資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
九年級(jí)數(shù)學(xué)上點(diǎn)撥與精練
第24章 圓
24.2 階段方法專訓(xùn)
證明圓的切線的七種常用方法
老師告訴你
證明一條切線是圓的切線的方法及輔助線作法
連半徑，證垂直
當(dāng)直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑。簡稱“連半徑。證垂直”。
作垂直，證半徑
當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒有明確時(shí)，可過圓心作直線的垂線，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”。
類型一 有公共點(diǎn)：連半徑證垂直
方法一 勾股定理逆定理法證垂直
典例剖析
例1．如圖，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)在直徑的延長線上，的半徑為3，，．求證：是的切線．

解題策略：題中給出相關(guān)線段長度證明切線時(shí)，考慮利用勾股定理的逆定理證垂直
針對訓(xùn)練1
1．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，PC＝4，PB＝2，AB＝6，求證：PC是⊙O的切線．
2．如圖，C是上一點(diǎn)，點(diǎn)D在直徑的延長線上，的半徑為6，，．求證：是的切線．
方法二 特殊角計(jì)算法證垂直
典例剖析
例2．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)G在直徑DF的延長線上，∠D＝∠G＝30°．
（1）判斷CG與圓O的關(guān)系，并說明理由；
（2）若CD=6，求線段GF的長度．
解題策略：有特殊角時(shí)通過計(jì)算特殊角的和差證直角，證明垂直
針對訓(xùn)練2
1．已知：如圖是圓O的直徑，點(diǎn)D在的延長線上，，點(diǎn)C在圓上，，求證是圓O的切線．

2．如圖，在中，為的直徑，為弦、，．

(1)求的度數(shù)；
(2)在圖（1）中，P為直徑的延長線上一點(diǎn)，且，求證：為的切線．
方法三 等角代換法證垂直
典例剖析
例3．如圖，點(diǎn)D為圓O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑AB的延長線上，且∠CAD＝∠BDC，過點(diǎn)A作⊙O的切線，交CD的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CB＝3，CD＝9，求ED的長．
解題策略：題目中有相等角時(shí)用相等角轉(zhuǎn)換找角的和差證垂直，從而證明切線。
針對訓(xùn)練3
1．如圖，的半徑為1，C是直徑延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在上，．
(1)求證：直線是的切線；
(2)已知，點(diǎn)P在上方的上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合），連接．
①求的度數(shù)；
②過點(diǎn)D作的垂線，交的延長線于點(diǎn)Q，求的最大長度．
2．如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，．點(diǎn)為線段延長線上一點(diǎn)，連接，．
(1)求證：為的切線；
(2)作的角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
①請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；
②若，，求的長．
方法四 平行線性質(zhì)法證垂直
典例剖析
例4．如圖，點(diǎn)C在以為直徑的上，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作的垂線，垂足為E．
(1)求證：與相切；
(2)請?zhí)骄烤€段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
解題策略：當(dāng)條件中有平行線時(shí)，利用平行線的性質(zhì)找等角，尋找切線的判定的條件。
針對訓(xùn)練4
1．如圖，為直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，平分，，垂足為，交于點(diǎn)．

(1)求證：直線是的切線；
(2)若，，求的直徑．
2． 如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F．連接并延長交于點(diǎn)M．

(1)求證：直線是的切線；
(2)求證：；
(3)若，，求的長．
方法五 全等三角形法證垂直
典例剖析
例5．如圖，切于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．求證：是的切線．
解題策略：當(dāng)條件中有切線，證明另一條切線，直線與圓的交點(diǎn)明確，考慮利用切線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形證明角相等。
針對訓(xùn)練5
1．如圖，在中，，以為直徑作為上一點(diǎn)，且，連接并延長交的延長線于點(diǎn)E．
(1)求證：直線與相切；
(2)若，求的長．
2．綜合探究
如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，在下方作，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)求證：是的切線；
(3)若，，求的長．
類型二無公共點(diǎn)：作垂直，證半徑
方法六 角平分線性質(zhì)法證半徑
典例剖析
例6．如圖，在中，，是的角平分線，以為圓心，為半徑作，求證：是的切線．

