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九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.1 專題 構造圓的基本性質的基本圖形的常用輔助線
老師告訴你
用圓的有關性質解題的常用方法是將圓的有關問題轉化為三角形問題求解，解題時需要根據圖形的特征，作出相對應的輔助線，在圖形中構造等腰三角形、直角三角形、全等三角形。
若題中求半徑長或弦的有關問題，常連半徑構造等腰三角形或全等三角形。
若題中求弦長、圓心到弦的距離，半徑長，通常常連半徑或作垂直于弦的線段構造直角三角形。
若題中有直徑，常常添加輔助線，構造直徑所對的圓周角，把問題轉化到直角三角形中。
技巧1 連半徑構造等腰三角形
典例剖析1
例1．如圖,AB是的直徑,弦CD與AB交于點E,且E是CD的中點.
(1)求證：；
(2)若,,求的半徑.
針對訓練1
1．如圖，在中，是直徑，是弦，延長，相交于點P，且，，求的度數.
2．如圖，AB為的直徑，CD是的弦，AB、CD的延長線交于點E，已知，，求的度數.
.
3．如圖，內接于，AF是的弦，，垂足為D，點E為弧BF上一點，且.
（1）求證：AE是的直徑.
（2）若，，求AC的長.
技巧2連半徑構造直角三角形
典例剖析2
例2．如圖，內接于，，交交 O于點A，連接，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
針對訓練2
1．如圖，是某供水管道的截面圖，里面尚有一些水，若液面寬度，半徑于，液面深度，則該管道的直徑長為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在中，，于點D，于點E．
(1)求證：．
(2)若，求長．
3．如圖是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其為圓弧型，跨度（弧所對的弦）的長為3.2米，拱高（弧的中點到弦的距離）為0.8米．
(1)求該圓弧所在圓的半徑；
(2)在距蔬菜棚的一端（點B）0.4米處豎立支撐桿，求支撐桿的高度．
技巧3連半徑構造全等三角形
典例剖析3
例3 .如圖,在中,AB是弦,C、D兩點在AB上,且.求證:是等腰三角形.
針對訓練3
1．如圖，，D，E分別是半徑OA，OB的中點.求證：.
2．如圖，在中，點C是優弧ACB的中點，D,E分別是OA,OB上的點，且，弦CM,CN分別過點D,E.
（1）求證：.
（2）求證：.
3．如圖，AB，CD為的兩條直徑，點E，F在直徑CD上，且.求證：.
技巧4作垂直于弦的直徑構造直角三角形
典例剖析4
例4．已知的直徑為， ，是的兩條弦，，，，則與之間的距離為 cm．
針對訓練4
1．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（見圖1，一種水利灌溉工具）的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓．已知圓心O在水面上方，且被水面截得弦長為8米，半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦所在直線的距離是多少？
2．趙州橋始建于隋代，是世界上現存年代久遠、跨度最大、保存最完整的單孔石拱橋（如圖1）．現有一座仿趙州橋建造的圓拱橋（如圖2），已知此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對的弦的長）為，拱高（橋拱圓弧的中點到弦的距離）為．求此橋拱圓弧的半徑（精確到．）
技巧5作直徑所對的圓周角構造直角三角形
典例剖析5
例5．如圖,是的直徑,點C,D,E在上,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
針對訓練5
1．如圖，是的直徑，，則的度數為( )
A. B. C. D.
2．如圖所示,是的直徑,弦交于點E,連接,,若,則的度數是( )
A. B. C. D.
3．如圖,AB為的直徑,,則的度數為( )
A.80° B.75° C.70° D.65°
4．如圖,AB是的直徑,點C,D,E在⊙O上,若,則的度數為______.
技巧6作直角所對弦（直徑）構造直角三角形
典例剖析6
例6．如圖，正方形ABCD內接于，在劣弧AB上取一點E，連接DE,BE，過點D作交于點F，連接BF,AF，且AF與DE相交于點G.
求證：（1）四邊形EBFD是矩形；
（2）.
針對訓練6
1．正方形內接于,如圖所示,在劣弧上取一點,連接、,過點作交于點,連接、,且與相交于點,求證:
（1）.四邊形是矩形;
（2） .
