資源簡介

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專題01 實數
掌握定義和按正負兩種方式對實數進行分類。要能區分有理數和無理數，對于所給出的數能準確的判斷其所屬類別。
復習實數與數軸的關系，明確實數與數軸上的點是一一對應的關系。掌握實數的相反數、倒數、絕對值的概念以及性質。
能應用平方或立方運算求某些數的平方根和立方根。
能夠對實數的大小進行比較。這里需要對實數的概念和性質有深入的了解。
明確有理數的的運算法則和運算律對實數仍然實用，能夠運用這些運算法則和運算律對實數進行加、減、乘、除、乘方等運算。
對無理數進行估算，能正確的判斷出無理數的整數部分和小數部分。
實數的概念： 和 統稱為
實數的分類
用一條 上的點表示數，這條直線叫做數軸。數軸三要素： 、 、 。
比較實數大小，以0為中心， 的數比 的數大。
實數與數軸上的點是 關系。
只有 的兩個數稱互為相反數。和是一對互為相反數，叫做的相反數，叫做的相反數。注意：不一定是負數，不一定是正數，為實數。
兩個互為相反數的實數和必滿足。也可以說實數和滿足，則這兩個實數,互為相反數。
相反數的幾何意義：在數軸上，到原點兩邊 的兩個點表示的兩個數是互為相反數，互為相反數（0除外）的兩個點位于原點的兩旁，并且關于 對稱。
絕對值是指一個數在數軸上所對應點到 ，用“| |”來表示。或表示數軸上表示的點和表示的點的距離。
絕對值的性質： 和 的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的 。
任何有理數的絕對值都是 ，也就是說任何有理數的絕對值都大于等于0。
除了0以外的數都存在 ， 分子和分母相倒并且兩個乘積是1的數互為倒數，0沒有倒數。
如果一個數的平方等于，即，那么這個數叫做的平方根。的平方根記為，讀作“正負二次根號”，叫做被開方數。其中正的那個平方根稱為 （0的算數平方根是 ），求一個數的平方根的運算叫做 。
如果一個數的立方等于，即，那么這個數叫做的立方根，記為。求一個數的立方根的運算叫做開立方。
實數的運算包括 加法、 減法、 乘法、 除法、 乘方和 開方。
加法 ：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數相加，取絕對值大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。
減法 ：減去一個數等于加上這個數的相反數。
乘法 ：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；多個實數相乘，有一個因數為0，積就為0；負因數的個數決定積的符號。
除法 ：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；0作除數無意義。
乘方 ：表示n個a相乘，正數的任何次冪是正數，負數的偶次冪是正數，負數的奇次冪是負數。
開方 ：非負數可以開平方，開方與乘方互為逆運算。
1.把一個數表示成 相乘的形式（1≤|a|<10，a不為分數形式，n為整數），這種記數法叫做科學記數法。
【經典例題1】（2024·甘肅嘉峪關·二模）若氣溫上升記作，則氣溫下降記作（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】（2024·福建莆田·模擬預測）小華5月份體重增長，記作．小穎體重減少，記作（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】（2024·湖南·模擬預測）我國是最早采用正負數表示相反意義的量的國家．若零上記作，則零下可記作( )
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】（2024·貴州貴陽·一模）如果收入500元記作元，那么元表示（ ）
A．收入300元 B．支出300元 C．收入200元 D．支出200元
【經典例題2】（2024·湖南長沙·模擬預測）下列各數中，是有理數的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】（2023·山東日照·模擬預測）在實數中，有理數的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練2-2】（2024·云南昭通·二模）在數，，，中，有理數的個數有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【變式訓練2-3】（2023·廣東河源·二模）分別寫有數字、、、、的五張大小和質地均相同的卡片，從中任意抽取一張，抽到有理數的概率的是 ．
【經典例題3】（2024·吉林長春·模擬預測）若數軸上表示的點到原點的距離是1，則數軸上表示的點到原點的距離是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】（2024·湖南株洲·模擬預測）如圖，整數在數軸上的位置如圖所示，則它的相反數是（ ）
A．2 B． C． D．
【變式訓練3-2】（2023·貴州六盤水·一模）如圖，已知數軸上有三點A，B，C，，點A對應的數是，點B對應的數是，點C對應的數是21，則a的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓練3-3】（2024·陜西·模擬預測）若點A在數軸上表示的數是，將點A向右平移2個單位長度，正好與點B重合，則點B表示的數是 ．
【經典例題4】（2022·四川達州·模擬預測）如圖，點，，，在數軸上，點，點表示的數分別是和，且滿足，則線段的中點所表示的數是（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練4-1】（2023·四川樂山·模擬預測）如圖，數軸上的點A、B分別表示數和，且．若A、B兩點間的距離為6，則點A表示的數 ．

【變式訓練4-2】（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，數軸上A，B兩點表示的數分別是和3，C是線段的中點，則點C所表示的數是 ．
【變式訓練4-3】（2024·河南·模擬預測）如圖，數軸上有A，B兩點，但是現在不確定原點的位置，老師告訴同學們原點位于A，B之間，而且若將負半軸沿原點折疊到正半軸上，發現點A落在點B右側6個單位長度處，則線段的中點表示的數為（ ）
A． B． C．2 D．3
【經典例題5】（2024·河北滄州·模擬預測）如圖1，電腦顯示屏上畫出了一條不完整的數軸，并標出了表示的點．小明同學設計了一個電腦程序：點M，N分別從點A同時出發，每按一次鍵盤，點M向右平移2個單位長度，點N向左平移1個單位長度．例如，第一次按鍵后，屏幕顯示點M，N的位置如圖2．
(1)第______次按鍵后，點 M正好到達原點；
(2)第6次按鍵后，點M到達的點表示的數字比點N到達的點表示的數字大多少？
(3)第n次按鍵后，點M，N到達的點表示的數互為相反數，求n的值．
【變式訓練5-1】（2024·河北保定·一模）如圖，數軸上的A，B兩點表示的數分別為，．把一張透明的膠片放置在數軸所在的平面上，并在膠片上描出線段（點A，B分別對應點，）．左右平移該膠片，平移后的點表示的數為a，點表示的數為b．
(1)計算：；
(2)若膠片向右平移m個單位長度，求的值（用含m的式子表示）．
【變式訓練5-2】（2024·河北石家莊·模擬預測）如圖1，A，B，C是數軸上從左到右排列的三點，在數軸上對應的數分別為，b，3，某同學將刻度尺按圖2方式放置，使刻度尺上的數字0對齊數軸上的點A，發現點B對齊刻度尺1.5處，點C對齊刻度尺3.5處．
（1）數軸上的一個單位長度對應刻度尺上的 ．
（2）有一質點P從點C處向點B方向跳動，第一次跳動到的中點處，第二次從點跳動到的中點處，第三次從點跳動到的中點處，如此跳動下去，則第四次跳動后，數軸上點所表示數為 ．
【經典例題6】（2024·湖南·模擬預測）實數，在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練6-1】（2024·江蘇徐州·二模）有理數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練6-2】（2024·廣東廣州·三模）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-3】（2024·貴州貴陽·一模）三邊長分別為a，b，c，已知數a，在數軸上的位置如圖所示，則數c在數軸上對應的位置是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
【經典例題7】（2024·廣東廣州·模擬預測）下列各組數中，互為相反數的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【變式訓練7-1】（2024·廣東深圳·三模）下列各組數中，互為相反數的是（　　）
A．3和 B．3和 C．和 D．和
【變式訓練7-2】（2024·山東棗莊·模擬預測）下列各組數中，互為相反數的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【變式訓練7-3】（2024·廣東汕頭·一模）下列互為相反數的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【經典例題8】（2023·四川自貢·模擬預測）若有理數，滿足，則的值等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
【變式訓練8-1】（2023·廣東湛江·模擬預測）若 ABC的內角滿足，則 ABC的形狀是（　　）
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【變式訓練8-2】（2024·重慶九龍坡·模擬預測）在數軸上，若點、分別表示數、，則表示點到原點的距離，表示、兩點間的距離．以下說法正確的有（　　）
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④函數與函數有三個交點．
A．個 B．個 C．個 D．個
【變式訓練8-3】（2024·山東濰坊·模擬預測）已知實數a，b在數軸上的位置如圖所示，則的值是（　　 ）
A． B． C．0 D．1
【經典例題9】（2023·寧夏銀川·一模）實數，在數軸上對應點的位置如圖所示，則的化簡結果是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練9-1】（2022·山東淄博·一模）如圖，數軸上的三點A，B，C分別表示有理數a，b，c，則化簡|a-b|-|c-a|+|b-c|的結果是（ ）
A．2a-2c B．0 C．2a-2b D．2b-2c
【變式訓練9-2】（2023·云南昆明·一模）在中，，是銳角，若，則的大小是 ．
【變式訓練9-3】（2024·河北邢臺·模擬預測）按要求完成下列各題
(1)在數軸上表示下列各數：，，1.5，；
(2)用“”將（1）題中的各數連接起來；
(3)a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡．
【經典例題10】閱讀下面材料：點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|．回答下列問題：
（1）數軸上表示﹣3和1兩點之間的距離是　 　，數軸上表示﹣2和3的兩點之間的距離是　 　；
（2）數軸上表示x和﹣1的兩點之間的距離表示為　 　；
（3）若x表示一個有理數，則|x﹣2|+|x+3|有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．
【變式訓練10-1】點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|．
利用數形結合思想回答下列問題：
(1)數軸上表示1和3兩點之間的距離　 　．
(2)數軸上表示﹣12和﹣6的兩點之間的距離是　 　．
(3)數軸上表示x和1的兩點之間的距離表示為　 　．
(4)若x表示一個有理數，且﹣4＜x＜2，則|x﹣2|+|x+4|＝　 　．
【變式訓練10-2】閱讀下列材料：
我們知道的幾何意義是在數軸上數對應的點與原點的距離；即；這個結論可以推廣為表示在數軸上數，對應點之間的距離．絕對值的幾何意義在解題中有著廣泛的應用：
例1：解方程．
容易得出，在數軸上與原點距離為4的點對應的數為±4，即該方程的±4；
例2：解方程．
由絕對值的幾何意義可知，該方程表示求在數軸上與-1和2的距離之和為5的點對應的的值．在數軸上，-1和2的距離為3，滿足方程的對應的點在2的右邊或在-1的左邊．若對應的
點在2的右邊，如圖可以看出；同理，若對應點在-1的左邊，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在數軸上找出的解，即到1的距離為3的點對應的數為-2，4，如圖，在-2的左邊或在4的右邊的值就滿足，所以的解為或．
參考閱讀材料，解答下列問題：
（1）方程的解為　 　；
（2）方程的解為　 ；
（3）若，求的取值范圍．
【經典例題11】（2023·廣東·模擬預測）已知a是4的算術平方根，則方程的根的情況是（　　）
A．無實數根 B．兩個相等的實數根
C．兩個不相等的實數根 D．不能確定
【變式訓練11-1】（2024·內蒙古包頭·模擬預測）下列說法正確的是（　　）
A．是的算術平方根 B．是的算術平方根
C．的算術平方根是1 D．的算術平方根是
【變式訓練11-2】（2024·湖南岳陽·模擬預測）若是的算術平方根，而的算術平方根是，則 ．
【答案】
【變式訓練11-3】（2024·廣西·模擬預測）平方根等于它本身的數為a，算術平方根等于它本身的數為b，則的和為 ．
【經典例題12】（2023·浙江寧波·模擬預測）已知x，y為實數，且，則的平方根為（　　）
