資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.4 生活中的圓周運動
（1）知道勻速圓周運動中向心加速度大小的表達式，理解向心加速度與半徑的關系，并會用來進行簡單的計算。
（2）了解分析勻速圓周運動速度變化量時用到的極限思想。
（3）能根據問題情景選擇合適的向心加速度的表達式。
在鐵路彎道處，稍微留意一下，就能發現內、外軌道的高度略有不同。你能解釋其中的原因嗎？
圓周運動是一種常見的運動形式，在生活中有著廣泛的應用。
知識點1 火車轉彎
1．如果鐵路彎道的內外軌一樣高，火車轉彎時，由外軌對輪緣的彈力提供向心力．
2．鐵路彎道的特點
(1)彎道處外軌略高于內軌．
(2)火車轉彎時鐵軌對火車的支持力不是豎直向上的，而是斜向彎道的內側．支持力與重力的合力指向圓心．
鐵路彎道處，外軌高于內軌，若火車按規定的速度v0行駛，轉彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如圖所示，則v0＝，其中R為彎道半徑，θ為軌道平面與水平面間的夾角(θ很小的情況下，tan θ≈sin θ)．
2．當火車行駛速度v等于規定速度v0時，所需向心力僅由重力和支持力的合力提供，此時內外軌道對火車輪緣無擠壓作用．當火車行駛速度v>v0時，外軌道對輪緣有側壓力．當火車行駛速度v（2024春 中山市期末）一滿載旅客的復興號列車以大小為v的速度通過斜面內的一段圓弧形鐵軌時，車輪對鐵軌恰好都沒有側向擠壓。圖為該段鐵軌內、外軌道的截面圖，斜面傾角為θ。下列說法正確的是（　　）
A．列車受到重力、軌道的支持力和向心力
B．若列車以大于v的速度通過該圓弧軌道，車輪將側向擠壓外軌
C．若列車空載時仍以v的速度通過該圓弧軌道，車輪將側向擠壓內軌
D．列車對軌道在與斜面垂直方向上的壓力大小滿足N＝mgcosθ
【解答】解：A.當車輪對鐵軌側向沒有擠壓時，則列車只受到重力和支持力的作用，它們的合力提供向心力，故A錯誤；
B.若列車以大于v的速度通過該圓弧軌道，外軌對外輪緣產生向內的側壓力補充重力和支持力的合力提供向心力不足的部分，所以車輪將側向擠壓外軌，故B正確；
C.若列車空載時仍以v的速度通過該圓弧軌道，根據mgtanθ＝m可知，設計速度與列車質量無關，所以車輪也不會對任一側軌道產生擠壓，故C錯誤；
D.列車受力情況如圖
根據幾何關系有Ncosθ＝mg，得N，根據牛頓第三定律，列車對軌道的壓力大小也為N，故D錯誤。
故選：B。
（2024春 新鄭市校級期末）傳統的火車車輪是圓柱形，鐵軌的彎道部分外軌高內軌低，當火車行進時，有時會產生難聽的“尖叫聲”。如圖所示，高鐵的車輪是外小內大的錐形，現在這項技術已應用到地鐵上。某地鐵線路的設計要求彎道的最小曲率半徑不能低于450m，設計速度要達到108km/h。已知軌距為1435mm標準軌距，重力加速度g＝10m/s2，則根據上述信息，可以判斷下列說法正確的是（　　）
A．地鐵線路彎道的外軌比內軌高約28.7mm
B．彎道的外軌設計得比內軌高是為了防止車廂做圓周運動時擠壓內軌
C．當列車經過彎道的速度低于108km/h時，車廂所需向心力由彈力與重力的合力提供
D．外小內大的錐形車輪能確保外軌車輪的速度略大于內軌車輪的速度
【解答】解：AC．地鐵的運行速度只有達到設計速度108km/h時，才由彈力和重力的合力提供其轉彎的向心力，根據向心力公式有
代入數據可得
由于傾斜角極小，則
tanθ≈sinθ
又由
代入數據得外軌比內軌高287mm，故AC錯誤；
B．車速較大時，車廂轉彎時做離心運動，重力的分量不足以提供向心力，外軌對車廂有擠壓，所以彎道的外軌設計得比內軌高是為了防止車廂轉彎時做離心運動而擠壓外軌，故B錯誤；
D．雖然外軌比內軌高，但當車速較小時，車廂會擠壓內軌，車速較大時，車廂會往外側移，外側車輪與軌道接觸的部分半徑較大，線速度較大，故D正確。
故選：D。
（2024春 市南區校級期末）如圖所示，火車質量為M，火車轉彎半徑為R，鐵軌平面傾角為θ，當火車以速率v0駛過轉彎處時，由重力和支持力的水平合力完全提供向心力，重力加速度為g，下列說法不正確的是（　　）
A．當以速率v0行駛時，向心力大小為m
B．當以速率v0行駛時，向心力大小為mgtanθ
C．當以速率v（v＞v0）行駛時，火車輪緣與外軌擠壓
D．當以速率v（v＞v0）行駛時，火車輪緣與內軌擠壓
【解答】解：A、火車轉彎時做勻速圓周運動的一部分，故根據牛頓第二定律可知F，故A正確；
B、對火車受力分析，重力和支持力的合力提供向心力，故F＝mgtanθ，故B正確；
C、當以速率v（v＞v0）行駛時，重力和支持力的合力不足以提供向心力，還需要火車輪緣與外軌擠壓提供部分向心力，故C正確，D錯誤；
因選不正確的，故選：D。
（2024春 江津區期中）如圖所示，鐵路轉彎處，外軌高于內軌。已知內、外軌高度差h＝10cm，彎道半徑r＝625m，軌道斜面長l＝1435mm，重力加速度g＝10m/s2。火車通過彎道的速度大小為v，下列判斷正確的是（　　）