解題策略：當(dāng)條件中有角平分線，直線與圓的交點(diǎn)不明確，考慮作垂直，利用角平分線性質(zhì)證線段相等。
針對訓(xùn)練6
1．如圖，在中，，是角平分線，以點(diǎn)D為圓心，為半徑的與相交于點(diǎn)E，求證：是的切線；
2．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，為半徑作半圓O．求證：直線與半圓O相切．

方法七 全等三角形法證半徑
典例剖析
例7．如圖，在四邊形中，，，以為直徑作，
求證：與相切．

解題策略：當(dāng)條件中有線段數(shù)量關(guān)系時(shí)，直線與圓的交點(diǎn)不明確，考慮作垂直，證全等。
針對訓(xùn)練7
1．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑作⊙B，交BD于點(diǎn)E．
（1）試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求圖中陰影部分的面積．
2．在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)們思考如下問題：
如圖，四邊形為正方形，以為直徑作，請用無刻度直尺過點(diǎn)C作的切線（除外）
小超同學(xué)設(shè)計(jì)的作圖過程是這樣的：
①連接交于點(diǎn)E；
②連接并延長交于點(diǎn)M；
③連接，交于點(diǎn)N，連接，則直線為的切線．

(1)根據(jù)小超的設(shè)計(jì)，完成作圖；
(2)你認(rèn)為小超的設(shè)計(jì)正確嗎？為什么？請說明理由．
3．已知，在中，，以為直徑的與相交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得．
(1)求證：是的切線．
(2)當(dāng)，時(shí)，求的半徑．
九年級(jí)數(shù)學(xué)上點(diǎn)撥與精練
第24章 圓
24.2 階段方法專訓(xùn)
證明圓的切線的七種常用方法（解析版）
老師告訴你
證明一條切線是圓的切線的方法及輔助線作法
連半徑，證垂直
當(dāng)直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑。簡稱“連半徑。證垂直”。
作垂直，證半徑
當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒有明確時(shí)，可過圓心作直線的垂線，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”。
類型一 有公共點(diǎn)：連半徑證垂直
方法一 勾股定理逆定理法證垂直
典例剖析
例1．如圖，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)在直徑的延長線上，的半徑為3，，．求證：是的切線．