2.如圖，在Rt ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是 ABC內部的一個動點，連接PC，且滿足，過點P作PD⊥BC于點D，則∠APB= ；當線段CP最短時， BCP的面積為

技巧7構造圓內接四邊形
典例剖析7
例7 .閱讀材料，解答問題：
關于圓的引理
古希臘數學家、物理學家阿基米德流傳于世的數學著作有10余種，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中記載的一個命題：
如圖1，AB是⊙O的弦，點C在⊙O上，CD⊥AB于點D，在弦AB上取點E，使DE=AD，點F是上的一點，且，連接BF，則BF=BE．
小穎對這個問題很感興趣，經過思考，寫出了下面的證明過程：
證明：如圖2，連接CA，CE，CF，BC，
CD⊥AB于點D，DE=AD，
．
．
，
CF=（依據1），．
四邊形ABFC內接于⊙O，
．（依據2）
(1)上述證明過程中的依據1為 　　 ，依據2為 　 ；
(2)將上述證明過程補充完整．
針對訓練7
1.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D、E三點依次在半圓O上，若，，則α與β之間的關系是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，點A在以BC為直徑的半圓外.請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）.
(1)在圖①中作弦EF，使；
(2)在圖②中以BC為邊作一個的圓周角.
九年級數學上點撥與精練
第24章 圓
24.1 專題 構造圓的基本性質的基本圖形的常用輔助線
老師告訴你
用圓的有關性質解題的常用方法是將圓的有關問題轉化為三角形問題求解，解題時需要根據圖形的特征，作出相對應的輔助線，在圖形中構造等腰三角形、直角三角形、全等三角形。
若題中求半徑長或弦的有關問題，常連半徑構造等腰三角形或全等三角形。
若題中求弦長、圓心到弦的距離，半徑長，通常常連半徑或作垂直于弦的線段構造直角三角形。
若題中有直徑，常常添加輔助線，構造直徑所對的圓周角，把問題轉化到直角三角形中。
技巧1 連半徑構造等腰三角形
典例剖析1
例1．如圖,AB是的直徑,弦CD與AB交于點E,且E是CD的中點.
(1)求證：；
(2)若,,求的半徑.
答案：(1)證明見解析
(2)3
解析：(1)證明：連接OC,
∵,E是CD的中點,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴；
(2)設半徑為r,
∴,
∵,
∴,
∵,E點是CD的中點,
∴.
由(1)知,,
∴,
∴在中,,
即：,
解得：,
∴半徑為3.
.
針對訓練1
1．如圖，在中，是直徑，是弦，延長，相交于點P，且，，求的度數.
答案：
解析：連接，
，，
，
.
是的外角，
.
，
，
，
.
2．如圖，AB為的直徑，CD是的弦，AB、CD的延長線交于點E，已知，，求的度數.
答案：54°
解析：連接OD，
，
，又，
，
，
同理
.
3．如圖，內接于，AF是的弦，，垂足為D，點E為弧BF上一點，且.
（1）求證：AE是的直徑.
（2）若，，求AC的長.
答案：（1）證明：，，
，，
，，
，，
，AE是的直徑.
（2）解：連接OC，則，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，.
技巧2連半徑構造直角三角形
典例剖析2
例2．如圖，內接于，，交交 O于點A，連接，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊對等角，三角形的內角和定理，連接，，根據圓周角定理得到，根據垂徑定理得，根據等腰三角形的性質得出．
【詳解】解：如圖所示，連接，，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
針對訓練2
1．如圖，是某供水管道的截面圖，里面尚有一些水，若液面寬度，半徑于，液面深度，則該管道的直徑長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，解一元一次方程等知識點，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵．
連接，由，利用垂徑定理可得為的中點，于是可求出的長，設圓的半徑為，由可表示出，在中，利用勾股定理即可求出的值，進而可得出答案．
【詳解】解：如圖，連接，
，
為的中點，
，
設圓的半徑為，
在中，
，
根據勾股定理，得：
，
即：，
整理，得：，
解得：，
該管道的直徑長為，
故選：．
2．如圖，在中，，于點D，于點E．
(1)求證：．
(2)若，求長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據圓心角、弧、弦的關系定理得到，根據角平分線的性質定理證明結論；
（2）求出，根據勾股定理即可求出．
本題考查的是圓心角、弧、弦的關系定理、勾股定理，全等三角形的判定與性質，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
【詳解】（1）證明：連接，
，
，
又∵，，
；
∵，
，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，，
，
，
．
3．如圖是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其為圓弧型，跨度（弧所對的弦）的長為3.2米，拱高（弧的中點到弦的距離）為0.8米．
(1)求該圓弧所在圓的半徑；
(2)在距蔬菜棚的一端（點B）0.4米處豎立支撐桿，求支撐桿的高度．
【答案】(1)2米；
(2)0.4米
【分析】此題主要考查了垂徑定理的應用和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理和勾股定理，正確作出輔助線是解題關鍵．
（1）設弧所在的圓心為，為弧的中點，于，延長至點，設的半徑為米，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂徑定理以及勾股定理得出的長，再求出的長即可．
【詳解】（1）設弧所在的圓心為，為弧的中點，于點，延長經過點，
則（米，
設的半徑為米，在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即該圓弧所在圓的半徑為2米；
（2）過作于點，
則（米，米，
在中，（米，
（米，
（米，
即支撐桿的高度為0.4米．
技巧3連半徑構造全等三角形
典例剖析3
例3 .如圖,在中,AB是弦,C、D兩點在AB上,且.求證:是等腰三角形.