A．當v＝60km/h時，火車對軌道的側壓力為零
B．當v＝65km/h時，火車對內軌道有側壓力
C．當v＝72km/h時，火車對軌道的側壓力為零
D．當v＝75km/h時，火車對外軌道有側壓力
【解答】解：設火車質量為m，當火車以設計速度v0行駛時，根據向心力公式F＝m
所以有mgtanθ＝m
當θ很小時取tanθ﹣sinθ
聯立可得v0
代入數據得v0＝20.87m/s≈75km/h
當速度等于75km/h時，對軌道無擠壓，當速度大于75km/h，火車擠壓外軌，當速度小于75km/h，火車擠壓內軌，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
知識點2 汽車過拱形橋
汽車過拱形橋 汽車過凹形路面
受力分析
向心力 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m
對橋(路面)的壓力 FN′＝mg－m FN′＝mg＋m
結論 汽車對橋的壓力小于汽車的重力，而且汽車速度越大，汽車對橋的壓力越小 汽車對路面的壓力大于汽車的重力，而且汽車速度越大，汽車對路面的壓力越大
1．汽車在拱形橋或凹形路面行駛時，可以看作勻速圓周運動
(1)汽車過拱形橋時，汽車對橋的壓力小于重力，汽車處于失重狀態，速度越大，壓力越小．
(2)汽車過凹形路面時，汽車對路面的壓力大于重力，汽車處于超重狀態，速度越大，壓力越大．
(3)汽車在橋面最高點即將飛離橋面時所受支持力恰好為0，此時只有重力提供向心力，即mg＝，得v＝，若超過這個速度，汽車做平拋運動．
（2024春 麗水期末）如圖，一質量為M的半圓弧凹槽放置在一電子秤上，現從最低點有初速度釋放一質量為m的小球，忽略空氣阻力與軌道摩擦，某時刻半圓弧凹槽對電子秤的壓力為FN。若小球從未脫離過圓弧軌道，則（　　）
A．FN可能大于Mg+mg
B．FN可能小于Mg
C．小球所受的支持力一直大于mg
D．小球所受的支持力一直小于mg
【解答】解：當小球運動到最低點時，與凹槽的作用力最大，此時對小球根據牛頓第二定理有
解得
此時小球所受的支持力大于mg；
對凹槽分析可根據平衡條件知
N+Mg＝FN
可知
FN＞Mg+mg
此時FN大于Mg+mg
設小球運動到最高點和凹槽圓心的連線與豎直方向的夾角為θ，則在最高點有
N′＝mgcosθ
此時小球所受的支持力一直小于mg；
對凹槽分析可知
N′cosθ+Mg＝F′N
可知
mgcos2θ+Mg＝F′N
此時FN小于Mg+mg，且大于等于Mg，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2024 衡陽縣校級開學）公路上的拱形橋是常見的，汽車過橋最高點時的運動可以看作圓周運動。如圖所示，汽車通過橋最高點時（　　）
A．汽車對橋的壓力等于汽車的重力
B．汽車對橋的壓力大于汽車的重力
C．汽車過橋最高點時所需要的向心力方向豎直向下
D．汽車做圓周運動所需要的向心力為0
【解答】解：ABC、汽車通過橋最高點時，對汽車受力分析，在豎直方向受到重力和橋的支持力，汽車做圓周運動，則由重力與支持力的合力提供向心力，且指向圓心，可知向心力方向豎直向下，由牛頓第二定律得
解得：
可得FN＝mg+m
可知橋對汽車的支持力FN小于重力mg，由牛頓第三定律可知，汽車對橋的壓力小于汽車的重力，故AB錯誤，C正確；
D、汽車做圓周運動，由牛頓第二定律可知，所需要的向心力不為0，若向心力為0，汽車就不能做圓周運動，故D錯誤。
故選：C。
（2024春 高新區期末）如圖甲，汽車以恒定速率通過一拱形橋面。如圖乙，a、b、c是汽車過橋面時的三個不同位置，其中a、c兩點高度相同，b點為橋面的最高點。假設整個過程中汽車所受空氣阻力和摩擦阻力的大小之和保持不變。下列說法正確的是（　　）
A．在ab段汽車對橋面的壓力大小不變
B．在bc段汽車的牽引力逐漸增大
C．在ab段汽車所受合力的大小、方向均不變
D．在ab段汽車發動機做功比bc段多
【解答】解：A.假設圓弧軌道的圓心為O，汽車受力（部分）如下圖
在指向圓心的方向，有mgcosθ﹣N＝m，汽車做勻速圓周運動，向心力大小不變，從a到b運動時，θ減小，則N增大，根據牛頓第三定律可知，汽車對橋面的壓力大小也增大，故A錯誤；
B.如上圖，汽車在bc段時，在速度方向上滿足mgsinα+F＝f，隨著汽車越來越靠近c點，α增大，空氣阻力和摩擦阻力的合力f大小不變，則牽引力F逐漸減小，故B錯誤；
C.汽車所受的合力提供勻速圓周運動的向心力，大小不變，但方向始終指向圓心，故C錯誤；
D.根據動能定理，設ab段弧長為s，高度差為h，發動機做功W1，滿足W1﹣fs﹣mgh＝0，則W1＝mgh+fs，同理在bc段，W2﹣fs+mgh＝0，則W2＝fs﹣mgh，故W1＞W2，故D正確。
故選：D。
知識點3 航天器中的失重現象
(1)在近地圓形軌道上，航天器(包括衛星、飛船、空間站)的重力提供向心力，滿足關系：Mg＝M，則v＝.
