資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題強化（5）豎直平面的圓周運動
掌握圓周運動中豎直面上的幾種模型分析思路
知識點1 繩、桿模型討論
輕繩模型（沒有支撐） 輕桿模型（有支撐）
常見 類型
過最高點的臨界條件 由mg＝m得v臨＝ 由小球能運動即可得v臨＝0
對應最低點速度v低≥ 對應最低點速度v低≥
繩不松不脫軌條件 v低≥或v低≤ 不脫軌
最低點彈力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高點彈力 過最高點時，v≥，FN＋mg＝m，繩、軌道對球產生彈力FN＝m-mg 向下壓力 (1)當v＝0時，FN＝mg，FN為向上支持力 (2)當0＜v＜時，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，隨v的增大而減小 (3)當v＝時，FN＝0 (4)當v＞時，FN＋mg＝m，FN為向下壓力并隨v的增大而增大
在最高 點的FN 圖線 取豎直向下為正方向 取豎直向下為正方向
（2024春 懷柔區期末）如圖甲所示，用一輕質繩拴著一質量為m的小球，在豎直平面內做圓周運動（不計一切阻力），小球運動到最高點時繩對小球的拉力為T，小球在最高點的速度大小為v，其T﹣v2圖像如圖乙所示，則下列說法不正確的是（　　）
A．輕質繩長為
B．當地的重力加速度為
C．當v2＝c時，輕質繩最高點拉力大小為
D．若小球在最低點時的速度，小球運動到最低點時繩的拉力為mg
【解答】解：設繩長為l，小球在最高點時，根據牛頓第二定律有T+mg
AB、由乙圖可知T＝0時，v2＝b，v2＝0時，T＝﹣a，代入上式可得g，l，故AB正確；
C、把v2＝c代入解得輕質繩最高點的拉力大小為T，解得T，故C正確；
D、若小球在最低點時的速度，設小球運動到最低點時繩的拉力T'，根據牛頓第二定律有T'﹣mg，代入數據解得T'＝2mg，故D錯誤。
本題是選不正確的
故選：D。
（2024春 綿陽期末）某同學將手機用充電線懸掛于固定點，拉開一定角度（小于45°）釋放，手機在豎直面內沿圓弧往復運動，手機傳感器記錄速率v隨時間t變化的關系如圖所示。不計空氣阻力。則手機（　　）
A．在A、C兩點時，速度方向相反
B．在B點時，手機受到合力為零
C．在C點時，線中拉力最小
D．在B、D兩點時，線中拉力相同
【解答】解：A．結合題中情境可知，手機連續兩次經過最低點時，在A、C兩點，速度方向相反，故A正確；
B．在B點時，手機速度為零，加速度不為零，合力不為零，故B錯誤；
C．在C點時，根據牛頓第二定律可得
在C點速度最大，線中拉力最大，故C錯誤；
D．在B、D兩點手機處于左右側最高點，線中拉力大小相等，方向不同，故D錯誤。
故選：A。
（2024春 寶安區校級期中）如圖所示，質量為4kg，半徑為0.5m的光滑細圓管用輕桿固定在豎直平面內，小球A和B的直徑略小于細圓管的內徑，它們的質量分別為mA＝1kg、mB＝2kg。某時刻，小球A，B分別位于圓管最低點和最高點，且A的速度大小為vA＝3m/s，此時桿的下端受到向上的壓力，大小為56N。則B球的速度大小vB為（取g＝10m/s2）（　　）
A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s
【解答】解：對A球，合外力提供向心力，設環對A的支持力為FA，由牛頓第二定律有
代入數據解得FA＝28N
由牛頓第三定律可得，A球對環的力向下，為28N，設B球對環的力為FB'，由環的受力平衡可得FB'+28+m環g＝﹣56N
解得FB'＝﹣124N
符號表示和重力方向相反，由牛頓第三定律可得，環對B球的力FB為124N，方向豎直向下，對B球由牛頓第二定律有
解得vB＝6m/s，ABD錯誤，C正確
故選：C。
（2024秋 廬陽區校級月考）如圖，在豎直平面內一半徑為R的圓弧軌道ABC和水平軌道PA在A點相切，BC為圓弧軌道的直徑，O為圓心，OA和OB之間的夾角為α，。一質量為m的小球沿水平軌道向右運動，經A點沿圓弧軌道通過C點，落至水平軌道；在整個過程中，除受到重力及軌道作用力外，小球還一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C點所受合力的方向指向圓心，且此時小球對軌道的壓力恰好為零。不計一切摩擦，重力加速度大小為g。則下列說法不正確的是（　　）