A． B．2 C． D．
【變式訓練12-1】（2024·江蘇·模擬預測）若實數m，n滿足，且m，n恰好是等腰 ABC的兩條邊的邊長，則 ABC的周長是 ．
【變式訓練12-2】若菱形的兩對角線長分別為a、b，且滿足 ，則該菱形的面積為 ．
【變式訓練12-3】（2024·浙江湖州·二模）在平面直角坐標系中，當點不在坐標軸上時，我們定義的影子點為．已知點的坐標為，且滿足方程組（為常數），若點的影子點是，已知點正好落在一次函數的圖象上，則的值是 ．
【經典例題13】（2023·湖北荊州·一模）觀察下列各式：，用你發現的規律直接寫出下面式子的值＝ ．
【變式訓練13-1】（2022·北京海淀·二模）由，，我們可以確定是兩位數．根據類似的想法，由于1225個位上的數是5，我們能確定個位上的數是 ，如果只看1225的前兩位12，而，，我們能確定十位上的數是 ．
【變式訓練13-2】（2023·安徽合肥·一模）觀察下列等式：
①；
②；
③；
…
(1)寫出④______；
(2)猜想：______；
(3)由以上規律，計算的值．
【變式訓練13-3】（2024·浙江嘉興·一模）觀察下面的等式：，，，，
(1)寫出的結果；
(2)按照上面的規律歸納出一個一般的結論；（用含n的等式表示，n為正整數）
(3)試運用相關知識，推理說明你所得到的結論是正確的．
【經典例題14】（2024·陜西西安·模擬預測）下列說法中不正確的是（ ）
A．正數的平方根有兩個，立方根也有兩個； B．64的立方根是4；
C．3是27的立方根； D．任何一個數都有立方根．
【變式訓練14-1】（2023·廣東深圳·模擬預測）一個數的兩個平方根分別是與，則這個數是（ ）
A． B． C．16 D．4
【變式訓練14-2】（2023·河北保定·模擬預測）已知，一個正數a的平方根為和，則正數a為 ，b的立方根為 ．
【變式訓練14-3】（2021·福建福州·一模）若實數、滿足：，．則的值是 ．
【經典例題15】如圖，用兩個面積為的小正方形紙片拼成一個大正方形．
(1)求拼成的大正方形紙片的邊長；
(2)小麗想：若沿此大正方形紙片的邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長、寬之比為且面積為？她不知能否剪得出來，正在發愁．小明見了說：“別發愁，一定能用一塊面積大的紙片剪出一塊面積小的紙片．”你同意小明的說法嗎？你認為小麗能用這塊紙片剪出符合要求的紙片嗎？為什么？
【變式訓練15-1】某快遞公司為顧客郵寄的快遞提供紙箱包裝服務，現有一款底面積為，長，寬，高的比分別為的長方體包裝紙箱．
(1)求這個長方體包裝紙箱的長，寬，高各是多少？
(2)一顧客要郵寄甲乙兩件正方體物品，它們的底面積分別為，，從節約材料的角度考慮，該快遞公司的員工決定用這款長方體包裝紙箱．如圖所示，將甲乙兩件正方體物品并排擺放在該長方體包裝箱中．請問這名員工的想法能否實現，并說明理由．
【變式訓練15-2】（2024·四川南充·模擬預測）已知關于的一元二次方程有兩個實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)設方程的兩個實數根為，，且，求的值．
【經典例題16】已知的立方根是3，的算術平方根是，c是的整數部分，求的算術平方根．
【變式訓練16-1】（1）已知的平方根是，的算術平方根是4，求的算術平方根．
（2）若x，y都是實數，且，求的立方根．
【變式訓練16-2】已知的算術平方根是1，的立方根是，的平方根是．
(1)求a，b，c的值：
(2)求的平方根和立方根．
【變式訓練16-3】已知的立方根是，的算術平方根是，的小數部分為．
(1)分別求出a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【經典例題17】（2024·福建廈門·模擬預測）如圖，在做浮力實驗時，小華用一根細線將一個正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱形燒杯中，量筒量得溢出水的體積為，則該鐵塊棱長大小的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練17-1】（2024·重慶江津·模擬預測）估計的值應在（ ）
A．10和11之間 B．9和10之間 C．8和9之間 D．7和8之間
【變式訓練17-2】已知，；
(1)求的值．
(2)若x的小數部分為a，y的整數部分為b，求的平方根．
【變式訓練17-3】（2024·江蘇南京·二模）（n為正整數）的近似值可以這樣估算：，其中m是最接近n的完全平方數．例如：，這與科學計算器計算的結果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估計的近似值（精確到0.1）；
(2)結合圖中思路，解釋該方法的合理性．
【變式訓練17-4】（2022·江蘇鹽城·一模）因為，即，所以的整數部分為1，小數部分為．類比以上推理解答下列問題：
(1)求的整數部分和小數部分；
(2)若m是的小數部分，n是的小數部分，且（x+1）2＝m+n，求x的值．
【經典例題18】（2024·湖南長沙·模擬預測）下列四個實數：， ， 9，，其中比0小的數是（ ）
A． B． C．9 D．3．14
【變式訓練18-1】（2024·山東濟南·模擬預測）實數中，有理數的個數為a，無理數的個數為b，則的值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【變式訓練18-2】（2024·河北保定·二模）如圖，正方形M的邊長為m，正方形N的邊長為n，若兩個正方形的面積分別為9和5，則下列關于m和n的說法，正確的是（ ）
A．m為有理數，n為無理數 B．m為無理數，n為有理數
C．m，n都為有理數 D．m，n都為無理數
【變式訓練18-3】實數，，，，，中，有理數的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【經典例題19】如圖，，則數軸上點所表示的數為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練19-1】（2024·寧夏銀川·模擬預測）實數在數軸上的對應位置如圖所示，則的化簡結果是（ ）
A．2 B． C．0 D．
【變式訓練19-2】（2024·貴州貴陽·一模）如圖，，在數軸上點A表示的數為a，則a的值最接近的整數是 ．
【變式訓練19-3】（2024·四川樂山·模擬預測）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，則實數a b．（用“>”、“<”或“=”號填空）
【經典例題20】（2024·北京房山·二模）實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練20-1】（2024·河北秦皇島·一模）若，，則關于P與Q的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．以上都不對
【變式訓練20-2】（2024·陜西咸陽·模擬預測）比較大小： （填“”“”或“”）．
【變式訓練20-3】（2023·江蘇鹽城·模擬預測） （填“、或”）．
【經典例題21】（2023·湖南岳陽·模擬預測）計算：
【變式訓練21-1】（2024·甘肅定西·模擬預測）計算：．
【變式訓練21-2】（2024·新疆烏魯木齊·三模）計算：
(1)；
(2)．
【變式訓練21-3】（2024·湖南長沙·模擬預測）計算： ．
【經典例題22】有一個數值轉換器，原理如下：當輸入的時，輸出的y等于（　　）
A． B．8 C．2 D．
【變式訓練22-1】（2023·山東煙臺·一模）按如圖所示的程序進行計算，若輸入的值為6，則輸出的值為（ ）
A．2 B． C． D．
【變式訓練22-2】（2023·貴州黔東南·一模）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為，則最后輸出的值是 ．
【變式訓練22-3】（2023·陜西咸陽·二模）程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，根據如圖的程序進行計算，當輸入的值為64時，輸出的值是 ．
【經典例題23】（2024·湖南·模擬預測）對于實數，我們定義符號的意義為：當時，；當時，，如，則方程的解為 ．
【變式訓練23-1】規定兩數之間的一種運算，記作：如果，那么
例如：因為，所以．
規定：，比如：
(1)根據上述規定，填空：____________，____________，____________．
(2)小明在研究這種運算時發現一個現象：他給出如下的證明：設，則，而，所以，則，即，所以
請你嘗試運用這種方法證明下面這個等式：
(3)請你參照（2）的，寫出一個成立的等式____________．
【變式訓練23-2】（2024·北京·模擬預測）對于實數，我們用表示不超過的最大整數．下列表述錯誤的是（ ）
A．
B．函數的最大值為1，最小值為0
C．函數不存在對稱軸
D．隨著的增大，函數和函數越來越接近
【變式訓練23-3】（2024·湖北·模擬預測）已知，則 ．
【經典例題24】（2023·四川攀枝花·中考真題）2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊進行決賽階段的比賽．決賽階段分為分組積分賽和復賽．32支球隊通過抽簽被分成8個小組，每個小組4支球隊，進行分組積分賽，分組積分賽采取單循環比賽（同組內每2支球隊之間都只進行一場比賽），各個小組的前兩名共16支球隊將獲得出線資格，進入復賽；進入復賽后均進行單場淘汰賽，16支球隊按照既定的規則確定賽程，不再抽簽，然后進行決賽，決賽，最后勝出的4支球隊進行半決賽，半決賽勝出的2支球隊決出冠、亞軍，另外2支球隊決出三、四名．
(1)本屆世界杯分在組的4支球隊有阿根廷、沙特、墨西哥、波蘭，請用表格列一個組分組積分賽對陣表（不要求寫對陣時間）．
(2)請簡要說明本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？
(3)請簡要說明本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？
【變式訓練24-1】（2022·重慶·一模）某高端酒店準備打造一個面積為450m2的長方形花園，現有墻AB長25m，籬笆長65m的（全部用于建造花園），設計公司為酒店提供了如圖所示的兩種方案，請通過計算幫助酒店作出合理決策．（決策依據如下：長方形的寬與長之比越接近黃金比越美觀，黃金比約為0.6）
(1)方案1：如圖1，若選取墻AB的一部分作為長方形的一邊，其他三邊用籬笆圍成，則在墻AB上借用的CF的長度為多少？
方案2：如圖2，若將墻AB全部借用，并在墻AB的延長線上拓展BF，構成長方形ADEF，其中BF，FE，ED和DA都由籬笆構成，求BF的長．
(2)根據（1）中的計算結果，請為該酒店作出合理的決策．
【變式訓練24-2】我們知道，任意一個有理數與無理數的和為無理數，任意一個不為零的有理數與一個無理數的積為無理數，而零與無理數的積為零，由此可得：如果，其中m、n為有理數，x為無理數，那么，運用上述知識解決下列問題：
(1)如果，其中m、n為有理數，求m和n的值；
(2)如果，其中m、n為有理數，求的立方根；
(3)若m、n均為有理數，且，求的算術平方根．
【變式訓練24-3】我們知道：任意一個有理數與無理數的和為無理數，任意一個不為零的有理數與一個無理數的積為無理數，而零與無理數的積為零．由此可得：如果，其中a，b為有理數，x為無理數，那么且．運用上述知識，解決下列問題：
(1)如果，其中a，b為有理數，那么 ， ．
(2)如果，其中a，b為有理數，求的值．
【經典例題25】（2024·安徽合肥·二模）觀察下列各等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
(1)根據你發現的規律，請寫出第4個等式：__________________．
(2)請寫出你猜想的第n個等式（n為正整數，用含n的式子表示），并證明．
【變式訓練25-1】（2024·安徽合肥·三模）如圖，將形狀大小完全相同的★按照一定規律擺成下列圖形，第1幅圖中★的個數為，第2幅圖中★的個數為，第3幅圖中★的個數為，…，以此類推，第n幅圖中★的個數為．則：
(1)　　　　，　　　　　；
(2)求的值．
【變式訓練25-2】（2024·安徽合肥·一模）某班數學小組在研究個位數字為5的兩位數的平方的規律時，得到了下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
按照以上規律，解決下列問題：
(1)填空：______=______；
(2)已知且n為整數，猜想第n個等式（用含n的等式表示），并證明．
【變式訓練25-3】（2024·湖南岳陽·模擬預測）已知，則 ．
【經典例題26】（2024·山東日照·中考真題）交通運輸部2024年4月發布的全國港口貨物吞吐量數據顯示，日照港2024年第一季度吞吐量為15493萬噸，居全國主要港口第6位．將數據154930000用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練26-1】（2024·山東淄博·中考真題）我國大力發展新質生產力，推動了新能源汽車產業的快速發展．據中國汽車工業協會發布的消息顯示．2024年1至3月，我國新能源汽車完成出口萬輛．將萬用科學記數法表示為．則的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式訓練26-2】（2023·四川資陽·中考真題）毗河引水工程設計供水總人口489萬人，數489萬用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練26-3】（2023·江蘇南京·中考真題）全國深入踐行習近平生態文明思想，科學開展大規模國土綠化行動，厚植美麗中國亮麗底色，去年完成造林約公頃．用科學記數法表示是（ ）
