資源簡介

汨羅一中2023級高二年級數學試題
總分:150分 時間：120分鐘
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1．平面內點P到、的距離之和是10，則動點P的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點，若，，，則（ ）

A． B．
C． D．
4．若直線平分圓的周長，則等于（ ）
A．9 B． C．1 D．
5．已知圓與圓關于直線對稱，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
6．已知點分別是橢圓的左、右焦點，點在此橢圓上，則的周長等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
7．已知直線與曲線有公共點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（ ）
A．始終過定點 B．若，則或
C．若，則或2 D．當時，始終不過第三象限
10．在棱長為2的正方體中，點分別是線段，線段，線段上的動點（包含端點），且．則下列說法正確的有（ ）
A．平面
B．異面直線與所成的最大角為
C．三棱錐的體積為定值
D．當四棱錐的體積最大時，該四棱錐外接球的表面積為
11．已知點在圓上，點、，則（ ）
A．點到直線的距離小于
B．點到直線的距離大于
C．當最小時，
D．當最大時，
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12．若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為 .
13．已知橢圓的左、右焦點分別為，經過點且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為
14．已知圓C：，若直線上總存在點P，使得過點P的圓C的兩條切線夾角為，則實數k的取值范圍是
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．已知圓和圓．
(1)求證：圓和圓相交；
(2)求圓與圓的公共弦所在直線的方程及公共弦的長．
16．已知動點與兩個定點，的距離的比是2.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)直線過點，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.
17．已知，是橢圓C：的兩個焦點，，為C上一點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若P為C上一點，且，求的面積．
18．在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
19．已知橢圓：的右焦點為F（1，0），短軸長為2.直線過點F且不平行于坐標軸，與有兩個交點A，B，線段的中點為M.
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
(3)延長線段與橢圓交于點P，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率.
試卷第1頁，共3頁汨羅一中2023級高二年級數學試題答案
一、單選題
1．平面內點P到、的距離之和是10，則動點P的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2．已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點，若，，，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
4．若直線平分圓的周長，則等于（ ）
A．9 B． C．1 D．
【答案】B
5．已知圓與圓關于直線對稱，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
6．已知點分別是橢圓的左、右焦點，點在此橢圓上，則的周長等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
【答案】C
7．已知直線與曲線有公共點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由直線過定點，
又由曲線，可得，
作出曲線與直線的圖象，如圖所示，
因為直線，可得，
又由，解得，
若直線與曲線有公共點，則，
即實數的取值范圍為.
故選：B.
8．阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取點，推理證明得，把問題轉化為求點M到定點B，N距離和的最小值作答.
【詳解】如圖，點M在圓上，取點，連接，有，
當點不共線時，，又，因此∽，
則有，當點共線時，有，則，
因此，當且僅當點M是線段BN與圓O的交點時取等號，
所以的最小值為.
故選：C
【點睛】方法點睛：圓及圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值或范圍．
二、多選題
9．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（ ）
A．始終過定點 B．若，則或
C．若，則或2 D．當時，始終不過第三象限
【答案】ACD
【詳解】選項A：：，令，得，過點，A正確；
選項B：當時，，重合，故B錯誤；
選項C：當時，由，得或2，故C正確；
選項D：當時，：始終過，斜率為負，不會過第三象限，故D正確.
故選：ACD
10．在棱長為2的正方體中，點分別是線段，線段，線段上的動點（包含端點），且．則下列說法正確的有（ ）
A．平面
B．異面直線與所成的最大角為
C．三棱錐的體積為定值
D．當四棱錐的體積最大時，該四棱錐外接球的表面積為
【答案】ACD
【詳解】選項A：連結，因為在正方體中，，
所以又易知四邊形為矩形，所以所以，
又因為平面，平面，所以平面，故選項A正確.
選項B：又，因此，
因此直線MN與AP所成的角就是直線與AP所成的角，
當P為中點時，直線與AP所成的角最大為90°，故選項B錯誤.
選項C：觀察可知，三棱錐的體積為，
故三棱錐的體積為定值，故選項C正確.
選項D：由正方體的性質可知，當四棱錐的體積最大時，與重合，
此時四棱錐的外接球為正方體的外接球，表面積為，故選項D正確.
故選：ACD.
11．已知點在圓上，點、，則（ ）
A．點到直線的距離小于
B．點到直線的距離大于
C．當最小時，
D．當最大時，
【答案】ACD
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；
如下圖所示：
當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD選項正確.
故選：ACD.
【點睛】結論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.
三、填空題
12．若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為 .
【答案】
13．已知橢圓的左、右焦點分別為，經過點且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為
【答案】/0.5
14．已知圓C：，若直線上總存在點P，使得過點P的圓C的兩條切線夾角為，則實數k的取值范圍是
【答案】或．
【詳解】圓，則圓心為，半徑，
設兩切點為，則，因為，在中，，所以,
因此只要直線上存在點，使得即可滿足題意．
圓心，所以圓心到直線的距離，解得或．
故答案為：或．

四、解答題
15．已知圓和圓．
(1)求證：圓和圓相交；
(2)求圓與圓的公共弦所在直線的方程及公共弦的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)公共弦方程為，公共弦的長為.
【詳解】（1）由題設，則，
，則，
所以，即圓和圓相交；
（2）由（1）結論，將兩圓方程作差得，即公共弦方程為，
又到的距離，
所以公共弦的長為.
16．已知動點與兩個定點，的距離的比是2.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)直線過點，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）設點，
動點與兩個定點，的距離的比是，
，即，
則，
化簡得，
所以動點的軌跡的方程為；
（2）由（1）可知點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
直線被曲線截得的弦長為，
圓心到直線的距離，
①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離是3，不符合條件；
②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，
所以圓心到直線的距離，
化簡得，解得或，
此時直線的方程為或.
綜上，直線的方程是或.
17．已知，是橢圓C：的兩個焦點，，為C上一點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若P為C上一點，且，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設橢圓的焦距為，因為，可得，所以，
則，，
由橢圓的定義可得，所以，
故橢圓的標準方程為.
（2）因為，
所以，所以，
所以.
18．在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，
因為，
所以四邊形為等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因為平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因為平面，
所以；
（2）解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，
，
則，
則，
設平面的法向量，
則有，可取，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
19．已知橢圓：的右焦點為F（1，0），短軸長為2.直線過點F且不平行于坐標軸，與有兩個交點A，B，線段的中點為M.
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
(3)延長線段與橢圓交于點P，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）由題意可知，，，
，，
橢圓的方程為．
（2）設直線的方程為，，，，，
聯立，消去得，，
則，
為線段的中點，，，
，
為定值．
（3）若四邊形為平行四邊形，則，
，，
點在橢圓上，，解得，即，
當四邊形為平行四邊形時，直線的斜率為．
試卷第1頁，共3頁

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