資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.2.1 點和圓的位置關系
學習目標：
理解并掌握點與圓的位置關系及其應用；
掌握不在同一直線上的三點確定一個圓；
理解三角形的外接圓與三角形的外心的概念
了解反證法證明的一般步驟。
老師告訴你
點和圓的位置關系兩點注意
1.等價關系：點和圓的位置關系 點到圓心的距離d和半徑r的關系；即由位置關系可以判斷數量關系，反過來，由數量關系可以確定位置關系。
2.數形結合思想：解決點和圓的位置關系問題的捷徑是利用數形結合思想，借助圖形進行判斷。
一、知識點撥
知識點1 點和圓的位置關系
（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外 d＞r
②點P在圓上 d＝r
①點P在圓內 d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
（3）符號“ ”讀作“等價于”，它表示從符號“ ”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
【新知導學】
例1．如圖，在中，，，.以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在內且點B在外時，r的值可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答疑解惑
理解點和圓的位置關系的“兩點”技巧：
（1）等價關系：點和圓的位置關系點到圓心的距離（d）和半徑（r）的數量關系．
（2）數形結合：解決點與圓的位置關系的捷徑是利用數形結合的方法，借助圖形進行判斷．
【對應導練】
1．數軸上有兩個點A和B，點B表示實數16，點A從原點出發，以每秒2個單位的速度向右運動，運動速度為t，半徑為4，若點A在外，則( )
A.或 B. C.琙 D.
2．圓圓在解答問題“在矩形ABCD中，，，以A為圓心作，使得B，C，D三點中至少有一點在內，至少有一點在外，求的半徑r的取值范圍”時，答案為“”.圓圓的答案對嗎？如果錯誤，請寫出正確的解答過程.
3．如圖，在矩形ABCD中，，，以頂點D為圓心作半徑為x的圓，使點A和點B有且只有一個點在內，則x的取值范圍是___________.
知識點2 確定圓的條件
確定圓的條件：
圓心決定了圓的位置，半徑決定了圓的大小。
不在同一直線上的三點確定一個圓．
【新知導學】
例2 .平面上有4個點，它們不在同一直線上，過其中3個點作圓，可以作出不重復的圓個，則的值不可能為　　
A．4 B．3 C．2 D．1
答疑解惑
注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．
“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數個圓，過兩點也能畫無數個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．
【對應導練】
1.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．如圖,在的正方形網格中,一條圓弧經過A,B,C三點,那么這條圓弧所在圓的圓心是( )
A.點P B.點Q C.點R D.點M
3．如圖，點A、B、C在上且，，請你利用直尺和圓規，用三種不同的方法，找到圓心O.（保留作圖痕跡）
4．如圖，在中，點D是的平分線上一點，于點D，過點D作交AB于點E.求證：點E是過A,B,D三點的圓的圓心.
知識點3 三角形的外接圓
（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個．
【新知導學】
例3 .為的外接圓，，為的直徑，若，則為 　　
A． B． C． D．
【對應導練】
1.如圖的方格紙中，每個方格的邊長為1，A、兩點皆在格線的交點上，今在此方格紙格線的交點上另外找兩點、，使得的外心為，則的長度為（ ）
A．4 B．5 C． D．
2.如圖，內接于，且，若，則的度數是　　
A． B． C． D．
3 .如圖，點是的外接圓的圓心，若，則為　　
A． B． C． D．
4．如圖，為外接圓的直徑，，垂足為，的平分線交于點，連接，.
（1）求證：.
（2）請判斷，，三點是否在以點為圓心、以長為半徑的圓上，并說明理由.
知識點4 反證法
反證法的證明命題可以簡要的概括為“否定→得出矛盾→肯定”.即從否定結論開始,得出矛盾,達到新的否定,可以認為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”. 證明步驟 (1)反設:假設命題結論不成立,即假設結論的反面成立. (2)歸謬:從這個命題出發,經過推理證明得出與定理、公理、定義、已知條件矛盾的結果，從而證明原命題正確。
【新知導學】
例4．用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角.
已知：在中，.求證：，必為銳角.
答疑解惑
反證法基本步驟為：（1）否定：假設命題結論不成立,即假設結論的反面成立
推理引出矛盾：從這個命題出發,經過推理證明得出與定理、公理、定義、已知條件矛盾的結果，
（3）肯定：否定假設不成立，從而證明原命題正確
【對應導練】
1．用反證法證明下列問題：
如圖，在中，點D、E分別在、上，、相交于點O.求證：和不可能互相平分.