A． B． C． D．
【經典例題27】（2024·西藏·中考真題）隨著我國科技迅猛發展，電子制造技術不斷取得突破性成就，電子元件尺寸越來越小，在芯片上某種電子元件大約占．將0.0000007用科學記數法表示應為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練27-1】（2024·黑龍江大慶·中考真題）人體內一種細胞的直徑約為1.56微米，相當于0.00000156米，數字0.00000156用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練27-2】（2024·山東威海·中考真題）據央視網2023年10月11日消息，中國科學技術大學中國科學院量子創新研究院與上海微系統所、國家并行計算機工程技術研究中心合作，成功構建了255個光子的量子計算原型機“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術水平和量子計算優越性的世界紀錄．“九章三號”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內所處理的最高復雜度的樣本，需要當前最強的超級計算機花費超過二百億年的時間．將“百萬分之一”用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練27-3】（2024·四川廣元·中考真題）2023年10月諾貝爾物理學獎授予三位“追光”科學家，以表彰他們“為研究物質中的電子動力學而產生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學記數法表示為 秒．
【經典例題28】（2024·湖北孝感·模擬預測）將有理數用四舍五入法精確到千位是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練28-1】（2024·河北邢臺·模擬預測）截至2024年3月21日，已有150家疏解單位7025名職工在雄安新區繳存住房公積金，繳存金額達5.02億元．下列關于5.02億說法正確的是（ ）
A．5.02億用科學記數法表示為 B．5.02億
C．5.02億是一個九位數 D．5.02億精確到十萬位
【變式訓練28-2】（2024·山東泰安·二模）下列說法正確的有（　　）
①近似數7.4與7.40是一樣的
②近似數8.0精確到十分位，有效數字是8、0
③近似數9.60精確到百分位，有效數字是9、6、0
④由四舍五入法得到的近似數精確到千分位，有3個有效數字
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【變式訓練28-3】（2024·湖北宜昌·模擬預測）某會議參會人數準確數為人，新聞報道參會人數約為百人，下列說法正確的是（ ）
A．人數統計精確到百位 B．人數統計精確到十位
C．人數統計精確到個位 D．人數統計精確到十分位中小學教育資源及組卷應用平臺
專題01 實數
掌握定義和按正負兩種方式對實數進行分類。要能區分有理數和無理數，對于所給出的數能準確的判斷其所屬類別。
復習實數與數軸的關系，明確實數與數軸上的點是一一對應的關系。掌握實數的相反數、倒數、絕對值的概念以及性質。
能應用平方或立方運算求某些數的平方根和立方根。
能夠對實數的大小進行比較。這里需要對實數的概念和性質有深入的了解。
明確有理數的的運算法則和運算律對實數仍然實用，能夠運用這些運算法則和運算律對實數進行加、減、乘、除、乘方等運算。
對無理數進行估算，能正確的判斷出無理數的整數部分和小數部分。
實數的概念：有理數和無理數統稱為實數
實數的分類
用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸。數軸三要素：原點、單位長度、正方向。
比較實數大小，以0為中心，右邊的數比左邊的數大。
實數與數軸上的點是一一對應關系。
只有符號不同的兩個數稱互為相反數。和是一對互為相反數，叫做的相反數，叫做的相反數。注意：不一定是負數，不一定是正數，為實數。
兩個互為相反數的實數和必滿足。也可以說實數和滿足，則這兩個實數,互為相反數。
相反數的幾何意義：在數軸上，到原點兩邊距離相等的兩個點表示的兩個數是互為相反數，互為相反數（0除外）的兩個點位于原點的兩旁，并且關于原點對稱。
絕對值是指一個數在數軸上所對應點到原點的距離，用“| |”來表示。或表示數軸上表示的點和表示的點的距離。
絕對值的性質：正數和0的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數。
任何有理數的絕對值都是非負數，也就是說任何有理數的絕對值都大于等于0。
除了0以外的數都存在倒數， 分子和分母相倒并且兩個乘積是1的數互為倒數，0沒有倒數。
如果一個數的平方等于，即，那么這個數叫做的平方根。的平方根記為，讀作“正負二次根號”，叫做被開方數。其中正的那個平方根稱為算術平方根（0的算數平方根是0），求一個數的平方根的運算叫做開平方。
如果一個數的立方等于，即，那么這個數叫做的立方根，記為。求一個數的立方根的運算叫做開立方。
實數的運算包括 加法、 減法、 乘法、 除法、 乘方和 開方。
加法 ：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數相加，取絕對值大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。
減法 ：減去一個數等于加上這個數的相反數。
乘法 ：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；多個實數相乘，有一個因數為0，積就為0；負因數的個數決定積的符號。
除法 ：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；0作除數無意義。
乘方 ：表示n個a相乘，正數的任何次冪是正數，負數的偶次冪是正數，負數的奇次冪是負數。
開方 ：非負數可以開平方，開方與乘方互為逆運算。
1.把一個數表示成a與10的n次冪相乘的形式（1≤|a|<10，a不為分數形式，n為整數），這種記數法叫做科學記數法。
【經典例題1】（2024·甘肅嘉峪關·二模）若氣溫上升記作，則氣溫下降記作（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了正負數的意義，利用正數和負數表示具有相反意義的量．根據正負數的意義，氣溫上升記為“+”，則氣溫下降記為“-”，據此解答即可得到答案．
【詳解】解：若氣溫上升記作，則氣溫下降記作，
故選：C．
【變式訓練1-1】（2024·福建莆田·模擬預測）小華5月份體重增長，記作．小穎體重減少，記作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了正數和負數表示相反意義的量，根據正數和負數是一組具有相反意義的量求解即可．
【詳解】解：小華5月份體重增長，記作．小穎體重減少，記作．
故選：B
【變式訓練1-2】（2024·湖南·模擬預測）我國是最早采用正負數表示相反意義的量的國家．若零上記作，則零下可記作( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查正負數的意義解決實際問題，根據題意，直接利用正負數的意義表示即可得到答案，熟記正負數的意義是解決問題的關鍵．
【詳解】解：若零上記作，則零下可記作，
故選：C．
【變式訓練1-3】（2024·貴州貴陽·一模）如果收入500元記作元，那么元表示（ ）
A．收入300元 B．支出300元 C．收入200元 D．支出200元
【答案】B
【分析】本題主要考查正數和負數，通常把向指定方向變化的量規定為正數，而把向指定方向的相反方向變化的量規定為負數．
【詳解】解：“正”和“負”相對，
所以，如果收入500元記作元，那么元表示支出300元．
故選：B．
【經典例題2】（2024·湖南長沙·模擬預測）下列各數中，是有理數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查有理數的定義和無理數的定義，有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱；無理數就是無限不循環小數，其中初中范圍內學習的無理數有：等；開方開不盡的數；以及像，等數，也考查了絕對值，零指數冪．
【詳解】，
故選：D．
【變式訓練2-1】（2023·山東日照·模擬預測）在實數中，有理數的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題主要考查零指數冪，特殊角的三角函數值，實數，根據零指數冪，特殊角的三角函數值，實數的意義，即可解答．
【詳解】解：在實數中，有理數是，
所以，有理數的個數為2，
故選：B
【變式訓練2-2】（2024·云南昭通·二模）在數，，，中，有理數的個數有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】本題主要考查有理數的概念，掌握“整數和分數統稱有理數”是解題的關鍵．
根據有理數的定義，結合所給的數據即可得出答案．
【詳解】解：有理數有：，，，因此有3個，
故選：B．
【變式訓練2-3】（2023·廣東河源·二模）分別寫有數字、、、、的五張大小和質地均相同的卡片，從中任意抽取一張，抽到有理數的概率的是 ．
【答案】
【分析】找出有理數的個數，結合概率公式計算即可．
【詳解】解：∵數字、、、、中，、、是有理數，即個數中有個有理數，
∴從中任意抽取一張，抽到有理數的概率．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了概率公式以及有理數的識別，正確識別有理數是解題的關鍵．
【經典例題3】（2024·吉林長春·模擬預測）若數軸上表示的點到原點的距離是1，則數軸上表示的點到原點的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查數軸上有理數的表示，熟練掌握數軸上的有理數的表示是解題的關鍵；由題意易得a所表示的數為，則有表示的數也為，然后問題可求解．
【詳解】解：由題意可知a所表示的數為，則有表示的數也為，所以數軸上表示的點到原點的距離是1；
故選B．
【變式訓練3-1】（2024·湖南株洲·模擬預測）如圖，整數在數軸上的位置如圖所示，則它的相反數是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了有理數與數軸，求一個數的相反數，根據數軸可知整數表示的數為，再根據只有符號不同的兩個數互為相反數即可得到答案．
【詳解】解：由題意得，整數表示的數為，則它的相反數是2，
故選：A．
【變式訓練3-2】（2023·貴州六盤水·一模）如圖，已知數軸上有三點A，B，C，，點A對應的數是，點B對應的數是，點C對應的數是21，則a的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據數軸上兩點間距離可得：，從而可得，然后進行計算即可解答．
本題考查了數軸，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
【詳解】解：∵點A對應的數是，點B對應的數是，點C對應的數是21，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故選：B．
【變式訓練3-3】（2024·陜西·模擬預測）若點A在數軸上表示的數是，將點A向右平移2個單位長度，正好與點B重合，則點B表示的數是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了數軸上兩點距離計算，直接用點A表示的數加上向右移動的距離即可得到答案．
【詳解】∵點A在數軸上表示的數是，將點A向右平移2個單位長度，正好與點B重合，
∴點B表示的數是：，
故答案為：．
【經典例題4】（2022·四川達州·模擬預測）如圖，點，，，在數軸上，點，點表示的數分別是和，且滿足，則線段的中點所表示的數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了數軸上兩點的距離計算，兩點中點計算公式，先根據兩點距離計算公式得到，再根據線段之間的關系求出，，進而得到，再分別求出點B和點C表示的數即可得到答案．
【詳解】解：∵點，點表示的數分別是和，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵點A表示的數為，
∴點B表示的數為，點C表示的數為，
∴線段的中點所表示的數是，
故選：A．
【變式訓練4-1】（2023·四川樂山·模擬預測）如圖，數軸上的點A、B分別表示數和，且．若A、B兩點間的距離為6，則點A表示的數 ．

【答案】
【分析】本題考查數軸上點的位置以及相反數，根據，、兩點間的距離為6判斷出點、分別表示的數即可，解題關鍵是找到點、分別所在的位置．
【詳解】解：，
、互為相反數，
、兩點間的距離為6，
點、分別在距離原點3的位置上，
點表示的數為．
故答案為：．
【變式訓練4-2】（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，數軸上A，B兩點表示的數分別是和3，C是線段的中點，則點C所表示的數是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了數軸上兩點的距離計算，先計算出，則由線段中點的定義得到，據此根據數軸上兩點距離公式求解即可．
【詳解】解：∵數軸上A，B兩點表示的數分別是和3，
∴，
∵C是線段的中點，
∴，
∴點C所表示的數為，
故答案為：．