【答案】見解析
【分析】可以證明得是直角三角形，即，是的切線．
【詳解】證明：連接，

的半徑為3，，
，，
，
，
是直角三角形，
，
是的半徑，
是的切線．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，勾股定理逆定理，掌握切線的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．
解題策略：題中給出相關(guān)線段長度證明切線時(shí)，考慮利用勾股定理的逆定理證垂直
針對訓(xùn)練1
1．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，PC＝4，PB＝2，AB＝6，求證：PC是⊙O的切線．
【答案】證明見解析
【分析】連接OC，在△OCP中，用勾股定理的逆定理證明△OCP是直角三角形，得∠PCO=90°，問題得證．
【詳解】證明：連接OC，
在△OCP中，PC＝4，OC＝AB＝3，
∵PB=2，OA=OB=OC，
∴OP＝OB＋BP＝3＋2＝5，
∵PC=4，
∴，
∴△OCP是直角三角形，且∠PCO＝90°，
∴PC是⊙O的切線．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的判定以及勾股定理的逆定理的知識(shí)，證明△OCP是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
2．如圖，C是上一點(diǎn)，點(diǎn)D在直徑的延長線上，的半徑為6，，．求證：是的切線．
【答案】證明見解析
【分析】本題考查了切線的判定定理，勾股定理的逆定理，連接，根據(jù)邊長之間的關(guān)系，證明出來為直角三角形，即，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】證明：連接，如圖所示：
，
∵的半徑為6，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴為直角三角形，
∴，
∴是的切線．
方法二 特殊角計(jì)算法證垂直
典例剖析
例2．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)G在直徑DF的延長線上，∠D＝∠G＝30°．
（1）判斷CG與圓O的關(guān)系，并說明理由；
（2）若CD=6，求線段GF的長度．
【答案】（1）CG是圓O的切線，證明見解析；（2）．
【分析】（1）連接OC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠DCG=180-∠D-∠G=120，再計(jì)算出∠GCO的度數(shù)可得OC⊥CG，進(jìn)而得到CG是⊙O的切線；
（2）設(shè)EO=x，則CO=2x，再利用勾股定理計(jì)算出EO的長，進(jìn)而得到CO的長，然后再計(jì)算出GF的長即可．
【詳解】解：
（1）證明：連接OC．
∵OC＝OD，∠D＝30，
∴∠OCD＝∠D＝30，
∵∠G＝30，
∴∠DCG＝180﹣∠D﹣∠G＝120，
∴∠GCO＝∠DCG﹣∠OCD＝90，
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半徑．
∴CG是⊙O的切線．
（2）∵∠D＝∠G＝30，
∴CG＝CD，
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CE＝CD＝3．
∵在Rt△OCE中，∠CEO＝90，∠OCE＝30，
∴EO＝CO，，
設(shè)EO＝x，則CO＝2x．
∴（2x）2＝x2+32．
解得x＝（舍負(fù)值）．
∴CO＝．
∴FO＝．
在△OCG中，
∵∠OCG＝90，∠G＝30，
∴GO＝2CO＝．
∴GF＝GO﹣FO＝．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，直線與圓的位置關(guān)系，掌握勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
解題策略：有特殊角時(shí)通過計(jì)算特殊角的和差證直角，證明垂直
針對訓(xùn)練2
1．已知：如圖是圓O的直徑，點(diǎn)D在的延長線上，，點(diǎn)C在圓上，，求證是圓O的切線．

【答案】見解析
【分析】連接、，如圖，利用圓周角定理得到，則可計(jì)算出，于是可判斷 是等邊三角形，則，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)計(jì)算出，從而得到，然后根據(jù)切線的判定定理可得到結(jié)論．
【詳解】證明：連接、，如圖，

∵是的直徑，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，，
又，
，
，而，
，
，
，
是的切線．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．
2．如圖，在中，為的直徑，為弦、，．

(1)求的度數(shù)；
(2)在圖（1）中，P為直徑的延長線上一點(diǎn)，且，求證：為的切線．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)求解即可；
（2）作于點(diǎn)，通過面積計(jì)算確定，從而求得，進(jìn)而證得，最終結(jié)合點(diǎn)為半徑的外端點(diǎn)，證得結(jié)論．
【詳解】（1）解：在中，，則為等腰三角形，
∵，
∴為等邊三角形，
∴；
（2）證：如圖所示，作于點(diǎn)，