A．小球在A點時速度最大
B．小球在B點時對軌道的壓力最大
C．小球受到的水平恒力的大小為
D．小球到達C點時速度的大小為
【解答】解：AB、已知小球在C點所受合力的方向指向圓心，且此時小球軌道的壓力恰好為零，表明水平恒力與重力的合力方向與直徑BC平行，此時水平恒力與重力的合力方向指向圓心，如圖
重力和恒力F的合力沿CB方向，則可以將此模型中重力和F的合力看作等效重力G′，則在圓周中B點為等效最低點，C點為等效最高點。類比于一般的圓周運動可知，小球在等效低點B點時速度最大，所需向心力最大，受到的支持力也最大，根據牛頓第三定律可知，小球在B點時對軌道的壓力最大，故A錯誤，B正確；
C．設小球受到的水平恒力大小為F，由題意，根據力的合成與分解可得
解得
故C正確；
D．在C點小球對軌道的壓力恰好為零，等效重力G′提供小球做圓周運動的向心力，則，
解得
故D正確。
本題選擇不正確，
故選：A。
（2024春 西安期末）如圖所示，一個固定在豎直平面內的光滑半圓形管道，管道里有一個直徑略小于管道內徑的小球，小球在管道內做圓周運動，從B點脫離后做平拋運動，經過0.3s后又恰好與傾角為45°的斜面垂直相碰。已知半圓形管道的半徑為R＝1m，小球可看作質點且其質量為m＝1kg，不計空氣阻力，g取10m/s2，則（　　）
A．小球經過B點時的速率為5m/s
B．小球經過B點時受到管道的作用力為1N，方向向上
C．若改變小球進入管道的初速度使其恰好到達B點，則在B點時小球對管道的作用力為零
D．若改變小球速度使其在A點的速度為8m/s，則在A點時小球對管道的作用力為64 N
【解答】解：A、小球垂直撞在斜面上，可知到達斜面時豎直分速度vy＝gt＝10×0.3m/s＝3m/s，根據平行四邊形定則知tan45°，解得小球經過B點的速率為vB＝vy＝3m/s，故A錯誤；
B、在B點，根據牛頓第二定律得mg+FN＝m，解得軌道對小球的作用力FN＝﹣1N，可知軌道對小球的作用力方向向上，大小為1N，故B正確；
C、改變小球進入管道初速度使其恰好到達B點，即到達B點速度為零，故滿足FN＝mg，則在B點時小球對管道的作用力大小等于重力大小，故C錯誤；
D、若改變小球速度使其在A點的速度為8m/s，根據FNA﹣mg＝m，解得FNA＝74N，牛頓第三定律知，在A點時小球對管道的作用力為74N，故D錯誤。
故選：B。
（2024秋 荔灣區校級月考）氣嘴燈安裝在自行車的氣嘴上，騎行時會發光。一種氣嘴燈的感應裝置結構如圖所示，感應裝置內壁光滑，質量為m的重物套在光滑桿上，一端通過勁度系數為k的彈簧連在A點，重物上有觸點C，在B端固定有觸點D。如圖，重物靜止時C、D間的距離Δx。當觸點C、D接觸后，LED燈就會發光，測得自行車車輪內徑為R。讓安裝了氣嘴燈的自行車倒放在地面上，旋轉前車輪研究LED燈的發光情況。若氣嘴燈的大小相對車輪內徑可忽略不計，重力加速度大小為g，計算結果可以保留根號。
（1）若前輪勻速轉動時，線速度大小為v0，則：
①當氣嘴燈運動到最低點時，求B端對重物的支持力；
②通過計算判斷LED燈是否能一直發光？
（2）若使前輪勻速轉動一周，線速度大小為v1，求LED燈發光的時間。
【解答】解：（1）①由圓周運動的原理，可知B端應在車輪轉軸外側，更靠近氣嘴，A端應在內側，則重物靜止時，由平衡條件可得：kx＝mg
氣嘴燈運動到最低點時，由牛頓第二定律可得：
解得B端對重物的支持力大小為：F＝2mg，方向豎直向上；
②設前輪的線速度為v時，氣嘴燈運動到最高點時恰能發光，則有：
解得：，故LED燈能一直發光
（2）由于，故LED燈不能一直發光．設剛好能發光時，燈與圓心的連線與水平方向夾角為θ，有
解得：θ＝30°
故能發光的時間為：
其中
解得：。
答：（1）①當氣嘴燈運動到最低點時，B端對重物的支持力的大小為2mg；
②LED燈能一直發光，原因見解析
（2）LED燈發光的時間為。