【變式訓練4-3】（2024·河南·模擬預測）如圖，數軸上有A，B兩點，但是現在不確定原點的位置，老師告訴同學們原點位于A，B之間，而且若將負半軸沿原點折疊到正半軸上，發現點A落在點B右側6個單位長度處，則線段的中點表示的數為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】本題主要考查了數軸、折疊以及線段的中點問題．先根據題意畫出圖形，求出的長即可得出線段的中點表示的數．
【詳解】解：如圖，點A落在點處，點C是線段的中點，，
設點A表示的數為，則，
∴．
∴．
∴．
即線段的中點表示的數為．
故選：A．
【經典例題5】（2024·河北滄州·模擬預測）如圖1，電腦顯示屏上畫出了一條不完整的數軸，并標出了表示的點．小明同學設計了一個電腦程序：點M，N分別從點A同時出發，每按一次鍵盤，點M向右平移2個單位長度，點N向左平移1個單位長度．例如，第一次按鍵后，屏幕顯示點M，N的位置如圖2．
(1)第______次按鍵后，點 M正好到達原點；
(2)第6次按鍵后，點M到達的點表示的數字比點N到達的點表示的數字大多少？
(3)第n次按鍵后，點M，N到達的點表示的數互為相反數，求n的值．
【答案】(1)3
(2)18
(3)
【分析】本題考查數軸，相反數，解一元一次方程，根據題意列出點M、N表示的數是本題的關鍵．
（1）設進行a次按鍵，由題意得，M點表示的數是，因為點M正好到達原點，所以，解得a的值，即得第幾次按鍵后，點M正好到達原點；
（2）第6次按鍵后，點M表示的數為，點N表示的數為，可得點M到達的點表示的數字比點N到達的點表示的數字大多少；
（3）由題意得，M點表示的數是，N點表示的數是，因為點M，N到達的點表示的數互為相反數，所以，可解得n的值．
【詳解】（1）解：設進行a次按鍵，
由題意得，M點表示的數是，
點M正好到達原點，
，
解得：，第3次按鍵后，點M正好到達原點，
故答案為：3；
（2）解：第6次按鍵后，點M表示的數為，點N表示的數為，
，
第6次按鍵后，點M到達的點表示的數字比點N到達的點表示的數字大18；
（3）解：由題意得，第n次按鍵后，M點表示的數是，N點表示的數是，
點M，N到達的點表示的數互為相反數，
，
解得：．
【變式訓練5-1】（2024·河北保定·一模）如圖，數軸上的A，B兩點表示的數分別為，．把一張透明的膠片放置在數軸所在的平面上，并在膠片上描出線段（點A，B分別對應點，）．左右平移該膠片，平移后的點表示的數為a，點表示的數為b．
(1)計算：；
(2)若膠片向右平移m個單位長度，求的值（用含m的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可以理解為膠片向右平移1個單位長度，即可求解；
（2）根據、向右平移m個單位長度，得到、的值，代入即可求解；
本題考查了，數軸上的動點，解題的關鍵是：表示出平移后的數．
【詳解】（1）解：，
故答案為：，
（2）解：根據題意得：，
故答案為：．
【變式訓練5-2】（2024·河北石家莊·模擬預測）如圖1，A，B，C是數軸上從左到右排列的三點，在數軸上對應的數分別為，b，3，某同學將刻度尺按圖2方式放置，使刻度尺上的數字0對齊數軸上的點A，發現點B對齊刻度尺1.5處，點C對齊刻度尺3.5處．
（1）數軸上的一個單位長度對應刻度尺上的 ．
（2）有一質點P從點C處向點B方向跳動，第一次跳動到的中點處，第二次從點跳動到的中點處，第三次從點跳動到的中點處，如此跳動下去，則第四次跳動后，數軸上點所表示數為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查數軸上的動點問題，熟練掌握數軸上的動點問題是解題的關鍵．
（1）根據點、是數軸上從左到右排列的點，進而根據數軸上兩點距離可進行求解；
（2）根據線段的長度及刻度尺上的數字0對齊數軸上的點，發現你點對齊刻度尺，點對齊刻度尺處，即可通過比例關系求出的值，然后分別先求出線段的長度，既可以根據線段中點的概念進行求解．
【詳解】解：（1），是數軸上從左到右排列的點，在數軸上對應的數分別為，3，
；
，
數軸上的一個單位長度對應刻度尺上的，
故答案為：；
（2）刻度尺上的數字0對齊數軸上的點，發現點對齊刻度尺處，點對齊刻度尺處，，
，
數軸上點對應的數為，
，
一質點從點處向點方向跳動，第一次跳動到的中點處，
點表示的數為，
第二次從點跳動到的中點處，
點表示的數為，
第三次從點跳動到的中點處，
點表示的數為，
第四次從點跳動到的中點處，
點表示的數為．
故答案為：．
【經典例題6】（2024·湖南·模擬預測）實數，在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了用數軸表示數以及不等式的性質，加法與乘法法則，依次判斷選項即可．
【詳解】解：從題圖中得出，，，
所以，，，，
故選項B、C、D錯誤，選項A正確，
故選：A．
【變式訓練6-1】（2024·江蘇徐州·二模）有理數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是數軸與有理數的大小比較，絕對值的性質，會利用數軸比較有理數的大小是解決問題的關鍵．
首先由數軸得到，進而得到，，判斷即可．
【詳解】由數軸可得，，故A錯誤；
∴，故B正確；
∴，故C錯誤；
∴，故D錯誤．
故選：B．
【變式訓練6-2】（2024·廣東廣州·三模）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查實數與數軸，根據點在數軸上的位置，判斷式子的符號即可．
【詳解】解：由圖可知：，
∴，
故正確的是C選項，
故選C．
【變式訓練6-3】（2024·貴州貴陽·一模）三邊長分別為a，b，c，已知數a，在數軸上的位置如圖所示，則數c在數軸上對應的位置是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
【答案】C
【分析】根據三角形的三邊關系逐個判斷即可．本題考查了數軸，三角形的三邊關系是本題的解題關鍵．
【詳解】解：∵三角形三邊長分別為a，b，c，
，
由圖得，和，小于，大于，
、、不符合題意，
符合題意，
故選：C
【經典例題7】（2024·廣東廣州·模擬預測）下列各組數中，互為相反數的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【分析】本題考查了相反數和絕對值，解題的關鍵是掌握相反數的定義．根據相反數的定義即可解答．
【詳解】解：A中、和互為相反數，符合題意；
B中、，不是互為相反數，故不符合題意；
C中、，不是互為相反數，故不符合題意；
D中、和不是互為相反數，不符合題意；
故選：A．
【變式訓練7-1】（2024·廣東深圳·三模）下列各組數中，互為相反數的是（　　）
A．3和 B．3和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本題考查了相反數，解題的關鍵是掌握相反數的定義．利用相反數的定義判斷．
【詳解】解：3和不互為相反數，選項不符合題意；
3和互為相反數，選項符合題意；
，兩個數不互為相反數，選項不符合題意；
，兩個數不互為相反數，選項不符合題意．
故選：．
【變式訓練7-2】（2024·山東棗莊·模擬預測）下列各組數中，互為相反數的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】根據互為相反數的定義：只有符號不同的兩個數互為相反數解答即可．本題考查了相反數的定義，理解相反數的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：∵與互為倒數，
∴項不符合題意；
∵和不是只有符號不同，
∴項不符合題意；
∵與互為相反數，
∴項符合題意；
∵和符號相同，
∴項不符合題意．
故選．
【變式訓練7-3】（2024·廣東汕頭·一模）下列互為相反數的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本題考查相反數和絕對值的定義，符號不同，并且絕對值相等的兩個數互為相反數，據此逐項判斷即可，熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：A、，所以和不是互為相反數，故選項不符合題意；
B、，所以和互為相反數，故選項符合題意；
C、，所以和不是互為相反數，故選項不符合題意；
D、，所以和不是互為相反數，故選項不符合題意；
故選：B．
【經典例題8】（2023·四川自貢·模擬預測）若有理數，滿足，則的值等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了絕對值和平方的非負性，利用完全平方公式化簡是解題的關鍵．
利用完全平方公式化簡后再根據絕對值和平方的非負性即可得出結果．
【詳解】解：，
化簡得，，
，
．
故選：C．
【變式訓練8-1】（2023·廣東湛江·模擬預測）若的內角滿足，則的形狀是（　　）
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本題考查了特殊角的三角函數值，非負數的性質，熟記特殊角的三角函值是解答本題的關鍵．由非負數的性質得，求出即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
即的形狀是直角三角形．
故選：A．
【變式訓練8-2】（2024·重慶九龍坡·模擬預測）在數軸上，若點、分別表示數、，則表示點到原點的距離，表示、兩點間的距離．以下說法正確的有（　　）
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④函數與函數有三個交點．
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】利用非負數的性質得出，，代入即可判斷①；解絕對值方程求得的值即可判斷②；由知，，或，，或，，，分別求解即可判斷③；作出函數與函數的圖像，根據函數的圖像即可判斷④．
【詳解】解：①∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
故說法①正確；
②∵，
∴或，
當時，方程無解；
當時，，
故說法②錯誤；
③若，則，，或，，或，，，
當，，時，則，，，
∴；
當，，時，則，，，
∴；
當，，時，則，，，
∴；
故說法③正確；
④當時，即，；
當時，即或，；
作出函數的圖像如圖：
由圖像可知，函數與函數有三個交點，故說法④正確，
∴說法正確的有個．
故選：C．
【點睛】本題考查非負數的性質，解絕對值方程，絕對值的代數意義，分式的化簡求值，二次函數的圖像及一次函數的圖像．作出分段函數的圖像，采用數形結合的方法確定答案是解題的關鍵．
【變式訓練8-3】（2024·山東濰坊·模擬預測）已知實數a，b在數軸上的位置如圖所示，則的值是（　　 ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】根據圖形得到，，原式利用絕對值的意義化簡即可得到結果．此題考查了絕對值，熟練掌握絕對值的意義是解題的關鍵．
【詳解】解：，，
原式．
故選：C．
【經典例題9】（2023·寧夏銀川·一模）實數，在數軸上對應點的位置如圖所示，則的化簡結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是實數與數軸，絕對值，熟練掌握上述知識點是解題的關鍵．根據數軸可知，，，可得，因此．
【詳解】解：由數軸可知，，，
，
，
故選：D．
【變式訓練9-1】（2022·山東淄博·一模）如圖，數軸上的三點A，B，C分別表示有理數a，b，c，則化簡|a-b|-|c-a|+|b-c|的結果是（ ）
A．2a-2c B．0 C．2a-2b D．2b-2c
【答案】B
【分析】根據數軸，得到信息為a＜b＜0＜c，化簡絕對值即可．
【詳解】∵a＜b＜0＜c，
∴a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，
∴|a-b|-|c-a|+|b-c|
=b-a-c+a+c-b
=0，
故選B．
【點睛】本題考查了數軸，有理數的大小比較，絕對值的化簡，正確讀取數軸信息，準確進行絕對值的化簡是解題的關鍵．
【變式訓練9-2】（2023·云南昆明·一模）在中，，是銳角，若，則的大小是 ．
【答案】/75度
【分析】本題考查了非負數的意義、三角形內角和定理及由特殊三角函數值求角度，熟練掌握特殊三角函數值是解題的關鍵．本題根據非負數的意義求出、，再由三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：由題意得：，，
∴， ，
∴，，
∴．
故答案為：
【變式訓練9-3】（2024·河北邢臺·模擬預測）按要求完成下列各題
(1)在數軸上表示下列各數：，，1.5，；
(2)用“”將（1）題中的各數連接起來；
(3)a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查了數軸，整式的加減，絕對值以及有理數加減符號，解題關鍵是運用有理數運算法則進行符號的判斷．
（1）先化簡多重符號，去絕對值，然后在數軸上表示出各數即可；
（2）根據數軸上的數右邊的比左邊的大，進行連接即可
（3）先根據數軸確定，，的符號，再根據絕對值意義，去掉絕對值號，化簡即可．
【詳解】（1）解：，，
∴把數表示在數軸上：
；
（2）解：用“”連接起來為：
（3）解：∵，，，
∴．
【經典例題10】閱讀下面材料：點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|．回答下列問題：
（1）數軸上表示﹣3和1兩點之間的距離是　 　，數軸上表示﹣2和3的兩點之間的距離是　 　；
（2）數軸上表示x和﹣1的兩點之間的距離表示為　 　；
（3）若x表示一個有理數，則|x﹣2|+|x+3|有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．
【答案】（1）4，5；（2）|x+1|；（3）5.