2．用反證法證明:過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.
3．求證:三角形中至少有一個角不大于60°.
二、題型訓練
1.利用點和圓的位置關系判斷點的位置
1.的半徑為10cm,根據下列點P到圓心O的距離,判斷點P和的位置關系:
(1)8cm;
(2)10cm;
(3)12cm.
2.在同一平面內，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
3．如圖，在中，，，.以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在內且點B在外時，r的值可能是___________.(寫出一個值即可)
2.確定圓的條件在作圖中的應用
4．考古學家發現了一塊古代圓形殘片如圖所示，為了修復這塊殘片，需要找出其圓心.
（1）請利用尺規作圖確定這塊殘片的圓心O.
（2）寫出作圖的依據.
5.如圖在的方格中有一個格點（頂點都在格點上）．
3.三角形的外接圓在探究線段數量關系中的應用
6.如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）求圓心O到BC的距離OD．
7. 如圖，∠BCD＝90°，BC＝DC，直線PQ經過點D．設∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于點A，將射線CA繞點C按逆時針方向旋轉90°，與直線PQ交于點E．
（1）判斷：∠ABC　 　∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形狀，并說明理由；
（3）若△ABC的外心在其內部（不含邊界），直接寫出α的取值范圍．
三.課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1.已知的半徑為4，點A到圓心O的距離為4，則點A與的位置關系是（ ）
A．點A在圓內 B．點A在圓上 C．點A在圓外 D．無法確定
如圖，內接于，且，若，則的度數是　　
A． B． C． D．
以坐標原點為圓心，5為半徑作圓，則下列各點中，一定在內的是（ ）
A． B． C． D．
已知△ABC在網格中的位置如圖，那么△ABC對應的外接圓的圓心坐標是（ ）．
A．(2,0) B．(2,1) C．(3,0) D．(3,1)
5.如圖，在中，已知，點是的中點，以點為圓心作一個半徑為的圓，則下列說法正確的是（ ）
A．點在外 B．點在上 C．點在內 D．無法確定
6 .如圖，在平面直角坐標系中， ，，，則的外心坐標為（ ）
A． B． C． D．
7.如圖，點為的外心，為正三角形，與相交于點，連接．若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
8 .如圖，O是的外心，則　　
A． B． C． D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9. 在中，，，，D是邊的中點，以點C為圓心，為半徑作圓，則點D與的位置關系是 ．
如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別為．若點在第一象限內，且橫坐標、縱坐標均為整數，是的外心，則符合條件的點有_______________________個．
11 .一個直角三角形的兩條邊長是方程的兩個根，則此直角三角形的外接圓的直徑為 ．
12 .如圖，在矩形中，，，是上的一動點（不與點重合）．連接，過點作，垂足為，則線段長的最小值為 ．
13 .如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的坐標分別是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圓，則點M的坐標為___________．
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14 .如圖．在直角三角形ABC中，分別為的中點，以B為圓心，為半徑畫圓．試判斷點與的位置關系．并說明理由．
15 .如圖，在 ，，尺規作圖：求作，使得經過三點． （保留作圖痕跡，不寫作法）
16 .如圖，在平面直角坐標系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．
（1）經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為　?。?br/>（2）這個圓的半徑為　　；
（3）直接判斷點D(5，﹣2)與⊙M的位置關系，點D(5，﹣2)在⊙M　?。ㄌ顑?、外、上）．
