺球直徑時(shí)，讀數(shù)也容易產(chǎn)生誤差。秒表讀數(shù)讀到秒的十分位即可。
誤差分析
測量擺長時(shí)引起的誤差
①擺長測量值偏小，則g的測量值偏小。如在未懸掛擺球前測量了擺長；僅測量了擺線長漏加擺球半徑；懸點(diǎn)未固定好，擺球擺動(dòng)過程中出現(xiàn)松動(dòng)，使實(shí)際的擺長變長等。
②擺長測量值偏大，則g的測量值偏大。如測量擺長時(shí)擺線拉得過緊或以擺線長和小球的直徑之和作為擺長(多加了半徑)。
測量周期時(shí)引起的誤差
①周期測量值偏大，則g的測量值偏小。如把(n＋1)次全振動(dòng)的時(shí)間誤當(dāng)成n次全振動(dòng)的時(shí)間；開始計(jì)時(shí)時(shí)秒表過早按下或停止計(jì)時(shí)時(shí)秒表過遲按下等。
②周期測量值偏小，則g的測量值偏大。如把(n－1)次全振動(dòng)的時(shí)間誤當(dāng)成n次全振動(dòng)的時(shí)間；開始計(jì)時(shí)時(shí)，秒表過遲按下或停止計(jì)時(shí)時(shí)秒表過早按下等。
③計(jì)量單擺的全振動(dòng)次數(shù)時(shí)，不從擺球通過最低點(diǎn)(平衡位置)時(shí)開始計(jì)時(shí)，容易產(chǎn)生較大的計(jì)時(shí)誤差。
注意事項(xiàng)
1．選擇細(xì)線時(shí)應(yīng)選擇細(xì)、輕而且不易伸長，長度約1米左右的細(xì)線，小球應(yīng)選密度較大、半徑較小的金屬球。
2．單擺擺線的上端應(yīng)夾緊，不能卷在鐵架臺(tái)的桿上，
以免造成懸點(diǎn)不固定，擺長變化的現(xiàn)象。
3．測量擺長時(shí)應(yīng)注意是懸點(diǎn)到球心的距離，
等于擺線長加上小球半徑。
注意擺線長與擺長的區(qū)別。
PK
PK
有彈力
注意事項(xiàng)
4．要使單擺在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，不要形成圓錐擺。
5．要注意控制擺球的最大擺角不超過5 。
6．計(jì)算單擺的振動(dòng)次數(shù)時(shí)，應(yīng)從小球通過最低位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，同方向再次通過最低位置時(shí)，計(jì)數(shù)為1 、 2 ……
7．改變懸線長度多次測量，最后求出g的平均值。
小試牛刀
1.用單擺測量重力加速度的實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示：

(1)組裝單擺時(shí)，應(yīng)在下列器材中選用______。
A.長度為1 m左右的細(xì)線
B.長度為10 cm左右的橡皮繩
C.直徑為1.5 cm左右的塑料球
D.直徑為1.5 cm左右的鐵球
AD
(2)選擇好器材，將符合實(shí)驗(yàn)要求的單擺掛在鐵架臺(tái)上，應(yīng)采用圖_____(選填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
丙
(3)下列測量單擺振動(dòng)周期的方法正確的是____。
A.把擺球從平衡位置拉開到某一位置，然后由靜止釋放擺球，在釋放擺球的同時(shí)啟動(dòng)秒表開始計(jì)時(shí)，當(dāng)擺球再次回到原來位置時(shí)，按停秒表停止計(jì)時(shí)
B.以單擺在最大位移處為計(jì)時(shí)基準(zhǔn)位置，用秒表測出擺球第n次回到基準(zhǔn)位置的時(shí)間t，則T＝
C.以擺球在最低位置處為計(jì)時(shí)基準(zhǔn)位置，擺球每從同一方向經(jīng)過最低位置記數(shù)一次，用秒表記錄擺球從同一方向n次經(jīng)過最低位置時(shí)的時(shí)間t，則T＝
C
小試牛刀
2.在“用單擺測量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中。