【分析】（1）根據在數軸上A、B兩點之間的距離為AB＝|a﹣b|即可求解；
（2）根據在數軸上A、B兩點之間的距離為AB＝|a﹣b|即可求解；
（3）根據絕對值的性質去掉絕對值號，然后計算即可得解.
【詳解】（1）|1﹣（﹣3）|＝4；|3﹣（﹣2）|＝5；
故答案為：4；5；
（2）|x﹣（﹣1）|＝|x+1|或|（﹣1）﹣x|＝|x+1|，
故答案為：|x+1|；
（3）有最小值，
當x＜﹣3時，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣1，
當﹣3≤x≤2時，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5，
當x＞2時，|x﹣2|+|x+3|＝x﹣2+x+3＝2x+1，
在數軸上|x﹣2|+|x+3|的幾何意義是：表示有理數x的點到﹣3及到2的距離之和，所以當﹣3≤x≤2時，它的最小值為5．
【點睛】本題考查了數軸，絕對值的性質，讀懂題目信息，理解數軸上兩點間的距離的表示是解題的關鍵．注意分類思想在解題中的運用．
【變式訓練10-1】點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|．
利用數形結合思想回答下列問題：
(1)數軸上表示1和3兩點之間的距離　 　．
(2)數軸上表示﹣12和﹣6的兩點之間的距離是　 　．
(3)數軸上表示x和1的兩點之間的距離表示為　 　．
(4)若x表示一個有理數，且﹣4＜x＜2，則|x﹣2|+|x+4|＝　 　．
【答案】(1)2；(2)6；(3)|x﹣1|；(4)6.
【分析】（1）依據在數軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|，即可得到結果．
（2）依據在數軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|，即可得到結果．
（3）依據在數軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|，即可得到結果．
（4）依據﹣4＜x＜2，可得表示x的點在表示﹣4和2的兩點之間，即可得到|x﹣2|+|x+4|的值即為|﹣4﹣2|的值．
【詳解】(1)數軸上表示1和3兩點之間的距離為|3﹣1|＝2；
(2)數軸上表示﹣12和﹣6的兩點之間的距離是|﹣6﹣(﹣12)|＝6；
(3)數軸上表示x和1的兩點之間的距離表示為|x﹣1|；
(4)∵﹣4＜x＜2，
∴|x﹣2|+|x+4|＝|﹣4﹣2|＝6，
故答案為2，6，|x﹣1|，6．
【點睛】本題考查的是絕對值的幾何意義，兩點間的距離，理解絕對值的幾何意義是解決問題的關鍵．
【變式訓練10-2】閱讀下列材料：
我們知道的幾何意義是在數軸上數對應的點與原點的距離；即；這個結論可以推廣為表示在數軸上數，對應點之間的距離．絕對值的幾何意義在解題中有著廣泛的應用：
例1：解方程．
容易得出，在數軸上與原點距離為4的點對應的數為±4，即該方程的±4；
例2：解方程．
由絕對值的幾何意義可知，該方程表示求在數軸上與-1和2的距離之和為5的點對應的的值．在數軸上，-1和2的距離為3，滿足方程的對應的點在2的右邊或在-1的左邊．若對應的
點在2的右邊，如圖可以看出；同理，若對應點在-1的左邊，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在數軸上找出的解，即到1的距離為3的點對應的數為-2，4，如圖，在-2的左邊或在4的右邊的值就滿足，所以的解為或．
參考閱讀材料，解答下列問題：
（1）方程的解為　 　；
（2）方程的解為　 ；
（3）若，求的取值范圍．
【答案】（1）x=2或x=-8（2）x=-2或x=2018（3）x≥5或x≤-6
【詳解】試題分析：1）分類討論：x<-3，x≥-3，可化簡絕對值，根據解方程，可得答案；
（2）分類討論：x<-1，-1≤x<2017，x≥2017，根據絕對值的意義，可化簡方程，根據解方程，可得答案；
（3）表示的幾何意義分情況討論即可求解.
試題解析：（1）當x< 3時，原方程等價于 x 3=5.解得x= -8；
當x 3時，原方程等價于x+3=5，解得x=2，
故答案為x=2或x=-8；
（2）當x< 1時，原方程等價于 x+2017 x-1=2020，解得x= 2，
當 1 x<2017時，原方程等價于 x+2017 +x+1=2020，不存在x的值；
當x 2017時，原方程等價于x 2017+x+1=2020，解得x=2018，
綜上所述：x=-2或x=2018是方程的解；
（3）∵表示的幾何意義是在數軸上分別與-4和3的點的距離之和，
而-4與3之間的距離為7，
當在-4和3時之間，
不存在，使成立，
當在3的右邊時，
如圖所示，
易知當時，滿足，
當在-4的左邊時，
如圖所示，易知當時，滿足，
所以的取值范圍是或．
點睛：本題主要考查了絕對值，通過閱讀材料，理解絕對值的幾何意義，結合數軸，通過數形結合對材料進行分析來解答題目..
【經典例題11】（2023·廣東·模擬預測）已知a是4的算術平方根，則方程的根的情況是（　　）
A．無實數根 B．兩個相等的實數根
C．兩個不相等的實數根 D．不能確定
【答案】A
【分析】本題考查了算術平方根和一元二次方程根的判別式，根據a是4的算術平方根求得的值，代入到，然后利用一元二次方程根的判別式判斷根的情況即可．
【詳解】解：是4的算術平方根，
，
方程化為，
，
所以此方程沒有實數根．
故選：A．
【變式訓練11-1】（2024·內蒙古包頭·模擬預測）下列說法正確的是（　　）
A．是的算術平方根 B．是的算術平方根
C．的算術平方根是1 D．的算術平方根是
【答案】C
【分析】本題考查了算術平方根的定義．根據一般地，如果一個正數的平方等于，即，那么這個正數叫做的算術平方根，逐項分析即可求解．
【詳解】解：A、∵，故是的算術平方根，A選項錯誤；
B、∵，故是的算術平方根，B選項錯誤；
C、，且，故的算術平方根是，C選項正確；
D、負數沒有算術平方根，D選項錯誤．
故選：C．
【變式訓練11-2】（2024·湖南岳陽·模擬預測）若是的算術平方根，而的算術平方根是，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了算術平方根，代數式求值等知識點，熟練掌握算術平方根是解題的關鍵．
先根據算術平方根的定義求出、的值，然后即可求出的值．
【詳解】解：是的算術平方根，
，
又的算術平方根是，
，
，
故答案為：．
【變式訓練11-3】（2024·廣西·模擬預測）平方根等于它本身的數為a，算術平方根等于它本身的數為b，則的和為 ．
【答案】0或1
【分析】本題考查的是平方根，算術平方根，解答本題的關鍵是熟練掌握一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，其中正的平方根叫做它的算術平方根．同時注意0和的特殊性．
根據平方根，算術平方根的定義即可得到結果．
【詳解】解：∵平方根等于它本身的數是0，算術平方根等于它本身的數是0和1，
∴或1，
∴或1，
故答案為：0或1．
【經典例題12】（2023·浙江寧波·模擬預測）已知x，y為實數，且，則的平方根為（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查非負性，求一個數的平方根，根據非負性，求出x，y的值，進而求出的值，再根據平方根的定義，進行求解即可．
【詳解】解：∵x，y滿足，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根為．
故選：D．
【變式訓練12-1】（2024·江蘇·模擬預測）若實數m，n滿足，且m，n恰好是等腰的兩條邊的邊長，則的周長是 ．
【答案】17
【分析】根據偶次方、算術平方根的非負性可得：，從而可得，然后分兩種情況：當等腰三角形的腰長為7，底邊長為3時；當等腰三角形的腰長為3，底邊長為7時，從而進行計算即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：，
分兩種情況：
當等腰三角形的腰長為7，底邊長為3時，
∴的周長；
當等腰三角形的腰長為3，底邊長為7時，
∵，
∴不能組成三角形；
綜上所述：的周長是17，
故答案為：17．
【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，偶次方，算術平方根的非負性，三角形的三邊關系，分兩種情況討論是解題的關鍵．
【變式訓練12-2】若菱形的兩對角線長分別為a、b，且滿足 ，則該菱形的面積為 ．
【答案】1
【分析】本題考查了根據菱形性質求面積，絕對值，二次根式的非負性，先根據非負性求出a，b的值，再利用菱形的面積為兩對角線相乘再乘以二分之一求面積即可．
【詳解】解：，
，
，
，
則該菱形的面積為，
故答案為：1．
【變式訓練12-3】（2024·浙江湖州·二模）在平面直角坐標系中，當點不在坐標軸上時，我們定義的影子點為．已知點的坐標為，且滿足方程組（為常數），若點的影子點是，已知點正好落在一次函數的圖象上，則的值是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了非負數性質和新定義運算，待定系數法求函數解析式．由題意得，繼而求得，，得點的坐標為，根據定義知點的坐標為，再利用待定系數法即可求解．解題關鍵是利用方程變形和非負數性質得出，．
【詳解】解：∵，即
∴，
∴，，
∴，，
∴點的坐標為，
∴點的影子點的坐標為，即點的坐標為，
將點代入一次函數得：，
解得：，
故答案為：．
【經典例題13】（2023·湖北荊州·一模）觀察下列各式：，用你發現的規律直接寫出下面式子的值＝ ．
【答案】406
【分析】觀察各式，找出規律，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴===406，
故答案為：406．
【點睛】本題主要考查算術平方根，找出各式的變換規律是關鍵．
【變式訓練13-1】（2022·北京海淀·二模）由，，我們可以確定是兩位數．根據類似的想法，由于1225個位上的數是5，我們能確定個位上的數是 ，如果只看1225的前兩位12，而，，我們能確定十位上的數是 ．
【答案】 5 3
【分析】根據題意，以題目給出的思路和方法進行推理得出答案，5的任何次方尾數均是5，則可求解①，根據題意確定1225的平方根是兩位數，再根據3的平方和4的平方即可確定②．
【詳解】∵5的任何次方尾數均是5，
∴1225的平方根的個位數是5，
∵，，9＜12＜16，
∴1225的平方根的十位數是3，
故答案為：5，3．
【點睛】考查了實數的意義，平方根的意義以及尾數的特征等知識，閱讀理解題目提供的解題方法是解答本題的關鍵．
【變式訓練13-2】（2023·安徽合肥·一模）觀察下列等式：
①；
②；
③；
…
(1)寫出④______；
(2)猜想：______；
(3)由以上規律，計算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）觀察已知等式找到規律，即可求解；
（2）根據規律直接得出結果即可；
（3）利用（2）中結論及有理數的混合運算進行計算即可．
【詳解】（1）解：，
故答案為：．
（2）解：根據規律可知，，
故答案為： ；
（3）
．
【點睛】題目主要考查算術平方根及有理數規律性運算，根據題意找出相應規律是解題關鍵．
【變式訓練13-3】（2024·浙江嘉興·一模）觀察下面的等式：，，，，
(1)寫出的結果；
(2)按照上面的規律歸納出一個一般的結論；（用含n的等式表示，n為正整數）
(3)試運用相關知識，推理說明你所得到的結論是正確的．
【答案】(1)
(2)
(3)見解析
【分析】本題考查了與算術平方根有關的規律探索．
（1）由上述等式得，；
（2）觀察上面的等式可得規律，（n為正整數）；
（3）計算是否等于．
【詳解】（1）解：∵，
，
，
，
，
∴；
（2）解：觀察上面的等式可得規律（n為正整數）；
（3）證明：
，
因此歸納正確．
【經典例題14】（2024·陜西西安·模擬預測）下列說法中不正確的是（ ）
A．正數的平方根有兩個，立方根也有兩個； B．64的立方根是4；
C．3是27的立方根； D．任何一個數都有立方根．
【答案】A
【分析】題目主要考查平方根及立方根，熟練掌握二者的性質是解題關鍵．
根據平方根、立方根的定義并逐項進行判斷即可．
【詳解】解：A．正數的平方根有兩個，立方根有一個，選項錯誤，符合題意；
B．64的立方根是4，選項正確，不符合題意；
C．3是27的立方根，選項正確，不符合題意；
D．任何一個數都有立方根，選項正確，不符合題意；
故選：A．
【變式訓練14-1】（2023·廣東深圳·模擬預測）一個數的兩個平方根分別是與，則這個數是（ ）
A． B． C．16 D．4
【答案】C
【分析】根據一個數的兩個平方根互為相反數列得，求出，即可得到這個數．
【詳解】解：由題意得，得，
∴
∴這個數是，
故選：C．
【點睛】此題考查了平方根的性質：正數的兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根，熟記性質是解題的關鍵．
【變式訓練14-2】（2023·河北保定·模擬預測）已知，一個正數a的平方根為和，則正數a為 ，b的立方根為 ．
【答案】 16
【分析】根據“一個正數的兩個平方根互為相反數”列出方程求出b，從而得出這個正數a，繼而得解．
【詳解】解：∵一個正數a的平方根為和，
∴，
解得，
∴，
∴這個正數a為16，b的立方根為．
故答案為：16，．