答案：證明：連接OA，OB，，.
又，.
，即是等腰三角形.
針對訓練3
1．如圖，，D，E分別是半徑OA，OB的中點.求證：.
答案：證明見解析
解析：證明：連接.
，.
，E分別是OA，OB的中點，
，.
，.
又，.
.
2．如圖，在中，點C是優弧ACB的中點，D,E分別是OA,OB上的點，且，弦CM,CN分別過點D,E.
（1）求證：.
（2）求證：.
答案：(1)如圖，連接OC.
點C是優弧ACB的中點，，
.
，，.
，，
.
(2)如圖，連接OM，ON.
,
，.
,
，,
.
,,
,.
3．如圖，AB，CD為的兩條直徑，點E，F在直徑CD上，且.求證：.
答案：證明：AB，CD為的兩條直徑，
.
又.
在和中，
，
.
技巧4作垂直于弦的直徑構造直角三角形
典例剖析4
例4．已知的直徑為， ，是的兩條弦，，，，則與之間的距離為 cm．
【答案】2或14
【分析】作于E，延長交于F，連接、，如圖，利用平行線的性質，根據垂徑定理得到，，則利用勾股定理可計算出，，討論：當點O在與之間時，；當點O不在與之間時，．
【詳解】解：作于E，延長交于F，連接、，如圖

∵，，
∴，
∴，
，
在中，，
在中，，
當點O在與之間時，如圖1，，
當點O不在與之間時，如圖2，，
故答案為：2或14．
【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。⒁夥诸愑懻摚?br/>針對訓練4
1．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（見圖1，一種水利灌溉工具）的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓．已知圓心O在水面上方，且被水面截得弦長為8米，半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦所在直線的距離是多少？
【答案】米
【分析】本題考查了垂徑定理的應用和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．
連接，交于點D，再由勾股定理得，然后計算即可求解．
【詳解】解：連接，交于點D，如圖，
即，
∵點C為運行軌道的最低點，，
∴，，
由勾股定理，得，
即，
∴，
故點C到弦所在直線的距離是米．
2．趙州橋始建于隋代，是世界上現存年代久遠、跨度最大、保存最完整的單孔石拱橋（如圖1）．現有一座仿趙州橋建造的圓拱橋（如圖2），已知此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對的弦的長）為，拱高（橋拱圓弧的中點到弦的距離）為．求此橋拱圓弧的半徑（精確到．）
【答案】此橋拱圓弧的半徑約為
【分析】本題考查了垂徑定理的應用以及勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．設弦所在圓的圓心為，弧的中點為，弦的中點為，連接，，，圓的半徑為，由垂徑定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【詳解】解：如圖2所示，設弦所在圓的圓心為，弧的中點為，弦的中點為，連接，，，圓的半徑為，
由垂徑定理可知，，
，，三點共線，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
此橋拱圓弧的半徑約為．
技巧5作直徑所對的圓周角構造直角三角形
典例剖析5
例5．如圖,是的直徑,點C,D,E在上,若,則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：連接,如圖,
∵是的直徑,
∴,
∵,
∴.
故選：B.
針對訓練5
1．如圖，是的直徑，，則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：如圖：連接，
是的直徑，
，
，
，
.
故選：D.
2．如圖所示,是的直徑,弦交于點E,連接,,若,則的度數是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：如圖所示,連接,
∵,
∴,
∵是的直徑,
∴,
∴,
故選D.
3．如圖,AB為的直徑,,則的度數為( )
A.80° B.75° C.70° D.65°
答案：C
解析：連接BC.
∵AB是直徑,
∴,
∵,
∴,
故選：C.
4．如圖,AB是的直徑,點C,D,E在⊙O上,若,則的度數為______.
答案：130°
解析：連接BE,
是直徑,
,
,
故答案為:130°.