(2)質量為m的航天員，受到的座艙的支持力為FN，則mg－FN＝.
當v＝時，FN＝0，即航天員處于完全失重狀態．
(3)航天器內的任何物體都處于完全失重狀態．
知識點4離心運動
1．物體做離心運動的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不足以提供所需的向心力．
2．離心運動、近心運動的判斷：物體做圓周運動時出現離心運動還是近心運動，由實際提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小關系決定．(如圖所示)
(1)當F合＝mω2r時，“提供”等于“需要”，物體做勻速圓周運動；
(2)當F合>mω2r時，“提供”超過“需要”，物體做近心運動；
(3)當0≤F合（2024春 溫州期末）一物體置于水平粗糙圓盤上，圓盤從靜止開始加速轉動。整個過程中，物體的運動軌跡如圖所示。對于物體經過a、b、c、d點時的速度方向，圖中標注正確的是（　　）
A．a點 B．b點 C．c點 D．d點
【解答】解：圓盤從靜止開始加速轉動，物體先隨著圓盤一起做圓周運動，隨著速度增大到一定程度物體做離心運動，所以圓盤是順時針方向轉動的，根據做曲線運動的物體，其速度方向為軌跡上的切線方向，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2024春 天津期末）總長約55公里的港珠澳大橋是全球規模最大的跨海工程。如圖所示的路段是其中一段半徑約為120m的圓弧形彎道，路面水平，若汽車通過該圓弧形彎道時視為做勻速圓周運動，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力約為正壓力的0.8倍，取重力加速度g＝10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．汽車轉彎過程受重力、支持力、摩擦力和向心力
B．汽車以40m/s的速率可以安全通過此彎道
C．汽車速度太大時做離心運動是因為汽車實際受到的合外力不足以提供所需向心力
D．下雨天時，汽車應以較小速度轉彎，保證其受到的合外力大于需要的向心力
【解答】解：A.汽車轉彎過程受到重力、支持力和靜摩擦力作用，且靜摩擦力充當向心力，故A錯誤；
B.設汽車最大轉彎速率為vm，根據牛頓第二定律有μmg＝m，代入μ＝0.8，R＝120m，g＝10m/s2，解得vm＝31m/s，汽車的速度超過了最大速度，故B錯誤；
C.汽車速度太大時做離心運動是合外力不足以提供所需的向心力，故C正確；
D.下雨天時，汽車應以較小的速度轉彎，是確保合外力始終能提供需要的向心力，故D錯誤。
故選：C。
（2024春 城關區校級期末）下列關于離心現象的說法中，正確的是（　　）
A．當物體所受到的離心力大于向心力時產生離心現象
B．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力都突然消失時，它將做背離圓心的圓周運動
C．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力都突然消失時，它將沿切線飛出
D．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力都突然消失時，它將做曲線運動
【解答】解：A、離心力是不存在的，因為它沒有施力物體。所以物體不會受到離心力，故A錯誤。
BCD中、慣性：當物體不受力或受到的合外力為零時，物體保持靜止或勻速直線運動狀態。所以做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力都消失時，由于慣性，物體繼續保持該速度做勻速直線運動。故BD錯誤，C正確。
故選：C。
（2024春 金華期末）下面四幅圖用曲線運動知識描述正確的是（　　）
A．圖甲，制作棉花糖時，糖水因為受到離心力而被甩出去
B．圖乙，火車軌道的外軌略高于內軌，火車拐彎時速度越小，對軌道磨損就一定越小
C．圖丙，該自行車在賽道上做勻速圓周運動，所受的合外力不變
D．圖丁在一座凹形橋的最低點同一輛車子速度越大對橋面壓力就越大
【解答】解：A、圖甲，制作棉花糖時，熔化后的糖漿因為速度比較大而做離心運動被甩出去，故A錯誤；
B、圖乙，火車軌道的外軌略高于內軌，火車拐彎時由重力和鐵軌對火車的支持力的合力提供向心力做圓周運動，如果火車的速度較小，重力和支持力的合力大于火車所需的向心力，則內軌對火車輪有向外的擠壓，內鐵軌容易受損，故B錯誤；
C、圖丙，該自行車在賽道上做勻速圓周運動，所受的合外力大小不變，方向始終指向圓心，故C錯誤；