【點睛】本題考查平方根和立方根，掌握“一個正數的兩個平方根互為相反數”是解題的關鍵．
【變式訓練14-3】（2021·福建福州·一模）若實數、滿足：，．則的值是 ．
【答案】32
【分析】根據算術平方根和立方根的性質得到a+b=4，a－b=8，進而直接代入求解即可．
【詳解】解：∵實數、滿足：，，
∴a+b=4，a－b=8，
∴=4×8=32，
故答案為：32．
【點睛】本題考查了算式平方根、立方根、代數式求值，理解算式平方根和立方根的性質是解答的關鍵．
【經典例題15】如圖，用兩個面積為的小正方形紙片拼成一個大正方形．
(1)求拼成的大正方形紙片的邊長；
(2)小麗想：若沿此大正方形紙片的邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長、寬之比為且面積為？她不知能否剪得出來，正在發愁．小明見了說：“別發愁，一定能用一塊面積大的紙片剪出一塊面積小的紙片．”你同意小明的說法嗎？你認為小麗能用這塊紙片剪出符合要求的紙片嗎？為什么？
【答案】(1)
(2)解：不同意小明的說法，我認為小麗不能用這塊紙片剪出符合要求的紙片，理由見解析
【分析】本題考查平方根的實際應用，讀懂題意，由算術平方根及平方根定義列式求解即可得到答案，讀懂題意，由平方根定義列式求解是解決問題的關鍵．
（1）根據題意，利用算術平方根列式求解即可得到答案；
（2）設長方形紙片的長為，寬為，由題意得到求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：用兩個面積為的小正方形紙片拼成一個大正方形，
大正方形的邊長為；
（2）解：不同意小明的說法；我認為小麗不能用這塊紙片剪出符合要求的紙片．
理由如下：
設長方形紙片的長為，寬為，根據題意得，解得或（負值，舍去），即長方形的長為，寬為，
∵，不符合題意，
∴小麗不能用這塊紙片剪出符合要求的紙片．
【變式訓練15-1】某快遞公司為顧客郵寄的快遞提供紙箱包裝服務，現有一款底面積為，長，寬，高的比分別為的長方體包裝紙箱．
(1)求這個長方體包裝紙箱的長，寬，高各是多少？
(2)一顧客要郵寄甲乙兩件正方體物品，它們的底面積分別為，，從節約材料的角度考慮，該快遞公司的員工決定用這款長方體包裝紙箱．如圖所示，將甲乙兩件正方體物品并排擺放在該長方體包裝箱中．請問這名員工的想法能否實現，并說明理由．
【答案】(1)這個長方體包裝紙箱的長，寬，高分別為，，
(2)這名員工的想法能實現，理由見解析
【分析】本題考查了長方體的表面積，正方形的面積，平方根的應用，無理數的估算，理解題意得出要求包裝的紙箱的尺寸范圍是解題的關鍵．
（1）設這個長方體包裝紙箱的長為，則寬為，高為，根據長方體的底面積等于長寬列方程，求解即可；
（2）根據甲乙兩件禮品的底面積大小，可以估計這兩件禮品的底面邊長大小，然后與三款包裝紙箱的尺寸比較，從而找到合適的紙箱．
【詳解】（1）解：設這個長方體包裝紙箱的長為，則寬為，高為，
由題意得：，
∴，
∵，
∴，
則
答：這個長方體包裝紙箱的長，寬，高分別為，，．
（2）解：設甲正方體物品棱長為，乙正方體物品棱長為，
由題意得：，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∵
∴，長方體紙箱長滿足條件，
∵，
∵，
∴，長方體紙箱寬、高均滿足條件，
∴這名員工的想法能實現．
【變式訓練15-2】（2024·四川南充·模擬預測）已知關于的一元二次方程有兩個實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)設方程的兩個實數根為，，且，求的值．
【答案】(1)且；
(2)或．
【分析】（）根據及一元二次方程的定義解答即可求解；
（）利用一元二次方程根和系數的關系可得，，進而由得到，即，解方程即可求解；
本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根和系數的關系，完全平方公式的變形運算，掌握一元二次方程根的判別式及根和系數的關系是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：根據題意得，
，且，
解得且；
（2）解：根據根與系數的關系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，，
經檢驗，是原方程的根，
∴的值為或．
【經典例題16】已知的立方根是3，的算術平方根是，c是的整數部分，求的算術平方根．
【答案】6
【分析】本題考查立方根、算術平方根以及無理數的估算，理解立方根、算術平方根的定義是正確解答的前提．根據立方根、算術平方根以及估算無理數的大小即可求出、、的值，再將、、的值代入求出結果，再根據算術平方根的定義進行計算即可．
【詳解】解： 的立方根是3，的算術平方根是，是的整數部分，
，，
，，
又，
∴，
的整數部分，
當，，時，，
的算術平方根為6．
【變式訓練16-1】（1）已知的平方根是，的算術平方根是4，求的算術平方根．
（2）若x，y都是實數，且，求的立方根．
【答案】（1）5；（2）3
【分析】本題考查了算術平方根、平方根和立方根，掌握概念是解題的關鍵．
（1）根據平方根的定義求出a、b的值，代入求出的值，再求算術平方根即可；
（2）根據算術平方根的含義求出x，進而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可．
【詳解】解：（1）的平方根是，的算術平方根是4，
，，
，，
，
的算術平方根為5；
（2）由可知，，
，，
，
的立方根為3．
【變式訓練16-2】已知的算術平方根是1，的立方根是，的平方根是．
(1)求a，b，c的值：
(2)求的平方根和立方根．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根據算術平方根，平方根和立方根的概念分別計算出、、即可；
（2）利用（1）的結論直接求值即可．
本題主要考查算術平方根，平方根和立方根的知識，熟練掌握平方根和立方根的知識是解題的關鍵．
【詳解】（1）解： 的算術平方根是1，
，
解得；
的立方根是，
，
；
的平方根是，
，
．
（2）解：由（1）知，，，，
，
的平方根是；
的立方根是．
【變式訓練16-3】已知的立方根是，的算術平方根是，的小數部分為．
(1)分別求出a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本題考查了算術平方根、立方根、無理數的估算，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）根據立方根、算術平方根以及估算無理數的大小確定出a，b，c的值；
（2）求出的值，再根據平方根的意義求出答案即可．
【詳解】（1）解：∵的立方根是，的算術平方根是，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
∵的小數部分為，
∴；
（2）解：∵，
∴的平方根為．
【經典例題17】（2024·福建廈門·模擬預測）如圖，在做浮力實驗時，小華用一根細線將一個正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱形燒杯中，量筒量得溢出水的體積為，則該鐵塊棱長大小的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了無理數的估算能力，運用立方根知識進行估算求解．
【詳解】由題意得，該鐵塊棱長是，
∵
，
該鐵塊棱長大小的范圍是，
故選：B．
【變式訓練17-1】（2024·重慶江津·模擬預測）估計的值應在（ ）
A．10和11之間 B．9和10之間 C．8和9之間 D．7和8之間
【答案】A
【分析】本題考查了二次根式運算，無理數的估算，不等式的性質，熟練掌握知識點是解決本題的關鍵．
先將化簡為，只需要估算的大小即可．
【詳解】解：，
∵，，
∴，即，
∴，
故選：A．
【變式訓練17-2】已知，；
(1)求的值．
(2)若x的小數部分為a，y的整數部分為b，求的平方根．
【答案】(1)21
(2)
【分析】本題考查了完全平方公式、分母有理化、估算無理數的大小、平方根等知識點，能求出和的值是解（1）的關鍵，能估算出x、y的范圍是解（2）的關鍵．
（1）先分母有理化求出x、y的值，再求出和的值，最后根據完全平方公式進行變形，代入求出即可；
（2）先求出x、y的范圍，再求出a、b的值，最后代入求出即可．
【詳解】（1）解：， ，
，
∴；
（2）解；∵，
∴，，
∵的小數部分為，的整數部分為，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
【變式訓練17-3】（2024·江蘇南京·二模）（n為正整數）的近似值可以這樣估算：，其中m是最接近n的完全平方數．例如：，這與科學計算器計算的結果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估計的近似值（精確到0.1）；
(2)結合圖中思路，解釋該方法的合理性．
【答案】(1)6.6
(2)見解析
【分析】本題考查的是無理數的估算，新定義的含義，完全平方公式的應用，理解新定義的含義是解本題的關鍵；
（1）根據新定義的法則進行估算即可．
（2）設，其中，再變形，結合完全平方公式可得結論．
【詳解】（1）解：由新定義可得：
；
（2）解：設，其中．
則．
將兩邊平方，得．
∵ ，
∴ 的值會更接近于0，不妨近似為0．
∴ ．
∴ ，
即．
【變式訓練17-3】（2022·江蘇鹽城·一模）因為，即，所以的整數部分為1，小數部分為．類比以上推理解答下列問題：
(1)求的整數部分和小數部分；
(2)若m是的小數部分，n是的小數部分，且（x+1）2＝m+n，求x的值．
【答案】(1)3；
(2)x＝0或x＝﹣2
【分析】（1）用夾逼法根據無理數的估算即可得出答案；
（2）根據無理數的估算求出m，n的值，根據平方根的定義即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，即，
∴的整數部分為3，小數部分為；
（2）解：∵m是的小數部分，n是的小數部分，，
∴m＝，n＝，
∴，
∴，
解得：x＝0或x＝﹣2．
【點睛】本題考查了無理數的估算、平方根，明確無理數的估算常用夾逼法，用有理數夾逼無理數是解題的關鍵．
【經典例題18】（2024·湖南長沙·模擬預測）下列四個實數：， ， 9，，其中比0小的數是（ ）
A． B． C．9 D．3．14
【答案】B
【分析】本題考查了實數，解答此題的關鍵是要明確實數分為正實數，0，負實數，即：正實數負實數．根據實數的分類進行判斷即可．
【詳解】解：， ， ，，
∴四個實數：， ， 9，，其中比0小的數是，
故選B．
【變式訓練18-1】（2024·山東濟南·模擬預測）實數中，有理數的個數為a，無理數的個數為b，則的值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題主要考查了實數的分類，熟練掌握實數的分類方法是解題的關鍵．
根據實數的分類可得，即可求解．
【詳解】有理數有，有6個；
無理數有，有2個；
即，
，
故選：C．
【變式訓練18-2】（2024·河北保定·二模）如圖，正方形M的邊長為m，正方形N的邊長為n，若兩個正方形的面積分別為9和5，則下列關于m和n的說法，正確的是（ ）
A．m為有理數，n為無理數 B．m為無理數，n為有理數
C．m，n都為有理數 D．m，n都為無理數
【答案】A
【分析】本題考查算術平方根、實數的分類，先根據正方形面積公式求得邊長m、n，再根據實數的分類判斷即可．
【詳解】解：由題意，，，
∴，，
∴m為有理數，n為無理數，
故選：A．
【變式訓練18-3】實數，，，，，中，有理數的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】本題考查實數的分類，有理數包括整數和分數，無理數也稱為無限不循環小數，不能寫作兩整數之比，若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無限多個，并且不會循環，據此逐個判斷即可．
【詳解】解：是有限小數，屬于有理數；
是整數，屬于有理數；
是分數，屬于有理數；
是有限小數，屬于有理數；
是無理數；
是無限不循環小數，屬于無理數，
綜上，有理數的個數有4個，
故選D．
【經典例題19】如圖，，則數軸上點所表示的數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是勾股定理與實數．先根據勾股定理求出三角形的斜邊長，從而得出，再根據點A表示的數為，求出C點表示的數即可．
【詳解】解：圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2，
∴斜邊長為：，
∵，
∴，
∵點A表示的數為，
∴點C所表示的數為：．
故選：B．
【變式訓練19-1】（2024·寧夏銀川·模擬預測）實數在數軸上的對應位置如圖所示，則的化簡結果是（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本題考查二次根式的性質與化簡、實數與數軸．先根據數軸分析出的取值范圍，再根據二次根式的性質進行化簡即可．
【詳解】解：由數軸知，
，
．
故選：A．
【變式訓練19-2】（2024·貴州貴陽·一模）如圖，，在數軸上點A表示的數為a，則a的值最接近的整數是 ．
【答案】
【分析】本題考查數軸上的點表示的數，解題的關鍵是求出，即可得的值．
【詳解】解：由圖可得，，