17 . 在如圖所示的平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（0，3），B（1，0），C（3，2），僅用無刻度的直尺在給出的網格中畫圖（畫圖用實線表示），并回答題目中的問題
（1）在圖1中畫出△ABC關于點D成中心對稱的圖形；
（2）在圖2中作出△ABC的外接圓的圓心M（保留作圖痕跡）；
（3）△ABC外接圓的圓心M的坐標為　 　．
18．如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）求圓心O到BC的距離OD．
19 .綜合探究
小明同學在學習“圓”這一章內容時，發現如果四個點在同一個圓上（即四點共圓）時，就可以通過添加輔助圓的方式，使得某些復雜的問題變得相對簡單，于是開始和同學一起探究四點共圓的條件．小明同學已經學習了圓內接四邊形的一個性質：圓內接四邊形的對角互補．因此，他想探究它的逆命題是否成立，以下是小明同學的探究過程，請你補充完整．
(1)【猜想】“圓內接四邊形的對角互補”的逆命題為：________________________________________，如果該逆命題成立，則可以作為判定四點共圓的一個依據．
(2)【驗證】如圖1，在四邊形中，，請在圖1中作出過點三點的，并直接判斷點D與的位置關系．（要求尺規作圖，要保留作圖痕跡，不用寫作法）
(3)【證明】已知：如圖1，在四邊形ABCD中，，
求證：點四點共圓．
證明：過三點作，假設點D不在上，
則它有可能在圓內（如圖2），也有可能在圓外（如圖3）．
假設點D在內時，如圖2，延長交于點E，連結AE，
是的外角，，
四邊形ABCE是的內接四邊形，，
又，．
這與相矛盾，所以假設不成立，所以點D不可能在內．
請仿照以上證明，用反證法證明“假設點D在外”（如圖3）的情形
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.2.1 點和圓的位置關系
學習目標：
理解并掌握點與圓的位置關系及其應用；
掌握不在同一直線上的三點確定一個圓；
理解三角形的外接圓與三角形的外心的概念
了解反證法證明的一般步驟。
老師告訴你
點和圓的位置關系兩點注意
1.等價關系：點和圓的位置關系 點到圓心的距離d和半徑r的關系；即由位置關系可以判斷數量關系，反過來，由數量關系可以確定位置關系。
2.數形結合思想：解決點和圓的位置關系問題的捷徑是利用數形結合思想，借助圖形進行判斷。
一、知識點撥
知識點1 點和圓的位置關系
（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外 d＞r
②點P在圓上 d＝r
①點P在圓內 d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
（3）符號“ ”讀作“等價于”，它表示從符號“ ”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
【新知導學】
例1．如圖，在中，，，.以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在內且點B在外時，r的值可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：C
解析：在中，由勾股定理得.
點C在內且點B在外，，故選C.
答疑解惑
理解點和圓的位置關系的“兩點”技巧：
（1）等價關系：點和圓的位置關系點到圓心的距離（d）和半徑（r）的數量關系．
（2）數形結合：解決點與圓的位置關系的捷徑是利用數形結合的方法，借助圖形進行判斷．
【對應導練】
1．數軸上有兩個點A和B，點B表示實數16，點A從原點出發，以每秒2個單位的速度向右運動，運動速度為t，半徑為4，若點A在外，則( )
A.或 B. C.琙 D.
答案：A
解析：由題意得，點A表示的數為，
，
半徑為4，點A在外，
，
，
或，
或，
故選：A.
2．圓圓在解答問題“在矩形ABCD中，，，以A為圓心作，使得B，C，D三點中至少有一點在內，至少有一點在外，求的半徑r的取值范圍”時，答案為“”.圓圓的答案對嗎？如果錯誤，請寫出正確的解答過程.
答案：圓圓的答案不正確
解析：連接AC，如圖，
四邊形ABCD為矩形，，
根據勾股定理得，
，C，D三點中至少有一點在內，至少有一點在外，
點B在內，點C，D在外或點B，D在內，點C在外，
，
圓圓的答案不正確.
3．如圖，在矩形ABCD中，，，以頂點D為圓心作半徑為x的圓，使點A和點B有且只有一個點在內，則x的取值范圍是___________.
答案：
解析：連接BD，在中，，.，點A和點B有且只有一個點在內，.
4．已知的半徑是4，點P到圓心O的距離d為方程的一個根，則點P與的位置關系是______________.
答案：點P在外
解析：解方程，得或-1.
，.的半徑為4，，點P在外.