由（1）知為等邊三角形，
∵，
∴，，
∵，，
∴，即：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)為半徑的外端點(diǎn)，
∴為的切線．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定等，掌握圓的基本性質(zhì)以及切線的判定方法是解題關(guān)鍵．
方法三 等角代換法證垂直
典例剖析
例3．如圖，點(diǎn)D為圓O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑AB的延長線上，且∠CAD＝∠BDC，過點(diǎn)A作⊙O的切線，交CD的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CB＝3，CD＝9，求ED的長．
【答案】（1）見解析；（2）ED＝36.
【分析】（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDB+∠BDO=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)切線長定理求出AC，進(jìn)而求得OC和OD，根據(jù)證得OCD∽△ECA，得到，求出EC，即可求得ED的長．
【詳解】（1）證明：連接OD，
∵OD＝OB，
∴∠DBA＝∠BDO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDB＝∠CAD，
∴∠CDB+∠BDO＝90°，
即OD⊥CE，
∵D為⊙O的一點(diǎn)，
∴直線CD是⊙O的切線；
（2）∵CD是⊙O的切線，
∴CD2＝BC AC，
∵CB＝3，CD＝9，
∴92＝3AC，
∴AC＝27，
∴AB＝AC﹣BC＝27﹣3＝24，
∵AB是圓O的直徑，
∴OD＝OB＝12，
∴OC＝OB+BC＝15，
∵過點(diǎn)A作的⊙O切線交CD的延長線于點(diǎn)E，
∴EA⊥AC，
∵OD⊥CE，
∴∠ODC＝∠EAC＝90°，
∵∠OCD＝∠ECA，
∴△OCD∽△ECA，
∴，即，
∴EC＝45，
∴ED＝EC﹣CD＝45﹣9＝36．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，切線長定理，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較典型，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．
解題策略：題目中有相等角時(shí)用相等角轉(zhuǎn)換找角的和差證垂直，從而證明切線。
針對訓(xùn)練3
1．如圖，的半徑為1，C是直徑延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在上，．
(1)求證：直線是的切線；
(2)已知，點(diǎn)P在上方的上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合），連接．
①求的度數(shù)；
②過點(diǎn)D作的垂線，交的延長線于點(diǎn)Q，求的最大長度．
【答案】(1)見解析
(2)①；②
【分析】（1）如圖：連接OD．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角定理可得，然后再根據(jù)角的和差和等量代換可得即可證明結(jié)論；
（2）①先說明，進(jìn)而得到，然后根據(jù)圓周角定理即可解答；②先說明，由直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得；再根據(jù)當(dāng)達(dá)到最大長度時(shí)，達(dá)到最大長度，最后求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖：連接OD．
∵，
∴．
∵是直徑，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∵OD是半徑，
∴直線是的切線．
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∴．
∵與都是所對的圓周角，
∴；
②∵，，
∴，
∴．
在中，根據(jù)勾股定理可得，
∴當(dāng)達(dá)到最大長度時(shí)，達(dá)到最大長度．
∵的最大長度為2，
∴的最大長度為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．
2．如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，．點(diǎn)為線段延長線上一點(diǎn)，連接，．
(1)求證：為的切線；
(2)作的角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
①請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；
②若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②
【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角和等腰三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）①按照尺規(guī)作圖方法畫圖即可；
②證明，得出為等腰直角三角形即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
是半圓的直徑，
，
即，
，
，
，
，
即，
，
為的半徑，
為的切線；
（2）解：①如圖，為所作；
②平分，
，
，，
而，
，
，
為等腰直角三角形，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的證明和等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線的判定定理進(jìn)行證明，利用等腰三角形的性質(zhì)得出為等腰直角三角形．
方法四 平行線性質(zhì)法證垂直
典例剖析
例4．如圖，點(diǎn)C在以為直徑的上，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作的垂線，垂足為E．
(1)求證：與相切；
(2)請?zhí)骄烤€段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
【分析】本題主要考查與圓相關(guān)的綜合題型，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，先證，再根據(jù)，可得，即可得證結(jié)論．
（2）過點(diǎn)作于，根據(jù)證，再根據(jù)證，再利用等量代換即可得出．
【詳解】（1）證明：連接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
為的半徑，
與相切；
（2）解：，理由如下：
過作于，則，
平分，，，
，，
在與中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
解題策略：當(dāng)條件中有平行線時(shí)，利用平行線的性質(zhì)找等角，尋找切線的判定的條件。
針對訓(xùn)練4
1．如圖，為直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，平分，，垂足為，交于點(diǎn)．

(1)求證：直線是的切線；
(2)若，，求的直徑．
【答案】(1)見解析
(2)的直徑長為20．
【分析】（1）利用角平分線的定義、等邊對等角等可得出，利用平行線的性質(zhì)判定可得出，利用平行線的性質(zhì)可得出，然后利用切線的判定即可得證；
（2）作于點(diǎn)I，由垂徑定理得，再證明四邊形是矩形，得，，則，由勾股定理得，求得，即可求的直徑．
【詳解】（1）證明：連接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
又是的半徑；
∴直線是的切線；
（2）解：作于點(diǎn)I，則，
∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴的直徑長為20．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
2． 如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F．連接并延長交于點(diǎn)M．