表示的數比表示的數小，
，
，
，
，
的值最接近的整數是，
故答案為：．
【變式訓練19-3】（2024·四川樂山·模擬預測）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，則實數a b．（用“>”、“<”或“=”號填空）
【答案】
【分析】此題主要考查了實數大小比較的方法，在數軸上表示數的方法，以及數軸的特征：一般來說，當數軸正方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大．據當數軸正方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大，可得．
【詳解】解：根據圖示，可得．
故答案為：．
【經典例題20】（2024·北京房山·二模）實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了實數與數軸，實數比較大小，數形結合是解題的關鍵．根據數軸可得，，進一步得出，，即可判斷答案．
【詳解】解：，
，
又，
，
選項正確，符合題意；
，
，
，
選項錯誤，不符合題意；
C選項錯誤，不符合題意；
D選項錯誤，不符合題意；
故選A．
【變式訓練20-1】（2024·河北秦皇島·一模）若，，則關于P與Q的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．以上都不對
【答案】A
【分析】本題考查實數的大小比較，先把P與Q用平方差公式和完全平方公式化簡，再進行比較．
【詳解】
∴
故選：A．
【變式訓練20-2】（2024·陜西咸陽·模擬預測）比較大小： （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本題考查二次根式比較大小，先取、的絕對值，再平方，比較大小即可得到答案，熟練掌握無理數比較大小的方法是解決問題的關鍵．
【詳解】解：，且，
，則，
故答案為：．
【變式訓練20-3】（2023·江蘇鹽城·模擬預測） （填“、或”）．
【答案】
【分析】本題主要考查二次根式比較大小的方法，熟練掌握比較大小的方法是解題關鍵．先對根式平方，然后比較大小即可確定．
【詳解】解：
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【經典例題21】（2023·湖南岳陽·模擬預測）計算：
【答案】4
【分析】此題主要考查了實數的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．首先計算零指數冪、負整數指數冪、特殊角的三角函數值、開平方和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【詳解】解：
【變式訓練21-1】（2024·甘肅定西·模擬預測）計算：．
【答案】
【分析】本題主要考查了實數的運算，求特殊角三角函數值等等，先代入特殊角三角函數值，再計算零指數冪，負整數指數冪，最后計算加減法即可．
【詳解】解：
．
【變式訓練21-2】（2024·新疆烏魯木齊·三模）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本題主要考查了算術平方根、立方根、零指數冪、含特殊角的三角函數值、負整數指數冪、化簡絕對值等知識，熟練掌握相關運算法則和性質是解題關鍵．
（1）首先根據算術平方根、零指數冪、含特殊角的三角函數值、負整數指數冪的運算法則進行計算，然后相加減即可；
（2）首先根據算術平方根、立方根以及絕對值的性質進行運算，然后相加減即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【變式訓練21-3】（2024·湖南長沙·模擬預測）計算： ．
【答案】6
【分析】本題主要考查了實數混合運算，根據負整數指數冪和零指數冪運算法則，特殊角的三角函數值，進行計算即可．
【詳解】解：
．
【經典例題22】有一個數值轉換器，原理如下：當輸入的時，輸出的y等于（　　）
A． B．8 C．2 D．
【答案】A
【分析】根據程序進行計算即可．
【詳解】解：輸入時，取算術平方根為，是有理數，
輸入時，取算術平方根為，是無理數，輸出，
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查了求一個數的算術平方根，根據程序設計進行計算是解題的關鍵．
【變式訓練22-1】（2023·山東煙臺·一模）按如圖所示的程序進行計算，若輸入的值為6，則輸出的值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】把代入程序流程圖進行計算即可．
【詳解】解：把代入，得，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了程序設計與實數運算，解題的關鍵是按照題中箭頭的方向依次計算，遇到判斷框時，注意判斷清楚滿足否和是哪個路徑的要求．
【變式訓練22-2】（2023·貴州黔東南·一模）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為，則最后輸出的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查實數的知識，解題的關鍵是掌握算術平方根和立方根的性質，根據題意，先求出的算術平方根，在再求出立方根，即可．
【詳解】解：計算程序可得，，
∴取算術平方根為，
∴取的立方根為，
∴．
故答案為：．
【變式訓練22-3】（2023·陜西咸陽·二模）程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，根據如圖的程序進行計算，當輸入的值為64時，輸出的值是 ．
【答案】
【分析】根據程序框圖進行運算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，取算術平方根為，
8是有理數，取立方根，
2是有理數，取算術平方根，
是無理數，輸出，
故答案為：．
【點睛】本題考查了算術平方根、立方根，無理數、有理數，程序框圖．解題的關鍵在于理解框圖以及對知識的熟練掌握．
【經典例題23】（2024·湖南·模擬預測）對于實數，我們定義符號的意義為：當時，；當時，，如，則方程的解為 ．
【答案】或3
【分析】本題主要考查了新定義，解一元二次方程，解題的關鍵是正確理解題目所給新定義的運算法則，以及解一元二次方程的方法和步驟．根據題目所給新定義，列出方程求解即可．
【詳解】解：， ，
∴，即，
解得：，
故答案為：或3．
【變式訓練23-1】規定兩數之間的一種運算，記作：如果，那么
例如：因為，所以．
規定：，比如：
(1)根據上述規定，填空：____________，____________，____________．
(2)小明在研究這種運算時發現一個現象：他給出如下的證明：設，則，而，所以，則，即，所以
請你嘗試運用這種方法證明下面這個等式：
(3)請你參照（2）的，寫出一個成立的等式____________．
【答案】(1)3；0；
(2)證明見解析
(3)（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了新定義，同底數冪乘法計算，冪的乘方計算：
（1）根據新定義進行求解即可；
（2）設，則，則由同底數冪乘法計算法則得到，則，據此可證明結論；
（3）類似于（2）寫出符合題意的式子即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴；
故答案為：3；0；；
（2）證明：設，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，證明如下：
設，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：（答案不唯一）．
【變式訓練23-2】（2024·北京·模擬預測）對于實數，我們用表示不超過的最大整數．下列表述錯誤的是？（ ）
A．
B．函數的最大值為1，最小值為0
C．函數不存在對稱軸
D．隨著的增大，函數和函數越來越接近
【答案】B
【分析】本題考查了函數的函數值問題，解題的關鍵是理解的含義，通過取特殊值法來進行判斷．
【詳解】解：A．正確，不符合題意；
B．函數沒有最大值，最小值為0，故表述錯誤，符合題意；
C．當時，，當時，，故函數不存在對稱軸，正確，不符合題意；
D．隨著的增大，函數和函數的函數值越來越接近0，正確，不符合題意；
故選：B．
【變式訓練23-3】（2024·湖北·模擬預測）已知，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了新定義運算，令，將首尾兩項依次組合即可化簡求值．
【詳解】解：，令，
原式
，
∴原式
故答案為：
【經典例題24】（2023·四川攀枝花·中考真題）2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊進行決賽階段的比賽．決賽階段分為分組積分賽和復賽．32支球隊通過抽簽被分成8個小組，每個小組4支球隊，進行分組積分賽，分組積分賽采取單循環比賽（同組內每2支球隊之間都只進行一場比賽），各個小組的前兩名共16支球隊將獲得出線資格，進入復賽；進入復賽后均進行單場淘汰賽，16支球隊按照既定的規則確定賽程，不再抽簽，然后進行決賽，決賽，最后勝出的4支球隊進行半決賽，半決賽勝出的2支球隊決出冠、亞軍，另外2支球隊決出三、四名．
(1)本屆世界杯分在組的4支球隊有阿根廷、沙特、墨西哥、波蘭，請用表格列一個組分組積分賽對陣表（不要求寫對陣時間）．
(2)請簡要說明本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？
(3)請簡要說明本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？
【答案】(1)組分組積分賽對陣表見解答過程；
(2)本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了7場比賽；
(3)本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了64場比賽．
【分析】（1）根據同組內每2支球隊之間都只進行一場比賽列表即可；
（2）冠軍阿根廷隊分組積分賽踢了3場，決賽，決賽，半決賽，決賽又踢了4場，即可得到答案；
（3）分組積分賽48場，決賽一共8場，決賽一共4場，半決賽2場，冠、亞軍決賽和三、四名決賽各1場，相加即可．
【詳解】（1）組分組積分賽對陣表：
阿根廷 沙特 墨西哥 波蘭
阿根廷 阿根廷：沙特 阿根廷：墨西哥 阿根廷：波蘭
沙特 沙特：阿根廷 沙特：墨西哥 沙特：波蘭
墨西哥 墨西哥：阿根廷 墨西哥：沙特 墨西哥：波蘭
波蘭 波蘭：阿根廷 波蘭：沙特 波蘭：墨西哥
（2）冠軍阿根廷隊分組積分賽踢了3場，決賽，決賽，半決賽，決賽又踢了4場，
一共踢了（場），
本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了7場比賽；
（3）分組積分賽每個小組6場，8個小組一共（場）；
決賽一共8場，決賽一共4場，半決賽2場，冠、亞軍決賽和三、四名決賽各1場；
一共踢了（場）；
本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了64場比賽．
【點睛】本題考查數學在實際生活中的應用，解題的關鍵是讀懂題意，理解世界杯比賽的對陣規則．
【變式訓練24-1】（2022·重慶·一模）某高端酒店準備打造一個面積為450m2的長方形花園，現有墻AB長25m，籬笆長65m的（全部用于建造花園），設計公司為酒店提供了如圖所示的兩種方案，請通過計算幫助酒店作出合理決策．（決策依據如下：長方形的寬與長之比越接近黃金比越美觀，黃金比約為0.6）
(1)方案1：如圖1，若選取墻AB的一部分作為長方形的一邊，其他三邊用籬笆圍成，則在墻AB上借用的CF的長度為多少？
方案2：如圖2，若將墻AB全部借用，并在墻AB的延長線上拓展BF，構成長方形ADEF，其中BF，FE，ED和DA都由籬笆構成，求BF的長．
(2)根據（1）中的計算結果，請為該酒店作出合理的決策．
【答案】(1)CF的長度為20m，BF的長為5m
(2)方案二中的矩形，比較美觀
【分析】（1）設CF的長度為xm，則CD＝m，由長方形的面積為450m2，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合墻AB的長為25m，即可確定x的值；
（2）設BF的長為ym，則AD＝（20﹣y）m，由長方形的面積為450m2，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．
【詳解】（1）解：方案一：設CF的長度為xm，則CD＝m，
依題意得：x ＝450，
解得：x1＝20，x2＝45．
∵墻AB的長為25m，
∴x＝45不合題意，舍去，
∴CF＝20．
答：在墻AB上借用的CF的長度為20m．
方案二：設BF的長為ym，則AD＝＝（20﹣y）m，
依題意得：（25+y）（20﹣y）＝450，
解得：y1＝5，y2＝﹣10（不合題意，舍去），
∴BF＝5m．
答：BF的長為5m．
（2）解：≈0.9，＝0.5，
∴方案二中的矩形，比較美觀，更接近黃金比．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