D、圖丁在一座凹形橋的最低點時，設橋面對汽車的支持力大小為F，根據牛頓第二定律有F﹣mg＝m，得F＝mg，則速度越大，橋面對汽車的支持力就越大，根據牛頓第三定律可知汽車對橋面的壓力也就越大，故D正確。
故選：D。
（2024秋 龍華區校級月考）一質量為2000kg的汽車在水平公路上行駛，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為1.6×104N，當汽車經過半徑為100m的彎道時，下列判斷正確的是（　　）
A．汽車轉彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力
B．汽車轉彎的速度為20m/s時所需的向心力為1.6×104N
C．汽車轉彎的速度為30m/s時汽車會發生側滑
D．汽車能安全轉彎的向心加速度不超過6m/s2
【解答】解：A、分析受力只能分析性質力，不能添加效果力，所以汽車轉彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力，故A錯誤；
B、由向心力公式可知F＝m2000N＝8×103N，即汽車轉彎的速度為20m/s時，所需向心力8×103N，同理汽車轉彎的速度為30m/s時，向心力為F'＝1.8×104N，大于路面可提供的最大靜摩擦力1.6×104N，汽車會發生側滑，故B錯誤，C正確；
D、由fmax＝ma
解得a＝8.0m/s2，即汽車能安全轉彎的向心加速度不超過8.0m/s2，故D錯誤。
故選：C。
（2024 杭州開學）如圖所示是摩托車運動員在水平賽道轉彎的照片，下列說法正確的是（　　）
A．摩托車正在向運動員的左側轉彎
B．摩托車受到重力、地面支持力、摩擦力和向心力的作用
C．摩托車速度越大，受到的支持力越大
D．下雨天，摩托車轉彎的最大限制速度應減小
【解答】解：A.通過照片分析可知，摩托車有相當于地面向右滑動的趨勢，受到向左的靜摩擦力，說明摩托車正在向運動員的右側轉彎，故A錯誤；
B.摩托車只受到重力、地面支持力和靜摩擦力的作用，且靜摩擦力提供向心力，故B錯誤；
C.摩托車速度越大，靜摩擦力提供向心力，根據f＝m，則靜摩擦力越大，不是支持力越大，故C錯誤；
D.下雨天，地面和車輪間的動摩擦因數減小，則最大靜摩擦力減小，由f＝m，為了保證安全，需要減小最大的限制速度，故D正確。
故選：D。
（2024春 綿陽期末）我國高速鐵路運營里程居世界第一。如圖所示為我國某平原地區從A市到B市之間的高鐵線路，線路上S1、S2、S3、S4位置處的曲率半徑（圓周運動半徑）大小關系為R1＞R2＞R3＞R4。若修建時這四個位置內外軌道的高度差相同，要讓列車在經過這四個位置處與鐵軌都沒有發生側向擠壓，則列車經過這四個位置時速度最大的是（　　）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
【解答】解：對火車受力分析，如圖所示
根據牛頓第二定律
修建時這四個位置內外軌道的高度差相同，則tanα相等，可得
則曲率半徑R越大，速度越大，即列車經過這四個位置時速度最大的是S1。
故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（多選）（2024春 墊江縣校級月考）在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內軌。當火車以規定的行駛速度轉彎時，內、外軌均不會受到輪緣的擠壓，設此時的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在面的傾角為θ，則（　　）
A．該彎道的半徑
B．當火車質量改變時，規定的行駛速度大小也隨之改變
C．當火車速率大于v時，內軌將受到輪緣的擠壓
D．當火車速率大于v時，外軌將受到輪緣的擠壓
【解答】解：A．火車拐彎時不側向擠壓輪緣，重力和支持力的合力提供向心力，有
解得
故A正確；
B．根據
解得
可知火車規定的行駛速度大小與質量無關，故B錯誤；
CD．當火車速率大于v時，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此時外軌對火車輪緣有側壓力，輪緣擠壓外軌，故C錯誤，D正確。
故選：AD。
（多選）（2024春 天河區校級期末）如圖所示，為保證安全，鐵路拐彎處內、外軌有一定的高度差，使質量為M0的火車以設計的速率v0在水平面內轉彎時，內、外軌對車輪均無側向壓力，測得此時軌道對車輪的支持力大小為N0。當火車以實際速率v（v≠v0）在此彎道上轉彎時，軌道將施于車輪一個與枕木平行的側向壓力F，下列說法正確的是（　　）
A．若v＞v0，側向壓力F方向由內軌指向外軌
B．若v＞v0，軌道對車輪的支持力大于N0