知識點2 過拱凹形橋
拱形橋 圓軌外側 凹形橋
示意圖
作用力 最高點(失重)：FN＝G－mv2/R，可知： （1）當v=0時，即汽車靜止在最高點，FN=G； （2）當汽車的速度增大到mv2/R=mg 即v= 時，FN=0，汽車在橋頂只受重力G，又具水平速度v，因此開始做平拋運動； （3）當0≤v≤時，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小； （4）當v>時，汽車將脫離橋面，將在最高點做平拋運動，即所謂的“飛車”。 最高點(超重)：FN＝G+mv2/R可知： （1）當v=0時，即汽車靜止在最高點，FN=G； （2）當汽車的速度v≠0時，FN>mg，且速度v越大，FN越大。
（2024春 蘆淞區校級期中）如圖所示，一輛小汽車勻速駛上圓弧拱橋。下列說法正確的是（　　）
A．車對橋的壓力大于橋對車的支持力
B．車對橋的壓力小于橋對車的支持力
C．車對橋的壓力大于車的重力
D．車對橋的壓力小于車的重力
【解答】解：一輛小汽車勻速駛上圓弧拱橋，小車加速度向下，處于失重狀態，所以車對橋的壓力小于車的重力，而車對橋的壓力與橋對車的支持力是相互作用力，大小相等。
故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
（2023春 淮安期中）如圖所示，一輛汽車駛上一圈弧形的拱橋，當汽車以30m/s的速度經過橋頂時，恰好對橋頂沒有壓力。若汽車以10m/s的速度經過橋頂，則汽車對橋項的壓力與汽車自身重力之比為（　　）
A．8：9 B．9：8 C．1：3 D．3：1
【解答】解：設汽車經過橋頂時橋頂對汽車的支持力為F，合力提供向心力有
當v＝v0＝30m/s
時F＝0
當v＝v1＝10m/s時，
聯立有
汽車對橋頂的壓力大小等于F'，則汽車對橋頂的壓力與汽車自身重力之比F'：mg＝8：9，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（多選）（2023春 海珠區校級期中）用三合板模擬拱形橋來研究汽車通過橋的最高點時對橋的壓力。在拱橋上表面事先鋪上一層牛仔布以增加摩擦，這樣玩具車就可以在橋面上跑起來了。把這套系統放在電子秤上，關于電子秤的示數下列說法正確的是（　　）
A．玩具車靜止在拱橋頂端時電子秤示數小一些
B．玩具車運動通過拱橋頂端時電子秤示數大一些
C．玩具車運動通過拱橋頂端時處于失重狀態
D．玩具車運動通過拱橋頂端時速度越大（未離開拱橋），電子秤示數越小
【解答】解：AB、玩具車靜止在拱橋頂端時，由于處于靜止狀態，說明玩具車手里平衡，玩具車對拱橋的壓力等于玩具車自身的重力，當玩具車以一定的速度通過最高點時，合力提供向心力，根據牛頓第二定律得：mg﹣N＝m，解得N＝mg﹣mmg，所以玩具車運動通過拱橋頂端時的示數小，故AB錯誤；
C、玩具運動通過拱橋頂端時，做圓周運動，其加速度方向指向圓心向下，處于失重狀態，故C正確；
D、根據N＝mg﹣m可知，玩具運動通過拱橋頂端時速度越大（未離開拱橋），示數越小，故D正確。
故選：CD。
（2023春 大興區期末）有一輛質量為800kg的小汽車駛上圓弧半徑為50m的拱橋，如圖所示。汽車到達橋頂時速度為5m/s。取重力加速度g＝10m/s2。
（1）畫出汽車經過橋頂時，在豎直方向上的受力示意圖；
（2）求汽車經過橋頂時，汽車對橋的壓力的大小；
（3）汽車對橋面的壓力過小是不安全的，請分析說明汽車在經過該拱橋時，速度大些比較安全，還是小些比較安全。
【解答】解：（1）汽車經過橋頂時，在豎直方向上的受力情況如圖所示
（2）以汽車為研究對象，根據牛頓第二定律
代入數據解得 FN＝7600 N
根據牛頓第三定律，汽車對橋頂的壓力大小FN′＝FN＝7600 N（1分）
（3）汽車對橋面的壓力，汽車的行駛速度越小，橋面所受壓力越大，汽車行駛越安全。
答：（1）畫出汽車經過橋頂時，在豎直方向上的受力示意圖（如上圖所示）；
（2）求汽車經過橋頂時，汽車對橋的壓力的大小為7600N；
（3）汽車對橋面的壓力過小是不安全的，汽車在經過該拱橋時，速度大些比較安全。