(1)求證：直線是的切線；
(2)求證：；
(3)若，，求的長．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)2．
【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理證明即可；
（2）由，得到，由（1）有，可得，從而，根據(jù)“等角對等邊”證得；
（3）在中，求得，又由（2）有，可得是等邊三角形，從而，，因此在中，，根據(jù)“三線合一”可得，再求出，證得，從而．
【詳解】（1）證明：連接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半徑，
∴直線是的切線；
（2）證明：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
（3）解：∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴在中，．
∵，平分，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，切線的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)．本題的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
方法五 全等三角形法證垂直
典例剖析
例5．如圖，切于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．求證：是的切線．
【答案】證明見解析
【分析】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，連接，則，由切線的性質(zhì)可得，再證明可得，根據(jù)切線的判定即可求證，掌握切線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，則，
∵切于點(diǎn)，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
∵為的半徑，
∴是的切線．
解題策略：當(dāng)條件中有切線，證明另一條切線，直線與圓的交點(diǎn)明確，考慮利用切線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形證明角相等。
針對訓(xùn)練5
1．如圖，在中，，以為直徑作為上一點(diǎn)，且，連接并延長交的延長線于點(diǎn)E．
(1)求證：直線與相切；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線的判定、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用切線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．
（1）如圖：連接，再證明可得即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)，則；在中運(yùn)用勾股定理列方程求得，即；設(shè)，在中，，即，解得，則；最后在中運(yùn)用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：如圖：連接．
∵點(diǎn)D在圓上，
，
，
∴，
，
，
∴直線與相切．
（2）解：設(shè)，
，
在中，，即，解得，
．
是圓的切線，
∴設(shè)，在中，，
即，解得，
，
∴在中，．
2．綜合探究
如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，在下方作，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)求證：是的切線；
(3)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)已知條件先證明，然后利用即可證明．
（2）由（1）可得，由已知條件可得，得出，推出，再由平行線的性質(zhì)可得．
（3）連接，可得，且，進(jìn)一步求得和，即可求得．
【詳解】（1）證明：∵以為直徑的交于點(diǎn)D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
；
（2）解：由（1）可知，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切線．
（3）解：連接，如圖，
∵，且以為直徑
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
則．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直徑所對圓周角為直角、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定、切線的判定定理、勾股定理以及三線合一的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練直徑所對圓周角為直角和切線的判定．
類型二無公共點(diǎn)：作垂直，證半徑
方法六 角平分線性質(zhì)法證半徑
典例剖析
例6．如圖，在中，，是的角平分線，以為圓心，為半徑作，求證：是的切線．

【答案】證明過程見解析；
【分析】題目并沒有說明直線與有沒有交點(diǎn)，所以過點(diǎn)作于點(diǎn)，然后證明即可．
【詳解】證明：如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

是的角平分線，，，
，
是的切線．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定知識(shí)．結(jié)合角平分線的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．
解題策略：當(dāng)條件中有角平分線，直線與圓的交點(diǎn)不明確，考慮作垂直，利用角平分線性質(zhì)證線段相等。
針對訓(xùn)練6
1．如圖，在中，，是角平分線，以點(diǎn)D為圓心，為半徑的與相交于點(diǎn)E，求證：是的切線；
【答案】見解析
【分析】作，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，即可得出答案.
【詳解】證明：過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，
∵，平分，
∴．
∵是的半徑，，
∴是的切線．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．即過半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線．
2．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，為半徑作半圓O．求證：直線與半圓O相切．