知識點2 確定圓的條件
確定圓的條件：
圓心決定了圓的位置，半徑決定了圓的大小。
不在同一直線上的三點確定一個圓．
【新知導學】
例2 .平面上有4個點，它們不在同一直線上，過其中3個點作圓，可以作出不重復的圓個，則的值不可能為　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【分析】分為三種情況：①當四點都在同一個圓上時，②當三點在一直線上時，③當、、、四點不共圓，且其中的任何三點都不共線時，根據不在同一直線上的三點可以畫一個圓畫出圖形，即可得出答案．
【解答】解：分為三種情況：①當四點都在同一個圓上時，如圖1，此時，
②當三點在一直線上時，如圖2，
分別過、、或、、或、、作圓，共3個圓，即，
③當、、、四點不共圓，且其中的任何三點都不共線時，
分別過、、或、、或、、或、、作圓，共4個圓，即此時，
即不能是2，
故選：．
答疑解惑
注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．
“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數個圓，過兩點也能畫無數個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．
【對應導練】
1.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．要確定圓的大小需知道其半徑．根據垂徑定理知第①塊可確定半徑的大?。?br/>【詳解】解：第①塊出現一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．
故選：A．
2．如圖,在的正方形網格中,一條圓弧經過A,B,C三點,那么這條圓弧所在圓的圓心是( )
A.點P B.點Q C.點R D.點M
答案：B
解析：作AB的垂直平分線,作BC的垂直平分線,如圖,
它們都經過Q,所以點Q為這條圓弧所在圓的圓心.
故選：B.
3．如圖，點A、B、C在上且，，請你利用直尺和圓規，用三種不同的方法，找到圓心O.（保留作圖痕跡）
答案：見解析
解析：如圖，點O即為所求.
4．如圖，在中，點D是的平分線上一點，于點D，過點D作交AB于點E.求證：點E是過A,B,D三點的圓的圓心.
答案：證明：設，
，如圖.
點D在的平分線上，
.
，
.
，
，
.
過A,B,D三點確定一個圓，且，
AB是A,B,D所在的圓的直徑，
點E是過A,B,D三點的圓的圓心.
解析：要證點E是過A,B,D三點的圓的圓心，需證.
知識點3 三角形的外接圓
（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個．
【新知導學】
例3 .為的外接圓，，為的直徑，若，則為 　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據直徑所對的圓周角是直角可得，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得，然后利用同弧所對的圓周角相等可得，再利用等腰三角形的性質可得，從而利用三角形內角和定理可得，最后利用同弧所對的圓周角相等可得，即可解答．
【解答】解：為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
【對應導練】
1.如圖的方格紙中，每個方格的邊長為1，A、兩點皆在格線的交點上，今在此方格紙格線的交點上另外找兩點、，使得的外心為，則的長度為（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三角形的外接圓與外心，勾股定理，關鍵是掌握三角形的外心的性質．三角形外心的性質：三角形的外心到三角形三頂點的距離相等，由此得到，從而確定B、C的位置，然后利用勾股定理計算即可．
【詳解】解：∵的外心為O，
，
，
，
、是方格紙格線的交點，
、的位置如圖所示，
．
故選：D．
2.如圖，內接于，且，若，則的度數是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據圓周角定理，三角形的內角和定理即可得到結論．
【解答】解：如圖，設于，
，
，
，
，
，
故選：．
3 .如圖，點是的外接圓的圓心，若，則為　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據圓周角定理即可得到的度數．
【解答】解：點是的外接圓的圓心，
、同對著，
，
，
故選：．
4．如圖，為外接圓的直徑，，垂足為，的平分線交于點，連接，.
（1）求證：.
（2）請判斷，，三點是否在以點為圓心、以長為半徑的圓上，并說明理由.
答案：（1）為外接圓的直徑，，
.
（2），，三點在以點為圓心、以長為半徑的圓上.理由如下：
由（1）知，，.
平分，
又，
.
由（1）知，，
，，三點在以點為圓心、以長為半徑的圓上.
知識點4 反證法
反證法的證明命題可以簡要的概括為“否定→得出矛盾→肯定”.即從否定結論開始,得出矛盾,達到新的否定,可以認為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”. 證明步驟 (1)反設:假設命題結論不成立,即假設結論的反面成立. (2)歸謬:從這個命題出發,經過推理證明得出與定理、公理、定義、已知條件矛盾的結果，從而證明原命題正確。
【新知導學】
例4．用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角.
已知：在中，.求證：，必為銳角.
答案：見解析
解析：假設結論不成立，則，為直角或鈍角，
，
，
當為直角時，，這與三角形的三個內角和等于180°相矛盾；
當為鈍角時，，這與三角形的三個內角和等于180°相矛盾.
綜上所述，假設不成立，
，必為銳角.
答疑解惑
反證法基本步驟為：（1）否定：假設命題結論不成立,即假設結論的反面成立
推理引出矛盾：從這個命題出發,經過推理證明得出與定理、公理、定義、已知條件矛盾的結果，
（3）肯定：否定假設不成立，從而證明原命題正確
【對應導練】
1．用反證法證明下列問題：
如圖，在中，點D、E分別在、上，、相交于點O.求證：和不可能互相平分.