（2024秋 如皋市月考）如圖所示，豎直平面內的圓軌道半徑為R，A、B點分別為軌道的最左側、最高點。一小球在軌道內運動且始終未離開軌道，重力加速度為g，則（　　）
A．若小球運動到A點，小球在該位置所受的合力指向圓心
B．若小球運動到A點，小球在該位置的速度一定大于0
C．若小球運動到B點，小球在該位置一定受到軌道彈力
D．若小球運動到B點，小球在該位置的速度一定大于等于
【解答】解：A.若小球運動到A點，小球在該位置受到的彈力指向圓心，但重力豎直向下，所以小球在該位置所受的合力不指向圓心，故A錯誤；
B.若小球運動到A點，小球在該位置的速度如果剛好等于0，則小球將在下半圓軌道內來回運動，始終不會離開軌道，故B錯誤；
CD.若小球運動到B點，重力剛好提供向心力，則此時小球受到的彈力剛好為0，則有，可得可知小球運動到B點，小球在該位置的速度一定大于等于，故C錯誤，D正確。
故選：D。
（2024春 麗水期末）如圖，一質量為M的半圓弧凹槽放置在一電子秤上，現從最低點有初速度釋放一質量為m的小球，忽略空氣阻力與軌道摩擦，某時刻半圓弧凹槽對電子秤的壓力為FN。若小球從未脫離過圓弧軌道，則（　　）
A．FN可能大于Mg+mg
B．FN可能小于Mg
C．小球所受的支持力一直大于mg
D．小球所受的支持力一直小于mg
【解答】解：當小球運動到最低點時，與凹槽的作用力最大，此時對小球根據牛頓第二定理有
解得
此時小球所受的支持力大于mg；
對凹槽分析可根據平衡條件知
N+Mg＝FN
可知
FN＞Mg+mg
此時FN大于Mg+mg
設小球運動到最高點和凹槽圓心的連線與豎直方向的夾角為θ，則在最高點有
N′＝mgcosθ
此時小球所受的支持力一直小于mg；
對凹槽分析可知
N′cosθ+Mg＝F′N
可知
mgcos2θ+Mg＝F′N
此時FN小于Mg+mg，且大于等于Mg，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2024春 嘉興期末）圖甲是滾筒式洗衣機。洗衣機脫水完成前的某小段時間內，可認為水已脫干，衣物緊貼著滾筒壁在豎直平面內做勻速圓周運動，如圖乙所示。若一件小衣物在隨滾筒轉動過程中，先后經過最高點a、最低點c、與滾筒圓心等高的b、d點，則該衣物（　　）
A．在a、b、c、d的線速度相同
B．在整個運動過程中所受的合外力不變
C．在c時對滾筒壁的壓力大小等于重力
D．在b時受到的摩擦力和在d時受到的摩擦力方向相同
【解答】解：A、衣物緊貼著滾筒壁在豎直平面內做勻速圓周運動，線速度大小不變，方向時刻改變，所以衣物在a、b、c、d的線速度不同，故A錯誤；
B、衣物緊貼著滾筒壁在豎直平面內做勻速圓周運動，在整個過程中所受合力的大小不變，方向時刻指向圓心，故B錯誤；
C、在c時，設滾筒壁對衣物的支持力為N，根據牛頓第二定律有N﹣mg，則N＞mg，根據牛頓第三定律可知在c時對滾筒壁的壓力大小大于重力，故C錯誤；
D、在b和d處都是受重力、摩擦力和筒壁對衣物的支持力，其中重力和摩擦力是一對平衡力，筒壁對衣物的支持力提供向心力，所以在b時受到的摩擦力和在d時受到的摩擦力方向相同，都是豎直向上，故D正確。
故選：D。
（2024春 湖南期末）如圖所示，輕桿一端固定在垂直于紙面的水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球，輕桿隨轉軸在豎直平面內做勻速圓周運動，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　　）
A．小球運動到最低點時，桿對球的作用力一定豎直向上
B．小球運動到最高點時，桿對球的作用力一定豎直向下
C．小球運動到左側與圓心等高的A點時，桿對球的力沿桿向右
D．在最低點和最高點，桿對球的彈力之差一定為2mg
【解答】解：A、小球運動到最低點時，由桿的彈力和重力的合力提供向心力，向心力豎直向上，而重力豎直向下，則桿對球的作用力一定豎直向上，故A正確；
B、設桿的長度為l，若勻速轉動時，速度大小等于，則在最高點時，由牛頓第二定律有
解得：F＝0，故小球運動到最高點時，桿對球的作用力不一定豎直向下，故B錯誤；
C、當桿運動到左側與圓心等高的A點時，小球受重力和桿的彈力，合力提供向心力，如圖所示。