(1)某同學(xué)先用米尺測得擺線長為97.43 cm，用游標(biāo)卡尺測得擺球直徑如圖甲所示為_______ cm，則單擺的擺長為_______ cm；然后用秒表記錄了單擺擺動(dòng)50次所用的時(shí)間如圖乙所示為_____ s，則單擺的周期為_____ s；當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間＝______ m/s2；
2.125
98.49
99.8
2.0
9.71
小試牛刀
(2)實(shí)驗(yàn)中，如果擺球密度不均勻，無法確定重心位置，一位同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)巧妙的方法不計(jì)擺球的半徑，具體做法如下：第一次量得懸線長L1，測得振動(dòng)周期為T1；第二次量得懸線長L2，測得振動(dòng)周期為T2，由此可
推得重力加速度為g＝____________。(用π、L1、L2、T1、T2表示)
小試牛刀
3.某實(shí)驗(yàn)小組用如圖甲所示實(shí)驗(yàn)裝置做“用單擺測量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)。
(1)為了減小測量誤差，下列說法正確的是_____。
A.將鋼球換成塑料球
B.當(dāng)擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)
C.把擺球從平衡位置拉開一個(gè)很大的角度后釋放
D.記錄一次全振動(dòng)的時(shí)間作為周期，根據(jù)公式計(jì)
算重力加速度g
B
小試牛刀
(2)該同學(xué)經(jīng)測量得到6組擺長L和對(duì)應(yīng)的周期T，畫出L－T2圖線，然后在圖線上選取A、B兩個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)如圖乙所示。則當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊谋磉_(dá)式g
＝____________。(用π、LB、LA、TB、TA表示)處理完數(shù)據(jù)后，該同學(xué)發(fā)現(xiàn)在計(jì)算擺長時(shí)用的是擺線長度而未計(jì)入小球的半徑，這樣_______(選填“影響”或“不影響”)重力加速度的計(jì)算。
不影響
想一想
太空中的單擺為何不擺動(dòng)？
當(dāng)堂檢測
1. 在用單擺測量重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，下面的敘述哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的？
A.擺線要選擇細(xì)些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些
B.擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的
C.為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時(shí)拉開擺球，使擺角較大
D.用刻度尺測量擺線的長度l，這就是單擺的擺長
E.釋放擺球，從擺球經(jīng)過平衡位置開始計(jì)時(shí)，記下擺球做50次全振動(dòng)所用的時(shí)間t，則單擺周期
√
√
×
×
√
解析：A、B對(duì)：單擺的構(gòu)成條件：細(xì)線質(zhì)量要小，彈性要小并且盡量長一些，球要體積小、密度大。
C錯(cuò)：單擺擺角應(yīng)小于5°，擺長一定的情況下，擺的振幅盡量小些，開始時(shí)拉開擺球，使擺線相距平衡位置不能有太大的角度。
D錯(cuò)：單擺的擺長應(yīng)為懸點(diǎn)到小球球心的距離，即擺長等于線長加上球半徑。
E對(duì)：為減小實(shí)驗(yàn)誤差，拉開擺球，使擺線偏離平衡位置的角度不大于5°。釋放擺球，當(dāng)擺球振動(dòng)穩(wěn)定后，從平衡位置開始計(jì)時(shí)，記下擺球做50次全振動(dòng)所用的時(shí)間t，則單擺周期
2.（多選）一根不可伸長的細(xì)線，上端懸掛在O點(diǎn)，下端系一個(gè)小球，如圖甲所示，某同學(xué)利用此裝置來探究周期與擺長的關(guān)系.該同學(xué)用米尺測得細(xì)線的長度，用游標(biāo)卡尺測得小球的直徑，二者相加為l，通過改變細(xì)線的長度，測得對(duì)應(yīng)的周期T，得到該裝置的
圖像如圖乙所示，則下列說法正確的是（取 ）( )
A.時(shí)擺長為1 m
B.時(shí)擺長為0.994 m
C.擺球半徑為0.006 m
D.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?br/>BCD
解析：設(shè)擺長為 ，小球半徑為r，單擺的周期公式 整理得 ，可知 為 圖像的斜率，
所以有 ，
解得 ，故D正確.由題圖乙可知， 圖像的縱軸截距為小球的半徑r，則 時(shí)擺長 ，故A錯(cuò)誤，B、C正確.
3.惠更斯在推導(dǎo)出單擺的周期公式后，用單擺測出了重力加速度。我們也可以采用同樣的辦法，測量所在地區(qū)的重力加速度。
某同學(xué)的實(shí)驗(yàn)步驟如下：
（1）正確安裝單擺，測出擺線長l；
（2）釋放擺球，從擺球第1次經(jīng)過平衡位置開始計(jì)時(shí)，第n次經(jīng)過
平衡位置結(jié)束計(jì)時(shí)，停表記錄的時(shí)間為t，則單擺周期T=_____________。
（3）改變擺長，測出幾組擺線長l和對(duì)應(yīng)的周期T，作出 圖像，如圖所示。
（4）測得圖像的斜率為k，縱軸截距為-b，則重力加速度g=___________，擺球的直徑為_____________（用所測物理量符號(hào)表示）。
解析：（2）球在一個(gè)周期內(nèi)兩次經(jīng)過平衡位置，有
得周期為 ，故填
（4）單擺的周期公式為
擺長等于擺線的長度與擺球的半徑之和
得 ，則斜率
得重力加速度為
由截距為-b，有
得
故填2b。
4.在“用單擺測重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)的操作步驟為：
a.取一根細(xì)線，下端系住直徑為d的金屬小球，上端固定在鐵架臺(tái)上；
b.用米尺量得細(xì)線長度l；
c.從擺線偏離豎直方向5°位置釋放小球；
d.用停表記錄小球完成n次全振動(dòng)的總時(shí)間t，得到周期 ；
e.用公式 計(jì)算重力加速度.
（1）在該實(shí)驗(yàn)中，有利于減小實(shí)驗(yàn)誤差的做法是________.
A.測量擺線長度時(shí)多測幾次取平均值
B.質(zhì)量相同、體積不同的擺球，應(yīng)選用體積較大的
C.單擺偏離平衡位置的角度不能太大
D.為計(jì)時(shí)方便，測量單擺振動(dòng)周期時(shí)從擺球經(jīng)過最大位移處時(shí)開始計(jì)時(shí)
AC
解析：（1）測量擺線長度時(shí)多測幾次取平均值，有利于減小實(shí)驗(yàn)的偶然誤差，選項(xiàng)A正確；質(zhì)量相同、體積不同的擺球，應(yīng)選用體積較小的，以減小空氣阻力的影響，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；單擺偏離平衡位置的角度不能太大，否則單擺的運(yùn)動(dòng)不是簡諧運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)C正確；為計(jì)時(shí)方便，測量單擺振動(dòng)周期時(shí)應(yīng)從擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
（2）按上述方法得出的重力加速度值與實(shí)際值相比________（填“偏大”“相同”或“偏小”）.
（3）該同學(xué)為了減少誤差，利用上述方法測量出了多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并作出了圖像，則________圖正確.
偏小
B
解析：（2）擺長應(yīng)該是擺線長與擺球的半徑之和，按上述方法計(jì)算的擺長沒有包括擺球半徑，則擺長相對(duì)實(shí)際值偏小，
根據(jù) 可知，得出的重力加速度值與實(shí)際值相比偏小.
（3）根據(jù) ，解得 ，則B圖正確.
謝謝

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