答案：見解析
解析：證明：連接，
假設和互相平分，
四邊形是平行四邊形，
，
在中，點D、E分別在、上，
不可能平行于，與已知出現矛盾，
故假設不成立原命題正確，
即和不可能互相平分.
2．用反證法證明:過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.
答案：已知:如圖,直線及外一點
求證:過點有且只有一條直線與平行.
證明:假設過點有兩條直線與平行,如圖,
∵,∴,這與、相交(、都過點)矛盾,
故假設不成立,因此過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.
解析：
3．求證:三角形中至少有一個角不大于60°.
答案：已知: .
求證: 、、中至少有一個角不大于.
證明:假設中的、、都大于,
則,
這與三角形內角和定理相矛盾,所以假設不成立,
故三角形中至少有一個角不大于.
二、題型訓練
1.利用點和圓的位置關系判斷點的位置
1.的半徑為10cm,根據下列點P到圓心O的距離,判斷點P和的位置關系:
(1)8cm;
(2)10cm;
(3)12cm.
答案：（1）點在圓內
（2）點在圓上
（3）點在圓外
解析：設P到圓心O的距離為d，
（1）OP=8<10,所以P在點在圓內
（2）OP=10等于半徑，所以P在點在圓上
（3）OP=12>10，所以P在點在圓外
2.在同一平面內，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
答案：B
解析：如圖，過點O作于點A，連接，
，，
當點P為的延長線與的交點時，點P到直線l的距離最大，最大距離為，
故選：B.
3．如圖，在中，，，.以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在內且點B在外時，r的值可能是___________.(寫出一個值即可)
答案：4(答案不唯一)
解析：在中，，，，.當點C在內且點B在外時，.
2.確定圓的條件在作圖中的應用
4．考古學家發現了一塊古代圓形殘片如圖所示，為了修復這塊殘片，需要找出其圓心.
（1）請利用尺規作圖確定這塊殘片的圓心O.
（2）寫出作圖的依據.
答案：解：（1）如圖所示，點O即為所求作的圓心.
（2）作圖的依據：到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上；不在同一條直線上的三個點確定一個圓.
5.如圖在的方格中有一個格點（頂點都在格點上）．
(1)在圖1中畫出格點外接圓的圓心，并保留作圖痕跡．
(2)在圖2中找到一個格點，使得．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖﹣應用與設計作圖、三角形的外接圓與外心、等腰直角三角形，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）分別作線段，的垂直平分線，相交于點，則點即為外接圓的圓心；
（2）由圖可得，取格點，使，且，則，即．
【詳解】（1）如圖1，點即為所求；
（2）如圖2，點即為所求．
3.三角形的外接圓在探究線段數量關系中的應用
6.如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）求圓心O到BC的距離OD．
【答案】（1）證明見解析（2）4
【詳解】
解：（1）證明：∵∠APC和∠ABC是同弧所對的圓周角，∴∠APC=∠ABC．
又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．
∴△ABC是等邊三角形．
（2）連接OB，
∵△ABC為等邊三角形，⊙O為其外接圓，
∴O為△ABC的外心．
∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4．
（1）根據同弧所對的圓周角相等的性質和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一個內角都等于60°，從而得證．
（2）根據等邊三角形三線合一的性質，得含30度角直角三角形OBD，從而根據30度角所對邊是斜邊一半的性質，得OD=8×=4
7. 如圖，∠BCD＝90°，BC＝DC，直線PQ經過點D．設∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于點A，將射線CA繞點C按逆時針方向旋轉90°，與直線PQ交于點E．
（1）判斷：∠ABC　 　∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形狀，并說明理由；
（3）若△ABC的外心在其內部（不含邊界），直接寫出α的取值范圍．
【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由見解析；（3）45°＜α＜90°
【分析】
（1）利用四邊形內角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；
（2）證明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；
（3）當∠ABC＝α＝90°時，△ABC的外心在其直角邊上，∠ABC＝α＞90°時，△ABC的外心在其外部，即可求解．