所以桿的彈力方向斜向右上方，不是指向圓心，故C錯誤；
D、設在最高點時，桿的彈力為F1。在最低點時，桿的彈力為F2，當桿轉動的角速度為ω0時，F1＝0，此時重力提供向心力，即
解得：
當桿轉動的角速度ω＜ω0時，則在最高點，有
在最低點，有
解得：
當桿轉動的角速度ω＞ω0時，在最高點，有
在最低點，有
解得：F2﹣F1＝2mg，故D錯誤。
故選：A。
（2024春 南崗區校級期末）長度為L＝0.5m的輕質細桿OA，A端有一質量為m＝3kg的小球，如圖所示，小球以O點為圓心在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速率為2m/s，g取10m/s2，則此時小球受到輕質細桿的力為（　　）
A．24N的拉力 B．24N的支持力
C．6N的支持力 D．6N的拉力
【解答】解：在最高點，設桿子對小球的作用力向上，根據牛頓第二定律得：
mg﹣F＝m
解得：F＝30﹣36N，方向向上，為支持力。
故選：C。
（2024春 福州期末）如圖，輕繩OA拴著質量為m的物體，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，下列說法正確的是（　　）
A．小球過最高點時，繩子一定有拉力
B．小球過最高點時的最小速度是0
C．若將輕繩OA換成輕桿，則小球過最高點時，輕桿對小球的作用力可以與小球所受重力大小相等，方向相反
D．若將輕繩OA換成輕桿，則小球過最高點時，小球過最高點時的最小速度是
【解答】解：AB、小球在最高點，向心力由重力和輕繩拉力共同提供，
根據牛頓第二定律可得：F+mg＝m
當輕繩拉力變小時，小球的速度會隨之減小，當拉力為零時，小球具有最小速度為：v，故AB錯誤；
CD、若將輕繩OA換成輕桿，則小球過最高點時，輕桿對小球的作用力可以與小球所受重力大小相等，方向相反，
此時滿足：F﹣mg＝m0
即小球過最高點的速度為零，故C正確，D錯誤。
故選：C。
（2024春 市中區校級期中）如圖所示，豎直面內的圓形管道半徑R遠大于橫截面的半徑，有一小球直徑比管橫截面直徑略小，在管道內做圓周運動。小球過最高點時，小球對管壁的彈力大小用F表示、速度大小用v表示，當小球以不同速度經過管道最高點時，其F﹣v2圖像如圖所示。則（　　）
A．小球的質量為
B．當地的重力加速度大小為
C．v2＝b時，小球對管壁的彈力方向豎直向下
D．v2＝3b時，小球受到的彈力大小是重力大小的5倍
【解答】解：AB．小球在最高點，如果v＝0，那么有
F＝mg＝c
如果F＝0，那么只有重力提供向心力，得到
解得小球的質量
，
故AB錯誤；
C．如果F＝0，那么有v2＝a，則v2＝b時，小球所受的彈力方向向下，所以小球對管壁的彈力方向豎直向上，故C錯誤；
D．當v2＝b時，根據圖像信息，可得到
，F＝c＝mg
解得
b＝2gR
當v2＝3b時，根據
解得
F′＝5mg
故D正確。
故選：D。
（2024春 西城區校級期中）如圖所示，用長為L的細繩拴著質量為m的小球在豎直平面內做圓周運動，重力加速度大小為g，則下列說法中正確的是（　　）
A．小球在圓周最高點時所受的向心力一定為重力
B．小球在最高點時繩子的拉力不可能為零
C．小球在最高點的速率為
D．小球過最低點時繩子的拉力一定大于小球重力
【解答】解：ABC、當小球在最高點的速度較大，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，若小球剛好在豎直面內做圓周運動，在最高點繩子拉力為零，速度最小，只有重力提供向心力，根據mg＝m
解得v
則最高點的速度最小為，故ABC錯誤；
D、在最低點，拉力和重力的合力提供向心力，由于合力的方向向上，所以拉力一定大于重力，故D正確；
故選：D。
（多選）（2024春 惠州期末）如圖（a）所示，可視為質點的小球穿在豎直平面內光滑的固定圓環上，繞圓心O點做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，圓環與小球間彈力大小為F，小球在最高點的速度大小為v，其F﹣v2圖像如圖（b）所示，重力加速度g取10m/s2，則以下說法中正確的是（　　）