技巧6作直角所對弦（直徑）構造直角三角形
典例剖析6
例6．如圖，正方形ABCD內接于，在劣弧AB上取一點E，連接DE,BE，過點D作交于點F，連接BF,AF，且AF與DE相交于點G.
求證：（1）四邊形EBFD是矩形；
（2）.
答案：（1）如答圖，連接BD.
四邊形ABCD是正方形，，
BD是的直徑，
.
，
，
四邊形EBFD是矩形.
（2）如答圖，連接OA.
四邊形ABCD是正方形，
.
四邊形EBFD是矩形，，
，
.
針對訓練6
1．正方形內接于,如圖所示,在劣弧上取一點,連接、,過點作交于點,連接、,且與相交于點,求證:
（1）.四邊形是矩形;
（2） .
答案：（1）.∵正方形內接于,
∴,
,
又∵,
∴,
∴,
∴四邊形是矩形;
（2）.∵正方形內接于,
∴弧的度數是,
∴,
又∵,
∴,
∴,
又∵在矩形中, ,
∴.
2.2.如圖，在Rt ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是 ABC內部的一個動點，連接PC，且滿足，過點P作PD⊥BC于點D，則∠APB= ；當線段CP最短時， BCP的面積為


【答案】
【分析】（1）由，得到，即可得到；
（2）首先證明點在以為直徑的上，連接與交于點，此時最小，利用勾股定理求出即可得到，進而即可求解．
【詳解】解：（1）在中，，則，
，
，
，
；
故答案為：；
（2）設的中點為，連接，

則，
點在以為直徑的上，連接交于點，此時最小，
在中，，，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查點與圓位置關系、圓周角定理、最短問題等知識，解題的關鍵是確定點P位置，求圓外一點到圓的最小、最大距離．
技巧7構造圓內接四邊形
典例剖析7
例7 .閱讀材料，解答問題：
關于圓的引理
古希臘數學家、物理學家阿基米德流傳于世的數學著作有10余種，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中記載的一個命題：
如圖1，AB是⊙O的弦，點C在⊙O上，CD⊥AB于點D，在弦AB上取點E，使DE=AD，點F是上的一點，且，連接BF，則BF=BE．
小穎對這個問題很感興趣，經過思考，寫出了下面的證明過程：
證明：如圖2，連接CA，CE，CF，BC，
CD⊥AB于點D，DE=AD，
．
．
，
CF=（依據1），．
四邊形ABFC內接于⊙O，
．（依據2）
(1)上述證明過程中的依據1為 　　 ，依據2為 　 ；
(2)將上述證明過程補充完整．
【答案】(1)在同圓中相等的弧所對的弦相等，圓內接四邊形的對角互補
(2)見解析
【分析】（1）利用等腰三角形的判定和圓內接四邊形的性質解答即可；
（2）在原題的基礎上利用全等三角形的判定與性質解答即可得出結論．
【詳解】（1）解：上述證明過程中的依據1為：在同圓中相等的弧所對的弦相等，依據2為：圓內接四邊形的對角互補．
故答案為：在同圓中相等的弧所對的弦相等，圓內接四邊形的對角互補；
（2）解：證明：如圖2，連接，，，，
于點，，
．
．
，
，
．
四邊形內接于，
，
，
，
在和中，
，
(AAS),
．
【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質、圓心角、弦、弧之間的關系定理、三角形全等的判定和性質以及線段垂直平分線的判定和性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的判定和性質．
針對訓練7
1.如圖，是半圓O的直徑，C、D、E三點依次在半圓O上，若，，則與之間的關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接、、，根據圓內接四邊形的性質定理，得到，再根據同弧所對的圓周角相等，得到，由直徑所對的圓周角是直角可知，最后根據即可得到與之間的關系．
【詳解】解：連接、、，
四邊形為圓內接四邊形，
，
，
，
，
，
為直徑，
，
，
，
，
故選A．
【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質定理，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握圓的相關性質是解題關鍵．
2．在中，，點A在以BC為直徑的半圓外.請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）.
(1)在圖①中作弦EF，使；
(2)在圖②中以BC為邊作一個的圓周角.
答案：(1)見解析；
(2)見解析；
解析：(1)如圖：連接DE，DE即為EF，
在中，，
，
又四邊形BCEF是圓內接四邊形，
，
，
；
(2)如圖：過點A作BC的垂線AO，交半圓于P點，連接BP，，
，
又，
.
O
D
C
A
B
O
D
C
A
B
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