【詳解】
解：（1）在四邊形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，
而∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠ABC＝∠PDC．
故答案是：＝；
（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD．
由（1）知：∠ABC＝∠PDC，
又∵BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AC＝CE．
又∵∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；
（3）當∠ABC＝α＝90°時，△ABC的外心在其直角邊上，
∠ABC＝α＞90°時，△ABC的外心在其外部，
而45°＜α＜135°，
故：45°＜α＜90°．
【點睛】
本題考查的是圓的綜合運用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知識，難度不大．
三.課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1.已知的半徑為4，點A到圓心O的距離為4，則點A與的位置關系是（ ）
A．點A在圓內 B．點A在圓上 C．點A在圓外 D．無法確定
【答案】B
【詳解】解：∵，，
∴，
∴點A在圓上
故選B
如圖，內接于，且，若，則的度數是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據圓周角定理，三角形的內角和定理即可得到結論．
【解答】解：如圖，設于，
，
，
，
，
，
故選：．
以坐標原點為圓心，5為半徑作圓，則下列各點中，一定在內的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查點與圓的位置關系，計算圓心（坐標原點）到各個選項中點的距離，然后與半徑比較，當距離時，點在圓內，熟記兩點之間距離公式是解決問題的關鍵．
【詳解】解：A、坐標原點到的距離為，一定在內，符合題意；
B、坐標原點到的距離為，在上，不符合題意；
C、坐標原點到的距離為，在外，不符合題意；
D、坐標原點到的距離為，在外，不符合題意；
故選：A．
已知△ABC在網格中的位置如圖，那么△ABC對應的外接圓的圓心坐標是（ ）．
A．(2,0) B．(2,1) C．(3,0) D．(3,1)
【答案】A
【分析】
利用坐標系結合網格得出線段AB以及線段BC的垂直平分線交點，即為△ABC對應的圓心．
【詳解】
解：如圖所示：△ABC對應的圓心坐標是（2，0）．
故選：A．
【點睛】
此題主要考查了垂徑定理推論以及三角形外接圓圓心位置確定方法，正確掌握三角形外接圓作法是解題關鍵．
5.如圖，在中，已知，點是的中點，以點為圓心作一個半徑為的圓，則下列說法正確的是（ ）
A．點在外 B．點在上 C．點在內 D．無法確定
【答案】B
【分析】本題主要考查了點與圓的位置關系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關系，設點與圓心的距離d，則時，點在圓外；當時，點在圓上；當時，點在圓內．連接，由等腰三角形三線合一得，求出，根據勾股定理求出，和半徑比較即可得出答案．
【詳解】解：連接，
∵，，D是的中點，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：
，
∵的半徑為，
∴點A在上，
故選B．
6 .如圖，在平面直角坐標系中， ，，，則的外心坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角形的外心和平面直角坐標系內點的坐標，解題的關鍵是利用垂直平分線的交點找外心．依據三角形的外心是邊的垂直平分線的交點，作和的垂直平分線，交點為所求．
【詳解】解：作和的垂直平分線，交點為所求，
的外心坐標為，
故選：D．
7.如圖，點為的外心，為正三角形，與相交于點，連接．若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用外心的性質，得到OA是∠BAC的平分線，OA=OC，利用等腰三角形的性質，三角形外角的性質，等邊三角形的性質計算即可．
【詳解】
∵為的外心，，，
∴OA是∠BAC的平分線，
∴，
∵，∴，
∴，
∵為正三角形，
∴，
∴，
又∵為的外角，
∴．
故選A．
【點睛】
本題考查了三角形外心的意義，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，三角形外角的性質，熟練掌握以上性質并靈活計算是解題的關鍵．
8 .如圖，O是的外心，則　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據等腰三角形的性質得到，根據三角形內角和定理計算即可．
【詳解】
如圖，
，
，
同理，，，
，
，
故選C．
【點睛】
本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外接圓的概念，三角形內角和定理是解題的關鍵．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9. 在中，，，，D是邊的中點，以點C為圓心，為半徑作圓，則點D與的位置關系是 ．