A．小球的質量為4kg
B．固定圓環的半徑R為0.8m
C．若小球恰好能做完整的圓周運動，則其受到軌道的最大彈力為100N
D．小球在最高點的速度為4m/s時，小球受圓環的彈力大小為20N，方向向上
【解答】解：A、小球在最高點時，根據牛頓第二定律有mg﹣F＝m，由圖（b）可知，當v2＝0時，F＝20N，代入得m＝2kg，故A錯誤；
B、由圖（b）可知，當v2＝8（m/s）2時，F＝0，代入mg﹣F＝m解得R＝0.8m，故B正確；
C、若小球恰好能做完整的圓周運動，則小球在最高點的速度為零，當小球在最低點時，軌道對小球的作用力最大，設小球在最低點的速度為v'，根據動能定理有2mgR，在最低點根據牛頓第二定律有Fmax﹣mg，聯立解得Fmax＝100N，故C正確；
D、小球在最高點的速度為4m/s時，根據mg﹣F＝m，解得F＝﹣60N，負號說明小球受圓環彈力的方向為豎直向下，故D錯誤。
故選：BC。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題強化（5）豎直平面的圓周運動
掌握圓周運動中豎直面上的幾種模型分析思路
知識點1 繩、桿模型討論
輕繩模型（沒有支撐） 輕桿模型（有支撐）
常見 類型
過最高點的臨界條件 由mg＝m得v臨＝ 由小球能運動即可得v臨＝0
對應最低點速度v低≥ 對應最低點速度v低≥
繩不松不脫軌條件 v低≥或v低≤ 不脫軌
最低點彈力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高點彈力 過最高點時，v≥，FN＋mg＝m，繩、軌道對球產生彈力FN＝m-mg 向下壓力 (1)當v＝0時，FN＝mg，FN為向上支持力 (2)當0＜v＜時，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，隨v的增大而減小 (3)當v＝時，FN＝0 (4)當v＞時，FN＋mg＝m，FN為向下壓力并隨v的增大而增大
在最高 點的FN 圖線 取豎直向下為正方向 取豎直向下為正方向
（2024春 懷柔區期末）如圖甲所示，用一輕質繩拴著一質量為m的小球，在豎直平面內做圓周運動（不計一切阻力），小球運動到最高點時繩對小球的拉力為T，小球在最高點的速度大小為v，其T﹣v2圖像如圖乙所示，則下列說法不正確的是（　　）
A．輕質繩長為
B．當地的重力加速度為
C．當v2＝c時，輕質繩最高點拉力大小為
D．若小球在最低點時的速度，小球運動到最低點時繩的拉力為mg
（2024春 綿陽期末）某同學將手機用充電線懸掛于固定點，拉開一定角度（小于45°）釋放，手機在豎直面內沿圓弧往復運動，手機傳感器記錄速率v隨時間t變化的關系如圖所示。不計空氣阻力。則手機（　　）
A．在A、C兩點時，速度方向相反
B．在B點時，手機受到合力為零
C．在C點時，線中拉力最小
D．在B、D兩點時，線中拉力相同
（2024春 寶安區校級期中）如圖所示，質量為4kg，半徑為0.5m的光滑細圓管用輕桿固定在豎直平面內，小球A和B的直徑略小于細圓管的內徑，它們的質量分別為mA＝1kg、mB＝2kg。某時刻，小球A，B分別位于圓管最低點和最高點，且A的速度大小為vA＝3m/s，此時桿的下端受到向上的壓力，大小為56N。則B球的速度大小vB為（取g＝10m/s2）（　　）
A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s
（2024秋 廬陽區校級月考）如圖，在豎直平面內一半徑為R的圓弧軌道ABC和水平軌道PA在A點相切，BC為圓弧軌道的直徑，O為圓心，OA和OB之間的夾角為α，。一質量為m的小球沿水平軌道向右運動，經A點沿圓弧軌道通過C點，落至水平軌道；在整個過程中，除受到重力及軌道作用力外，小球還一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C點所受合力的方向指向圓心，且此時小球對軌道的壓力恰好為零。不計一切摩擦，重力加速度大小為g。則下列說法不正確的是（　　）
A．小球在A點時速度最大
B．小球在B點時對軌道的壓力最大