C．在春運期間乘客較多，導致火車總質量大于M0，為保證安全，此時的行駛速率應該小于v0
D．該彎道的半徑
【解答】解：AB．若v＞v0，重力和支持力的合力不足以提供火車做圓周運動的向心力，火車有做離心運動的趨勢，則此時外軌對車輪輪緣施加壓力，即側向壓力F方向由外軌指向內軌，此時軌道對車輪的支持力大于N0，故A錯誤，B正確；
CD．火車以規定的速度轉彎時滿足
可知v0與火車的質量無關，該彎道的半徑
故C錯誤，D正確。
故選：BD。
（2024春 江津區期中）汽車過拱橋時的運動可以看成圓周運動。如圖所示，汽車以速度v通過半徑為R的拱形橋最高點時，以下說法正確的是（　　）
A．汽車處于超重狀態
B．汽車對橋的壓力小于橋對汽車的支持力
C．無論汽車速度多大，汽車對橋始終有壓力
D．橋對汽車的支持力大小為
【解答】解：ABD、對汽車，根據牛頓第二定律有，解得橋對汽車的支持力大小：mg，汽車處于失重狀態，根據牛頓第三定律可知汽車對橋的壓力等于橋對汽車的支持力，故AB錯誤，D正確；
C、由上述表達式可知當時，汽車對橋無壓力，故C錯誤；
故選：D。
（2024 廣州二模）如圖，一輛汽車以恒定速率通過圓弧拱橋，N為橋面最高處，則汽車（　　）
A．在N處所受支持力大小大于其重力
B．在N處所受支持力大小等于其重力
C．從M到N過程所受支持力逐漸增大
D．從M到N過程所受支持力逐漸減小
【解答】解：AB、在N點處，在豎直方向對汽車由牛頓第二定律有：，可知汽車在N處所受支持力大小小于其重力，故AB錯誤；
CD、從M到N過程，對汽車受力分析，把重力分解，如下圖所示：
由牛頓第二定律有：
可得支持力大小：，從M到N，θ減小，cosθ增大，速率v不變，可知支持力FN增大，故C正確，D錯誤。
故選：C。
（2023春 錦江區月考）如圖所示，在勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向放著質量相等的兩個物體A和B，通過細線相連，B放在轉軸的圓心上，它們與圓盤間的動摩擦因數相同（最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）。現逐漸增大圓盤的轉速，當圓盤轉速增加到兩物體剛要發生滑動時燒斷細線，則（　　）
A．物體A沿半徑方向滑離圓盤
B．物體A沿切線方向滑離圓盤
C．物體A仍隨圓盤一起做圓周運動
D．物體A受到的摩擦力大小不變
【解答】解：當圓盤轉速加快到兩物體剛要發生滑動時，A物體靠細線的拉力與圓盤的最大靜摩擦力的合力提供向心力做勻速圓周運動，B放在圓心上，向心力為零，所以燒斷細線后，A所受最大靜摩擦力不足以提供其做圓周運動所需要的向心力，A要發生相對滑動，離圓盤圓心越來越遠，既不沿半徑方向，也不沿切線方向，故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
（2022春 許昌期末）如圖所示，細繩的一端固定在懸點O，細繩的另一端連接一個小球，小球繞O點在豎直平面內沿順時針方向做完整的圓周運動。當小球運動到最高點P時，突然剪斷細繩，則關于小球以后運動的大致軌跡，下列說法正確的是（不計空氣阻力）（　　）
A．小球的運動軌跡可能是1
B．小球的運動軌跡可能是2
C．小球的運動軌跡可能是3
D．小球沿著原來的運動軌跡運動到Q點后，再豎直向下運動
【解答】解：A、小球經過P點時，速度最小值滿足，解得
繩子斷裂后小球做平拋運動，則運動軌跡為拋物線，當下落到OQ水平線上時，根據x＝vt
解得
小球的運動軌跡可能是1，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2024春 蘇州期末）火車以60m/s的速率轉過一段彎道，某乘客發現放在桌面上的指南針在10s內勻速轉過了約10°。已知π≈3，，在此10s時間內，求：
（1）火車轉彎的角速度ω；
（2）火車轉彎的半徑r。
【解答】解：（1）根據角速度的定義式，火車轉彎時的角速度大小為ωrad/srad/s
（2）根據公式v＝rω，得rm＝3600m
答：（1）火車轉彎的角速度ω為rad/s；
（2）火車轉彎的半徑r為3600m。
（2023春 萬安縣校級期末）某鐵路轉彎處的圓弧半徑是500m，若規定火車通過這個彎道的速度為72km/h。一質量為2×104kg的機車（俗稱火車頭）通過該彎道，機車轉彎時可以簡化為質點做圓周運動，g取10m/s2。
（1）若彎道處的鐵軌鋪設在水平路基上，如圖1所示，求鐵軌對車輪的側向彈力大小；
（2）若彎道處的鐵軌鋪設在傾斜路基上，如圖2所示，為了使鐵軌對車輪沒有側向彈力，則路基的傾角θ多大？（求出θ的任一三角函數值即可）
【解答】解：（1）若在水平路基上，側向彈力提供向心力，即
代入數據解得
F＝1.6×104N