【答案】點D在外
【分析】本題考查點與圓的位置關系，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
根據勾股定理可求出，再根據直角三角形的性質求得，比較與的半徑即可解答．
【詳解】解：如圖，連接，
∵中，，，
∴，
∵D是邊的中點，
∴，
即點D到圓心C的距離為，
∵的半徑為，而，
∴點D在外．
故答案為：點D在外
如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別為．若點在第一象限內，且橫坐標、縱坐標均為整數，是的外心，則符合條件的點有_______________________個．
【答案】3
【分析】
由勾股定理求出，由點在第一象限內，且橫坐標、縱坐標均為整數，是的外心，得出，即可得出點的坐標．
【詳解】
解：如圖，
點、、的坐標分別為，，．
，
點在第一象限內，且橫坐標、縱坐標均為整數，是的外心，
，
則點的坐標為或或，即：共3個．
故答案為：3．
【點睛】
本題考查了三角形的外接圓、坐標與圖形性質、勾股定理；熟練掌握勾股定理是解決問題的關鍵．
11 .一個直角三角形的兩條邊長是方程的兩個根，則此直角三角形的外接圓的直徑為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圓，先求出解一元二次方程的根，再分和是直角三角形的兩直角邊和是直角邊，是斜邊兩種情況解答，根據直角三角形的外接圓的直徑即為斜邊長即可求解，明確直角三角形的外接圓的直徑即為斜邊長并運用分類討論思想解答是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
當和是直角三角形的兩直角邊時，
直角三角形的斜邊，
∴此直角三角形的外接圓的直徑為；
當是直角邊，是斜邊時，
此直角三角形的外接圓的直徑為；
綜上，此直角三角形的外接圓的直徑為或，
故答案為：或．
12 .如圖，在矩形中，，，是上的一動點（不與點重合）．連接，過點作，垂足為，則線段長的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了點與圓的位置關系，勾股定理，矩形的性質，三角形的三邊關系等知識，首先證明點的運動軌跡是以為直徑的 ，連接，利用三角形的三邊關系即可得出結論，解題的關鍵是正確尋找點的運動軌跡，利用三角形的三邊關系解決問題．
【詳解】解：∵，
∴，
∴點的運動軌跡是以為直徑的，連接，如圖，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最小值為，
故答案為：．
13 .如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的坐標分別是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圓，則點M的坐標為___________．
【答案】（6，6）
【分析】
如圖：由題意可得M在AB、BC的垂直平分線上，則BN=CN；證得ON=OB+BN=6，即△OMN是等腰直角三角形，得出MN=ON=6，即可得出答案.
【詳解】
解：如圖∵圓M是△ABC的外接圓
∴點M在AB、BC的垂直平分線上，
∴BN=CN，
∵點A，B，C的坐標分別是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，點M的坐標為（6，6）．
故答案為（6，6）．
【點睛】
本題考查了三角形的外接圓與外心、坐標與圖形性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識，其中判定△OMN為等腰直角三角形是解答本題的關鍵．
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14 .如圖．在直角三角形ABC中，分別為的中點，以B為圓心，為半徑畫圓．試判斷點與的位置關系．并說明理由．
【答案】見解析
【分析】本題考查了點和圓的位置關系，關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內．求得到圓心的距離，與圓的半徑進行比較即可作出判斷．
【詳解】解：連接．
C在上；
在直角中，，
則A在的外部；
，則E在內部；
，則在直角中，，則F在的外部．
15 .如圖，在 ，，尺規作圖：求作，使得經過三點． （保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】此題主要考查三角形的外接圓以及尺規作線段的垂直平分線，掌握直角三角形外接圓的圓心就是它的斜邊中點是解題的關鍵．作的垂直平分線，找到的中點，則以為直徑作圓就是三角形的外接圓．
【詳解】解：如圖所示，即為所求．
16 .如圖，在平面直角坐標系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．
（1）經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為　?。?br/>（2）這個圓的半徑為　??；
（3）直接判斷點D(5，﹣2)與⊙M的位置關系，點D(5，﹣2)在⊙M　?。ㄌ顑?、外、上）．
【答案】（1）（2，0）；（2）；（3）內