C．小球受到的水平恒力的大小為
D．小球到達C點時速度的大小為
（2024春 西安期末）如圖所示，一個固定在豎直平面內的光滑半圓形管道，管道里有一個直徑略小于管道內徑的小球，小球在管道內做圓周運動，從B點脫離后做平拋運動，經過0.3s后又恰好與傾角為45°的斜面垂直相碰。已知半圓形管道的半徑為R＝1m，小球可看作質點且其質量為m＝1kg，不計空氣阻力，g取10m/s2，則（　　）
A．小球經過B點時的速率為5m/s
B．小球經過B點時受到管道的作用力為1N，方向向上
C．若改變小球進入管道的初速度使其恰好到達B點，則在B點時小球對管道的作用力為零
D．若改變小球速度使其在A點的速度為8m/s，則在A點時小球對管道的作用力為64 N
（2024秋 荔灣區校級月考）氣嘴燈安裝在自行車的氣嘴上，騎行時會發光。一種氣嘴燈的感應裝置結構如圖所示，感應裝置內壁光滑，質量為m的重物套在光滑桿上，一端通過勁度系數為k的彈簧連在A點，重物上有觸點C，在B端固定有觸點D。如圖，重物靜止時C、D間的距離Δx。當觸點C、D接觸后，LED燈就會發光，測得自行車車輪內徑為R。讓安裝了氣嘴燈的自行車倒放在地面上，旋轉前車輪研究LED燈的發光情況。若氣嘴燈的大小相對車輪內徑可忽略不計，重力加速度大小為g，計算結果可以保留根號。
（1）若前輪勻速轉動時，線速度大小為v0，則：
①當氣嘴燈運動到最低點時，求B端對重物的支持力；
②通過計算判斷LED燈是否能一直發光？
（2）若使前輪勻速轉動一周，線速度大小為v1，求LED燈發光的時間。
知識點2 過拱凹形橋
拱形橋 圓軌外側 凹形橋
示意圖
作用力 最高點(失重)：FN＝G－mv2/R，可知： （1）當v=0時，即汽車靜止在最高點，FN=G； （2）當汽車的速度增大到mv2/R=mg 即v= 時，FN=0，汽車在橋頂只受重力G，又具水平速度v，因此開始做平拋運動； （3）當0≤v≤時，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小； （4）當v>時，汽車將脫離橋面，將在最高點做平拋運動，即所謂的“飛車”。 最高點(超重)：FN＝G+mv2/R可知： （1）當v=0時，即汽車靜止在最高點，FN=G； （2）當汽車的速度v≠0時，FN>mg，且速度v越大，FN越大。
（2024春 蘆淞區校級期中）如圖所示，一輛小汽車勻速駛上圓弧拱橋。下列說法正確的是（　　）
A．車對橋的壓力大于橋對車的支持力
B．車對橋的壓力小于橋對車的支持力
C．車對橋的壓力大于車的重力
D．車對橋的壓力小于車的重力
（2023春 淮安期中）如圖所示，一輛汽車駛上一圈弧形的拱橋，當汽車以30m/s的速度經過橋頂時，恰好對橋頂沒有壓力。若汽車以10m/s的速度經過橋頂，則汽車對橋項的壓力與汽車自身重力之比為（　　）
A．8：9 B．9：8 C．1：3 D．3：1
（多選）（2023春 海珠區校級期中）用三合板模擬拱形橋來研究汽車通過橋的最高點時對橋的壓力。在拱橋上表面事先鋪上一層牛仔布以增加摩擦，這樣玩具車就可以在橋面上跑起來了。把這套系統放在電子秤上，關于電子秤的示數下列說法正確的是（　　）
A．玩具車靜止在拱橋頂端時電子秤示數小一些
B．玩具車運動通過拱橋頂端時電子秤示數大一些
C．玩具車運動通過拱橋頂端時處于失重狀態
D．玩具車運動通過拱橋頂端時速度越大（未離開拱橋），電子秤示數越小
（2023春 大興區期末）有一輛質量為800kg的小汽車駛上圓弧半徑為50m的拱橋，如圖所示。汽車到達橋頂時速度為5m/s。取重力加速度g＝10m/s2。
（1）畫出汽車經過橋頂時，在豎直方向上的受力示意圖；
（2）求汽車經過橋頂時，汽車對橋的壓力的大小；
（3）汽車對橋面的壓力過小是不安全的，請分析說明汽車在經過該拱橋時，速度大些比較安全，還是小些比較安全。
（2024秋 如皋市月考）如圖所示，豎直平面內的圓軌道半徑為R，A、B點分別為軌道的最左側、最高點。一小球在軌道內運動且始終未離開軌道，重力加速度為g，則（　　）
A．若小球運動到A點，小球在該位置所受的合力指向圓心
B．若小球運動到A點，小球在該位置的速度一定大于0