（2）由受力分析如圖所示
可得
根據牛頓第二定律
解得
tanθ＝0.08
答：（1）鐵軌對車輪的側向彈力大小為1.6×104N；
（2）路基的傾角θ應滿足正切值等于0.08。
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6.4 生活中的圓周運動
（1）知道勻速圓周運動中向心加速度大小的表達式，理解向心加速度與半徑的關系，并會用來進行簡單的計算。
（2）了解分析勻速圓周運動速度變化量時用到的極限思想。
（3）能根據問題情景選擇合適的向心加速度的表達式。
在鐵路彎道處，稍微留意一下，就能發現內、外軌道的高度略有不同。你能解釋其中的原因嗎？
圓周運動是一種常見的運動形式，在生活中有著廣泛的應用。
知識點1 火車轉彎
1．如果鐵路彎道的內外軌一樣高，火車轉彎時，由外軌對輪緣的彈力提供向心力．
2．鐵路彎道的特點
(1)彎道處外軌略高于內軌．
(2)火車轉彎時鐵軌對火車的支持力不是豎直向上的，而是斜向彎道的內側．支持力與重力的合力指向圓心．
鐵路彎道處，外軌高于內軌，若火車按規定的速度v0行駛，轉彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如圖所示，則v0＝，其中R為彎道半徑，θ為軌道平面與水平面間的夾角(θ很小的情況下，tan θ≈sin θ)．
2．當火車行駛速度v等于規定速度v0時，所需向心力僅由重力和支持力的合力提供，此時內外軌道對火車輪緣無擠壓作用．當火車行駛速度v>v0時，外軌道對輪緣有側壓力．當火車行駛速度v（2024春 中山市期末）一滿載旅客的復興號列車以大小為v的速度通過斜面內的一段圓弧形鐵軌時，車輪對鐵軌恰好都沒有側向擠壓。圖為該段鐵軌內、外軌道的截面圖，斜面傾角為θ。下列說法正確的是（　　）
A．列車受到重力、軌道的支持力和向心力
B．若列車以大于v的速度通過該圓弧軌道，車輪將側向擠壓外軌
C．若列車空載時仍以v的速度通過該圓弧軌道，車輪將側向擠壓內軌
D．列車對軌道在與斜面垂直方向上的壓力大小滿足N＝mgcosθ
（2024春 新鄭市校級期末）傳統的火車車輪是圓柱形，鐵軌的彎道部分外軌高內軌低，當火車行進時，有時會產生難聽的“尖叫聲”。如圖所示，高鐵的車輪是外小內大的錐形，現在這項技術已應用到地鐵上。某地鐵線路的設計要求彎道的最小曲率半徑不能低于450m，設計速度要達到108km/h。已知軌距為1435mm標準軌距，重力加速度g＝10m/s2，則根據上述信息，可以判斷下列說法正確的是（　　）
A．地鐵線路彎道的外軌比內軌高約28.7mm
B．彎道的外軌設計得比內軌高是為了防止車廂做圓周運動時擠壓內軌
C．當列車經過彎道的速度低于108km/h時，車廂所需向心力由彈力與重力的合力提供
D．外小內大的錐形車輪能確保外軌車輪的速度略大于內軌車輪的速度
（2024春 市南區校級期末）如圖所示，火車質量為M，火車轉彎半徑為R，鐵軌平面傾角為θ，當火車以速率v0駛過轉彎處時，由重力和支持力的水平合力完全提供向心力，重力加速度為g，下列說法不正確的是（　　）
A．當以速率v0行駛時，向心力大小為m
B．當以速率v0行駛時，向心力大小為mgtanθ
C．當以速率v（v＞v0）行駛時，火車輪緣與外軌擠壓
D．當以速率v（v＞v0）行駛時，火車輪緣與內軌擠壓
（2024春 江津區期中）如圖所示，鐵路轉彎處，外軌高于內軌。已知內、外軌高度差h＝10cm，彎道半徑r＝625m，軌道斜面長l＝1435mm，重力加速度g＝10m/s2。火車通過彎道的速度大小為v，下列判斷正確的是（　　）
A．當v＝60km/h時，火車對軌道的側壓力為零
B．當v＝65km/h時，火車對內軌道有側壓力
C．當v＝72km/h時，火車對軌道的側壓力為零
D．當v＝75km/h時，火車對外軌道有側壓力
知識點2 汽車過拱形橋
汽車過拱形橋 汽車過凹形路面
受力分析
向心力 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m
對橋(路面)的壓力 FN′＝mg－m FN′＝mg＋m
結論 汽車對橋的壓力小于汽車的重力，而且汽車速度越大，汽車對橋的壓力越小 汽車對路面的壓力大于汽車的重力，而且汽車速度越大，汽車對路面的壓力越大
1．汽車在拱形橋或凹形路面行駛時，可以看作勻速圓周運動
(1)汽車過拱形橋時，汽車對橋的壓力小于重力，汽車處于失重狀態，速度越大，壓力越小．
(2)汽車過凹形路面時，汽車對路面的壓力大于重力，汽車處于超重狀態，速度越大，壓力越大．
(3)汽車在橋面最高點即將飛離橋面時所受支持力恰好為0，此時只有重力提供向心力，即mg＝，得v＝，若超過這個速度，汽車做平拋運動．