【變式訓練24-2】我們知道，任意一個有理數與無理數的和為無理數，任意一個不為零的有理數與一個無理數的積為無理數，而零與無理數的積為零，由此可得：如果，其中m、n為有理數，x為無理數，那么，運用上述知識解決下列問題：
(1)如果，其中m、n為有理數，求m和n的值；
(2)如果，其中m、n為有理數，求的立方根；
(3)若m、n均為有理數，且，求的算術平方根．
【答案】(1)
(2)2
(3)或
【分析】本題考查了實數的運算、立方根與算術平方根、二元一次方程組的應用，熟練掌握實數的運算法則是解題關鍵．
（1）根據實數的運算法則可得，由此即可得；
（2）先根據實數的運算法則可得，解方程組可得的值，再根據立方根的性質求解即可得；
（3）先根據實數的運算法則可得，解方程組可得的值，再根據算術平方根的性質求解即可得．
【詳解】（1）解：∵為有理數，
∴為有理數，
∵，
∴，
解得．
（2）解：∵，
∴，
∵為有理數，
∴，
解得，
∴，
則的立方根是．
（3）解：∵，
∴，
∵為有理數，
∴，
解得或，
則或，
所以的算術平方根是或．
【變式訓練24-3】我們知道：任意一個有理數與無理數的和為無理數，任意一個不為零的有理數與一個無理數的積為無理數，而零與無理數的積為零．由此可得：如果，其中a，b為有理數，x為無理數，那么且．運用上述知識，解決下列問題：
(1)如果，其中a，b為有理數，那么 ， ．
(2)如果，其中a，b為有理數，求的值．
【答案】(1)2，
(2)
【分析】本題考查了無理數與有理數、二元一次方程組的應用，熟練掌握無理數的運算是解題關鍵．
（1）根據無理數的運算可得，由此即可得；
（2）將已知等式可得，從而可得，解方程組即可得．
【詳解】（1）解：∵為有理數，
∴為有理數，
∵，
∴，
解得，
故答案為：2，．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵為有理數，
∴，
解得，
∴．
【經典例題25】（2024·安徽合肥·二模）觀察下列各等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
(1)根據你發現的規律，請寫出第4個等式：__________________．
(2)請寫出你猜想的第n個等式（n為正整數，用含n的式子表示），并證明．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】本題考查了算術平方根，規律問題，根據題意得出等式的規律是解題的關鍵．
（1）根據題中給出的等式的規律即可寫出第4個等式；
（2）根據（1）中等式的規律即可寫出第n個等式，然后根據算術平方根的意義化簡計算即可．
【詳解】（1）解：第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
故第4個等式為：．
（2）第n個等式：．
證明：左邊，
右邊．
左邊=右邊，
等式成立．
【變式訓練25-1】（2024·安徽合肥·三模）如圖，將形狀大小完全相同的★按照一定規律擺成下列圖形，第1幅圖中★的個數為，第2幅圖中★的個數為，第3幅圖中★的個數為，…，以此類推，第n幅圖中★的個數為．則：
(1)　　　　，　　　　　；
(2)求的值．
【答案】(1)2，
(2)
【分析】本題主要考查了圖形類的規律探索，數字類的規律探索．
（1）根據圖形即可得到，觀察圖形可知第n幅圖中★的個數為；
（2）由（1）得，再找到規律，據此把所求式子裂項求解即可．
【詳解】（1）解：第1幅圖中★的個數為，
第2幅圖中★的個數為，
第3幅圖中★的個數為，
，
以此類推，第n幅圖中★的個數為；
（2）解：由（1）知，第n幅圖中★的個數為，
，
，
，
，
以此類推，可知，
∴
．
【變式訓練25-2】（2024·安徽合肥·一模）某班數學小組在研究個位數字為5的兩位數的平方的規律時，得到了下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
按照以上規律，解決下列問題：
(1)填空：______=______；
(2)已知且n為整數，猜想第n個等式（用含n的等式表示），并證明．
【答案】(1)，
(2)，詳見解析
【分析】本題考查的是數字的變化規律和列代數式，從題目中找出數字與等式的變化規律是解題的關鍵．
（1）計算，根據上述等式規律可得；
（2）根據上述等式，得出規律，，且為整數），再證明即可．
【詳解】（1）解：第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
…
；
故答案為：，；
（2）解：第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
…
猜想第n個等式（用含n的等式表示）為：，，且為整數）
證明：
；
∴左邊右邊，
∴等式成立．
【變式訓練25-3】（2024·湖南岳陽·模擬預測）已知，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了數字類規律實數運算，根據題意計算，得到即可求解，找到規律是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得：
，
，
，
，
∴，
∴，
故答案為：．
【經典例題26】（2024·山東日照·中考真題）交通運輸部2024年4月發布的全國港口貨物吞吐量數據顯示，日照港2024年第一季度吞吐量為15493萬噸，居全國主要港口第6位．將數據154930000用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了科學記數法的表示方法，科學記數法的表現形式為的形式，其中，為整數，確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，是非負數，當原數絕對值小于1時，是負數，表示時關鍵是要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：，
故選：B．
【變式訓練26-1】（2024·山東淄博·中考真題）我國大力發展新質生產力，推動了新能源汽車產業的快速發展．據中國汽車工業協會發布的消息顯示．2024年1至3月，我國新能源汽車完成出口萬輛．將萬用科學記數法表示為．則的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本題主要考查科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，
【詳解】解：萬，
則，
故選：B．
【變式訓練26-2】（2023·四川資陽·中考真題）毗河引水工程設計供水總人口489萬人，數489萬用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了科學記數法的表示方法，解題關鍵是要正確確定和的值．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正數；當原數的絕對值時，是負數．
【詳解】解：489萬．
故選：A．
【變式訓練26-3】（2023·江蘇南京·中考真題）全國深入踐行習近平生態文明思想，科學開展大規模國土綠化行動，厚植美麗中國亮麗底色，去年完成造林約公頃．用科學記數法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查科學記數法，根據科學記數法的表示形式為整數，當原數大于或等于時，原數變為時，小數點向左移動了幾位，的值就是幾，由此即可求解．
【詳解】解：，
故選：A．
【經典例題27】（2024·西藏·中考真題）隨著我國科技迅猛發展，電子制造技術不斷取得突破性成就，電子元件尺寸越來越小，在芯片上某種電子元件大約占．將0.0000007用科學記數法表示應為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了科學記數法的表示方法，科學記數法的表現形式為的形式，其中，為整數，確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，是非負數，當原數絕對值小于1時，是負數，表示時關鍵是要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：將0.0000007用科學記數法表示應為，
故選：C．
【變式訓練27-1】（2024·黑龍江大慶·中考真題）人體內一種細胞的直徑約為1.56微米，相當于0.00000156米，數字0.00000156用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查用科學記數法表示較小的數．一般形式為，其中，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．據此求解即可．
【詳解】解：數字0.00000156用科學記數法表示為，
故選：C．
【變式訓練27-2】（2024·山東威海·中考真題）據央視網2023年10月11日消息，中國科學技術大學中國科學院量子創新研究院與上海微系統所、國家并行計算機工程技術研究中心合作，成功構建了255個光子的量子計算原型機“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術水平和量子計算優越性的世界紀錄．“九章三號”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內所處理的最高復雜度的樣本，需要當前最強的超級計算機花費超過二百億年的時間．將“百萬分之一”用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了用科學記數法表示絕對值較小的數，用科學記數法表示絕對值較小的數，一般形式為，其中，為整數．
【詳解】解：百萬分之一．
故選：B．
【變式訓練27-3】（2024·四川廣元·中考真題）2023年10月諾貝爾物理學獎授予三位“追光”科學家，以表彰他們“為研究物質中的電子動力學而產生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學記數法表示為 秒．
【答案】
【分析】本題考查了用科學記數法表示較小的數，一般形式為，解題的關鍵是熟知．根據題意可知，43阿秒秒，再根據科學記數法的表示方法表示出來即可．
【詳解】解：根據題意1阿秒是秒可知，
43阿秒秒，
故答案為：．
【經典例題28】（2024·湖北孝感·模擬預測）將有理數用四舍五入法精確到千位是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查近似數及科學記數法，根據一個近似數四舍五入到哪一位，那么就說這個近似數精確到哪一位，從左邊第一個不是0的數字到精確到的數位為止所有數字都是有效數字，根據精確度找出最后一位上的有效數字所在的數位，再寫成科學記數法形式即可得到答案；
【詳解】解：；
故答案為：C．
【變式訓練28-1】（2024·河北邢臺·模擬預測）截至2024年3月21日，已有150家疏解單位7025名職工在雄安新區繳存住房公積金，繳存金額達5.02億元．下列關于5.02億說法正確的是（ ）
A．5.02億用科學記數法表示為 B．5.02億
C．5.02億是一個九位數 D．5.02億精確到十萬位
【答案】C
【分析】本題考查科學記數法和精確度，掌握科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，解題的關鍵要正確確定a的值以及n的值．
【詳解】A. 5.02億用科學記數法表示為，原說法錯誤；
B. 5.02億，原說法錯誤；
C. 5.02億是一個九位數，說法正確；
D. 5.02億精確到百萬位，原說法錯誤；
故選C．
【變式訓練28-2】（2024·山東泰安·二模）下列說法正確的有（　　）
①近似數7.4與7.40是一樣的
②近似數8.0精確到十分位，有效數字是8、0
③近似數9.60精確到百分位，有效數字是9、6、0
④由四舍五入法得到的近似數精確到千分位，有3個有效數字
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】C
【分析】本題考查了近似數、有效數字和科學記數法，熟練掌握知識點是解題的關鍵．根據一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位可判斷①；根據一個近似數，從左邊第一個不為0的數字起，到精確到的數位為止，所有的數字都叫做這個數的有效數字，可判斷②③；根據科學記數法的定義和近似數的定義，可判斷④．
【詳解】解：①7.4精確到十分位，7.40精確到百分位，原說法錯誤；
②近似數8.0精確到十分位，有效數字是8、0，說法正確；
③近似數9.60精確到百分位，有效數字是9、6、0，說法正確；
④近似數精確到千位，有3個有效數字，故錯誤；
綜上，正確的有②③；
故選：C．
【變式訓練28-3】（2024·湖北宜昌·模擬預測）某會議參會人數準確數為人，新聞報道參會人數約為百人，下列說法正確的是（ ）
A．人數統計精確到百位 B．人數統計精確到十位
C．人數統計精確到個位 D．人數統計精確到十分位
【答案】A
【分析】本題考查了近似數，熟練掌握近似數精確到哪一位是解題的關鍵，近似數精確到哪一位，應當看末位數字實際在哪一位．
運用近似數概念的定義解答即可．
【詳解】解：∵報道參會人數約為百人，末位數字為，
∴在人中，在百位上，則精確到了百位，
故選：．

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