C．若小球運動到B點，小球在該位置一定受到軌道彈力
D．若小球運動到B點，小球在該位置的速度一定大于等于
（2024春 麗水期末）如圖，一質量為M的半圓弧凹槽放置在一電子秤上，現從最低點有初速度釋放一質量為m的小球，忽略空氣阻力與軌道摩擦，某時刻半圓弧凹槽對電子秤的壓力為FN。若小球從未脫離過圓弧軌道，則（　　）
A．FN可能大于Mg+mg
B．FN可能小于Mg
C．小球所受的支持力一直大于mg
D．小球所受的支持力一直小于mg
（2024春 嘉興期末）圖甲是滾筒式洗衣機。洗衣機脫水完成前的某小段時間內，可認為水已脫干，衣物緊貼著滾筒壁在豎直平面內做勻速圓周運動，如圖乙所示。若一件小衣物在隨滾筒轉動過程中，先后經過最高點a、最低點c、與滾筒圓心等高的b、d點，則該衣物（　　）
A．在a、b、c、d的線速度相同
B．在整個運動過程中所受的合外力不變
C．在c時對滾筒壁的壓力大小等于重力
D．在b時受到的摩擦力和在d時受到的摩擦力方向相同
（2024春 湖南期末）如圖所示，輕桿一端固定在垂直于紙面的水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球，輕桿隨轉軸在豎直平面內做勻速圓周運動，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　　）
A．小球運動到最低點時，桿對球的作用力一定豎直向上
B．小球運動到最高點時，桿對球的作用力一定豎直向下
C．小球運動到左側與圓心等高的A點時，桿對球的力沿桿向右
D．在最低點和最高點，桿對球的彈力之差一定為2mg
（2024春 南崗區校級期末）長度為L＝0.5m的輕質細桿OA，A端有一質量為m＝3kg的小球，如圖所示，小球以O點為圓心在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速率為2m/s，g取10m/s2，則此時小球受到輕質細桿的力為（　　）
A．24N的拉力 B．24N的支持力
C．6N的支持力 D．6N的拉力
（2024春 福州期末）如圖，輕繩OA拴著質量為m的物體，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，下列說法正確的是（　　）
A．小球過最高點時，繩子一定有拉力
B．小球過最高點時的最小速度是0
C．若將輕繩OA換成輕桿，則小球過最高點時，輕桿對小球的作用力可以與小球所受重力大小相等，方向相反
D．若將輕繩OA換成輕桿，則小球過最高點時，小球過最高點時的最小速度是
（2024春 市中區校級期中）如圖所示，豎直面內的圓形管道半徑R遠大于橫截面的半徑，有一小球直徑比管橫截面直徑略小，在管道內做圓周運動。小球過最高點時，小球對管壁的彈力大小用F表示、速度大小用v表示，當小球以不同速度經過管道最高點時，其F﹣v2圖像如圖所示。則（　　）
A．小球的質量為
B．當地的重力加速度大小為
C．v2＝b時，小球對管壁的彈力方向豎直向下
D．v2＝3b時，小球受到的彈力大小是重力大小的5倍
（2024春 西城區校級期中）如圖所示，用長為L的細繩拴著質量為m的小球在豎直平面內做圓周運動，重力加速度大小為g，則下列說法中正確的是（　　）
A．小球在圓周最高點時所受的向心力一定為重力
B．小球在最高點時繩子的拉力不可能為零
C．小球在最高點的速率為
D．小球過最低點時繩子的拉力一定大于小球重力
（多選）（2024春 惠州期末）如圖（a）所示，可視為質點的小球穿在豎直平面內光滑的固定圓環上，繞圓心O點做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，圓環與小球間彈力大小為F，小球在最高點的速度大小為v，其F﹣v2圖像如圖（b）所示，重力加速度g取10m/s2，則以下說法中正確的是（　　）
A．小球的質量為4kg
B．固定圓環的半徑R為0.8m
C．若小球恰好能做完整的圓周運動，則其受到軌道的最大彈力為100N
D．小球在最高點的速度為4m/s時，小球受圓環的彈力大小為20N，方向向上
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