（2024春 麗水期末）如圖，一質量為M的半圓弧凹槽放置在一電子秤上，現從最低點有初速度釋放一質量為m的小球，忽略空氣阻力與軌道摩擦，某時刻半圓弧凹槽對電子秤的壓力為FN。若小球從未脫離過圓弧軌道，則（　　）
A．FN可能大于Mg+mg
B．FN可能小于Mg
C．小球所受的支持力一直大于mg
D．小球所受的支持力一直小于mg
（2024 衡陽縣校級開學）公路上的拱形橋是常見的，汽車過橋最高點時的運動可以看作圓周運動。如圖所示，汽車通過橋最高點時（　　）
A．汽車對橋的壓力等于汽車的重力
B．汽車對橋的壓力大于汽車的重力
C．汽車過橋最高點時所需要的向心力方向豎直向下
D．汽車做圓周運動所需要的向心力為0
（2024春 高新區期末）如圖甲，汽車以恒定速率通過一拱形橋面。如圖乙，a、b、c是汽車過橋面時的三個不同位置，其中a、c兩點高度相同，b點為橋面的最高點。假設整個過程中汽車所受空氣阻力和摩擦阻力的大小之和保持不變。下列說法正確的是（　　）
A．在ab段汽車對橋面的壓力大小不變
B．在bc段汽車的牽引力逐漸增大
C．在ab段汽車所受合力的大小、方向均不變
D．在ab段汽車發動機做功比bc段多
知識點3 航天器中的失重現象
(1)在近地圓形軌道上，航天器(包括衛星、飛船、空間站)的重力提供向心力，滿足關系：Mg＝M，則v＝.
(2)質量為m的航天員，受到的座艙的支持力為FN，則mg－FN＝.
當v＝時，FN＝0，即航天員處于完全失重狀態．
(3)航天器內的任何物體都處于完全失重狀態．
知識點4離心運動
1．物體做離心運動的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不足以提供所需的向心力．
2．離心運動、近心運動的判斷：物體做圓周運動時出現離心運動還是近心運動，由實際提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小關系決定．(如圖所示)
(1)當F合＝mω2r時，“提供”等于“需要”，物體做勻速圓周運動；
(2)當F合>mω2r時，“提供”超過“需要”，物體做近心運動；
(3)當0≤F合（2024春 溫州期末）一物體置于水平粗糙圓盤上，圓盤從靜止開始加速轉動。整個過程中，物體的運動軌跡如圖所示。對于物體經過a、b、c、d點時的速度方向，圖中標注正確的是（　　）
A．a點 B．b點 C．c點 D．d點
（2024春 天津期末）總長約55公里的港珠澳大橋是全球規模最大的跨海工程。如圖所示的路段是其中一段半徑約為120m的圓弧形彎道，路面水平，若汽車通過該圓弧形彎道時視為做勻速圓周運動，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力約為正壓力的0.8倍，取重力加速度g＝10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．汽車轉彎過程受重力、支持力、摩擦力和向心力
B．汽車以40m/s的速率可以安全通過此彎道
C．汽車速度太大時做離心運動是因為汽車實際受到的合外力不足以提供所需向心力
D．下雨天時，汽車應以較小速度轉彎，保證其受到的合外力大于需要的向心力
（2024春 城關區校級期末）下列關于離心現象的說法中，正確的是（　　）
A．當物體所受到的離心力大于向心力時產生離心現象
B．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力都突然消失時，它將做背離圓心的圓周運動
C．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力都突然消失時，它將沿切線飛出
D．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力都突然消失時，它將做曲線運動
（2024春 金華期末）下面四幅圖用曲線運動知識描述正確的是（　　）
A．圖甲，制作棉花糖時，糖水因為受到離心力而被甩出去
B．圖乙，火車軌道的外軌略高于內軌，火車拐彎時速度越小，對軌道磨損就一定越小
C．圖丙，該自行車在賽道上做勻速圓周運動，所受的合外力不變
D．圖丁在一座凹形橋的最低點同一輛車子速度越大對橋面壓力就越大
（2024秋 龍華區校級月考）一質量為2000kg的汽車在水平公路上行駛，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為1.6×104N，當汽車經過半徑為100m的彎道時，下列判斷正確的是（　　）
A．汽車轉彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力
B．汽車轉彎的速度為20m/s時所需的向心力為1.6×104N