【答案】見詳解
【分析】作交于，可證，即可求證．
【詳解】解：如圖，作交于，
，
，
平分，
，
是的半徑，
是的半徑，
直線與半圓O相切．
【點(diǎn)睛】本題考查了用圓的切線的判定，“作垂直，證半徑”，角平分線的性質(zhì)定理，掌握定理及證法是解題的關(guān)鍵．
方法七 全等三角形法證半徑
典例剖析
例7．如圖，在四邊形中，，，以為直徑作，
求證：與相切．

【答案】見解析
【分析】延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，證、即可求證．
【詳解】解：延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作

∵
∴
又
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即圓心到的距離等于圓的半徑
∴與相切．
【點(diǎn)睛】本題考查求證某條直線是圓的切線，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)．熟記相關(guān)幾何結(jié)論進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．
解題策略：當(dāng)條件中有線段數(shù)量關(guān)系時(shí)，直線與圓的交點(diǎn)不明確，考慮作垂直，證全等。
針對訓(xùn)練7
1．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑作⊙B，交BD于點(diǎn)E．
（1）試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）相切，理由見解析；（2）
【分析】(1)過點(diǎn)B作BF⊥CD，證明△ABD≌△FBD，得到BF= BA，即可證明CD與圓B相切；
(2)先證明△BCD是等邊三角形，根據(jù)三線合得到∠ABD= 30°，求出AD，再利用陰影部分的面積= S△ABD－S扇形ABE求出陰影部分面積．
【詳解】解：(1) 過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為F，
∴∠BFD=90°，
∵ADBC，∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BFD，
∵ADBC，
∴∠ADB= ∠CBD，
∴CB= CD，
∴∠CBD= ∠CDB，
∴∠ADB = ∠CDB，
在△ABD和△FBD中 ，
，
∴△ABD≌△FBD (AAS)，
∴BF= BA，則點(diǎn)F在圓B上，
∴CD與⊙B相切；
(2) ∵∠BCD= 60°，CB= CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠CBD = 60°，
∵ BF⊥CD，
∴∠ABD= ∠DBF= ∠CBF= 30 °，
∴∠ABF= 60 °，
∵ AB= BF= 6，
∴AD= DF= АВ· tan30° = 2，
∴陰影部分的面積= S△ABD－S扇形ABE
=
= ．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積，三角函數(shù)的定義，題目的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．
2．在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)們思考如下問題：
如圖，四邊形為正方形，以為直徑作，請用無刻度直尺過點(diǎn)C作的切線（除外）
小超同學(xué)設(shè)計(jì)的作圖過程是這樣的：
①連接交于點(diǎn)E；
②連接并延長交于點(diǎn)M；
③連接，交于點(diǎn)N，連接，則直線為的切線．

(1)根據(jù)小超的設(shè)計(jì)，完成作圖；
(2)你認(rèn)為小超的設(shè)計(jì)正確嗎？為什么？請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)小超的設(shè)計(jì)正確，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可；
（2）連接，，如圖所示，先由圓周角定理得到，即，再由正方形的性質(zhì)得到，，則三點(diǎn)共線，即可得到，證明，得到，進(jìn)而證明四邊形為平行四邊形，證明，進(jìn)一步證明，得到，由此即可證明直線為的切線．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：小超的設(shè)計(jì)正確．
理由如下：連接，，如圖所示，

∵是直徑，
∴，即，
∵四邊形為正方形，
∴，
∴三點(diǎn)共線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴直線為的切線．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)性質(zhì)與判定， 圓周角定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
3．已知，在中，，以為直徑的與相交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得．
(1)求證：是的切線．
(2)當(dāng)，時(shí)，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)1.5
【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定方法是解決問題的前提，轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用邊角關(guān)系求解是常用的方法．
（1）連接，根據(jù)切線的判定方法，只要證明即可；
（2）證出是的中位線，進(jìn)而求出，再在直角三角形中利用勾股定理求出半徑即可．
【詳解】（1）如圖，連接、，
在和中，
，，，
，
，
是的切線；
（2），
，
，
，
，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得，
，
即：的半徑為．
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