【分析】
（1）利用網格特點，作和的垂直平分線，它們的交點為點，從而得到點的坐標；
（2）利用兩點間的距離公式計算出即可；
（3）先計算出，然后根據點與圓的位置關系的判定方法判斷點與的位置關系．
【詳解】
解：（1）如圖，圓心的坐標為；
（2），，
，
即的半徑為；
（3），，
，
，
點在內．
【點睛】
本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了垂徑定理和點與圓的位置關系．
17 . 在如圖所示的平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（0，3），B（1，0），C（3，2），僅用無刻度的直尺在給出的網格中畫圖（畫圖用實線表示），并回答題目中的問題
（1）在圖1中畫出△ABC關于點D成中心對稱的圖形；
（2）在圖2中作出△ABC的外接圓的圓心M（保留作圖痕跡）；
（3）△ABC外接圓的圓心M的坐標為　 ?。?br/>【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
【分析】
（1）分別作出點A、B、C關于點D的對稱點A'、B'、C'，再順次連接即可；
（2）找出AB邊和BC邊的垂直平分線即可；
（3）分別求出直線AD和直線EF的解析式，聯立即可求得M的坐標；
【詳解】
解：（1）如圖，△A'B'C′為所求；
（2）如圖，取格點E、F、D，連接EF和AD相交于點M；
∵AE∥BF，
∴∠AEN=∠BFN，
∵AE=BF，∠ANE=∠BNF，
∴△AEN≌△BFN，
∴AN=BN，
∵，，
∴，，
∴，
∴∠BNF=90°，
∴EF垂直平分AB，
根據正方形的性質可得：AD垂直平分BC，
∴點M為△ABC的外接圓的圓心；
（3）設直線AD的解析式為y=kx+b，則有；
解得：；
∴直線AD的解析式為y=-x+3，
設直線EF的解析式為y=mx+n，則有；
解得：；
∴直線AD的解析式為，
∴；解得：
∴
【點睛】
本題考查作圖-復雜作圖，坐標與圖形性質，中心對稱，三角形的外心、一次函數與一元一次方程組等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考常考題型．
18．如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）求圓心O到BC的距離OD．
【答案】（1）證明見解析（2）4
【詳解】
解：（1）證明：∵∠APC和∠ABC是同弧所對的圓周角，∴∠APC=∠ABC．
又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．
∴△ABC是等邊三角形．
（2）連接OB，
∵△ABC為等邊三角形，⊙O為其外接圓，
∴O為△ABC的外心．
∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4．
（1）根據同弧所對的圓周角相等的性質和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一個內角都等于60°，從而得證．
（2）根據等邊三角形三線合一的性質，得含30度角直角三角形OBD，從而根據30度角所對邊是斜邊一半的性質，得OD=8×=4
19 .綜合探究
小明同學在學習“圓”這一章內容時，發現如果四個點在同一個圓上（即四點共圓）時，就可以通過添加輔助圓的方式，使得某些復雜的問題變得相對簡單，于是開始和同學一起探究四點共圓的條件．小明同學已經學習了圓內接四邊形的一個性質：圓內接四邊形的對角互補．因此，他想探究它的逆命題是否成立，以下是小明同學的探究過程，請你補充完整．
(1)【猜想】“圓內接四邊形的對角互補”的逆命題為：________________________________________，如果該逆命題成立，則可以作為判定四點共圓的一個依據．
(2)【驗證】如圖1，在四邊形中，，請在圖1中作出過點三點的，并直接判斷點D與的位置關系．（要求尺規作圖，要保留作圖痕跡，不用寫作法）
(3)【證明】已知：如圖1，在四邊形ABCD中，，
求證：點四點共圓．
證明：過三點作，假設點D不在上，
則它有可能在圓內（如圖2），也有可能在圓外（如圖3）．
假設點D在內時，如圖2，延長交于點E，連結AE，
是的外角，，
四邊形ABCE是的內接四邊形，，
又，．
這與相矛盾，所以假設不成立，所以點D不可能在內．
請仿照以上證明，用反證法證明“假設點D在外”（如圖3）的情形
【答案】(1)對角互補的四邊形能內接于圓．（或：對角互補的四邊形是圓的內接四邊形）
(2)圖見解析，點D在上
(3)詳見解析
【分析】本題考查了反證法，命題與定理及線段的垂直平分線的性質及有關圓的性質是解題的關鍵．
（1）根據逆命題與原命題是條件、結論互換解答．
（2）根據作過不共線的三個點的圓作法作圖，先確定圓心再確定半徑；
（3）根據反證法的步驟進行證明．
【詳解】（1）解：對角互補的四邊形能內接于圓．（或：對角互補的四邊形是圓的內接四邊形）．
（2）解：如圖1，為所求．
點D在上．
（3）證明：假設點D在外時，如圖3，
CD交于點E，連結，
是的外角，
．
四邊形是的內接四邊形，
又，
．
這與相矛盾，所以假設不成立，
所以點D不可能在外．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