C．汽車轉彎的速度為30m/s時汽車會發生側滑
D．汽車能安全轉彎的向心加速度不超過6m/s2
（2024 杭州開學）如圖所示是摩托車運動員在水平賽道轉彎的照片，下列說法正確的是（　　）
A．摩托車正在向運動員的左側轉彎
B．摩托車受到重力、地面支持力、摩擦力和向心力的作用
C．摩托車速度越大，受到的支持力越大
D．下雨天，摩托車轉彎的最大限制速度應減小
（2024春 綿陽期末）我國高速鐵路運營里程居世界第一。如圖所示為我國某平原地區從A市到B市之間的高鐵線路，線路上S1、S2、S3、S4位置處的曲率半徑（圓周運動半徑）大小關系為R1＞R2＞R3＞R4。若修建時這四個位置內外軌道的高度差相同，要讓列車在經過這四個位置處與鐵軌都沒有發生側向擠壓，則列車經過這四個位置時速度最大的是（　　）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
（多選）（2024春 墊江縣校級月考）在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內軌。當火車以規定的行駛速度轉彎時，內、外軌均不會受到輪緣的擠壓，設此時的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在面的傾角為θ，則（　　）
A．該彎道的半徑
B．當火車質量改變時，規定的行駛速度大小也隨之改變
C．當火車速率大于v時，內軌將受到輪緣的擠壓
D．當火車速率大于v時，外軌將受到輪緣的擠壓
（多選）（2024春 天河區校級期末）如圖所示，為保證安全，鐵路拐彎處內、外軌有一定的高度差，使質量為M0的火車以設計的速率v0在水平面內轉彎時，內、外軌對車輪均無側向壓力，測得此時軌道對車輪的支持力大小為N0。當火車以實際速率v（v≠v0）在此彎道上轉彎時，軌道將施于車輪一個與枕木平行的側向壓力F，下列說法正確的是（　　）
A．若v＞v0，側向壓力F方向由內軌指向外軌
B．若v＞v0，軌道對車輪的支持力大于N0
C．在春運期間乘客較多，導致火車總質量大于M0，為保證安全，此時的行駛速率應該小于v0
D．該彎道的半徑
（2024春 江津區期中）汽車過拱橋時的運動可以看成圓周運動。如圖所示，汽車以速度v通過半徑為R的拱形橋最高點時，以下說法正確的是（　　）
A．汽車處于超重狀態
B．汽車對橋的壓力小于橋對汽車的支持力
C．無論汽車速度多大，汽車對橋始終有壓力
D．橋對汽車的支持力大小為
（2024 廣州二模）如圖，一輛汽車以恒定速率通過圓弧拱橋，N為橋面最高處，則汽車（　　）
A．在N處所受支持力大小大于其重力
B．在N處所受支持力大小等于其重力
C．從M到N過程所受支持力逐漸增大
D．從M到N過程所受支持力逐漸減小
（2023春 錦江區月考）如圖所示，在勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向放著質量相等的兩個物體A和B，通過細線相連，B放在轉軸的圓心上，它們與圓盤間的動摩擦因數相同（最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）。現逐漸增大圓盤的轉速，當圓盤轉速增加到兩物體剛要發生滑動時燒斷細線，則（　　）
A．物體A沿半徑方向滑離圓盤
B．物體A沿切線方向滑離圓盤
C．物體A仍隨圓盤一起做圓周運動
D．物體A受到的摩擦力大小不變
（2022春 許昌期末）如圖所示，細繩的一端固定在懸點O，細繩的另一端連接一個小球，小球繞O點在豎直平面內沿順時針方向做完整的圓周運動。當小球運動到最高點P時，突然剪斷細繩，則關于小球以后運動的大致軌跡，下列說法正確的是（不計空氣阻力）（　　）
A．小球的運動軌跡可能是1
B．小球的運動軌跡可能是2
C．小球的運動軌跡可能是3
D．小球沿著原來的運動軌跡運動到Q點后，再豎直向下運動
（2024春 蘇州期末）火車以60m/s的速率轉過一段彎道，某乘客發現放在桌面上的指南針在10s內勻速轉過了約10°。已知π≈3，，在此10s時間內，求：
（1）火車轉彎的角速度ω；
（2）火車轉彎的半徑r。
（2023春 萬安縣校級期末）某鐵路轉彎處的圓弧半徑是500m，若規定火車通過這個彎道的速度為72km/h。一質量為2×104kg的機車（俗稱火車頭）通過該彎道，機車轉彎時可以簡化為質點做圓周運動，g取10m/s2。
（1）若彎道處的鐵軌鋪設在水平路基上，如圖1所示，求鐵軌對車輪的側向彈力大小；
（2）若彎道處的鐵軌鋪設在傾斜路基上，如圖2所示，為了使鐵軌對車輪沒有側向彈力，則路基的傾角θ多大？（求出θ的任一三角函數值即可）
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